Конспект открытого занятия по теории вероятностей на тему Вероятностный граф. Решение задач теории вероятностей с помощью графов

Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение города Москвы
«Западный комплекс непрерывного образования»
Образовательная программа
среднего профессионального образования
Методическая разработка
открытого занятия
по учебной дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
по теме: «Вероятностный граф. Решение задач
теории вероятностей с помощью графов»
для специальности
230113 «Компьютерные системы и комплексы»
Москва, 2016 год
Рассмотрено
цикловой комиссией
математических и общих
естественнонаучных
дисциплин
Протокол №____
от «___» __________ 2016 г.
Председатель цикловой комиссии
_________________/Шмельков В.Ю./ Составитель: Кирсанова Н.Ю., преподаватель математики ГБПОУ ЗКНО, первая квалификационная категория
Пояснительная записка
Данное занятие проводится в форме «открытого урока» с целью:
продемонстрировать эффективность применения деятельностного метода обучения.
Сведения по открытому занятию
Тема занятия Вероятностный граф. Решение задач теории вероятностей с помощью графов
Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика
Преподаватель Кирсанова Надежда Юрьевна
Группа КСК - 36 - 13
Дата проведения: «12 » апреля 2016 г.
Раздел в рабочей программе Раздел 3. Элементы теории графов
Тема в рабочей программе Тема 3.1. Графы.
Порядковый номер занятия по КТП № 47
Продолжительность 1,5 часа
Присутствовали:
№ п/п Ф.И.О. Должность
1 Валиуллина Л.Ю. зав. учебной части
2 Рубцова И.М. педагог- психолог
3 Татымова Л.И. методист
4 Сидоренко С.М. преподаватель
5 Дьячков А.Н. преподаватель
6 Арманова М.В. преподаватель

Конспект занятия
Тема: «Вероятностный граф. Решение задач
теории вероятностей с помощью графов»
Вид занятия: комбинированное
Тип занятия: освоение новых знаний
Основные цели:
Предметные:
1. Ввести в речевую практику обучающихся понятие «вероятностный граф».
2. Составить правило и сформировать навык решения вероятностных задач с помощью размеченного вероятностного графа.
3. Закрепить умение решать задачи с помощью графов.
Метапредметные:
1.Формирование у обучающихся готовности к созиданию и саморазвитию в культурном пространстве страны и мира на основе прочных теоретических знаний.
2. Развивать способность к проведению анализа, синтеза и обобщения; развивать речь.
3. Тренировать умение фиксировать своё затруднение, выявлять его причину; ставить цель своей деятельности, планировать работу для её реализации; работать в группах.
4.Развивать способность к рефлексии собственной деятельности: способность к самоконтролю и самооценке. Воспитательные: 1. Содействовать формированию основных мировоззренческих идей. 2. Содействовать профориентации обучающихся.
Материально - техническое обеспечение:
Технические средства обучения: Экран настенный подвесной (4000х4000 мм) проектор лицензионное программное обеспечение
Раздаточный материал:
1) образец выполнения домашнего задания (Р-1) 2) пробное действие (Р-2) 3) образец выполнения пробного задания (Р-3); 4)задание для самостоятельного работы при первичном закреплении:(Р-4); 4) эталон выполнения самостоятельной работы (Р-5); 5) домашнее задание (Р-6)
Ход занятия:
Вдохновение - это умение
приводить себя в рабочее состояние.
А. С. Пушкин
1 этап. Мотивация к учебной деятельности
Приветствие. Указание, запись темы и основных целей занятия. Выбор и запись эпиграфа.
- Пока идет оформление журнала и проверка присутствующих, подумайте как вы понимаете высказывание А. С. Пушкина и принимаете ли для себя, как руководство к действию.
Обучающиеся работают в группах (Приложение № 2).
2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности
2.1.Самопроверка домашнего задания
Проверка выполнения домашнего задания.
Каждой группе выдается образец выполнения домашнего задания ( Приложение № 1, (Р- 1), который также демонстрируется на экране. – Проведите, пожалуйста, самопроверку первого задания по эталону; второго - по подробному образцу. Все ответы на теоретические вопросы также должны совпадать с эталоном, кроме приведенных, там, где требовалось, примеров. - Были ли затруднения по выполнению домашнего задания?
- К каким источникам вы обращались при поиске ответа на вопросы? Выполняя самопроверку, за каждый верный ответ обучающийся ставит себе (+) ; если же ответ остался не выясненным или не соответствует эталону, то - (?).
Руководители групп докладывают о качестве выполнения домашнего задания. Определение готовности к уроку. 2.2. Актуализация знаний
Пожелание интересной и плодотворной работы.
- Сформулируйте первую цель данного занятия.
(Ввести в речевую практику понятие «вероятностный граф»). - Что называется графом? (Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых. Графом G = (V,X)называется пара двух конечных множеств: множество точек и множество линий, соединяющих некоторые пары точек. Граф – это два непустых множества, элементы первого называются вершинами (vertex), а второго – ребрами (edge)). - Сформулируйте определение взвешенного графа. (Граф называется взвешенным или сетью, если каждому его ребру поставлено в соответствие некоторое число (вес)). - Давайте попробуем сформулировать определение вероятностного графа. Устный ответ от одной группы, который при необходимости дополняют и корректируют. На экране демонстрируется эталон определения вероятностного графа.
- Сверьте свой ответ с эталоном и запишите его в тетрадь.
Определение: Граф называется вероятностным, если рядом с каждым ребром графа исходов некоторого испытания записать вероятность события, соответствующего начальной вершине ребра. Назовите основные разновидности графов. (Имеется две основные разновидности графов: неориентированные и ориентированные). - Что называется ориентированным графом? (Ориентированный граф - совокупность вершин графа (точек) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками)). В этой работе будем применять только ориентированные графы.
Итак, мы дали определение понятию «вероятностный граф», т.е. первая цель достигнута.
2.3. Мотивация к пробному учебному действию.«Открытие»нового знания. - Назовите вторую цель занятия. (Составить правило и сформировать навык решения вероятностных задач с помощью размеченного вероятностного графа).
В соответствии с поставленной задачей, будем учиться применять универсальный и наглядный, графический аппарат, называемый графами, для решения вероятностных задач.
- Какими средствами будем пользоваться для достижения цели? (Понятием вероятностного графа, основными понятиями и теоремами теории вероятностей).
На доске (на экране) демонстрируем пример.
Пример 1. Из урны, где находятся 3 белых и 4 черных шаров, наугад без возвращения один за другим извлекают два шара. Какова вероятность того, что извлекут разноцветные шары?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:

