ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ «ФРАКТАЛЫ»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА«ФРАКТАЛЫ»Выполнила: учитель математикиМКОУ «КАШКАРАГАИХИНСКАЯ СОШ»РОМАНОВИЧ ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бенуа Мандельброт Множество Мандельброта – классический образец фрактала Кривая драконаПримеры фрактальных кривых Пятиугольник Дарера КРИВАЯ ГИЛЬБЕРТА Кривая Минковского или «Колбаса» Минковского Примеры фрактальных линийИнициаторГенератор



Кривая КохаИнициатор - прямая линияГенератор - равносторонний треугольник,«Снежинка Коха»



Дерево Пифагора Дерево Пифагора – разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны» Обдуваемое ветром «Дерево Пифагора» Компьютерная вариация на «Дерево Пифагора»
Вацлав Серпинский14 марта 1882, Варшава, Польша — 21 октября 1969, Варшава {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}11112113311111Треугольник Паскаля 


{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}11114465106510151111116201572135352178562870563682884126126843699121111331111












Треугольник Паскаля
Из треугольника Паскаля в ….треугольник СерпинскогоТреугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся - белым Из треугольника Паскаля в ….треугольник СерпинскогоТреугольник полученный выделением чисел: красный цвет зависит, от четности числа, зеленый - от делимости его на 9, а синий - от делимости на 11… {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}11112113311111114465106510151111116201572135352178562870563682884126126843699




















ФРАКТАЛ СЕРПИНСКОГО Ковер Серпинского ковер Серпинского множество Жюлиа. Звезда КохаОдин из первых примеров фракталов был придуман еще в начале 20-го века немецким математиком Х. фон Кох (1870-1924) и называется звезда Коха (снежинка Коха). Для ее построения берется равносторонний треугольник и последовательно добавляются к нему новые, подобные ему, треугольники. В результате получаются все более сложные многоугольники, приближающиеся к предельному положению – звезде Коха. Упражнение 1На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза. Поэтому площадь S звезды Коха представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим S=1+3/5=8/5. Найдите площадь звезды Коха, если площадь исходного треугольника равна 1.Решение. На первом шаге построения звезды Коха мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3.
Упражнение 2Решение. На первом шаге каждая сторона треугольника заменяется на ломаную, состоящую из четырех отрезков длины 1/3. Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза и равна 4. То же самое происходит на следующих шагах. Каждый раз длина ломаной увеличивается в 4/3 раза. Так как последовательность (4/3)n стремится к бесконечности, то и длина кривой Коха равна бесконечности. Найдите длину кривой, ограничивающей звезду Коха, считая стороны исходного треугольника равными 1.
Ковер СерпинскогоЕще один пример самоподобной фигуры, придумал польский математик В. Серпинский (1882-1969). Она называется ковром Серпинского и получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки. Упражнение 5Решение. Для нахождения площади квадрата Серпинского достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице. Следовательно, площадь ковра Серпинского равна нулю. Найдите площадь ковра Серпинского, считая стороны исходного квадрата равными 1.
Салфетка СерпинскогоНачиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского. Упражнение 6Найдите площадь салфетки Серпинского, полученной из правильного треугольника площади 1.Ответ: 0.
Галерея фракталов Фракталы в природе "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 Фрактальная форма береговой линии Фрактальная форма цветной капусты Малахитовый зал(Эрмитаж) "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 "Язык математики"Лаврова Т.В. Санкт-Петербург. 2012 «Попробуй простую фигурку сложить, И вмиг увлечёт интересное дело."   Японская мудрость