Действия над комплексными числами
Тема: Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Цели урока:
Образовательные – продолжить формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами;
Развивающие – развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством выполнения тестовых заданий; способствовать формированию навыков самостоятельной.
Воспитательные – воспитывать у учащихся способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя; воспитывать чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.
ПЛАН УРОКА
Этапы урока Действие
1. Орг.момент Готовность группы к уроку
2. Актуализация знаний Повторение пройденного материала
3. Закрепление материала Закрепление материала
4. Домашнее задание Домашнее задание
Ход урока.
Орг. Момент. Приветствие. Проверить готовность группы к уроку.
Актуализация знаний
- Сегодня на уроке мы с вами продолжим знакомство с полем комплексных чисел. Тема нашего урока «Алгебраические действия над комплексными числами».
Давайте немного вспомним.
И так. –Какое число называется комплексным?
-Какая часть числа называется действительной, какая мнимой?
-Какие действия можно проводить над комплексными числами?
3. Закрепление материала
№1. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i .
Найти:а)z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 +i(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2,(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab ± b3.
№2. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2; б) (3 – 5i)2; в) (5 + 3i)3.
Решение.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2×2×3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 2×3×5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i)3 = 125 + 3×25×3i + 3×5×9i2 + 27i3;
так как i2 = – 1, а i3 = – i, то получим (5 + 3i)3 = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.
Рассмотрим теперь применение формулы(a + b)(a – b) = a2 – b2. (*)
№3. Выполнить действия:
а) (5 + 3i)(5 – 3i);
б) (2 + 5i)(2 – 5i);
в) (1 + i)(1 – i).
Решение.
а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 22 – (5i)2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 12 – i2 = 1 + 1 = 2.
№4. Выполнить деление:
Решение.
Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
Итак,
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
№5. Решите уравнение:
а) x2 – 6x + 13 = 0; б) 9x2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формулеD = b2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:
Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Тренировочные упражнения. Выполняются учащимися в парах за рабочими местами (задания формируются из предложенных ниже)
1-8. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
1) (3 + 5i) + (7 – 2i).2) (6 + 2i) + (5 + 3i). 3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).4) (5 – 4i) + (6 + 2i).5) (3 – 2i) + (5 + i).6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i).7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i).8) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).
9-16. Произведите умножение комплексных чисел:
9) (2 + 3i)(5 – 7i). 10) (6 + 4i)(5 + 2i).11) (3 – 2i)(7 – i). 12) (– 2 + 3i)(3 + 5i).13) (1 –i)(1 + i).14) (3 + 2i)(1 + i).15) (6 + 4i)3i.16) (2 – 3i)(– 5i).
17-24. Выполните действия:
17) (3 + 5i)2.18) (2 – 7i)2.19) (6 + i)2.20) (1 – 5i)2.21) (3 + 2i)3.22) (3 – 2i)3.23) (4 + 2i)3.24) (5 – i)3.
25-30. Выполните действия:
25) (3 + 2i)(3 – 2i). 26) (5 + i)(5 – i). 27) (1 – 3i)(1 + 3i). 28) (7 – 6i)(7 + 6i).29) (a + bi)(a – bi).30) (m – ni)(m + ni).
31. Выполните деление:
3+i4+i32-35. Решите уравнения:
32) x2 – 4x + 13 = 0.33) x2 + 3x + 4 = 0. 34) 2,5x2 + x + 1 = 0.35) 4x2 – 20x + 26 = 0.
Подведение итогов урока. Домашнее задание:
На «3» 1. Даны два комплексных числа z1= (4 + 2i ) и z2=(1 – 3i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.
На «4-5»:
1.Даны два комплексных числа z1= (5 + 2i ) и z2=(2 – 5i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.
2.Вычислить: 1+i2+i+51+2i Ответ:a) 2 + i