- Как правило, вероятностный граф рисуют слева направо. - По условию задачи, что является испытанием, а что - событием? (Извлечение шаров - испытание, появление шара определенного цвета - событие). - Если в результате испытания появится хотя бы одно из событий, то такие события образуют … полную группу и вероятность суммы таких событий равна … единице. Фиксируем, что сумма вероятностей на ветвях, выходящих из одного прямоугольника, равна единице. - Вероятность выпадения шара определенного цвета при втором извлечении зависит от того, какого цвета выпал шар при первом извлечении? - Что называется условной вероятностью события? (Условной вероятностью  Р(А/В)  события A при условии, что событие B произошло, назовем отношение Р(АВ)/Р(В). - Из каких событий состоит каждый исход испытания? (Извлечён и первый, и второй шары). - Какое правило применимо для вычисления вероятности каждого из исходов? ( Правило произведения вероятностей событий). - Сформулируйте теорему (правило) умножения вероятностей зависимых событий. (Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло). - Сколько маршрутов благоприятствуют событию, состоящему в том, что извлекут разноцветные шары ? (Два маршрута: или второй, или первый). - Какое правило применим для вычисления вероятности этого события ? ( Вероятность события равна сумме вероятностей 2-го и 3-его исходов). - Вернемся к решению примера: Пусть событие С –событие, состоящее в том, что извлекли разноцветные шары. На графе вероятностей этому событию благоприятствуют два маршрута, поэтому Р(С) = 4/7·3/6+ 3/7·4/6 = 24/42 = 4/7.
Ответ: 4/7.
Пример 2. Слово «МАТЕМАТИКА» разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова «МАМА»?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:


Ответ: 1/420.
- На данных примерах мы показали эффективность интерпретаций теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях:


Назовем произведениевесом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующие событиям A, В. Интерпретацией теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях служит вес ветвей дерева исходов, соответствующих «благоприятному» событию. - Опираясь на решение этого примера, составьте правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу. Проговариваем в группах, как можно вычислить вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) и как можно вычислить вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов. Принимаем устный ответ от одной из групп, который при необходимости дополняют и корректируют. Правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу: вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута. Если нас интересуют вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются.


