Исследовательская работа по теме:«Анализ архитектурной композиции путём применения теории графов»

Менделеевские чтения
Рзаева Гулана Гейдаровна«Анализ архитектурной композиции путём применения теории графов»
Курганова Елена Васильевна
учитель математики, высшая квалификационная категория
Россия
С.п.Солнечный, Сургутский район
«МБОУ Солнечная СОШ №1»
секция исследования по естественно-математическому направлению
Оглавление
Стр.
Введение 4
Основная часть
2.1.История возникновения теории графов 5
2.2. Определения графа. 7
2.3.Способы представления графа. 8
2.4.Некоторые задачи теории графов. 9
2.5.Практическое применение теории графов. 9
3. Заключение 13
4. Список литературы 14
5. Приложения 15

Введение
Подробное изучение теории графов я начала после урока геометрии, где учителем было предложено сделать сообщение о теореме Эйлера. При подготовке сообщения я вспомнила, что с графами познакомилась при разборе олимпиадных задач регионального этапа. Меня заинтересовало его широкий спектр применения. Так как моей будущей профессией будет архитектурное строительство, то попыталась найти его практическое применение в этой области. К настоящему времени возникла устойчивая область взаимодействия архитектуры и математики, имеющая при этом довольно четкую структуру: определенный круг задач градостроительства и объемной архитектуры, решаемых определенными математическими методами. Тем не менее, общепринятого термина «архитектурная математика», включающего в себя всю совокупность разрабатываемых методов, не существует, поскольку исследователи под данным словосочетанием подразумевают, как правило, теорию пропорций, давно и основательно архитектурой разрабатываемую. Раздел математики «Теория графов» дает большое разнообразие методов для решения архитектурных задач [6]. Они позволяют корректировать функциональные связи внутри объектов, оптимизировать поиск проектного решения, производить композиционный анализ по различным аспектам и т.д. в соответствии с моделями, которые можно изложить на языке теории графов, то есть более абстрактно, на основе понятий, акцентирующих внимание на бинарных отношениях между частями, из которых компонуется целое. Одним из методов, имеющих большой потенциал для применения в архитектурном проектировании, является метод анализа архитектурной композиции путем сопоставления с ядром графа, который предварительно создается по предполагаемым связям внутри объекта. В случае несовпадения графа с его ядром производится корректировка связей. Метод был разработан Н. М. Зубовым на кафедре ТСАП и ВМ Свердловского архитектурного института. Мы решили применить метод Н.М.Зубова для анализа типовых проектов г.Сургута.[2]
Цель моей работы: проанализировать типовые проекты г.Сургута методом архитектурной композиции путём применения теории графов. Задачи: ознакомиться с основными положениями теории графов; рассмотреть некоторые задачи на применение графов; проверить соответствует ли композиционная структура квартир в жилых домах графу, содержащему ядро. Тем самым я смогу сделать вывод удобны ли эти квартиры. В своей работе я использовала следующие методы: метод поиска информации по данной теме из разных источников: - энциклопедические словари по математике, интернет-ресурсы; обработка и обобщение информации. Была выдвинута гипотеза: если проанализировать архитектурную композицию путём применения теории графов, то можно сделать вывод о комфортности проживания в этой квартире.
Моя работа носит исследовательский характер. Собранный мной материал можно использовать всем желающим, кто приобретает жильё.
Основная часть
История возникновения теории графов
Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Историю возникновения этой теории можно проследить по переписке великого ученого. Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года [см. [1]стр. 41-42]:"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство… После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на следующем рисунке [Приложение 1], на котором A обозначает остров, а B, C и D – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g ". По поводу обнаруженного им способа решать задачи подобного рода Эйлер писал [см. [1]стр. 102-104]: "Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешается математиками, чем другими". Так можно ли обойти Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов? Чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера к Маринони:  "Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A, B, C, D. Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста, т. е. Число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетно, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило: если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка. Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов. Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно… если можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать".[1]
Обоснование вышеприведенного правила можно найти в письме Л. Эйлера к своему другу Элеру от 3 апреля того же года.
