Моделирование в процессе решения текстовых задач

МБОУ «Вечерняя (сменная) средняя общеобразовательная школа» г. Бологое Тверской области
Моделирование в процессах решения текстовых задач
Учитель математики Иванова С.А.
г. Бологое – 2015 г.

Термины «модель» и «моделирование» имеют своим источником латинское слово modus, modulas – мера, образ, способ. В современной образовательной системе моделирование является основным методом научного познания. Вместе с тем моделирование в обучении является и главным средством развития личности, особенно в плане интеллектуализации психической деятельности. В проекте общегосударственного стандарта по математике присутствует лишь фраза о том, что выпускник средней школы «должен получить представление о методе математического моделирования как способе научного познания». А между тем моделирование является основной целью школьного математического образования и, значит, определяет его содержание. Вместе с этим моделирование должно стать основным методом и способом математической деятельности. Моделирование является еще и универсальным средством решения проблемных ситуаций в практике. Наконец, формирование умения моделировать является условием интеллектуального развития.
Выделяют следующие признаки модели:
Между моделью и оригиналом имеется отношение сходства, форма которого явно выражена и зафиксирована (условие отражения);
Модель является заместителем изучаемого объекта (условие репрезентативности);
Изучение модели позволяет получить новую информацию об оригинале (условие экстраполяции);
Все модели различными авторами делятся на два больших класса:
Материальные (вещественные, реальные)
Идеальные (образные, знаковые).
Моделирование в обучении имеет несколько аспектов:
цель обучения;
предметное содержание процесса обучения;
учебное действие, являющееся составной частью деятельности;
общенаучный метод познания;
средства обучения.
Использование моделирования позволяет организовать учебную деятельность на более сознательном и продуктивном уровне. Модели используют для замещения изучаемого объекта (понятия) каким-то другим, более удобным и наглядным. Моделированию надо обучать как общему способу учебной деятельности.
В учебной практике применяется следующая схема моделирования реальной проблемной ситуации:
Формализация – перевод условия задачи на математический язык.
Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение);
Интерпретация – перевод математического решения обратно на язык, на котором была сформулирована исходная проблема.
Рассмотрим решение нескольких задач, чтобы показать, что моделирование намного упрощает решение.
Задача 1. В школьном математическом кружке 18 учеников. В танцевальном на 12 учеников больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?
В V классе, впервые анализируя условие задачи, его кратко записывают примерно так:
В математическом кружке - 18 учеников. В танцевальном кружке - ? на 12 учеников больше, чем в математическом кружке. В спортивном кружке - ? на 5 учеников меньше, чем в танцевальном кружке.
Такая запись нерациональна, т.к. не раскрывает наглядно зависимости между данными и искомыми величинами и не помогает в выборе действия. Лучше предложить такую модель:
Матем. кружок
Танц. кружокСпорт. кружок
18 человек
На 12 человек больше
На 5 человек меньше
Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми. Рассуждения ребят при анализе примерно следующие:
В танцевальном кружке учащихся на 12 больше, чем в математическом, т.е. их столько же да еще 12 (и сразу вырисовывается 1 действие: 18 +12=30(уч.)).В спортивном кружке на 5 учащихся меньше, чем в танцевальном, т.е. их столько же, но без 5. И второе действие: 30-5=25 (уч.)
Можно предложить учащимся найти и другой способ решения, рассмотрев еще раз более внимательно ту же модель. Дети видят, что в спортивном кружке (а именно это вопрос задачи) учащихся больше, чем в математическом и определяют на сколько больше (12 – 5 =7 (уч.)), а затем и отвечают на вопрос задачи:
18 + 7 = 25 (уч.)
Задача 2. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки.
Решение.
Вариант 1.
V – скорость течения реки, и, следовательно скорость движения плота.4v - скорость катера в стоячей воде.4v-v=3v - скорость катера против течения реки.4v+v=5v - скорость катера по течению реки.
Далее необходимо составить модель задачи:
А
D
C
B
5v
v
3v
v
И так как катер идет против течения, то его скорость в 3 раза больше скорости плота и он пройдет расстояние в 3 раза большее, чем плот (при одновременном движении пройденные расстояния прямо пропорциональны скоростям). Значит, к моменту встречи плот пройдет 1/4 часть пути от А до В, т.е. AC=AB4.
Обратный путь СВ катер пройдет быстрее в отношении 5v3v=53 (при движении на одно расстояние времена обратно пропорциональны скоростям t1t2=v1v2), тогда как плот за это же время проплывет 35 первоначального пути: CD=35. AB4=320AB. И, наконец, всего плот пройдет расстояние 14AB+320AB=25AB. ОТВЕТ: 2/5.
Вариант 2.
Примем время, необходимое плоту на весь путь от А до В равным 1. Тогда катеру, чтобы доплыть из В в А хватит 1/3, а обратно уже 1/5, а в сумме 8/15 всего времени плота. Очевидно, катер за все время лишь 3/4 пути туда и обратно между А и В значит, катер затратил 815∙34=25 полного времени плота из А в В. Т.к. движение было одновременным, то плот за это же время проплыл 2/5 всего пути.