2.4.Первичное закрепление - усвоение нового способа действий. Самостоятельное выполнение пробного учебного действия. Фиксация затруднений в индивидуальной деятельности. Для первой «пробы сил» всем группам выдается раздаточный материал Р-2 с одинаковым типовым заданием на новый способ действий. Обучающиеся работают в группах. Участники группы согласовывают результаты работы и представляют ответ. Затем, каждой группе выдается подробный образец выполнения задания. Проводится самопроверка по образцу выполнения задания (Р-3). После самопроверки проводится рефлексия: выясняется, есть ли ошибки, если есть, то проговаривается, как надо было выполнить задание, фиксируются причины возможных затруднений и вносятся исправления. Итак, мы составили правило и сформировали навык решения вероятностных задач с помощью размеченного вероятностного графа, т.е. вторая цель занятия достигнута.
3 этап: Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону - Сформулируйте третью цель занятия. (Закрепить умение решать задачи с помощью графов). На этом этапе в качестве направления дальнейшей деятельности, нам подойдет японская половица: «Расскажи, и я забуду, покажи, и я запомню, дай попробовать, и я пойму!» и слова Аристотеля: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле». - То есть, для самоконтроля достижения цели, выполним самостоятельную работу. Обучающимся выдаётся раздаточный материал Р-4, который содержит шесть, различных на проблемном уровне, задач. Организаторы групп согласовывают и распределяют задания между членами своей команды таким образом, чтобы каждый обучающийся решал одну из задач. Проверяем готовность групп (зеленая карточка) и фиксируем время, предоставленное для выполнения задания. Индивидуальная деятельность; самопроверка по эталону (раздаточный материал Р- 5) и самооценка самостоятельной работы. Выполняя самопроверку, за верный ответ обучающийся ставит себе (+); если же задание не выполнено или ответ не соответствует эталону, то - (?). - Проанализируйте в группах результаты выполнения самостоятельной работы: назовите, в каких местах и почему возникли затруднения; смогли ли исправить ошибки? Фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.
4 этап. Включение нового знания в систему знаний и повторение Выстраивание локальных связей между новым знанием и имеющимся. Расширение области применения графов.
- В предыдущие домашние работы, в разделе заданий на повторение, были включены задачи профессиональной направленности, с которыми вы благополучно справились. Сейчас вам будет предоставлена возможность решить аналогичную им задачу, применив новые знания, то есть - вероятностный граф. Задание демонстрируется на доске или на экране. Решение задания с элементами проектирования. Обучающиеся работают в группах.
Задача. Релейная схема состоит из 6 элементов: а1,а2, а4 и а6 соединены последовательно, а3, а4, а5- образуют цепь параллельно соединенных элементов. Найти вероятность события, состоящего в том, что схема за время Т работает безотказно, если вероятность отказа каждого элемента qi = 0,2.
Каждая группа разрабатывает проект (последовательность действий) выполнения задания. В результате коллективного обсуждения , принимаем один (общий ) проект.
Вариант построения проекта.
1. Строим схему:
2. Находим вероятность безотказной работы цепи параллельно соединенных элементов(р = 1 – q). 3. Строим вероятностный граф. 4.Находим вероятность события, состоящего в том, что схема за время Т работает безотказно, применяя правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу. Участники группы согласовывают результаты работы и представляют ответ. ( Ответ: Р(А)= 0,507904).
