Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (Подготовка к ЕГЭ)

Учитель математики: Смирнова Р.М. ГБОУ СОШ п.г.т. ОсинкиМетоды решения тригонометрических уравнений Содержание Метод замены переменной Метод разложения на множителиОднородные тригонометрические уравненияС помощью тригонометрических формул:Формул сложенияФормул приведенияФормул двойного аргумента Метод замены переменнойС помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.См. примеры 1 – 3 Иногда используют универсальную тригонометрическую подстановку: t = tgx2

Пример 1


Пример 2




Пример 3




Метод разложения на множителиСуть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл:f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0 и т.д. при условии существования каждого из сомножителейСм. примеры 4 – 5 Пример 4


Пример 5






Однородные тригонометрические уравненияУравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.a sin x + b cos x = 0 Замечание. Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.: cos xa sin x b cos x 0 cos x+cos x=cos xa tg x + b = 0 tg x = – ab



Однородные тригонометрические уравненияa sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.: cos2xa tg2x + b tg x + c = 0 a sin2x b sin x cos x c cos2x 0cos2x+cos2x=cos2x+cos2xДалее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной.Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения на множители.



Пример 7Пример 6







Пример 8



Пример 9



Пример 10




Пример 11







С помощью тригонометрических формул1. Формулы сложения:sin (x + y) = sinx cosy + cosx sinycos (x + y) = cosx cosy − sinx sinytgx + tgytg (x + y) =1 − tgx tgysin (x − y) = sinx cosy + cosx sinycos (x − y) = cosx cosy + sinx sinytgx − tgytg (x − y) =1 + tgx tgyсtgx сtgy − 1 сtg (x + y) =сtgу + с tgхсtgx сtgy + 1 сtg (x − y) =сtgу − с tgх




Пример 12




Пример 13



С помощью тригонометрических формул2. Формулы приведения:








Лошадиное правилоВ старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α.Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять». С помощью тригонометрических формул3. Формулы двойного аргумента: sin 2x = 2sinx cosxcos 2x = cos2x – sin2xcos 2x = 2cos2x – 1cos 2x = 1 – 2sin2xtg 2x =2tgx1 – tg2xctg 2x =2ctgxctg2x – 1




Пример 14






С помощью тригонометрических формул4. Формулы понижения степени: 5. Формулы половинного угла:
С помощью тригонометрических формул6. Формулы суммы и разности:
С помощью тригонометрических формул7. Формулы произведения:
Мнемоническое правило“Тригонометрия на ладони”Очень часто требуется знать наизусть значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки.Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец,то они пересекутся в точке, называемой “лунный бугор”. Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°. Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°. Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.Для cos отсчет происходит в обратном порядке. Не закончено!