Производная и первообразная показательной и логарифмической функции.

Тема: Дифференцирование показательной и логарифмической функции.
А.Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10-11 класс.
Данная тема изучается в 11 классе в течение нескольких уроков. При этом кроме изучения новых формул и понятия числа е надо повторить правила вычисления производной сложной функции, алгоритмы составления уравнения касательной, задач на экстремумы и наибольшего и наименьшего значений функции. Все эти задания являются экзаменационными. Поэтому хотелось бы разобрать материал так, чтобы учесть все эти задачи.
Предлагаю подборку материала для закрепления данной темы. Учащимся предлагается таблица, в которой, и проводиться первичное закрепление материала, таким образом, мы получаем опорный конспект по теме и для повторения к экзаменам. Задания могут выполняться на доске, комментируя с места или самостоятельно. В ходе работы с таблицей необходимо требовать подробных записей, особенно во второй части.
Производная показательной и логарифмической функции.
𝒆≈ 2,7 ex´= ex (ax)´= ax lnalnx´=1/x(𝒍𝒐𝒒𝒙) = 1/𝒙 lna1.Найти производные :
1. Найти производные 1. Найти производные
e-2x´(3x)´ln3x´
e-1/x´[(13)x]´ ln(1+5x´
ex+ sin x´(23x)´=lnx´
e5-3x(0‚6-2x+6)´ln3x´
3e2x - √x´(0‚5x ∙x4)´ln3x´
2. Составить уравнение касательной к
графику функции f (х) = e-x , х0 = 0
2. Исследуйте функцию на возрастание и убывание.
У= 0‚5x ∙x42. Исследовать на экстремумы
У = √x lnx Производная показательной и логарифмической функции.( ответы)
𝒆≈ 2,7 ex´= ex (ax)´= ax lnalnx´=1/x(𝒍𝒐𝒒𝒙) = 1/𝒙 lna1.Найти производные :
1. Найти производные 1. Найти производные
e-2x´=-2 e-2x(3x)´= 3x ln3ln3x´
e-1/x´=1х2e-1/x[(13)x]´= (13)xln13ln(1+5x´
ex+ sin x´= ex+ cos x(23x)´= 3∙2x ln2lnx´
e5-3x= -3e5-3x(0‚6-2x+6)´ =(-2 ln0,6) 0‚6-2x+6 ln3x´
3e2x - √x´= 6e2x- 12x(0‚5x ∙x4)´= 0‚5xln0,5∙x4+4x3∙0‚5x= 0‚5xx3(ln0,5∙x+ 4).
ln3x´
2. Составить уравнение касательной к
графику функции f (х) = e-x , х0 = 0
Уравнение касательной :у = f (х0)+ f´ (х0)( х - х0)
Вычислим
f (х)= e0 =1f´ (х)= - e-x f´ (0) = -1
Подставим найденные значения в формулу
у= -х + 1 – уравнение касательной.
2. Исследуйте функцию на возрастание и убывание.
У= 0‚5x ∙x4Д(у) = R
y´=0‚5xln0,5∙x4+4x3∙0‚5x=
0‚5xx3(ln0,5∙x+ 4).
Эта производная существует при всех значениях х. Производная обращается в нуль в точках х= 0 и х = 4ln2 . отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной на каждом из промежутков.
Производная отрицательна, а значит, функция убывает на промежутке от минус бесконечности до нуля. Производная положительна, а значит, функция возрастает на промежутке от нуля до …. 2. Исследовать на экстремумы
У = √x lnxД(у) =(0; +∞)
y´=12хlnх+1х=1х(lnх2 +1) х>0
y´= 0, х=e-2≈19Точка х=e-2 является точкой минимума.
Первообразная функции.Интеграл.
f(x) =ex F(x) = ex f(x) =ax F(x) =axlna ахdx= ахlna + c
f(x )=1x F(x)= ln|x| ab1xdx= ln|x|
Вычислить первообразную , интеграл Вычислить первообразную , интеграл
f(x) =5ex F(x)
f(x) =12x F(x)
f(x) =4x F(x)
f(x) =12+x F(x)
f(x) =12ex+1 F(x)
f(x) =4x F(x)
01e2x dx172xdx012x dx0113-2x dxНайти площадь фигуры, ограниченной линиями
f(x) =ex. У= 0, х=0 , х=1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =-2x, у = 0, х= -4, х=-1
Первообразная функции.Интеграл.
f(x) =ex F(x) = ex f(x) =ax F(x) =axlna ахdx= ахlna + c
f(x )=1x F(x)= ln|x| ab1xdx= ln|x|
Вычислить первообразную , интеграл Вычислить первообразную , интеграл
f(x) =5ex F(x)= 5ex + с
f(x) =12x F(x)= 12 ln|x|
f(x) =4x F(x)=4ln4 + с
f(x) =12+x F(x)= ln|x+2|
f(x) =12ex+1 F(x)= 12ex+ х+сf(x) =4x F(x)=4 ln|x|
01e2x dx= 12e2x/ = 12( е2- 1)172xdx= 2 (ln7-ln1)
012x dx= 74ln20113-2x dx= - 12(ln1-ln5)= 12 ln5 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
f(x) =ex. У= 0, х=0 , х=1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =-2x, у = 0, х= -4, х=-1
S = 2 2ln4S = e -1