5 этап. Рефлексия учебной деятельности на занятии - Удалось ли нам в полной мере закрепить умение решать задачи с помощью графов, то есть третья цель занятия, поставленная перед нами, выполнена полностью или частично? Неразрешенные на занятие затруднения фиксируем как направления будущей учебной деятельности: в последующее домашнее задание включены задачи для самостоятельного применения изученного материала (с эталонами).
Фиксируем тему и оцениваем степень достижений поставленных на занятии задач: чему научились, какое было затруднение, каким способом его преодолели. Организаторы озвучивают результаты анализа деятельности своих групп. Адекватная самооценка обучающимися собственной учебной деятельности на занятии. Выставление оценок в журнал.
6 этап. Домашнее задание № 47 Обучающиеся получают раздаточный материал Р-6. Комментарии по структуре домашнего задания: 1. Самостоятельное применение изученного материала - №№ 1.1, 1.2 (с эталонами)
2. Повторение материала, изученного ранее(предельные случаи схемы Бернулли: Формула Пуассона) – № 2. 3. Опережающая подготовка к изучению следующей темы (Сети. Сетевые модели представления информации) - №№ 3.1 - 3.6.
Благодарность за плодотворную работу и пожелание успеха при выполнении домашнего задания.
Список используемой литературы:
1. М.С. Спирина, П.А. Спирин «Дискретная математика», учебник для студентов СПО, 2012 г.
2. Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика», учебник для студентов ВУЗов, 2010 г.
3. Л.Г. Петерсон «Дидактическая система деятельностного метода как средство реализации современных целей образования», изд. «Школа -2000…», выпуск № 6, 2011г.
Раздаточный материал Р - 1
Эталоны выполнения домашнего задания № 46.
№1
1. Ответ:12. 11. Ответ: 46. 21. Ответ:13.
2. Ответ: 24. 12. Ответ: 14. 22. Ответ: 16.
3. Ответ: 33. 13. Ответ: 16. 23. Ответ 13.
4. Ответ: 23. 14. Ответ: 14. 24. Ответ:16.
5. Ответ: 17. 15. Ответ: 8. 25. Ответ: 11.
6. Ответ: 13. 16. Ответ: 8. 26. Ответ: 9.
7. Ответ: 20. 17. Ответ: 14. 27. Ответ:7.
8. Ответ: 12. 18. Ответ: 12. 28. Ответ:4.
9. Ответ: 24. 19 Ответ: 23. 29. Ответ: 3.
10. Ответ: 17. 20. Ответ: 16. 30. Ответ: 17.
№2.2. Подробный образец решения задачи №2. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Задача. Система связи состоит из четырех независимых каналов, характеристики которых указаны в таблице:
Доля канала в потоке исходящих сообщений, % Вероятность успешной передачи через канал, %
№1 №2 №3 №4 №1 №2 №3 №4
59 23 6 12 77 72 99 61
С какой вероятностью исходящее сообщение, выбранное наугад из общего потока: а) будет передано успешно; б) не будет передано успешно? Вычислить апостериорные вероятности передачи некоторого сообщения через каждый из каналов, если известно, что сообщение: а) было получено адресатом; б) не дошло до своего адресата. Истолковать полученные результаты.
Решение: А = {сообщение передано успешно}; = {сообщение не передано успешно}
Н1 = {сообщение передано через канал №1}
Н2 = {сообщение передано через канал №2}
Н3 = {сообщение передано через канал №3}
Н4 = {сообщение передано через канал №4}
Р(Н1) = 0,59; Р(Н2) = 0,23; Р(Н3) = 0,06; Р(Н4) = 0,12;
Р(А|H1) = 0,77; Р(А|H2) = 0,72; Р(А|H3) = 0,99; Р(А|H4) = 0,61
Тогда по формуле полной вероятности:
Р (А) = Р(Н1)*Р(А|H1) + Р(Н2)*Р(А|H2) + Р(Н3)*Р(А|H3) + Р(Н4)*Р(А|H4) = 0,59*0,77 + 0,23*0,72 +
+ 0,06*0,99 + 0,12*0,61 = 0,7525
Р() = 1 – Р(А) = 1 – 0,7525 = 0,2475
Вычислим апостериорные вероятности передачи некоторого сообщения через каждый из каналов. Применим формулу Байеса. Пусть сообщение получено адресатом, тогда:




