Факультативное занятие Решение задач на принцип Дирихле

Математический хоккей
«Математика – это гимнастика ума»
. М.В. Ломоносов

Факультативное занятие «Принцип Дирихле»
Симоненко Н.М.
учитель математики
Харьковской общеобразовательной
школы І-ІІІ ступеней № 59
Правила игры
В основу состязания «Математический хоккей» положены правила игры в хоккей, а роль шайбы выполняет математический вопрос. Выбирается две команды из учащихся 5-7 классов. В состав каждой команды входит вратарь, 3 нападающих, 2 защитника,2 запасных.
До матча каждая команда готовит по 6 задач. Каждая команда имеет эмблему, название команды. На видном месте табло – экран, куда секретарь заносит забитые шайбы.
Ведущий объявляет о начале матча и под спортивный марш входят участники встречи. Занимают свои места и приветствуют друг друга.
Судья объясняет правила игры.
Задачи для решения команды предлагают одна другой. Задачи печатаются на отдельных карточках.
Первая команда бросает шайбу (предлагает для решения одну из своих задач) нападающим команде противника.
Если нападающие не ответят или ответят неправильно, вопрос адресуется защитникам, потом вратарю.
Время на обдумывание ответа: нападающим – 30 сек, защитникам -20 сек, вратарю -10 сек.
Если не ответили или ответили неправильно, то шайба попадает в ворота, и судья объявляет о «заброшенной шайбе».
Игроки каждой группы (нападение, защита) имеют право советоваться между собой. Обмен мнениями может идти внутри группы. За нарушение этого правила, судья назначает новый вопрос прямо вратарю.
Право первого удара разыгрывается с помощью жеребьёвки после разъяснения правил.

Цели:
1. Привитие интереса к математике как элементу общечеловеческой культуры; популяризация среди учащихся занимательных задач, развитие познавательного интереса, интеллекта.
2. Развитие навыков хорошего поведения в обществе, навыков общения и совместной деятельности.
Ход занятияВедущий.
Ребята сегодня на заседании математического кружка мы играем в «Математический хоккей», который посвящен решению задач на принцип Дирихле.
Вы знаете, что классическая формулировка принципа Дирихле звучит так: «Если (n + 1) кроликов сидят в n ящиках, то найдётся ящик, в котором сидит, по крайней мере, два кролика».
А теперь каждый вратарь должен озвучить другие формулировки принципа Дирихле, какое определение будет более точным, та команда и начинает игру.
Другие формулировки принципа Дирихле:
1) «При раскладывании (распределении) k предметов по n ящикам (классам) обязательно найдется ящик (класс), в котором количество этих предметов не меньше чем ».
2) «Если предметов больше, чем ящиков, то при любом распределении элементов по ящикам хоть в одном из них окажется более одного предмета (серьёзно)».
Ведущий.
Есть ещё несерьёзная формулировка:
«Нельзя рассадить 7 зайцев в 3 клетки так, чтобы в каждой клетке было не более 2-х зайцев».
И так звучит свисток судьи о начале игры.
Вопросы первой команды.
Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.
Решение: Прямая делит плоскость на две полуплоскости, которые мы назовем «клетками». Три вершины треугольника назовем «кроликами». По принципу Дирихле, «найдется клетка, в которой сидит по крайней мере два кролика», то есть найдутся две вершины, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает данную прямую.
2.Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани
Решение: Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовем их «кроликами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле, найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.
3.Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?
Решение: Пусть «клетками» у нас будут сорта конфет, а «кроликами» -сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 25 / 3 «кроликов». Так как 8 < 25 / 3 < 9, то найдется 9 конфет одного сорта.
4.В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.
Решение: По условию задачи, наибольшее число ошибок, сделанных в работе 13. Значит, ученики могли сделать 0, 1, 2, ..., 13 ошибок. Эти варианты будут «клетками», а ученики станут «кроликами». Тогда по (обобщенному) принципу Дирихле (14 клеток и 30 зайцев) найдутся три ученика, попавших в
5.В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение: Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трех дырок.
6. В чемпионате по футболу принимают участие 10 команд. Каждые две команды должны сыграть между собой один матч. Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.
Решение: Построим 10 клеток: для команд, которые сыграли 0 матчей; для команд, сыгравших ровно 1 матч; для команд, сыгравших ровно 2 матча; …; для команд, сыгравших 9 матчей (максимальное число матчей). Не может быть такого, чтобы в один момент одна из команд не сыграла ещё ни одного матча, а вторая сыграла 9 матчей, то есть сыграла со всеми командами. Получаем, что либо клетка 0 пустая, либо клетка 9 пустая. В обоих случаях на 9 клеток, которые остались, приходится 10 команд. Следовательно по принципу Дирихле найдется одна клетка где будет две команды, то есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.
Задачи второй команды.
1. В классе 30 человек. Петров сделал в диктанте 13 ошибок; остальные меньше. Доказать, что, по крайней мере, 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть даже 0 ошибок).
Решение.
Нужно доказать, что хотя бы 3 ученика сделали ошибок поровну.Предположим, что никакие 3 ученика не сделали ошибок поровну. Пусть «клетки» - число сделанных ошибок, «зайцы» - учащиеся, сделавшие ошибки. Тогда в каждой «клетке» будут сидеть «зайцы», сделавшие поровну ошибок. Значит, в каждой «клетке» не более 2-х «зайцев». А в 13 «клетках» их не более 26, а вместе с Петровым их не более 27, а в классе 30 учеников.
2.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
Решение.
Пусть «клетки» - сорта, «зайцы» - ящики. Предположим, что нельзя. Тогда в «клетки» положим 8 «зайцев». Так как «клеток» - 3, то «зайцев» -3*8 = 24, а у нас 25. Следовательно, можно.
3.В классе 40 человек. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше, чем 4 ученика этого класса?
Решение.
Предположим, что не найдутся. Тогда 12∙3 = 36 человек, а у нас 40 человек. Следовательно, найдётся месяц, в котором родились не менее 4 одноклассников.
4. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.
Решение.
Предположим, что нет класса с 34 учениками. Тогда 30*33 = 990 < 1000. Следовательно, найдется класс с 34 учениками.
5. Доказать, что из любых трёх целых чисел  можно найти два, сумма которых делится на 2.
Решение.
Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности (так как чисел 3, а классов – четных и нечетных – два). Сумма этих
6. В классе 33 ученика, а сумма их возрастов составляет 430 лет. Справедливо ли утверждение, что найдутся в классе 20 учащихся, сумма возрастов которых больше 260 лет?
Решение.
Если бы сумма возрастов 20 старших учащихся класса была бы не больше 260. То среди них были бы ученики в возрасте не больше 13 лет. Значит, каждый из 13 = 33-20 младших школьников не старше 13 лет, откуда сумма их возрастов не превышает 13∙13 = 169 лет; но тогда сумма возрастов всех одноклассников не превышала бы 260 + 169 = 429 лет. У нас 430 лет. Следовательно, сумма возрастов 20 старших школьников больше 260 лет.
Ведущий.
Да! Математику нам нужно знать!
Ведь без неё мы кто! Природы дети!
А с ней творцы, создатели чудес!
Она в познании, будто солнце светит,
А без неё познание – тяжкий крест!
Так пусть мир чисел, формул, теорем,
Гипотез, лемм и аксиом прекрасных,
Нам другом будет, без исключения всем!
Чтоб всё в природе стало ясным и понятным!
Все задачи решены и теперь время узнать счёт сегодняшнего матча.
Судья объявляет счет игры и награждает победителей.