Урок математики в режиме модульной технологии по теме Наибольшее и наименьшее значения функции

КИРОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЕХНИКУМ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И НАРОДНЫХ ПРОМЫСЛОВ» Г. СОВЕТСКА
НОМИНАЦИЯ: методическая разработка аудиторного занятия
УРОК ПО ТЕМЕ:
«НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ»
(технология модульного обучения)
Автор:
преподаватель математики
ТПиНП г. Советска
ЧЕРНОВА ИРИНА НИКОЛАЕВНА
Советск 2014
Авторская разработка урока математики создана в режиме технологии модульного обучения («управляемого самообучения учащихся» по Т.И. Шамовой).
Данный урок может быть использован в системе работы преподавателей математики образовательных организаций, дающих среднее образование, учителями школ.
Цель методической разработки: организовать процесс обучения в развивающем режиме, чтобы учащиеся не только усваивали программный материал, но и овладевали интеллектуальными приёмами деятельности. Считаю, что для этого эффективны приёмы технологии модульного обучения, так как такие уроки включают в себя:
Самостоятельную постановку учащимися целей занятия (цели урока классу сообщает не учитель, а наоборот обучающиеся формулируют цели урока, учитель их корректирует и дополняет; учащиеся с учетом своих возможностей выбирают уровневую цель, прогнозируют результаты своей работы на уроке).
Объяснение нового материала с учетом зоны ближайшего развития.
Самостоятельную работу с учебным материалом (учебные тексты предлагаются учителем: путеводитель, учебники, справочники; учащиеся осуществляют самостоятельное планирование своей работы, самоконтроль, корректировку ошибок и ликвидацию пробелов).
Уровневое домашнее задание в зависимости от достигнутых результатов на уроке (или право выбора задания для самостоятельной работы).
Положительной стороной таких уроков является также то, что ученик, пропустивший данную тему, может с помощью путеводителя самостоятельно её изучить, т.е. ликвидировать пробелы в знаниях.
При разработке таких уроков (составлении путеводителя) учитываю особенности контингента (низкую познавательную активность, низкий уровень обученности и обучаемости), поэтому задания в путеводителе не очень сложные, объяснения подробные. Отмечу, что уроки в режиме модульной технологии разработаны по 10 темам, что позволяет в системе отрабатывать общеучебные умения, развивать общие и профессиональные компетенции.

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.(2 часа)
Дидактическая цель: осознаниe и осмыслениe блока новой учебной информации, применение знаний и умений в знакомой и новой учебной ситуациях, проверка уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного обучения.
Тип урока: комбинированный.
Цели по содержанию:
Образовательные:
познакомить с правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, учить применять его для решения простых задач; применять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач; решать задания, самостоятельно выбирая метод решения и применяя знания в нестандартных ситуациях;
формировать умения конструировать математические модели по соответствующим ситуациям;
Развиваюшие:
развивать познавательную активность учащихся, формировать учебно-познавательные действия при работе с текстом путеводителя;
раскрыть практическую необходимость и теоретической значимость темы «Производная и ее применение»;
развивать умения анализировать и оценивать свое владение системой знаний по теме;
Воспитательные:
формировать у учащихся понятия о научной организации труда;
развивать математически правильную устную и письменную речь.
Уровневые цели для учащихся:
1 уровень – применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции к решению простых задач.
2 уровень – применять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
3 уровень – решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартной ситуации).
Методы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Технология: модульного обучения.
Средства обучения: путеводитель для учащихся; Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. А. Н. Колмогорова.- 20-е изд.- М.: Просвещение, 2011г.; справочники учащихся.
Ход урока.
Этапы Деятельность учителя Деятельность учащихся
1.Оргмомент Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей. Приветствуют учителя, сообщают о наличии на столах оценочных листов и путеводителей.
2.Целеполагание и мотивация Объявляет тему. Предлагает сформулировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням. Работают с путеводителем, формулируют цели. Определяют для себя объем работы на уроке и записывают цели в тетрадь.
3.Актуализация Задает вопросы учащимся из учебного блока №1, записывает на доске решения к вопросу 2, которые диктуют ученики.
