Методические указания к практическим занятиям студентам специальности030912 ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Министерство образования и науки Самарской области
ГБОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»

Специальность:030912 ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Самара, 2015 г.
ОДОБРЕНО Составлено в соответствии
Предметно-цикловой с требованиями ФГОС СПО по специальности(методической) комиссией «Право и организация социального обеспечения»
Председатель:
_________Н.Е. Афонина Рекомендовано к изданию решением
«____»____________2015 г. методического совета №___________
«________»________________2015.г.
СОГЛАСОВАНО Председатель совета
Заместитель директора по Заместитель директора по учебно-
учебной работе методической работе
_________Е.М.Садыкова ___________________О.Ю.Нисман«_____»___________2015 г. «_____»___________2015 г.
Составители:Афонина Надежда Евгеньевна, преподаватель ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».
Рецензенты:
Левина Г.Г., преподаватель математических дисциплин ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж»

Синёва О.В., методист ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».
Методические указания для студентов по практическим занятиям являются частью основной профессиональной образовательной программы ГБОУ СПО «ПГК» по специальности030912 Право и организация социального обеспечения в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения и рабочей программы по дисциплине.
Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной и заочной форм обучения.
Методические указания по каждому практическому занятию включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных в рабочей программе дисциплины, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практического занятия студентов, инструкцию по их выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок выполнения и образец отчета о проделанной работе.
СОДЕРЖАНИЕ
Название практических занятий Стр.
Практическое занятие 1.Вычисление определителя. 5
Практическое занятие 2. Отработка алгоритма вычисления обратной матрицы. 11
Практическое занятие 3-4. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера, методом обратной матрицы. 17
Практическое занятие 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 22
Практическое занятие 6.Решение задач на определение размещения, перестановки и сочетания. 27
Практическое занятие 7. Вычисление вероятностей событий по классическому определению с применением элементов комбинаторики 32
Практическое занятие 8. Вычисление вероятностей по теореме сложения и умножения вероятностей. 37
Практическое занятие 9. Вычисление вероятностей событий по формулам Байеса и Бернулли. 43
Практическое занятие 10. Решение статистических задач и обработка информации 49
Введение
УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!
Методические указания по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для практических занятий созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ни, правильного составления отчетов.
Приступая к выполнению заданий практического занятия, Вы должны внимательно прочитать его цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами третьего поколения или примерной программой дисциплины МАТЕМАТИКА, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического занятия, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.
Отчет по практическому занятию Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.
Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие,Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.
Внимание!
Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.
Желаем Вам успехов!!!

Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»
Темы 1.1. «МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ»
Практическое занятие №1
«Вычисление определителя»
Учебная цель: формировать умение вычислять определители 2-го, 3-го и n-го порядка.
Учебные задачи:
Научиться вычислять определитель 2-го порядка;
Научиться вычислять определитель 3-го порядка;
Научиться определять определитель n-го порядка;
Научиться применять свойства при вычислении определителей.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- использовать методы линейной алгебры;
знать:
- основные понятия и методы линейной алгебры.
Задачи практического занятия №1
Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
Выполнить задания на вычисление определителей.
Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
Тетрадь для практических занятий в клетку.
Калькулятор: простой.
Ручка.
Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Определитель матрицы второго порядка называется число
.
Определитель матрицы третьего порядка называется число
.
Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается в результате вычёркивания в определителе n-го порядка строки и столбца, содержащих элемент .
Алгебраическим дополнениемэлемента называется его минор, умноженный на: .
Разложение определителя по элементам ряда. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

или
.
Если в определителе все элементы ряда, кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение, т.е.
.
Правила Саррюса (правило треугольников)
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получается два треугольника, вершинами которых являются перемножаемые элементы.) (рис. 1). 
 