Мы перескажем ниже отрывок из этого письма. История с мостами города Кенигсберга имеет современное продолжение. Откроем, например, школьный учебник по математике под редакцией Н.Я. Виленкина для шестого класса. В нем на странице 98 в рубрике развития внимательности и сообразительности мы найдем задачу, имеющую непосредственное отношение к той, которую когда-то решал Эйлер.
Задача № 569. На озере находится семь островов, которые соединены между собой так, как показано (приложение 1). На какой остров должен доставить путешественников катер, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Почему нельзя доставить путешественников на остров A?
Решение. Поскольку эта задача подобна задаче о Кенигсбергских мостах, то при ее решении мы также воспользуемся правилом Эйлера. В результате получим следующий ответ: катер должен доставить путешественников на остров E или F, чтобы они смогли пройти по каждому мосту один раз. Из того же правила Эйлера следует невозможность требуемого обхода, если он начнется с острова A.
В заключение отметим, что задача о Кенигсбергских мостах и подобные ей задачи вместе с совокупностью методов их исследования составляют очень важный в практическом отношении раздел  математики, называемый теорией графов. Первая работа о графах принадлежала Л. Эйлеру и появилась в 1736 году. В дальнейшем над графами работали Кениг (1774-1833), Гамильтон (1805-1865), из современных математиков – К. Берж, О. Оре, А. Зыков.
Определения графа.
Граф это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.  Если ребра ориентированны, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.  Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным. Графы обычно изображаются в виде геометрических фигур, так что вершины графа изображаются точками, а ребра - линиями, соединяющими точки (рис. 1). [4,5]
Петля это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают.
Простой граф граф без кратных ребер и петель.
Степень вершины это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество остальных прилегающих к ней ребер.
Пустым называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.[4,5]
Пути, маршруты, цепи, циклы.
Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей. Вершины v0, vn называются связанными данным путем (или просто связанными). Вершину v0 называют началом, vn - концом пути. Если v0=vn, то путь называют замкнутым. Число n называется длиной пути. Маршрут в графе путь, ориентацией дуг которого можно пренебречь. Цепь маршрут, в котором все ребра попарно различны. Цикл замкнутый маршрут, являющийся цепью. Маршрут, в котором все вершины попарно различны, называют простой цепью. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны, называются простым циклом. [4,5]
Граф отношения делимости
Построим граф, изображающий отношение делимости на множестве {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Принцип такой: если от одного числа до другого есть цепь, ведущая вверх, тогда второе число делится на первое (рис. 2).[4,5]
Подграфы
Подграф графа это граф, являющийся подмоделью исходного графа, т.е. подграф содержит некоторые вершины исходного графа и некоторые ребра (только те, оба конца которых входят в подграф). Подграф, порожденный множеством вершин U это подграф, множество вершин которого - U, содержащий те и только те ребра, оба конца которых входят в U. Подграф называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин самого графа.[4,5]
Связность графа
Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.  Связными компонентами графа называются подграфы данного графа, вершины которых связаны.
Деревья
Дерево это связный граф без циклов. Деревья особенно часто возникают на практике при изображении различных иерархий. Например, популярны генеалогические деревья. Генеалогическое дерево
На рисунке 3 показано библейское генеалогическое дерево.
Граф без цикла называется лесом. Вершины степени 1 в дереве называются листьями.  Деревья - очень удобный инструмент представления информации самого разного вида.  Деревья отличаются от простых графов тем, что при обходе дерева невозможны циклы. Это делает графы очень удобной формой организации данных для различных алгоритмов. Таким образом, понятия дерева активно используется в информатике и программировании.[4,5],[2]
Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

Способы представления графа.
Очевидно, что графический способ представления графов непригоден для ПК. Поэтому существуют другие способы представления графов.
В теории графов применяются
Матрица инцидентности. Это матрица А с n строками, соответствующими вершинам, и m столбцами, соответствующего рёбрам. Для ориентированного графа столбец, соответствующий дуге (х,y) содержит - 1 в строке, соответствующей вершине х и 1, в строке, соответствующей вершине у. Во всех остальных 0. Петлю, т.е. дугу (х,х) можно представлять иным значением в строке х, например, 2. Если граф неориентированный, то столбец, соответствующий ребру (х,у) содержит 1, соответствующие х и у и нули во всех остальных строках.[4,5],[2]
Матрица смежности. Это матрица n×n где n - число вершин, где bij = 1, если существует ребро, идущее из вершины х в вершину у и bij = 0 в противном случае. Составим матрицы инцидентности и смежности для следующего непрерывного графа (рис. 4)[4,5],[2]
 Рисунок 4 Матрица инцидентности Матрица смежности