Пусть сообщение не дошло до адресата, тогда:
Р(|H1) = 1 – 0,77 = 0,23; Р(|H2) = 1 – 0,72 = 0,28; Р(|H3) = 1 – 0,99 = 0,01;
Р(|H4) = 1 – 0,61=0,39




Если сравнить апостериорные вероятности с долями каналов в потоке исходящих сообщений, то можно отметить прямую зависимость, т.е. большей доле соответствует большая вероятность.
Если сравнивать с вероятностью конкретного события (сообщение передано или нет), то апостериорные вероятности показывают, как бы, «вклад» каждого канала в это событие.
Ответ: Р (А) = 0,7525; Р() = 0,2475.
Апостериорные вероятности Апостериорные вероятности
Н1 Н2 Н3 Н4 Н1 Н2 Н3 Н4
0,6037 0,2201 0,0789 0,0973 0,5483 0,2602 0,0024 0,1891
№ 3:Вопросы по теории графов:
1.Что называется графом? (Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых. ГрафомG = (V,X)называется пара двух конечных множеств: множество точек и множество линий, соединяющих некоторые пары точек.Граф – это два непустых множества, элементы первого называются вершинами (vertex), а второго – ребрами (edge)) 2.Назовите основные разновидности графов. (Имеется две основные разновидности графов: неориентированные и ориентированные) 3.Что называется неориентированным графом? (Неориентированный граф - совокупность точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из них отрезками (ребрами графа; ветвями)). 4.Что называется ориентированным графом? (Ориентированный граф - совокупность вершин графа (точек) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками)). 5.Какой граф называется взвешенным? Приведите примеры.( Граф называется взвешенным или сетью. если каждому его ребру поставлено в соответствие некоторое число (вес).Взвешенными графами могут быть схемы в электронике, электрические схемы, карты автомобильных и железных дорог и др. Например, на картах автодорог вершины являются населенными пунктами, ребра – дорогами, а весом – числа, равные расстоянию между населенными пунктами. 6. Назовите области применения графов. (Применяются графы для решения задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Графы нашли практическое применение в картографии, в структурах данных и информации, в структурах программ, в электрической и электронной схемотехнике, в социуме, в вычислительных сетях. Особенно широкое применение методы теории графов находят в таких областях прикладной математики, как программирование, теория конечных автоматов, в решении вероятностных задач). Вопросы по теории вероятностей
:1. Приведены два примера: а) Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. б) В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Укажите, что является « испытанием», а что – «событием». (а)Выстрел – это испытание, попадание в определенную область мишени – событие; б) Извлечение шара из урны есть испытание, а появление шара определенного цвета – событие). 2. Приведены два примера: а). Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь.Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. б). Брошена монета. Появление «герба» исключает появление «надписи». Как называются события «появилась стандартная деталь» и « появилась нестандартная деталь»; «появился герб» и «появилась надпись»? Дайте определение данных событий. ( Несовместные события. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании ). 3.Завершите определения: а) «Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания …»; б) « Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания …»( а) «… появится хотя бы одно из них»; б) «…появится одно и только одно из этих событий»). Приведите примеры. ( Примеры: а) Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из двух событий: попадание или промах. Эти события образуют полную группу; б) Приобретены два билета лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий). 4.Какие события называют «равновозможными»? Приведите примеры. ( События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Примеры: Появление «герба» и появление «надписи»; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. 5. Сформулируйте классическое определение вероятности.( Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.P (A) = mn , где m-число элементарных исходов, благоприятствующих А; n-число всех возможных элементарных исходов испытания). 6. Сформулируйте определения суммы, произведения и разности нескольких событий.( Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Если А и В - совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В - несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В. Определение: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий. Если А, В, С – совместные события, то их произведение АВС означает Определение: Разностью А - В двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие Ā не произойдет). 7.Сформулируйте теорему (правило) сложения вероятностей несовместных событий.( Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А+В+…+ К) = Р (А) + Р (В) +…Р (К) ). 8. Чему равна вероятность суммы совместных событий? ( Вероятность суммы двух совместных событий, т.е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е. Р ( А+В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ). 9. Какие события называются независимыми? (Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого). 10.Сформулируйте теорему (правило) умножения вероятностей независимых событий.( Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р (АВ) = Р(А) Р(В) 11. Сформулируйте теорему (правило) умножения вероятностей зависимых событий. (Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло. 12. Сформулируйте теорему о полной вероятности. ( Следствием двух основных теорем теории вероятностей - теоремы сложения и теоремы умножения – является формула полной вероятности.
Теорема. Если событиеFможет произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1, А2,…,Аn ,образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F._________________________________________________________
Раздаточный материал Р - 2
Задача. В первой урне находятся 7 белых и 9 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
_______________________________________________________________
Раздаточный материал Р - 3
Задача. В первой урне находятся 7 белых и 9 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение.Построим размеченный вероятностный граф:
Пусть событие А – извлеченный из второй урны шар оказался белым. Этому событию благоприятствуют четыре маршрута. Поэтому, применив формулу полной вероятности, получим:
Ответ: 55/96.
Раздаточный материал Р - 4
Задача 1.В испытании возможны четыре исхода: е1, е2, е3, е4.Их вероятности соответственно равны р1 = 0,2; р2 = 0,1; р3 = 0,4; р4 = 0,3. Событию А благоприятствуют исходы е1 и е4, а событию В - исходы е2, е3, е4. Найти вероятности: Р(А), Р(В),Р(АВ), Р(А/В), Р(В/А). Выяснить: совместны или нет события А и В. Зависит ли событие А от события В?
Задача 2. Студент пришел на экзамен, зная 25 из 30 билетов. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если после отказа отвечать по билету ему предоставляется возможность вытянуть еще один?
Задача 3.Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй - 4 голубых и 4 красных, в третьей - 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?
Задача 4. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первым стрелком равна p1, а вторым - p2. Наудачу выбирается один стрелок. Какова вероятность того, что он попадает?
Задача 5. В каждой из трех групп по 25 студентов. Число студентов группы, сдавших экзамен по теории вероятностей, равно 22, 20 и 18 соответственно. Какова вероятность, что студент случайно выбранной группы сдал экзамен.
Задача 6. На заводах А и В изготовлено 75% и 25% всех деталей соответственно. Из прошлых данных известно, что 10% деталей завода А и 20% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?
_____________________________________________________________________
Раздаточный материал Р - 5
Задача 1. В испытании возможны четыре исхода: е1, е2, е3, е4.Их вероятности соответственно равны р1 = 0,2; р2 = 0,1; р3 = 0,4; р4 = 0,3. Событию А благоприятствуют исходы е1и е4, а событию В - исходы е2, е3, е4. Найти вероятности: Р(А), Р(В),Р(А/В), Р(В/А). Зависит ли событие А от события В?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:



Ответ: Р(А)=1/2; Р(В)=4/5, Р(А/В)= 3/8 , Р(В/А) =3/5; события А и В зависимы.
Задача 2. Студент пришел на экзамен, зная 25 из 30 билетов. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если после отказа отвечать по билету ему предоставляется возможность вытянуть еще один?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:

Обозначим через А событие, состоящее в том, что студент сдал экзамен. На графе вероятностей этому событию благоприятствуют два маршрута. Следовательно,
Ответ: 85/87.
Задача 3. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй - 4 голубых и 4 красных, в третьей - 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:

Пусть событие А - из наугад выбранной урны извлекается красный шар. На графе этому событию благоприятствуют три маршрута, поэтому
Ответ: 7/24.
Задача 4. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первым стрелком равна p1, а вторым - p2. Наудачу выбирается один стрелок. Какова вероятность того, что он попал в мишень?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:

Пусть С - событие, состоящее в том, что наудачу выбран стрелок, попавший в мишень. На графе вероятностей этому событию благоприятствуют два маршрута, поэтому

Например, если р1 = 0,994 и р2 = 0,686, то Р(С) = 0,84.
Задача 5. В каждой из трех групп по 25 студентов. Число студентов группы, сдавших экзамен по теории вероятностей, равно 22, 20 и 18 соответственно. Какова вероятность, что студент случайно выбранной группы сдал экзамен.
Решение: построим вероятностный граф:

Пусть событие А –студент случайно выбранной группы сдал экзамен. Этому событию на графе благоприятствуют три маршрута. Поэтому, применив формулу полной вероятности, получим:

Ответ: 4/5.
Задача 6. На заводах А и В изготовлено 75% и 25% всех деталей соответственно. Из прошлых данных известно, что 10% деталей завода А и 20% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?
Решение. Построим размеченный вероятностный граф:

Пусть С - случайно выбранная деталь оказалась бракованной. На графе вероятностей этому событию благоприятствуют два маршрута. Значит,

Ответ: Р(С) = 5/40 ; Р(А/С) = 3/5.
__________________________________________________________________
Р - 6
Структура домашнего задания: 1. Самостоятельное применение изученного материала - №№ 1.1, 1.2 (с эталонами)
2. Повторение материала, изученного ранее– № 2. 3. Опережающая подготовка к изучению следующей темы (Сети. Сетевые модели представления информации) - №№ 3.1 – 3.6.
1.1.На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточках л, на остальных трех и. Выкладываются наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии? Ответ: 1/10.
1.2. Найти вероятность отказа схемы, предполагая, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна 0,2.