Рис.1 Рис.2
Слагаемые, входящие в сумму со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали. (рис.2). 
Свойства определителей:
1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.
2. Общий множитель всех элементов ряда определителя можно вынести за знак определителя.
3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
4. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
5. Если каждый элемент какого-либо столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых , то этот определитель равен сумме двух определителей, у которого k-й столбец первого определителя состоит из элементов , а k-й столбец второго – из элементов
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№1.
Дайте определение определителя второго порядка.
Дайте определение определителем третьего порядка.
Запишите минор элемента определителя.
Запишите формулу для вычисления алгебраического дополнения элемента определителя.
Сформулируйте правило Саррюса.
Сформулируйте свойства определителей.
Перечислите способы вычисления определителя 4 порядка.
Задания для практического занятия №1
Задание 1. Вычислите определитель двумя способами: разложением по элементам i-той строки и i-того столбца и по определению.
Задание 2. Вычислите определитель тремя способами: разложением по элементам j-той строки и j-того столбца, по правилу Саррюса, используя свойства определителя.
Задание 3. Вычислитель определитель , используя свойства определителя.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №1
Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
В приложении 1 выберите свой вариант и выполните задания 1-3.
Методика анализа результатов, полученных в ходе практического занятия
Преобразование определителей. Используя свойства определителя, можно значительно
упростить его вычисление. Например,

Вывод. В результате вычисления определителя разложением по элементам строки и столбца вы должны получить один и тот же ответ.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию№1.
В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
Перепишите текст задачи для конкретного варианта, подставив соответствующие значения .
Разложите определитель по элементам i-той строки и вычислите определитель 2-го порядка.
Разложите определитель по элементам i-того столбца и вычислите определитель 2-го порядка.
Вычислите определитель второго порядка по определению.
Сравните результаты.
Вычислите определитель третьего порядка по правилу Саррюса.
Разложите определитель по элементам j-той строки и вычислите определитель 3-го порядка.
Разложите определитель по элементам j-того столбца и вычислите определитель 3-го порядка.
Вычислите определитель 3-го порядка, используя свойства определителя.
Сравните результаты.
Вычислите определитель 4-го порядка, используя свойства определителя.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №1 «Вычисление определителя»
Вариант 0.
Задание 1. Вычислите определитель двумя способами: разложением по элементам i-той строки и i-того столбца и по определению.
Решение.
Вычислим определитель разложением по элементам 2 строки:

Вычислим определитель разложением по элементам 2 столбца:

Вычислим определитель по определению:

Вывод. Во всех случаях определители равны 21.
Задание 2. Вычислите определитель тремя способами: разложением по элементам j-той строки и j-того столбца, по правилу Саррюса.
Решение.
Вычислим определитель разложением по элементам 1 строки:

=2·(2·1-3·(-2)) + 1·(7·1-3·3) + 4(7·(-2)-3·2) = -66.
Вычислим определитель разложением по элементам 1 столбца:

Вычислим определитель 3-го порядка по правилу Саррюса:

Вычислим определитель,используя свойства определителя.

Считаятретьюстрокуведущей, каждый элемент её умножим на -3 и сложим с соответствующим элементом 2-ой строки. Затем каждый элемент 3-ей строки умножим на -4 и сложим с соответствующим элементом 1-ой строки. Получив в 3-ем столбце все нули, кроме одного, разложим определитель по элементам 3-го столбца .Вывод.Во всех случаях определители равны -66.
Задание 3. Вычислите определитель,используя свойства определителя.
Решение.
=

Считая первую строку ведущей, перепишем вторую строку без изменения. Сложим
каждый элемент первой строки с соответствующими элементами 3–ей строки.
Умножим каждый элемент первой строки на -3 и сложим с соответствующими элементами 4-ой строки. Разложим по элементам 4-го столбца. Получим определитель3-го порядка. Считая первую строку ведущей, перепишем вторую строку без изменения. Умножим элементы первой строки на -5 и сложим с соответствующими элементами 3-ей строки. Разложим определитель 3-го порядка по элементам 1-го столбца. Полученный определитель 2-го порядка, вычислим по определению.
Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»
Тема 1.1«Матрица и определитель»
Практическое занятие №2
«Отработка алгоритма вычисления обратной матрицы»
Учебная цель: формировать умение вычислять обратную матрицу.
Учебные задачи:
Научиться находить обратную матрицу.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- использовать методы линейной алгебры;
знать:
- основные понятия и методы линейной алгебры.
Задачи практического занятия №2
Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
Решить 3 задачи на нахождение обратной матрицы.
Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
2.Тетрадь для практических занятий в клетку.
3.Калькулятор: простой.
4.Ручка.
5.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:
.
Если число столбцов матрицы n равно числу её строк m, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n:
Элементы квадратной матрицы порядка n образуют её главную диагональ, а элементы – побочную диагональ.
Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: .
Диагональная матрица называется единичной, если все её элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице: .
Если у матрицы поменять местами строки со столбцами, то
получим матрицу, транспонированную матрице А.Обозначим её QUOTE .