Некоторые задачи теории графов. [1,7,10]
Какие буквы русского алфавита можно нарисовать одним росчерком пера?
Если фигура имеет четыре нечётные вершины, то сколькими росчерками, самое меньшее, её можно начертить?
На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (т. е. нераспадающую на части фигуру). Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими; 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединён с пятью другими?В государстве 100 городов, из каждого выходит 2 дороги, кроме столицы, откуда выходит 5 дорог, и города Горный, откуда выходит одна единственная дорога. Сколько всего дорог в государстве. Решения смотри в приложении 2.
Практическое применение теории графов [3,6,7,9]
Я изучила большое количество литературы, анализировал жизненные ситуации и нашла множественное применение теории графов: например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередач и т. п. как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут. Теория графов в информатике и программировании (блок – схемы программ для ЭВМ). Теория графов в коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете. Теория графов в экономике. Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро. Теория графов в химии (для описания структур, путей сложных реакций); Компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Обыкновенные графы можно использовать для представления более абстрактных причинно-следственных связей, например, связей между различными видами патологий в медицине. Доступ к такой информации связан в той или иной мере с использованием специальных средств прослеживания путей на графе, для которых разработаны самые различные алгоритмы. Известно, что у разных людей кровь отличается по группе. Существуют четыре группы крови. Оказывается, что при переливании  крови от одного человека к другому не все группы совместимы. Граф показывает возможные варианты переливания крови. Группы крови – это вершины  графа с соответствующими номерами, а стрелки указывают на возможность переливания одной группы крови человеку с другой группой крови. Например, кровь первой группы можно переливать любому человеку, а человек  с первой группой крови воспринимает только кровь своей группы. В медицине: обыкновенное дерево классификации болезней. Дерево административной структуры РФ. При решении задач по информатике, можно использовать теорию графов для наглядного получения ответа. Например, решая задачу по ЕГЭ. При анализе памятников архитектуры с помощью графов, поставленных в соответствие, Н.М. Зубов пришел к выводу, что наиболее четкая композиционная структура соответствует графу, содержащему ядро и совпадающему с ним. Я решила проверить соответствует ли композиционная структура квартир в жилых домах графу, содержащему ядро. Тем самым я смогу сделать вывод удобны ли эти квартиры для комфортного проживания. Метод анализа архитектурной композиции путем сопоставления с ядром графа базируется на нескольких определениях. Во-первых, ребро считается инцидентным двум вершинам, которые оно соединяет. Во-вторых, вершина покрывает ребро графа, которое ей инцидентно. В-третьих, несмежные ребра графа называются независимыми. В-четвертых, наименьшее число вершин, которыми можно покрыть все ребра графа, называется числом минимального вершинного покрытия (α). В-пятых, максимальный набор независимых ребер графа называется числом реберной независимости (β). В-шестых, если в графе α = β, то его можно несколькими операциями свести к такому графу, в котором вершины разделяются на два цвета. Один цвет приписывается покрывающим вершинам, играющим роль связки, другой цвет – вершинам, играющим роль связуемых.
За объект исследования я взяла распространенные планировки квартир в городе Сургуте в деревянных домах, малосемейках, домах Московского проекта, домах Ленинградского проекта.
Ход исследования:
На первом этапе анализа каждому помещению, входящему в состав квартиры, я ставила в соответствие вершину графа и устанавливала взаимосвязь между ними в виде соединения ребрами по принципу функциональной смежности.
Также в обоих вариантах балконы формально объединяются с помещениями, к которым они примыкают, что обусловлено современной тенденцией к увеличению жилых площадей за их счет.
