Урок математики по теме Числовая окружность
Урок 1
Числовая окружность
Мы начинаем изучать новый раздел математики математический анализ.
Название «математический анализ» сокращенное видоизменение старого названия «анализ бесконечно малых». Последнее больше говорит, но оно тоже сокращенное. Более точно нужно сказать «анализ посредством бесконечно малых».
Но что же мы будем анализировать? В классическом математическом анализе объектом изучения являются прежде всего функции, т.е. переменные величины, зависящие от других переменных величин.
В курсе алгебры 7–9 классов мы до сих пор занимались изучением алгебраических функций. В этом большую помощь нам оказывала математическая модель числовая прямая.
Рассмотреть ОК-1.
Вопрос:
«Какие еще примеры алгебраических функций вы можете привести?»
Обратить внимание на признаки, отличающие обыкновенную прямую от числовой.
Однако математические модели реальных ситуаций чаще бывают связаны с функциями другого класса, не алгебраическими. К изучению первых представителей класса неалгебраических функций – тригонометрических функций – мы и приступаем.
Они служат прежде всего для описания разнообразных периодических процессов. С периодически повторяющимися ситуациями человек сталкивается повсюду. Биение сердца, цикл в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы, наполненность городского транспорта, эпидемии гриппа в этих многообразных примерах можно найти общее: эти процессы периодичны.
Для исследования тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель числовая окружность.
Рассмотреть ОК-2, ввести понятия единичной и числовой окружности.
Подчеркнуть ее важную особенность: единичный отрезок выбирается не произвольно, а строго определенным образом.
Обратите внимание, что изображать числовую окружность мы будем с проведенными в ней вертикальным и горизонтальным диаметрами, важная роль которых станет ясной в дальнейшем.
Ответить на вопросы 1 и 2.
1. Что такое числовая окружность?
2. Перечислите признаки числовой окружности
Обсудить примечание – что можно сделать, чтобы отметить положение числа на окружности (прокатить окружность по прямой, намотать нитку с узелками, воспользоваться курвиметром).
Вот первый пример реальной ситуации, для которой используется новая модель движение по кругу (например, по стадиону).
Решить задачу № 1(пр)
1. Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона, отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м; б) 42 км 195 м.
Понятно, что наматывать и разматывать числовую прямую никто не собирается, да и курвиметр не всегда под рукой. Поэтому для того, чтобы отметить произвольную точку на окружности, используется другой подход
Решить задачу № 2(пр)
2. Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности; б) ее половины; в) ее четверти?
Вычисления оставить на доске, они будут использованы при решении следующих задач.
Сделать важный вывод:
Обратите внимание: если длину дуги выражать с помощью привычных рациональных чисел (т.е. заменять число ( его приближенным значением), то результат всегда будет приблизительным. А если измерять длины в долях числа (, то результат будет точным числом.
Прочитав условия задачи № 3, ввести правило именования дуг:
Условимся в двухбуквенном обозначении дуги на первом месте писать букву, соответствующую началу дуги, а на втором – букву, соответствующую концу дуги, обходя окружность против часовой стрелки.
Решать задачи № 3(пр - 8(пр)
Обратить особое внимание на соблюдение учащимися правила именования дуг.
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ – первая, ВС – вторая, CD – третья, DA – четвертая.
Опираясь на эту геометрическую модель, решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.
3. Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р – на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги: АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?
4. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D). Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?
5. Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?
6. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?
7. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна длина дуги: СР, PD, АР?
8. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?
D
С
В
А
15