Обобщает:
Итак, производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в ХVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построение касательной. Исторически понятие производной возникло из практики. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что еще более усилило его прикладной значение. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
И сегодня на уроке мы узнаем, как используется производная при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции и как алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений используется для решения прикладных задач из различных областей науки и техники. Работают устно с учителем, отвечают на вопросы путеводителя (учебный блок №1).
4.Первичное усвоение, осознание и осмысление учебного материала, систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см.Путеводи-тель) 1)Напоминает суть работы с путеводителем: самостоятельное чтение и анализ указаний учителя в каждом учебном блоке, разбор приведённых примеров и выполнение заданий самостоятельной работы. Объясняет, что оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам.
Если n≥15, то ученик получает «5», при 9≤n≤14 – оценка «4», при 5≤n≤8 – оценка «3» и при n < 5 – оценка «2».(критерии открываются в конце урока при проведении рефлексии)
2)Консультирует учащихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа. (После завершения самостоятельной работы в каждом учебном блоке ученик поднимает руку, учитель подходит и выдаёт карточку с кратким эталоном решения и ответом, ученик выполняет самопроверку и заполняет оценочный лист) Слушают.
Работают с путеводителем,
( учебные блоки №2, №3, №4), заполняют оценочные листы.
5.Рефлексия Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист.
Если n≥15, то ученик получает «5», при 9≤n≤14 – оценка «4», при 5≤n≤8 – оценка «3» и при n < 5 – оценка «2».
Предлагает дополнить предложения блока №5, нескольких человек просит зачитать ответы. Работа с текстом путеводителя
(блок №5).
6.Домашнее задание Предлагает записать домашнее задание в зависимости от результатов на уроке. Учащиеся записывают уровневое домашнее задание.
П У Т Е В О Д И Т Е Л Ь
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 1
Цель: повторить правила вычисления производных, обобщить знания о производной и ее применении.
Указания учителя: поработай устно с учителем, за каждый верно данный ответ поставь в свой оценочный лист 1 балл.
Вопросы:
Что такое производная?
Найдите производную функции
а) f(х) = 13х3 - 4х2
б) f(х) = 5х4 - 6х
в) f(х) = 15хг) f(х) = - соs –хд) f(х) = х3 (24-х)
е) f(х) =х+12хКакие области применения производной вы уже знаете?
В чем состоит геометрический смысл производной?
В чем состоит механический смысл производной?
Сформулируйте признак возрастания функции.
Сформулируйте признак убывания функции
Знак производной f'(х) меняется по схеме, изображенной на рисунке. Определите, на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает. \s

72390651510Назовите интервалы возрастания и убывания функции, если график ее производной имеет вид:
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 2
Цель: ввести правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции и сформировать умение применять его к решению простых задач.
Указания учителя: Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсе анализа доказывается теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [а; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т.е. существуют точки отрезка [а; b], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; b] значения.
Предположим, что f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает на этом отрезке (рис.1) или убывает (рис.2) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] – это значения в концах а и b (по рис.1 наибольшее значение функции f в точке b, а наименьшее – в точке а, по рис.2 – наоборот)уу


х х 0 0 Рис. 2
Рис. 1
а в а в
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; b] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значение функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т.е. в критических точках функции или в точках а и b.
Таким образом, алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции f(х) на отрезке [а; b] следующий:
Найти область определения функции.
Найти производную функции (т.е. f'(х))
Найти критические точки функции (т.е. точки, в которых f'(х)=0 – решить это уравнение – или f'(х) не существует).
Отобрать из найденных критических точек те, что лежат внутри отреза [а; b]
Вычислить значения функции f(х) в каждой из отобранных точек и на концах отрезка [а; b]
Выбрать из полученных значений в п.4 наибольшее и наименьшее.
Выписать ответ
Наибольшее значение функции f(х) на [а; b] обозначают: mах f(х)
[а; b]
Наименьшее значение - min f(х)
[а; b]
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(х)= х3-3х2-45х+225 на отрезке [0; 6]
Решение: 1.Д(f) = R
f'(х)= (х3-3 х2—45х+225)' = 3 х2 –6х – 45
f'(х) существует при всех х.