Ответ: Ротк.= 1 – р123456 ∙ р7 ≈ 1 – 0,887∙ 0,8 ≈ 0,291.
2.Предельные случаи схемы Бернулли: Формула Пуассона
Задача. При передаче дискретного сообщения объемом 360 тыс. бит через некоторый канал связи без памяти искажаются в среднем 8 бит. С какой вероятностью сообщение объемом 160 тыс. бит содержит после трансляции:
а) ровно 3 ошибки;
б) не более 4 ошибок;
в) не менее 3 ошибок?
Какой должна быть вероятность искажения бита для канала связи без памяти, чтобы сообщение объемом 220 тыс. бит содержало после трансляции не более 2 ошибок с надежностью:а) 84%;б) 93%?
3.1.Определить, правильно ли произведена операция ограничения понятий (изобразите их кругами Эйлера):
А) персональный компьютер - монитор
Б) системный блок - дисковод
В) Web-страничка - Internet
Г) язык программирования - Си +
Д) Си + - Borland Pascal
Е) мышка – коврик.
3.2. Найдите общие понятия для следующих пар понятий (изобразите их кругами Эйлера):
А) монитор, системный блок - это…
Б) Pascal, Си + - это…
В) принтер, сканер - это...
Г) Windows, Unix, OS/2 - это… .
3.3. Исключите одно из понятий ряда так, чтобы оставшиеся понятия объединялись в некоторый ряд. Укажите этот ряд и изобразите кругами Эйлера:
А) дисковод, процессор, жесткий диск, принтер, звуковая карта
Б) сложение, вычитание, деление, переменная, умножение
В) Pascal, Си +, Basic,Unix
Г) абак, арифмометр, ЭВМ, магнитофон, ПК
Д) прямоугольник, окружность, треугольник, куб, трапеция
Е) шахматы, нарды, шашки, баскетбол.
3.4. Правильно ли произведено обобщение понятий? Изобразите кругами Эйлера их отношение:
А) программный язык - английский язык
Б) микропроцессор - главная часть компьютера
В) алгоритм - строгая определенность последовательных действий над задачей
Г) код - шифрованная информация
Д) кибернетика - наука об искусственном интеллекте
Е) Windows - операционная система.
3.5. Какая произведена операция - обобщение или ограничения:
А) частичное решение - общее решение
Б ) число, делящееся на 6, - четное число
В) деление - деление на 10
Г) системный блок - персональный компьютер
Д) алгоритм решения - постановка задачи
Е) несчетные множества - бесконечные множества ?
3.6. Расположите понятия в порядке уменьшения объема (изобразите их кругами Эйлера): А) программный язык, процедуры, библиотека, Pascal
Б) системный блок, микропроцессор, материнская плата, микросхемы
В) Тольятти, европейский город, город Самарской области, город России
Г) байт, килобайт, бит, мегабайт, гигабайт
Д) грамм, центнер, тонна, миллиграмм, килограмм.
Приложение № 2
Правила работы в группе
1. Работай в группе дружно, помни - вы одна команда.
2. Принимай активное участие в работе.
3. Не бойся высказывать свое мнение.
4. Работай тихо, не старайся всех перекричать. Уважай мнение других участников группы.
5. Думай сам, а не рассчитывай на других.
6. Капитан группы принимает решение - кто представляет ответ.
7. В случае неправильного ответа группы не вини никого, отвечай за себя.
8. Помни, что каждый человек имеет право на ошибку.
Приложение № 3
Домашнее задание № 46 Структура домашнего задания: 1.Самостоятельное применение изученного материала.
2. Повторение материала, изученного ранее (с эталоном). 3. Опережающая подготовка к изучению следующей темы (Вероятностный граф. Решение задач теории вероятностей при помощи графов): письменный ответ на вопросы.
1.Самостоятельное применение изученного материала ( № задачи соответствует порядковому номеру в классном журнале )
1. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

2. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

3. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?
4. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

5.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

6.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?
 

