Конспект урока по математике Числовая последовательность (9 класс)
Конспект урока алгебры, 9 класс.
Тема «Числовые последовательности».
Цели урока:
- закрепить знание способов задания числовой последовательности;
- изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в
ходе выполнения упражнений;
- развить логическое мышление учащихся;
- проверить знания учащихся (самостоятельная работа в виде теста).
Оборудование: мультимедиапроектор, ПК, презентация, доска, мел, указка.
Урок - закрепления по теме «Числовые последовательности. Определение числовой последовательности и способы её задания», поэтому ведущая роль принадлежит учащимся.
Ход урока.
I. Сообщение темы и цели урока.
1). закрепить знание способов задания числовой последовательности;
2). изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в ходе выполнения упражнений;
3). Самостоятельная работа в виде теста.
II.Вопросы.
Вопросы проектируются на экран мультимедиапроектором:
1. Назовите способы задания числовой последовательности и опишите каждый из способов
Ответ: - Аналитический (Последовательность задана аналитически, если указана формула её n-го члена уn = f(n)
- Словесный (Последовательность описана словами, а не формулами)
- Рекуррентный (Он состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её предыдущие члены)
Тест (Тест выполняется в течении урока на листочках. В ответ записывать букву, которая соответствует правильному решению. В результате получится задуманное слово)
Вопросы проектируются на экран мультимедиапроектором:
1. Найти второй член последовательности, заданной рекуррентным способом
уn = 1, yn = yn-1 + 2 (n = 2,3,4, )
И (2) Ф (3) М (5)
2. Выберите член последовательности (уn ), который следует за yn+9
Е (у10) О (уn+8) И (yn+10)
3. Выберите член последовательности (уn ), который предшествует члену y2n
Б (у2n -1) О (у2n +1) Р (уn)
III. Устные упражнения.
Работа устно с мультимедиапроектором.
Задание 1 Составьте математическую модель следующей задачи.
Сосулька тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадёт на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?
Ответ: y = 5n
y1 = 5*1 = 5
y2 = 5*2 = 10
y3 = 5*3 = 15
y4 = 5*4 = 20 эта математическая модель является последовательностью
Задание 2 Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите её восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-ый члены.
Ответ: х = 7n
х1 = 7*1 = 7 х8 = 7*8 = 56
х2 = 7*2 = 14 х10 = 7*10 = 70
х3 = 7*3 = 21 х37 = 7*37 = 256
х4 = 7*4 = 28
Тест
4. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые 3 члена последовательности yn = n2 – 4
О (-3, 0, 5) Н (-2, 0, 2) Д (3, 0, 5)
5. Найти третий член последовательности
yn = n + 1
n2 – 8
Н (4) О (-2) К 1
4
6. Найти четвёртый член последовательности уn = 2n
О (8) А (16) С (20)
Задание 3 Подобрать формулу n-го члена последовательности 2, 3, 4, 5,
Ответ: yn = n + 1
y1 = 1 + 1 = 2
y2 = 2 + 1 = 3
y3 = 3 + 1 = 4
y4 = 3 + 1 = 5
Тест
7. Подберите формулу n-го члена последовательности 3, 6, 9, 12, 15,
Ч (3n) В (n + 3) Т (2n + 1)
IV. Работа по теме урока. (отображается на проекторе)
Числовая последовательност
· частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Ограничимся свойством монотонности.
Н-р: 1, 3, 5, 7, ,2n – 1, последовательность возрастающая
Вопрос: Какая последовательность называется возрастающей?
Опр.1 Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего: y1 < y2 < y3 < . . . < yn < yn+1 < . . .
Пример 1 (на доске) Доказать, что последовательность является возрастающей yn = 2n
Ответ: 2, 4, 8, 16, 32,
Н-р: 1, 1 , 1 , 1 , , 1 , последовательность убывающая
2 3 4 n
Опр.2 Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > . . . >yn > yn+1 > . . .
Пример 2 (на доске)Доказать, что последовательность является убывающей
yn= 1 n
3
Ответ: 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
3 9 27 81
Н-р: 1, _ 1 , 1 , _ 1 , , (- 1)n-1 1 , немонотонная последовательность
2 3 4 n
Вывод: (обобщим примеры 1 и 2и сделаем вывод)
1. Если n >1, то последовательность yn = an возрастает
2. Если 0< n < 1, то последовательность yn = an убывает.
-----------Работа оформляется на доске и в тетрадях.)
Ответ: простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
Квадраты простых чисел: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289
-----------(Работа оформляется на доске и в тетрадях.)
а). Решение: yn = 3n + 4 в). Решение: yn = 7n - 2
y1 = 3*1 + 4 = 7 y1 = 7*1 - 2 = 5
y2 = 3*2 + 4 = 10 y2 = 7*2 - 2 = 12
y3 = 3*3 + 4 = 13 y3 = 7*3 - 2 = 19
y4 = 3*4 + 4 = 16 y4 = 7*3 - 2 = 26
Ответ: 7, 10, 13, 16, возрастающая Ответ: 5, 12, 19, 26, возрастающая
--------- (самостоятельно с проверкой)
а). Решение: yn = - 2n - 3 в). Решение: yn = 4 - 5n
y1 = - 2*1 - 3 = - 5 y1 = 4 - 5*1 = - 1
y2 = - 2*2 - 3 = - 7 y2 = 4 - 5*2 = - 6
y3 = - 2*3 - 3 = - 9 y3 = 4 - 5*3 = - 11
y4 = - 2*4 - 3 = - 11 y4 = 4 - 5*3 = - 16
Ответ: - 5, - 7, - 9, -11, убывающая Ответ: - 1, - 6, - 11, - 16, убывающая
Задание Исследовать на монотонность числовые последовательности
а). хn = n2 + 1
Ответ: 2, 5, 10, 17, возрастающая
б). хn = - 6n + 3
Ответ: - 3, - 9, - 15, - 21, убывающая
в). хn = (- 1)n
Ответ: - 1, 1, - 1, 1, немонотонная
Тест
8. Исследовать на монотонность последовательность yn = 2n - 2
Ь (убывающая) И (немонотонная) Ч (возрастающая)
9. Какая из следующих последовательностей является убывающей
И n + 1 М 1 - 1 Ч 5n
n 2n n + 1
ОТВЕТЫ ТЕСТА ФИБОНАЧЧИ
Леонардо Фибоначчи - Это итальянский математик XIII в.
Автор «Книги абака» (1202г.), в которой говорилось о десятичной системе счисления.
Позже он установил связь с последовательностью чисел, которую он рассмотрел при решении задачи о размножении кроликов. Здесь первые два числа единицы, а каждое последующее равно сумме двух предыдущих.
Поэтому рекуррентную последовательность ещё называют последовательностью Фибоначчи.
Дополнительно №
VI. Рефлексия
Учитель предлагает ученикам ответить письменно на вопросы:
- Мои чувства во время урока?
- Где испытывали трудности?
- Ваше настроение после урока?
- Что на уроке вам понравилось?
VII. Домашнее задание.
15