Решим уравнение:
f'(х)=0
3 х2 –6х – 45=0
х2 –2х – 15=0
а=1, b = -2, с = -15
Д = b2 – 4ас; Д = (-2)2- 4 ∙ 1 ∙ (-15) = 4+60 = 64

- b Д
х = ------------; х1 = -3; х2 = 5
2а
–3 [0; 6], 5 [0; 6]
Вычислим f(5), f(0), f(6)
f(5)= 53-3 ∙52-45∙5+225=125-75-225+225=50
f(0)= 03-3∙02-45∙0+225=225
f(6)= 63-3∙62-45∙6+225= 216-108-270+225=63
Ответ: mах f(х)= f(0)= 225
[0; 6]
min f(х)= f(5)=50
[0; 6]
Задания самостоятельной работы (на 10 минут)
1 вариант 2 вариант
1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=14 х4-8х2 на отрезке
[ -1; 2] (2 балла) 1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=2х4-8х на отрезке
[2; -1] (2 балла)
2) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х) = х2+4х на отрезке [-4; -1]
(3 балла) 2) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х) = 2хх-1 на отрезке [2; 5]
(3 балла)
Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то решите соответствующее задание другого варианта.
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 3
Цель: принять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
Указания учителя: Вы прошли 1 уровень усвоения материала. Теперь, чтобы решить задание, вам нужно будет самим составить функцию и найти ее наибольшее и наименьшее значение.
Изложенный метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач.
При этом действуют по следующей схеме:
Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(х).
Находится наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке (применяется метод из уч.блока №2).
Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Вообще решение практических средствами математики (т.е. метод математического моделирования) содержит три основных этапа:
формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);
решение полученной математической задачи;
интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математически в терминах первоначальной задачи).
Пример 1. Число 20 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на другое было наибольшим.
Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда 20-х – второе слагаемое. Составляем сумму по условию: «произведение куба одного из них на другое» - f(х) – х3(20-х). Нужно найти наибольшее значение функции f(х) – х3(20-х) на отрезке [0; 20].
1) f'(х) = (20х3 – х4)' = 60х2 – 4х3
2) f'(х) существует при всех хРешим уравнение:
f'(х) =0
60х2 – 4х3
4х2 (15-х)=0
4х2 =0 или 15-х=0
х=0 х=15
3) 0 [0; 20], 15[0; 20]
4) f(0) = 03 (20-0) = 0
f(15) = 153 (20-15) = 3375∙ 5=16875
f(20) = 203 (20-20) = 0
mах f(х)= f(15)=16875
[0; 20]
Итак, х=15 – это первое слагаемое, тогда 20-15=5 – второе слагаемое.
Ответ: 20=15+5
Пример 2. Забором длиной 24м требуется огородить прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найдите эту наибольшую площадь палисадника и укажите его размеры.
Решение: Пусть х метров – длина палисадника, тогда 12 - х метров – ширина палисадника. В задаче речь идет о площади прямоугольного палисадника, т.е. о площади прямоугольника. Таким образом, функция f(х) = х (12-х).
Нужно найти наибольшее значение функции f(х) = х (12-х) на промежутке (0; 12).
f'(х) = (12х – х2)' = 12-2х
f'(х) существует при всех хРешим уравнение:
f'(х) =0
12-2х=0
2(6-х)=0
6-х=0
х=6
6 (0; 12)
f(6) = 6(12-6)= 6∙ 6=36
f(0) и f(12) не находим, т.к. 0(0; 12) и 12(0; 12)
mах f(х)= f(6)=36
(0; 12)
Итак, х=6м – длина палисадника
12-6=6м – ширина палисадника
Тогда площадь палисадника 36м2 и его размеры 6м х 6м.
Ответ: 6м x 6м = 36м2
Задания самостоятельной работы (на 10 минут)
1 вариант 2 вариант
1. Число 15 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим (3 балла). 1. Число 6 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим (3 балла).