Матрица называется обратной для квадратной матрицы А, если .
Матрица, для которой определитель равен нулю, называется вырожденной.
Вырожденная матрица не имеет обратной.
Всякая невырожденная матрица (определитель которой отличен от нуля) имеет обратную матрицу, которая выражается формулой
Алгоритм составления обратной матрицы:
Вычислить определитель матрицы .
Вычислить алгебраическое дополнение каждого элемента определителя данной матрицы.
Составить матрицу из алгебраических дополнений

4. Для матрицы составить транспонированную матрицу
5.Найти обратную матрицу по формуле
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
Дайте определение матрицы.
Дайте определение квадратной матрицы.
Дайте определение главной диагонали.
Что называется побочной диагональю.
Дайте определение диагональной матрицы.
Дайте определение единичной матрицы.
Дайте определение вырожденной и невырожденной матрицы.
Дайте определение транспонированной матрицы.
Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.
Задания для практического занятия №2
Задание 1-3. Дана матрица А.Найдите матрицу и выполните проверку.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №2
Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
В приложении 1 выберите свой вариант и выполните задания 1-3.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию №2
В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
Перепишите текст задачи для конкретного варианта (приложение 1).
Вычислите определитель матрицы.
Найдите алгебраические дополнения для каждого элемента.
Составьте матрицу из алгебраических дополнений.
Транспонируйте полученную матрицу.
Запишите обратную матрицу.
Выполните проверку, доказав что произведение матриц = Е.
Сделайте вывод о правильности нахождения обратной матрицы.
Запишите ответ.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №2
«Отработка алгоритма вычисления обратной матрицы»
Вариант 0.
Задание 1.Дана матрица
Найдите матрицу и выполните проверку.
Решение:
1.Вычислим определитель: .
2.Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента определителя матрицы А:

3.Составим матрицу из полученных алгебраических дополнений

4.Транспонируем полученную матрицу
5.Обратная матрица будет иметь вид:=
6.Выполним проверку:

Вывод.Матрица является обратной матрицеА, т.к. .
Ответ:
Задание 2. Дана матрица .
Найдите матрицу и выполнить проверку.
Решение:
1.Вычислим определитель: .
Вычисление определителя может быть выполнено любым способом.
2.Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента определителя матрицы А:


3.Из полученных алгебраических дополнений составим матрицу:

4.Транспонируем полученную матрицу:

5.Обратная матрица будет иметь вид:
.
6.Выполним проверку:

7.Вывод.Матрица является обратной матрицеА, т.к. .
Ответ.
Задание3 выполняется аналогично заданию 2.
Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»
Тема 1.2«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Практическое занятие №№3-4
«Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы»
Учебная цель: формировать умение решать системы линейных уравнений.
Учебные задачи:
Научиться решать систему линейных уравнений по формулам Крамера;
Научиться решать систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- использовать методы линейной алгебры;
знать:
- основные понятия и методы линейной алгебры.
Задачи практического занятия №№3-4.
Изучить теоретический материал по теме практического занятия.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
Решить 3задачи на нахождение решения системы линейных уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы.
Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
Тетрадь для практических занятий в клетку.
Калькулятор: простой.
Ручка.
Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практической работы
Решением n- линейных уравнений с m- неизвестными называется упорядоченная совокупность , обращающая каждое уравнение системы
в верное равенство.
Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется следующими способами:
1. Формулы Крамера.
Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется по формулам: , где
– определитель матрицы системы;
– дополнительный определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца столбцом свободных членов.
2.Метод обратной матрицы.
Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A= ; B = ; X = .
Систему уравнений можно записать:AX = B.
Тогда решение системы можно найти с помощью уравнения: , где – матрица, обратная матрице .
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №№3-4
Определите условие, при котором система линейных уравнений имеет единственное решение.
Запишите формулы Крамера.
Сформулируйте суть метода обратной матрицы.
Задание для практического занятия №№ 3-4
Задание1-2. Решите систему по формулам Крамера.
Задание3-4. Решите систему методом обратной матрицы.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №3-4
Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
В приложении 3 выберите свой вариант.
4. Систему линейных уравнений под цифрой 1-2 решите по формулам Крамера, под цифрой 3-4методом обратной матрицы.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию №№3-4
В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
Перепишите текст задачи для конкретного варианта.
Вычислите определитель матрицы.
Определите, сколько решений имеет система линейных уравнений.
Вычислите определители , и .
Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.
Составьте матрицу системы А, матрицу переменных Х и матрицу свободных членов В.
Найдите (смотрите практическую работу №2).
Решите системы линейных уравнений методом обратной матрицы, используя формулу .
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие № 3-4
«Решения систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы»
Вариант 0.
Задание1. Решите систему по формулам Крамера.
Решение.
Вычислим определитель матрицы .
Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
По формулам Крамера:
.
Вычислим дополнительные определители системы:

Подставив полученные значения в формулы ,
получим
.
Ответ:
Задание 2 выполняется аналогично.
Задание 3. Решите систему методом обратной матрицы.
Для решения системы методом обратной матрицы, введём обозначения:

Вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента определителя
матрицы А.

Составим из алгебраических дополнений матрицу:

Транспонируем данную матрицу:

Запишем обратную матрицу:

Найдём решение данной системы уравнений по формуле:,
.
Ответ..
Задание 4 выполняется аналогично.
Раздел 1 «ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙАЛГЕБРЫ»
Тема 1.2«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Практическое занятие № 5
«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»
Учебная цель: формировать умение решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Учебные задачи:
Научиться решать систему линейных уравнений методом Гаусса.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- использовать методы линейной алгебры;
знать:
- основные понятия и методы линейной алгебры.
Задачи практического занятия №5
1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
4.Решить две системы линейных уравнений методом Гаусса.
5.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
2.Тетрадь для практических занятий в клетку..3.Калькулятор: простой.
4.Ручка.
5.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Рассмотрим систему n-линейных уравнений с n-неизвестными
Считаем,что .В противном случае, переставив местами уравнения, добьёмся чтобы коэффициент при не был равен 0.
Метод Гауссарешениясистемn-линейных уравнений с n-неизвестными представляет систематизированную схему последовательного исключения переменных.
Составим расширенную матрицу из коэффициентов перед переменными

Первая строка матрицы соответствует первому уравнению системы. Умножая эту строку на соответствующий коэффициент, исключаем из всех последующих строк. Затем за ведущую строку берём коэффициенты второго уравнения, умножаем на соответствующее значение и исключаем из 3-го, 4-го и n-го уравнений, и т.д.
Для этого используем элементарные преобразования матриц:
перемена мест двух или нескольких строк или столбцов;
умножение строки (или столбца) на произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
Приводим матрицу системы к треугольнойматрице
Для нахождения неизвестных используем «обратный ход», т.е. возвращаемся к системе.
Последняя строка позволяет найти , предпоследняя и т.д.
Если при выполнении преобразований встретилось хотя бы одно уравнение вида
0 , то совместная система является неопределённой.
Система является несовместной,если при последовательном исключении переменных, встретится хотя бы одно уравнение вида 0
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№5
1.Определите условие, при котором система линейных уравнений имеет единственное решение.
2.Определите сущность метода Гаусса.
Задание для практического занятия №5
Задание1-2. Решите систему методом Гаусса.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №5
1.Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
2.Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.В приложении 3 выберите свой вариант и выполните задание.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию№5
1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта.
3.Вычислите определитель матрицы.
4.Определите, сколько решений имеет система линейных уравнений.
5.Составьте расширенную матрицу системы.
6.Приведите матрицу системы к треугольному виду.
7.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
8.Выполните задание 2 аналогично заданию 1.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №5 «Решение систем линейных уравнений методомГаусса»
Вариант 0.
Задание. Решите систему методом Гаусса.
Решение.
Составим расширенную матрицу из коэффициентов перед переменными и используя элементарные преобразования матриц, сведём ее к диагональному виду.
Iшаг: Считая первую строку ведущей,умножим её на - 0,5 и сложим со второй,
затем умножим на -3/4 и сложим с третьей строкой.
IIшаг: Умножим 2строку на -2,третью строку умножим на 4.
IIIшаг: Поменяем вторую и третью строку местами.
IVшаг:Умножим вторую строку на -3 и сложим с третьей.
Получили треугольную матрицу.