Задача 3. Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик, но, выполнив 20% задания, он заболел. Остальную работу выполнил мастер. В итоге выполнение задания растянулось на11 дней. За сколько дней мог бы выполнить все задание мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что количество дней выражается целым числом?
Решение.
Составляем математическую модель.
Обозначим всю работу за 1.
Пусть мастер выполнит работу за Х дней, 10 дней
а ученик выполнит работу за У дней. 15 дней
Производительность труда мастера - 1x (доля работы за 1 день) 110 работы
Производительность труда ученика - 1y115 работы
Работая вместе они выполнили бы работу за 6 дней Значит, мастер сделает за 6 дней: 6∙1x=6x610 работы
а ученик сделает за 6 дней: 6∙1y=6y615 работы
составим уравнение: 6x+6y=1610+615=18+1230=1(т.к. вместе они выполнят всю работу) 1=1.
Но! Ученик, трудясь в одиночку, до болезни выполнил 20% задания или 1/5 часть работы и, значит, он потратил 1/5 того времени, которое ему нужно для выполнения всей работы, т.е. 15∙y дней 15∙15=3 дней
А мастер потратил 45∙x дней. 45∙10=8 дней
Они выполнили работу за 11 дней. 3+8=11
Составим уравнение:y5+4x5=11 или
y+4x=55Таким образом, математическая модель задачи составлена – это система двух уравнений с двумя переменными.
6x+6y=1y+4x=55И далее начинается работа с составленной моделью, т.е. решаем систему.
Найдем 2 решения системы (10; 15) и (334; 22).
Вторая пара (334; 22) нас не устраивает, т.к. по условию задачи количество дней работы выражается целым числом.
Ответ: 10 дней; 15 дней.
Задача 4. Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям. Тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120°, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см. Большее основание равно 12 см. Определить среднюю линию трапеции.
Для составления математической модели задачи нам нужно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнять ряд требований. Главное из них:
Чертеж должен представлять схематический рисунок основного объекта задачи с обозначением всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в тексте есть обозначения фигуры и элементов, то они должны быть и на чертеже; если же нет обозначений, то следует воспользоваться общепринятыми.
Чертеж должен соответствовать задаче. Если в задаче указан треугольник и при этом не указан его вид (прямоугольный, равносторонний и т.д.) то чертим какой-либо разносторонний треугольник. Если объект – трапеция и не указан вид, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную и т.д.
Нет необходимости строго выдерживать какой-либо определенный масштаб, однако желательно соблюдать пропорции в построении элементов фигуры. Если сказано АВ – наибольшая сторона АВС, то это должно быть отражено на чертеже. Точно также надо соблюдать параллельность, перпендикулярность и т.д.
При построении пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения таких фигур. Там, где можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур.
Вернемся к нашей задаче. Основным ее объектом является трапеция. Причем диагональ ее перпендикулярна к ее основаниям. На это надо обратить внимание учащихся, т.к. если они начнут чертить трапецию обычным способом ( с построения сторон), то обязательно ошибутся. Лучше начать с построения диагонали. А т.к. она перпендикулярна основаниям, то ее надо построить как вертикальный отрезок, то концов отходят 2 горизонтальных отрезка (основания трапеции). Причем (и на это тоже надо обратить внимание учащихся) эти отрезки идут в разные стороны.
A
B
C
D
M
N
Дано: АВСD – трапеция: ВС‖АD, АС – диагональ. АС⊥ВС, ∠ВАD=120°, АВ=7 см. АD =12 см. MN –средняя линия: ВМ=МА, CN=ND.
Найти: MN.
Математическая модель условия задачи составлена.
Решение.
MN=BC+AD2=BC+122=12BC+6. BC-?BC- катет прямоугольного треугольника АВС. ∠С=90°∠А=∠ВАD-∠CAD=
120°- 90°=30°⟹BC=12AB (катет прямоугольного треугольника лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы). ВС=3,5 см.
MN=12∙3,5+6=1,75+6=7,75 см.
Ответ: 7,75 см.
Задача 5. Объем конуса в 2 раза больше объема вписанного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.
Построим схематическую запись задачи – модель конуса. Для этого проведем сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение). В сечении получим равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Т.к. боковая сторона этого треугольника есть образующая конуса, а высота – ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания, то угол между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между образующей и плоскостью основания. Получаем такую модель задачи (см. рисунок).
М
А
В
К
О
Дано: АВМ – осевое сечение вписанного шара. Vk÷Vш=2Найти: ∠МАК.
Решение.
Построенная наглядная модель задачи облегчает поиск и решение задачи.