2. Периметр прямоугольника 48м. Обозначим одну из сторон за х и рассмотрим те прямоугольники, для которых х [3; 8]. Найдите среди них прямоугольник с наибольшей площадью и прямоугольник с наименьшей площадью. Укажите площади этих прямоугольников (3 баллов). 2. Периметр прямоугольника 20м. Обозначим одну из сторон за х и рассмотрим те прямоугольники, для которых х [1; 4]. Найдите среди них прямоугольник с наибольшей площадью и прямоугольник с наименьшей площадью. Укажите площади этих прямоугольников (3 баллов).
Если вы набрали 6 баллов, то переходите к следующему учебному блоку. Если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка.
ПОМНИ: 1) легче находить производную функции, представленной в виде многочлена; 2) площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 4
Указания учителя: Молодцы! Вы освоили решение заданий 2 уровня сложности.
Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Задания самостоятельной работы:
Найдите наибольшее и наименьшее значения f(х) = - соs х – х на отрезке
[-3/2π; 5/2π] (2 балла).
Какими должны быть стороны прямоугольного участка площадью 1600м2, чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала (3 балла).
Число 48 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение всех слагаемых было наибольшим (3 балла).
Подсказки:
С помощью графика y = sin х выясни, в каких критических точках из промежутка [-3/2π; 5/2π] функция y = sin х принимает значение равное 1. Далее действуй по алгоритму.
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Если х – длина, S/х – ширина.
Помни, что (а/х)' = (а∙х-1) = -а∙х-2 = -ах2В представленной функции раскрой скобки, т.е. представь ее в виде многочлена – так легче находить производную. Далее действуй по алгоритму.
Указания учителя: Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист.
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 5
Цель: Оценить результаты своей деятельности.
Указания учителя:
Подсчитайте количество набранных вами баллов в оценочном листе и поставьте себе оценку согласно критериям оценивания работы на уроке.
Напишите три прилагательных (наречия) или предложение, отражающее твое эмоциональное состояние на уроке.
Закончи фразы:
сегодня я узнал (а)…
сегодня я научился (ась)…
на уроке я испытал (а) затруднения…
чтобы повысить результат, мне нужно…
Запишите домашнее задание:
Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома № 11 (3б) с.173
Если вы заработали на уроке оценку «4», то выполните дома № 311 с.158
Если вы заработали на уроке оценку «3» или «2», то выполните дома № 305 (а, в) с.158
Приложение №1
ОФОРМЛЕНИЕ ЗАПИСЕЙ НА ДОСКЕ.
На обратной стороне:
Если n<5, то оценка «2».
Если 5≤n≤8, то оценка «3».
Если 9≤n≤14, то оценка «4».
Если n≥15, то оценка «5». Наибольшее и наименьшее значения функции.
Цели:
1 уровень - применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений к решению простых задач.
2 уровень - применять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
3 уровень - решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартных ситуациях). Найти производную функции:
а)f(x) = 13x3-4x2
б)f(x) =5x4-6x
в)f(x) = 15хг)f(x) = -cos x-x
д)f(x) = x3(24-x)
е)f(x) = х+12хПриложение №2
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ.
Фамилия ___________________________________________________
Имя _______________________________________________________
Учебные блоки Количество баллов за основные задания Корректирующие задания Общее количество баллов за этап
№ 1
№ 2
№ 3
№ 4 Итоговое количество баллов __________________________________
Оценка ____________________________________________________

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Алгебра и начала математического анализа. 10-11классы:учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон.носителе/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. Колмогорова.-20-е изд.-М.: Просвещение,2011.-384с.
Алгебра и начала математического анализа.11класс:учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни /Ю.М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин; под ред. Жижченко.-2 издание.-М.:Просвещение, 2010.-336с
Гибкая технология проблемно-модульного обучения, методическое пособие./ Чошанов М.А. М., Народное собрание, 1996
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./ Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. М.: Просвещение, 2003.
Дидактические основы современного урока: методическое пособие./ Русских Г.А. М., Ладога-100, 2001
Мастер-класс: подготовка учителя к успешной педагогической деятельности./ Русских Г.А. и др. Киров, 2000
Современные педагогические технологии в практике работы учителя географии, методическое пособие./ Русских Г.А., Киров, 2001