Заменим полученную матрицу системой уравнений.Используя «обратный ход»,решим полученную систему

Ответ..
Задание 2. Выполняется аналогично заданию №1.
Раздел 2 «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Тема 2.1«КОМБИНАТОРИКА»
Практическое занятие № 6
«Решение задач на определение размещения, перестановки и сочетания»
Учебная цель: формировать умение решать комбинаторные задачи
Учебные задачи:
Научиться решать задачи на определение размещения,перестановки и сочетания.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
-производить действия над элементами комбинаторики;
знать:
- основные понятия теории вероятностей.
Задачи практического занятия №6
1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
4.Решить задачи из выбранного варианта.
5.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Справочная литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
- Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2007. – 352 с.
2.Тетрадь для практических занятий в клетку.
3.Калькулятор: простой.
4.Ручка.
5.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Комбинаторикой называется область математики,в которой изучаются вопросы о том,сколько различных комбинаций,подчинённым тем или иным условиям,можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Правило суммы.
Если объект можно выбрать m способами, а объектВ – к способами (не такими, как для объекта А), то объект «либо А, либо В» можно выбрать (m+k) способами.
Правило произведения.
Если объект можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объектВ можно выбрать к способами (независимо от выбора объекта А), то пары объектов А и В можно выбрать mk способами.
Пусть имеется некоторое множество из n элементов.
Из этого множества можно образовать различные выборки, каждая из которых содержит m элементов.
Выборки могут быть упорядоченными – размещениями и неупорядоченнымисочетаниями.
Размещениями из nэлементов по kназывают такие выборки, которые,имея по k
элементов, выбранных из числа данных nэлементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по k элементов вычисляется по формуле: .
Если размещения из n элементов взяты по n(т.е. отличаются только порядком расположения элементов), то такие размещения называются перестановками.
Число перестановок определяется по формуле:.
Факториал: .
Если из всех размещений, которые можно составить из n элементов по m, отобрать
только те, которые одно от другого отличаютсяпо крайней мере одним элементом, то получим выборки, которые называются сочетаниями.
Число сочетаний из nэлементов по kэлементов вычисляют по формуле:
Размещениями c повторениями из nэлементов множестваА по kэлементов этого множества называются упорядоченные выборки с повторениями, составленные из элементов множестваА, имеющие один и тот же объём k:
Перестановками с повторениямиизkэлементов множестваА по kэлементов этого множества называются упорядоченные выборки с повторениями, составленных из элементов множестваА, имеющие один и тот же объём k: .
Сочетаниями с повторениями изnэлементов множестваА по kэлементов этого множества называются неупорядоченные выборки с повторениями, составленных из элементов множестваА, имеющие один и тот же объём k: .
Соберём полученные формулы в таблицу.
Размещения Перестановки Сочетания
характеристики выборок
состав элементов
изменить можно,
порядок расположения элементов важен состав элементов
изменить нельзя,
порядок расположения элементов важен состав элементов
изменить можно,
порядок расположения элементов не важен
без повторений:
без повторений:
без повторений:

с повторениями:
с повторениями:
с повторениями:

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №6
1.Сформулируйте правило суммы и произведения.
1. Дайте определение понятий «размещение», «перестановки» и «сочетание».
2. При каких условиях используется формула размещения (перестановки, сочетания)?
3. Дайте определения выборки без повторений и с повторениями.
Задание для практического занятия №6
1.В студенческой конференции участвовало Nчеловек. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
2.Сколькими способами можно расставить на полкеN книг по криминалистике, если две книги одного автора всегда должны стоять рядом.
3. Юридическая фирма организует Nновых филиала и выбирает помещения для аренды из 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора Nпомещений из 8 в случайном порядке?
4. По объявлению оNвакансиях в юридическую компанию 25 человек пришли на собеседование в офис. Сколько существует способов приема кандидатов на работу в случайном порядке.
5. Сколько слов можно составить из букв слова нотариус, если слова должны состоять из Nбукв?
6.Сколькими способами из 15 сотрудников пенсионного фонда можно избрать комиссию из Nчеловек?
7.Сколько вариантов распределения трёх призовых мест для Nучастников профессионального мастерства можно составить?
8. Из группы студентов в 24 человека выбираютN студентов на производственную практику в страховую компанию. Сколькими способами это можно сделать?
9.Группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать Nчеловек одного пола?
10. Группа ПСО изучает 15 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть Nразличных пары?
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №6
1.Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
2.Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.В приложении 6 выберите свой вариант и выполните задание.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию№6
1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта.
3. Сформулируйте характеристики выборки: можно или нет менять состав, важен или нет порядок элементов.
4.Выберите нужную формулу.
5.Запишите ответ.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №6
«Решение задач на определение размещения, перестановки и сочетания»
Вариант №0
1.В студенческой конференции участвовало 5человек. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
Решение.
Характеристики: состав элементов не меняется, порядок расположения элементов (студентов по местам) важен.
.
Вывод: пять человек можно распределить по местам 120 способами.
Ответ: 120.
2. Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг по криминалистике, если две книги одного автора всегда должны стоять рядом.
Решение.
Характеристики: состав элементов не меняется, порядок расположения элементов (книг по местам) важен.
Книги одного автора, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение:
P2P6 =26! = 1440.
Ответ: 1440.
3.Юридическая фирма организует 5новых филиалов и выбирает помещения для аренды из 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 5помещений из 8 в случайном порядке?
Решение.
Характеристики: состав элементов меняется, порядок расположения элементов не важен.
Существует 105 способов выбора пяти помещений из восьми, т.к.
Ответ:105.
Задачи 4,5,6,8 решаются аналогично3 задаче.
7.Сколько вариантов распределения трёх призовых мест для 16участников профессионального мастерства можно составить?
Решение.
Характеристики: состав элементов меняется, порядок расположения элементов важен.
Существует вариантов распределения трёх призовых мест.
Ответ:3360.
Задача 10 решается аналогично 7 задаче.
При решении задачи 9 используйте правило суммы.
Раздел 2 «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Тема 2.1«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Практическое занятие № 7
«Вычисление вероятностей событий по классическому определению с применением элементов комбинаторики»
Учебная цель: формировать умение решать задачи по определению вероятности случайного события
Учебные задачи:
Научиться определять число благоприятствующих исходов;
Научиться определять число всевозможных исходов;
3.Научиться вычислять вероятность событияпо классическому определению.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
-вычислять вероятность события;
знать:
- основные понятия теории вероятностей.
Задачи практического занятия №7
1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
4.Решить задачи из выбранного варианта.
5.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Справочная литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
- Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2007. – 352 с.
2.Тетрадь для практических занятий.
3.Калькулятор: простой.
4.Ручка.
5.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Испытание – реализация некоторой совокупности одних и тех же условий.
Событие – результат испытания (исход испытания).
Достоверным называют событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.