7.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

8.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

9.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

10.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

11. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

12.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З?

13. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

14. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

15. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З?

16.На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

17.На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G H. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города A в город H?

18.На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города A в город M?

19. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

20. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город M?

21. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

22. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И?

23. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

24. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И?

25. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И?

26. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З?

27. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Е?

28. На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города A в город E?

29. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З?
30. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

2. Повторение материала, изученного ранее
2.1. Подробный образец решения задания домашней работы №45
Элементарные формулы для вероятностей случайных событий.

Участок электрической цепи, представленной на схеме, содержит размыкающие и замыкающие контакты Р1-Р5 пяти реле. Каждое реле функционирует независимо от остальных и при включении срабатывает с определенной вероятностью:
Р1 = 0,5; Р2 = 0,2; Р3 = 0,7; Р4 = 0,8; Р5 = 0,3.
Каждое реле включили ровно 1 раз. С какой вероятностью после этого:
а) участок цепи пропускает постоянный ток;
б) участок цепи не пропускает постоянный ток, если реле Р2 сработало;
в) реле Р1 сработало, если участок цепи пропускает постоянный ток?
(Вероятности вычислить с точностью до 0,00001).
Решение:
Элементарным исходом будем считать совокупность результатов включения каждого реле. тогда всего имеется 25= 32 элементарных исхода.
А = {участок цепи пропускает постоянный ток}
В = {сработало реле Р2}
С = {сработало реле Р1}
а) А = + + + + + +
Р =
Р =
Р =
Р=
Р=
Р =
Р=
Р (А) = 0,0168+0,0042+0,0672+0,0168+0,0168+0,0072+0,0072 = 0,13620
б)
= + + + + + + + + + +
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
= 0,01680
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р() = 0,0392+0,0392+0,0168+0,1568+0,0168+0,1568+0,0672+0,0672+0,0672+0,0288+0,0288=0,68480

в)
СА = + + + +
Р(СА) = 0,0168+0,0042+0,0672+0,0168+0,0072 = 0,11220

Ответ: а) 0,13620; б) 0,85600; в) 0,82379
2.2 . Формула полной вероятности. Формула Байеса и её применение.
Задача. Система связи состоит из четырех независимых каналов, характеристики которых указаны в таблице:
Доля канала в потоке исходящих сообщений, % Вероятность успешной передачи через канал, %
№1 №2 №3 №4 №1 №2 №3 №4
59 23 6 12 77 72 99 61
С какой вероятностью исходящее сообщение, выбранное наугад из общего потока: а) будет передано успешно; б) не будет передано успешно? Вычислить апостериорные вероятности передачи некоторого сообщения через каждый из каналов, если известно, что сообщение: а) было получено адресатом; б) не дошло до своего адресата. Истолковать полученные результаты.
3. Опережающая подготовка к изучению следующей темы ( занятие №47: «Вероятностный граф. Решение задач теории вероятностей при помощи графов»): письменный ответ на вопросы.
Вопросы по теории графов:
1.Что называется графом?
2.Назовите основные разновидности графов.
3.Что называется неориентированным графом?
4.Что называется ориентированным графом?
5.Какой граф называется взвешенным? Приведите примеры.
6. Назовите области применения графов.
Вопросы по теории вероятностей: 1. Приведены два примера: а) Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. б) В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Укажите, что является « испытанием», а что – «событием». 2. Приведены два примера: а) Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. б) Брошена монета. Появление «герба» исключает появление «надписи». Как называются события «появилась стандартная деталь» и « появилась нестандартная деталь»; «появился герб» и «появилась надпись»? Дайте определение данных событий. 3. Завершите определения: а) «Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания …»; б) « Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания …» 4. Какие события называют «равновозможными»? Приведите примеры. 5. Сформулируйте классическое определение вероятности. 6. Сформулируйте определения суммы, произведения и разности нескольких событий. 7. Сформулируйте теорему (правило) сложения вероятностей несовместных событий. 8. Чему равна вероятность суммы совместных событий? 9. Какие события называются независимыми? 10.Сформулируйте теорему (правило) умножения вероятностей независимых событий. 11. Сформулируйте теорему (правило) умножения вероятностей зависимых событий. 12. Сформулируйте теорему о полной вероятности.