Покрывающие вершины и варианты максимальных систем независимых ребер маркируются условными знаками.
Сопоставление чертежа и графа.
Вывод о четкости функционального разграничения квартиры на зоны.
Корректировка проекта, при не совпадении с ядром графа. Проверка правильности построения графов в программе AI Haikimi GRAF
Результаты исследования:
1. Квартира в деревянном доме. (см приложение 3)
Полученные ядра графов не совпадают с самими графами. С точки же зрения архитектуры, представленным планам квартир не хватает четкого функционального разграничения на интимную и общественную зоны.
На втором этапе я ввела соответствующие поправки в виде дополнительных вершин и связей, представляющие собой в «архитектурной реальности» разбиение протяженных коридоров на несколько отсеков, различных по функциям, организацию дополнительных дверных проемов, а также переориентацию уже существующих. (см. приложение 4)
В результате были получены графы, обладающие ядром и совпадающие с ним. На их основе в планы внесены изменения , позволившие произвести более четкое функциональное зонирование квартиры, которое в первоначальных вариантах было недостаточным.
Минусы деревянных домов: неудобная планировка; большая часть таких домов относится к ветхому и фенольному жилью, так как такое жилье считалось временным, рассчитано было на проживание максимум в 10 лет, а по факту активно эксплуатируется с 50-х, 60-х, 70-х годов ХХ века.
Плюсы: представляют собой наименее низкий ценовой сегмент жилья эконом-класса.
2.Малосемейка (см. приложение 5)
Составленный граф имеет одно ядро. Полученное ядро совпадает с самим чертежом, следовательно проект имеет четкую архитектурную композицию и удобно поделен на зоны.
Минусы малосемейки: полное отсутствие балконов; маленькая площадь квартиры (1-комнатные – 29-30 кв.м.,2-комнатные – 40-42 кв.м.); проектом предусмотрены только одно- и двухкомнатные квартиры; отсутствие лифтов и мусоропроводов.
Плюсы: удобная планировка; развитая инфраструктура.
3.Дом Московского проекта (см. приложение 6)
(старый проект) Полученные ядра графов не совпадают с самими графами. С точки же зрения архитектуры, представленным планам квартир не хватает четкого функционального разграничения (улучшенный проект)
Ядро графа совпадает с самим чертежом. Отсюда вывод, что данный проект имеет четкую архитектурную композицию и удобно поделен на зоны.
Минусы домов Московского проекта: отсутствие лифта; на первом этаже балкон отсутствует; отсутствие мусоропровода. С середины 80-х годов квартиры моспректа полностью снимаются с производства, а сам проект называется ошибочным, и даже опасным.
Плюсы: стоят дешевле других домов; удобная планировка (не всегда); как правило, расположены в районах с развитой инфраструктурой.
4.Дом Ленинградского проекта (см. приложение 7)
Полученные ядра графов не совпадают с самими графами, в данной квартире не удобно расположены комнаты ( старый ленпроект, выход на балкон находится из зала) и граф.
Ядро графа совпадает с чертежом. Проект имеет четкую архитектурную композицию (новый ленпроект, выход на балкон из зала) и граф.
Минусы домов Ленпроекта: у эркерных квартир окна на одну сторону; квартиры по старому проекту не удобны
Плюсы: с/у раздельный; есть лифт и мусоропровод; как правило, находятся в центральных районах города; балкон длиной 3-4 метра; межквартирные стены несущие, что обеспечивает отличную шумоизоляцию.
5.Танхаусы.
Таунхаус - это сочетание городской квартиры и загородного дома. Он представляет собой комплекс малоэтажных комфортабельных коттеджей с отдельными входами, которые совмещены друг с другом боковыми стенками и располагают собственными земельными участками размером 1-4 сотки. Планировки таких квартир-домов могут быть самыми различными. В Сургуте в силу сложившихся исторических, географических и природных условий таунхаусы не находят такого распространения, как в других регионах России, однако, такой вид жилья бизнес-класса в нашем городе так же имеет место быть.
В ходе исследования были предложены вопросы анкетирования учащимся 5-11 классов. В опросе участвовало 60 респондентов
Знаете ли что такое граф?
Знаете ли вы, что в решении задач можно использовать метод теории графов?
Устраивает ли вас планировка вашей квартиры?