Невозможным называют событие, которое заведомо не может произойти.
Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.
Событие , состоящее вненаступлении события в данном испытании, называется событием, противоположным событию .
Суммой конечного числа событийназывается событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий в данном испытании.
Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из событий в данном испытании.
События называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление других.
События называются совместными, если в данных условиях появление одного из данных событий не исключает появление других в данном испытании.
События называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.
Классическое определение вероятностей.
Вероятностью события Аназывается отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов:
.
Свойства вероятностей:
1..
2.Вероятность достоверного события равна 1.
3.Вероятность невозможного события равна 0.
Теоремы вероятностей:
1.Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .
2.Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .
3.Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
Что такое событие?
Дайте определение случайного, достоверного и невозможного события.
Какие события называются противоположными?
Что называется суммой событий?
Что называется произведением событий?
Какие события называются совместными (несовместными)?
В чём состоит классическое определение вероятности?
В каких пределах определяется вероятность?
Чему равна вероятность появления несовместных событий?
Чему равна вероятность совместного появления событий?
Каким соотношением связаны противоположные события?
Задания для практического занятия №7
Задание 1.
Среди N юридических консультаций – 5 оказывают бесплатную юридическую помощь. Гражданин наугад обращается за консультацией. Какова вероятность того, что гражданин обратится в бесплатную юридическую консультацию.
Задание 2.
В районный суд поступило от страховой компании N исковых заявлений и N-5жалоб. Секретарь суда наугад выбирает один документ. Какова вероятность того, что это исковое заявление.
Задание 3.
В группе специалистов Nгражданско-правовой специализации и N+2уголовно-правовой специализации. Для проведения проверки работы суда наудачу отбираются 4 специалиста. Какова вероятность того, что эта группа состоит из двух гражданских юристов?
Задание 4.
На юридическом отделении Nгрупп ПСО и N+2 групп ПД. Для проведения проверки знаний студентов наудачу отбирают 4 группы. Какова вероятность того, что из отобранных групп 2 группы ПД.
Задание5.
У мирового судьиг.Самары заведено Nдел по административным правонарушениям и N-3 дела по уголовным. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранныхдела окажутся административным и уголовным.
Задание 6.
В группе ПСО2Nхорошистов и N отличников. В студенческой конференции из группы участвуют 10 студентов. Какова вероятность того, что в конференции участвуют 7 хорошистов и 3 отличника?
Задание 7.
Из 25 студентов группы ПД Nчеловек иногородних, остальные студенты местные.
10 человек отбирают на производственную практику в районный суд г.Самары. Какова вероятность того, что из них 6 студентов - иногородние?Инструкция по выполнению заданий практического занятия №7
1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.
2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3. В приложении 7выберите свой вариант и выполните задания 1-7.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию №7
В тетради для практических занятий напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
Перепишите текст задачи для конкретного варианта. Соответствующие значения даны в приложении 7.
Найдите вероятность событий.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №7
«Вычисление вероятностей событий по классическому определению с применением элементов комбинаторики»
Вариант 0.
Задание 1.Среди 15 юридических консультаций – 5 оказывают бесплатную юридическую помощь. Гражданин наугад обращается за консультацией. Какова вероятность того, что гражданин обратится в бесплатную юридическую консультацию.
Решение.
Испытание – гражданин обратился за консультацией.
Событие А – юридическая консультация бесплатная.
Всевозможные исходы n=15.
Число благоприятствующих исходов m =5, так как 5 консультаций оказывают бесплатную юридическую помощь.
Таким образом, .
Ответ..
Задание 2. Аналогично заданию1.
Задание 3.
В группе специалистов 3 гражданско-правовой специализации и 5 уголовно-правовой специализации. Для проведения проверки работы суда наудачу отбираются 4 специалиста. Какова вероятность того, что эта группа состоит из двух гражданских юристов?
Решение.
Испытание – выбирают группу из 4 специалистов.
Событие А – в выбранной группе 2 юристапо гражданским делам.
Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 8 по 4.

