Презентация по алгебре Прогрессии в окружающей нас жизни

Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит 1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д…. Как вы думаете, в каком классе учится Петя, и что нового он узнал в школе? * В 9 классе мы изучили прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры. Актуальность исследования (Почему это важно для нас?): по страницам школьных учебников Прогрессий в повседневной жизни Прогрессии в природе Прогрессии в банковских расчётах и промышленности. Прогрессии в старых учебниках по математике прогрессии в книгах по занимательной математике выводы Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число. Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,… Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число. Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,… Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Установите«родство»прогрессий a1, a2, a3, . . . an+1=an+d an=а1+d (n-1) bn = b1qn-1 d = an -а1 q =bn+1:bn характеристические свойства an+1=an+d an=а1+d (n-1) bn = b1qn-1 d = an -а1 q =bn+1:bn Прочитав определения арифметической и геометрической прогрессий можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение – возведением в степень Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,умноженному на одно и то же число,называется арифметическойгеометрическойпрогрессией “Родство” прогрессий становится еще более заметным, если сравнить их характеристические свойства. Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на два - извлечением корня второй степени, и из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии Любой член арифметической прогрессии, геометрическойначиная со второго, являетсясредним арифметическим геометрическимпредшествующего и последующего членов. Имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение в повседневной жизни? Задача 1 Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить ему новый мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев? … Задача 2 В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? Задача 3 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Решение. Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 ап=а1+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, , , 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. возрастающая арифметическая прогрессияа1=5, d=5 убывающая арифметическая прогрессияс1=5, d=-5 Задача 4 Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день они проходи на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м? При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с после начала падения.Решение. Составим математическую модель задачи: в первую секунду 5м, во вторую секунду 15м, в третью секунду 25м, в четвертую секунду 35м, в пятую секунду 45м.Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м). Ответ: глубина шахты 125м. Прогрессии в природе Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией; Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой. Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением. бактерии… В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.а)Сколько бактерий рождено на 9-й минуте от одной исходной?б)Какова колония, рожденная одной бактерией за 5 минут? а)на 1-ой минуте 2 на 2-ой минуте 4 на 3-ей минуте 8 на 4-ой минуте 16 на 5-ой минуте 32 на 6-ой минуте 64 на 7-ой минуте 128 на 9-ой минуте 256 б) 2+4+8+16+32= 52 Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. бактерии… Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.Решение. S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1= = 4 722 366 482 869 645 213 695. в пищевой промышленности (для приготовлениянапитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен) “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб,сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земнойшар 40 млрд. раз. мухи… “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев одуванчик… Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара? Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии? [1012 км2]б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара? [нет, Sсуши = 148 млн км2] Всего за пять поколений, тоесть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля можетоставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоемтолщиной почти в 1 метр. Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет. При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений? Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей? Прогрессии в банковских расчетах, в промышленности,в разных отраслях науки,в сельском хозяйстве Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу. В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице. Задача 1: При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? Задача 2За один день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий - на 3 га больше, чем в предыдущий. Сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней? Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере р., либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?В первом случае при t = 1 вы получите (а + )р., приt = 2 ваша итоговая сумма составит (а + )р., при t = 3 (а + )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечнаяарифметическая прогрессия а, а + , а + ,а + …, а + .Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получит)а(1 + )— это так называемая формула простых процентов Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + )р.; сумма вклада увеличится в (1 + )раз. Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д. Математическая модель ситуации — конечная геометрическая прогрессия а, а(1 + ), а(1 + )2,а(1 + )3,…, а(1 + )t.Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите а(1 + )tруб..— это так называемая формула сложных процентов. Рассмотрим конкретный пример. Пусть вклад составляет 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок хранения вклада - 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму, равную10 000 • (1 + ) , т. е. 15 000 р. Если же вы выбрали стратегию сложных процентов, то к концу срока хранения вы получитев итоге сумму, равную 10 000 • ( 1 + )5, т. е. 16 105,1 р.