Найду Vk и Vш.Vk=13π∙AK2∙MK; Vш=43π∙OK3По условию задачи VКVШ=13π∙AK2∙MK43π∙OK3=2 отсюда получаем:
AK2∙MK4OK3=2.Из ∆АМК находим MK=AKtg∠MAKИз ∆ АОК находим OK=AKtg∠OAKОбозначим АК=y, ∠МАК=x получаем MK=ytgx OK=ytgx2.
Таким образом имеем:
y2∙ytgx4ytgx23=2 tgx4tg3x2=2 или tgx=8tg3x2 - это тригонометрическое уравнение есть модель исходной задачи при условии, что 0°<x<90°.
Решив это уравнение, найдем ответ задачи.
Задачи на построение сечений объемных тел традиционно считаются одной из трудных тем школьного курса стереометрии.
T
C
U
Q
B
P
R
A
S
Рассмотрим первую типовую задачу на построение сечения тетраэдра SABC плоскостью по трем заданным точкам P, Q и R,лежащим на его ребрах SA, AB, SC соответственно. Очень часто предлагают следующее «решение» задачи: проведем через точку R прямую, параллельную PQ до пересечения с ребром BC в т.U. PRUQ – искомое сечение.Однако это «решение» легко опровергается с помощью дополнительного построения, заключающегося в продолжении непараллельных сторон сечения PRUQ до пересечения в т. Т, которая лежит вне прямой АС, а должна быть на ней. Прямые PR и QU должны пересечься с прямой АС, т.к. они лежат в общих плоскостях и не параллельны АС. Кроме того, они (прямые PR и QU) не могут пересекать АС в разных точках, т.к. в этом случае они будут скрещивающимися, но тогда сечение не будет плоскостью (т.к. скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях). Таким образом, приходим к следующему утверждению, которое сформулируем в виде полезной теоремы. Если две непараллельные прямые, принадлежащие одной плоскости, пересекают прямую, не лежащую в этой плоскости, то все три прямые пересекаются в месте в одной точке.
Приводимые ниже примеры в свете сформулированного утверждения показывает исключительную важность этой теоремы с точки зрения проверки на правильность построения сечения.
K
M
N
A
P
U
R
C
B
Q
T
M
S

Рассмотренные примеры сечений тел показывают полезность продолжения сечения за пределы объема фигур – получающиеся их треугольные формы делают процедуру построения более ясной. В черчении прямые, которые образуют такие треугольники, называют следами сечения на соответствующих плоскостях (секущей и плоскостей данной фигуры). А процедура нахождения сечений объемных тел с помощью этих прямых и называется методом следов.
Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, лежащие на ребрах SA, SB, AC.
Построение.
T
U
Q
P
S
R
A
B
C
Для определения следов сечения на плоскости основания пирамиды заметим, что одна его точка R задана условием задачи, а другую точку U можно найти, продолжив PQ до пересечения с прямой AB, которая принадлежит основанию ABC и одновременно грани SAB, в которой лежит PQ (PQ и AB должны пересечься т.к. они лежат в одной плоскости и не параллельны). Соединив U и R (они обе лежат в плоскости ABC), получим след сечения, пересечение которого с ребром BC даст искомую вершину T. PQTR – искомое сечение.Задача 2. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD, плоскостью, проходящей через точки P, Q, R лежащих на ребрах SA, SB, SC.Построение.
Очевидно, необходимо определить точки пересечения плоскости сечения с нижними ребрами пирамиды, т.е. найти след сечения на плоскости основания ABCD.
V
S
Q
R
P
B
Z
X
A
U
C
D
Продолжим отрезки PQ и QR до пересечения с прямыми AB и BC, которые принадлежат плоскости ABCD, найдем точки V и U. соединим эти точки, получим след плоскости сечения на грани ABCD. Точки X и Z – точки пересечения следа со сторонами основания ABCD и являются искомыми вершинами фигуры сечения. PQRZX – искомое сечение.Задача 3. Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через точки P, Q, R, лежащие на ребрах A1B1, B1C1 и AA1.
Построение.
D1
C1
B1
D
A
B
C
A1
S
P
Q
H
W
V
R
T
U
Соединим точки P и Q, P и R. Прямая PR – след секущей плоскости на плоскости грани AA1BB1. Точки U и S этого следа с продолжениями ребер AB и BB1 являются точками следов сечения на гранях ABCD и BB1C1C. Т.к. точка Q также принадлежит грани BB1C1C, находим след сечения ST на этой грани. Соединив точки T и U, получаем третий след сечения на плоскости ABCD. PRVWHQ – искомое сечение.Таким образом, в заключении нужно отметить, что обучение решению задач с применением моделирования активизирует мыслительную деятельность учащихся, помогает им понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь ее решения и т.д. Работа с моделью позволяет ученикам яснее увидеть зависимость между данными и искомыми величинами и оценить задачу в целом, а учителю – продемонстрировать разные варианты решения и, сравнив их, обобщить теоретические знания. Чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать их хозяевами этой деятельности. И одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач является моделирование.