Методическая разработка «Применение метода оригами для решения геометрических задач»

Учитель МБОУ гимназия № 9
города Воронежа
Хатунцева И.В.
Методическая разработка
«Применение метода оригами для решения геометрических задач»
В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Спрятанные, едва уловимые, они принимают разнообразные формы – от выразительных животных до хитроумно смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные результаты.
Изучение превращений квадратного листа бумаги – один из наиболее интересных путей не только к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии. Как правило, решение геометрических задач методами пергибаний проще и нагляднее. А некоторые из них, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения.
В данном исследовании будут рассмотрены только несколько тем школьного курса геометрии, в которых при решении задач можно применить метод перегибания листа бумаги.
Решения задач будут излагаться по следующему плану:
постановка задачи
решение ее методом оригами
математическое обоснование решения
Тема 1 . Вписанные фигуры
№ 1.
Постановка задачи. Вписать в квадрат равнобедренный треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину

А) чему равны углы АСF и AEC?
Б) чему равна сторона EC по отношению к стороне BC исходного квадрата?
В) как относятся отрезки, на которые точка G делит диагональ AC?
Г) как соотносятся площади треугольников AEF и ECF?
Математическое обоснование:
Задание А) BCE=ECA=ACF=FCD=90:4=22,5;
ECF=ECA+ACF=22,5+22,5=45;
AEC=180-BEC;
BEC=180-(90+22,5)=180-112,5=67,5;
AEC=180-67.5=112,5; ECF=45; AEC=112.5;
Задание Б) обозначим BC=a. Рассмотрим треугольник ABC, B=90.

AC=a2+a2=a√a-a=a(√2-1), т.к. BC=CG=a.
AEC: AG=EG, т.к. AGE=90, EAG=45, значит AEG=45.
ECG: EC=GC2+EG2=a2+a2(2-1)2 =a4-2√2.
Задание В) AG=a(2-1), CG=a
AGGC=a(2-1)a=a-11=2-1.
Задание Г) Saef:Sefc=?
Saef=12EF*AG
Sefc=12EF*CG
SaefSefc=AGCG=√2-1.
№ 2.
Постановка задачи. Вписать в квадрат равностороннийй треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину

Математическое обоснование
Рассмотрим треугольник AEM и определим градусные меры углов этого треугольника.
FAB=12 BAK=15
DAE=12 DAO=15( по построению)
MAE=60(90-15-15)=60
Треугольник ABM= треугольнику AED , т.к. AB=AD-стороны квадрата,
BAD=EAD=15,
Треугольник АМЕ- равнобедренный, отсюда AME=AEM.
AME=AEM=180-602=60.
Все углы равны, значит треугольник АМЕ- равносторонний.
№ 3.
1. Постановка задачи Вписать в квадрат правильный шестиугольник, у которого вершины принадлежат сторонам треугольника


Математическое обоснование
Рассмотрим треугольник АВС:
САВ=60(180:3=60);
АВ=АС; (по построению)
Треугольник АВС- равносторонний.
Треугольники совпал при наложении(рис. 6).
Следовательно
Треугольники САК=КАО=AON=NAM=MAB=ABC.
Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов:
BC=KC=KO=ON=NM=MB.
Отсюда KONMBC- правильный шестиугольник.
Тема 2. Геометрия листа произвольной формы.
№ 4.
Постановка задачи Получить квадрат

Математическое обоснование.
AN и MB – диагонали, AN ⊥ MB - по построению,
ON=OB=ON=OM( рис.4)
Следовательно, AN=MB, т.к. диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то MABN-квадрат.
№ 5.
Постановка задачи Получить центр окружности, описанной около треугольника

Математическое обоснование
NM – серединный перпендикуляр отрезка АС,
PK- срединный перпендикуляр АВ, (по построению)
О- точка пересечения NM и PK.
Рассмотрим треугольник АВС:
О- точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, значит О- центр описанной окружности.
№ 6.
1. Постановка задачи Получить точку пересечения прямой и окружности
.
Математическое обоснование
ОА1=ОА11=ОА-это радиусы воображаемой окружности, значит точки А1и А11- точки пересечения прямой а и окружности.
Метод оригами, рассмотренный в данной работе, оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многими учащимися геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических рассуждений, теорем, и, самое главное, побуждает к дальнейшим исследованиям.
Список литературы:
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Весёлые уроки оригами в школе и дома: Учебник. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2001. – 208 с.: ил.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Игры и фокусы с бумагой. – М.: Рольф, АКИМ, 1999. – 192 с., с ил.Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Волшебные шары – кусудамы. – СПб.: Издательский дом «Кристалл», 2001. – 160с., ил.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Энциклопедия оригами. – СПб.: ООО «Издательский дом «Кристалл»», М.: ЗАО «Издательский дом ОНИКС», 2000. – 272 с., ил.Кунихико Касахара, Тоши Такахама. Оригами для знатоков. – СПб.: ALSIO, 1988.