Как говорится в одном рекламном слогане «Почувствуйте разницу» Директора двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода выпустили за последний год одинаковые количества продукции, а именно по 1000 т металлических изделий. На совещании было решено добиваться дальнейшего роста продукции, причём был намечен ежегодный прирост на 40%. Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на 40% больше, чем раньше, т. е. на две пятых, а именно:1000 +1000 • 2/5 = 1000 + 400 =1400.За второй год завод выпустил ещё на 400 т больше,т. е.1400 + 400=1800,и так далее. В результате выпуск изделий за последующие 4 года оказался таким:до совещания.......1000,1-й год..........1400,2-й »........ 1800,3-й ».......... 2200,4-й ».......... 2600. Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, чем раньше, т. е.1000 +1000 • 2/5 =1400 т.За второй год директор завода В добился дальнейшего, роста производительности труда, и завод выпустил за второй год на 40% больше, чем за первый год:1400 + 1400 • 2/5 = 1400 + 560 = 1960 т.На третий год он составил план по тому же принципу: опять увеличить выработку на 40% по сравнению с предыдущим годом:1960+ 1960 • 2/5 = 1960 + 784 = 2744 т.За четвёртый год завод В дал такую выработку: 2744 + 2744 • 2/5 = 2744 + 1098 = 3842.В результате выпуск изделий заводом В оказался следующим:до совещания.......1000,1-й год..........1400,2-й »........ 1960,3-й ».......... 2744,4-й ».......... 3842. Через 4 года директоры заводов А и В снова встретились на совещании и сравнили выработку обоих заводов. Оказалось, что завод В выпустил значительно больше изделий, чем завод A. Завод А сохранял всё время одну и ту же надбавку, равную 400 т в год. Завод В сохранял неизменным отношение выработки двух соседних лет, т. е. коэффициент увеличения k = 7/5 . Представим на графике продукцию того и другого завода Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит. Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике Задача 1. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки? Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого Задача 2. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15 – ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р 90 коп? Некто продавал коня и просил за него 156 руб. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь четверть копейки, за второй гвоздь –половину копейки, за третий гвоздь – одну копейку и т.д., за каждый гвоздь в два раза больше, чем за предыдущий. Купец ,соблазнённый низкой ценой и желая даром получить коня, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.На сколько проторговался купец? Воспользуемся формулой для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессииТо есть приблизительно 42 тысячи рублей! В «Сборнике алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз, 1949) было найдено двадцать задач на арифметическую прогрессию. Ещё две старинные задачи:Шли семь старцевУ каждого старца по семь костылей; На каждом костыле по семь сучков; На каждом сучке по семь кошелей; В каждом кошеле по семь пирогов; В каждом пироге по семь воробьёв. Сколько всего воробьёв? Ответ: 117649 воробьёвКаждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам? Ответ: 16807 горстей Задачи на применение прогрессий встречаются в книгах по занимательной математике Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение стольмудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна,на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу.Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком“ничтожной” для выполнения этой просьбы. S64=264-1= =18446744073704551615 Действительно, чтобы выполнить эту просьбу, потребовалось бы количество зерен, равное сумме 1 + 2 + 22 +.. + 263, а эта сумма равна 18446744073709551615. Если считать, что 1 пуд зерна содержит 40000 зерен, то для выполнения просьбы потребовалось бы 230 584 300 921 369 пудов зерна. Если полагать, что в среднем ежегодно собирается 1 000 000 000 пудов зерна, то для выполнения указанной просьбы нашей стране нужно работать (не расходуя ни одного зерна) на протяжении 230584 лет. Приходит как-то раз к одному богатому купцу мужик и предлагает сделку. «Давай, говорит, в течение месяца я буду приносить тебе каждое утро по 100000 руб, а ты мне взамен в первый день отдашь 1 коп, а в каждый последую- щий в 2 раза больше. Во второй день- 2 коп, в третий- 4 коп и т.д.» Подумал купец и подписал договор. Кому выгодна сделка? Сумма, которую получит купецSкупец= 100000руб х 30дней = =3000000руб 1-ый день- 1коп2-ой день- 2коп3-ий день- 4коп4-ый день- 8коп5-ый день- 16коп6-ой день- 32коп7-ой день- 64коп8-ой день- 1р 28коп9-ый день- 2р 56 коп10-ый день- 5р 12 коп11-ый день- 10р 24 коп12-ый день- 20р 48 коп13-ый день- 40р 96 коп14-ый день- 81р 92 коп А время шло….20-ый день - 5242р 88 коп21-ый день- 10485р 76 коп 22-ый день- 20971р 52 копПоследние дни28-ый день - 1 342 177р 28 коп29-ый день - 2 684 354р 56 коп30-ый день - 5 368 709р 12 коп купец получил 3000000 рубмужик - 10737418руб23копБез малого 11 миллионов!!!разница составляет 7737418руб 23коп !!!Так кому выгодна эта сделка? Сравним доходы: Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь город: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: В городе 42 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна всему городу? Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по городу и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию: в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 9.15 121+81 ·3 =364 9.30 364+243 ·3=1093 9.45 1093+729 ·3=3280 10.00 3280 + 2187 ·3 =9841 10.15 9841+ 6561 ·3=29524 10.30 29524+19683=49207Т.е через 2,5часа эту новость узнает весь город Задачи на прогрессии есть и в книгах Я.И. Перельмана Живая математика, глава седьмая «Рассказы о числах-великанах» Занимательная алгебра глава восьмая «Прогрессии» Выгодная сделкаГородские слухиЛавина дешевых велосипедовНаградаЛегенда о шахматной доскеБыстрое размножение Древнейшая прогрессияАлгебра на клетчатой бумагеПоливка огородаКормление курАртель землекоповЯблокиПокупка лошадиВознаграждение воина Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов). Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями. Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит 1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. Петя должен получить 171798691,83руб 234-1