Хотели бы вы её изменить?
Было бы вам интересно узнать, как можно с помощью метода графов выяснить комфортность и внести изменения?
Результаты анкетирования показали, что учащиеся мой школы мало знают графах, о его практическом применении. Но когда узнали где можно применить теорию графов, появилась высокая заинтересованность в его изучении. (см. приложении 8)
Интуитивное стремление человека к ясности структуры обнаруживается и в повседневной жизни, вызывая потребность в перепланировках неудачных по первоначальной структуре квартир. Анализировать архитектурную композицию с помощью методов, предлагаемых теорией графов, можно по различным аспектам. Рассмотренная модельная задача – только один из вариантов такого прикладного исследования в рамках той или иной модели взаимосвязи частей целого.
Однако при этом нужно учитывать, что системы элементов планировки, как и конфигурация связей между ними, меняются в зависимости от эпохи, идеологии и прочих факторов. Поэтому для моделей различного времени важны разные наборы базовых связей данных систем. Если архитектор входит в уже сложившуюся и устойчивую модель взаимосвязей, он должен учитывать существовавшие на момент их создания идеологию, социологию, модели поведения и т. д.
Заключение
Теория графов имеет широкое применение в реальной жизни.
Анализ архитектурной композиции (на примере распространенных проектов домов в г. Сургуте) путём применения одного из методов теории графов показал, что наиболее удобные и годные для проживания дома - это дома Ленпроекта.
Теория графов даёт возможность мне глубже понять о необходимости изучения для моей будущей профессии.
На основе изучения, с помощью метода графов, я прихожу к выводу, применение метода поиска ядра графа при анализе функциональных связей дает возможность не только проверить готовую структуру на ее ясность и четкость, но и внести коррективы. В настоящее время применяют различные технологии при строительстве, чтобы повысить удобство. Например, технология строительства «Термомур», она предполагает использование несъемной опалубки для постройки термодома (в технологии современного строительства используется материал опалубки пенополистирол повышенной устойчивости от атмосферных воздействий и несущей способности). Но главным все-таки при строительстве остается сама архитектурная композиция, планировка квартир. Список литературы
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи, М. "Наука", 1988(часть 2, раздел 8; приложение 4);
http://matmetod-popova.narod.ru/theme213.htmОре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. 336с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ore1965ru.djvu
Уилсон Р. Введение в теорию графов. Пер с англ. М.: Мир, 1977. 208с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Uilson1977ru.djvu
Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
Фридман И. Научные методы в архитектуре / И. Фридман; пер. с англ. А.А. Воронова. – М.: Стройиздат, 1983. – 160 с.
Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.) Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. – 168 c.
Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989
Квант №6 1994г.
Приложение 1

Приложение 2.
Ответы:
Б,В, Г, З, И, Л, М, О, П, Р, С, Ф, Ъ, Ь, Я.

3. Граф связан, степени всех его вершин чётны.
4. Нельзя. Примените теорему о числе нечётных вершин.
5. Сложим количество дорог, выходящих из всех городов: 98*2+2+1+102. Это число-количество концов всех дорог. Поскольку каждая дорога имеет 2 конца, то количество дорог будет вдвое меньше, а именно 101.
Приложение 3
Квартира в деревянном доме. План квартиры и граф.

Приложение 4



Приложение 5.


Приложение 6.
Старый Моспроект

Улучшенный Моспроект



Приложение 7.
( старый ленпроект, выход на балкон находится из зала) и граф


(новый ленпроект, выход на балкон из зала) и граф


Приложение 8.
№п/пВопросы анкетирования Ответы респондентов
ДА НЕТ
1 Знаете ли что такое граф? 15 45
2 Знаете ли вы, что в решении задач можно использовать метод теории графов? 18 42
3 Устраивает ли вас планировка вашей квартиры? 34 26
4 Хотели бы вы её изменить 42 18
5 Было бы вам интересно узнать, как можно с помощью метода графов выяснить комфортность и внести изменения? 56 4