Подсчитаем число исходовm,благоприятствующих событию А.Среди 4 специалистов должно быть2 юриста гражданской и 2 юриста уголовной специализации.
Число способов выборки из 3 имеющихся юристов гражданской специализации 2 равно числу сочетаний из 3 по 2.

Число способов выборки из 5 имеющихся юристов уголовной специализации 2 равно числу сочетаний из 5 по 2.

Общее число комбинаций находим по правилу произведений

Таким образом, .
Ответ.
Задания 4,5,6,7 выполняются аналогично заданию3.
Раздел 2 «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Тема 2.1«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Практическое занятие № 8
«Вычисление вероятностей по теореме сложения и умножения вероятностей»
Учебная цель: формировать умение решать задачи по определению вероятности сприменением теорем сложения и умножения вероятностей.
Учебные задачи:
1.Научиться применять теоремы сложения вероятностей при вычислении вероятности
2.Научиться применять теорему умножения вероятностей при вычислении вероятности
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
-вычислять вероятность события;
знать:
- основные понятия теории вероятностей.
Задачи практического занятия №8
1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
4.Решить задачи из выбранного варианта.
5.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Справочная литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
- Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2007. – 352 с.
2.Тетрадь для практических занятий в клеточку.
3.Калькулятор: простой.
4.Ручка.
5.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:
Произведением АВ двух событийА иВ называется событие, состоящее в появлении и события А, и события В.
Условной вероятностью РA (В) называют вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р(АВ) = Р (А) РA (В).    
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
Теорема. Для независимых событий формула вероятности имеет вид:
Р (АВ) = Р (А) QUOTE
С л е д с т в и е. Вероятностьсовместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р (А1А2 ... Аn) = Р (А1) Р (А2) ... Р (Аn).
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
1.Что называется суммой двух событий?
2.Сформулируйте теорему суммы двух независимых событий.
3.Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
4.Что называется произведением 2 событий.
5.Дайте определение условной вероятности события.
6.Сформулируйте теорему о вероятности произведения независимых событий.
Задания для практического занятия № 8.
Задание1.
Специалист ПФР обновляет базу данных получателей пенсии, среди которых пенсии по старости N%, по инвалидности K%,остальные по потере кормильца. Какова вероятность того, что специалист проведет обновление базы данных случайно взятого человека, получающего пенсию не по старости?
Задание2.
На обучение в колледж приглашает выпускников двух школ. Вероятность того, что придут обучаться выпускники из первой школы – , второй – .
Найти вероятность того, что в колледже будут учиться выпускники хотя бы одной из этих школ.
Задание3.
3 студента решают задачу по гражданскому праву. Вероятность того, что первый решит задачу равна, второй –, третий –. Найти вероятность:
А) все 3 студента решат задачу;
Б) все 3 не решат задачу;
В) только 1 решит;
Г) только 2 решат.
Задание 4.
Правовой центр получает приглашение от 3 фирм.Вероятноститого,чтоправовойцентр получит приглашение от первой, второй и третьей фирм соответственно равны:,,Найти вероятность того, что центр получит приглашение: а) только от одной фирмы; б) не менее чем от 2 фирм; в) хотя бы от одной фирмы.
Задание №5.
При подготовке к экзамену по «Семейному праву» студент пользуется учебниками трёх авторов. Вероятности того, что ответы на вопросы содержатся в первом, втором и третьем учебниках равны,,.Найти вероятности того, что ответы содержатся
1) только в одном учебнике; 2) только в двух учебниках 3) во всех трех учебниках.
Задание 6.
Имеются 2 варианта принятия судебного решения. В первом случае вердикт (виновен или не виновен подсудимый) выносит единолично судья, у которого вероятность принятия правильного решения равна р. Во втором случае имеются трое присяжных, каждый из которых независимо от остальных принимает решение, а окончательный вердикт выносится по большинству голосов. При этом первый и второй присяжные с такой же, как и у судьи вероятностью р принимают правильное решение, а третий присяжный принимает решение, подбрасывая монету (орел — не виновен, решка — виновен). В каком случае больше вероятность принятия правильного решения?
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №8
1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.
2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3. В приложении 8 выберите свой вариант и выполните задания 1-6.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию №8
1.В тетради для практических занятий напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта. Соответствующие значения даны в приложении 8.
3.Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, вычислите вероятности.
4.Запишите ответ.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие № 8
«Вычисление вероятностей по теореме сложения и умножения вероятностей»
Вариант 0.
Задание 1.
Специалист ПФР обновляет базу данных получателей пенсии, среди которых пенсии по старости 70%, по инвалидности 18%, остальные по потере кормильца. Какова вероятность того, что специалист проведет обновление базы данных случайно взятого человека, получающего пенсию не по старости?
Решение.
Событие А – обновление базы данных человека, получающего пенсию по инвалидности или потере кормильца
В- обновление базы данных человека, получающего пенсию по старости
С-обновление базы данных человека, получающего пенсию по инвалидности
Д - обновление базы данных человека, получающего пенсию по потере кормильца
Р(В) = 0,7, Р(С) = 0,18, Р(Д)=0,12
Р (А) = Р(С) +Р(Д) = 0,18 +0,12 =0,3
Ответ.0,3
Задание2.
На обучение в колледж приглашает выпускников двух школ. Вероятность того, что придут обучаться выпускники из первой школы – 0,6, из второй – 0,8.
Найти вероятность того, что в колледже будут учиться выпускники хотя бы одной из этих школ.
Решение.
А-событие,состоящее в том, что в колледже будут учиться выпускники хотя бы одной из этих школ.
-событие, состоящее в том, что выпускники из 1 школы.
-событие, состоящее в том, что выпускники из 2 школы.
Р()=0,6 , Р() = 0,8
В-событие,что в колледже не будут учиться выпускники ни из1,ни из 2 школы.
Р(В) = Р(=0,40,2 = 0,08, тогда Р(А) =1-0,08 = 0,92
Ответ. 0,92
Задание 3.
3 студента решают задачу по гражданскому праву. Вероятность того, что первыйрешит задачу равна 0,6; второй – 0,5; третий – 0,9. Найти вероятность:
а) все 3 студента решат задачу;
б) все 3 не решат задачу;
в) только 1 решит;
г) только 2 решат.
Решение.
а)ПустьА–событие, состоящее в том, что все 3 студента решат задачу.
Вероятность того, что первый студент решит задачу Р(1)=0,6; второй Р(2)=0,5; третий-Р(3)=0,9.Тогда
Р(А) = Р(1) QUOTE Р(2) QUOTE Р(3) = 0,6 QUOTE 0,5 QUOTE 0,9 = 0,27
б )ПустьА–событие, состоящее в том, что все 3 студента не решат задачу.
Обозначим вероятность того, что первый студент не решит задачу= 0,4;
второй -= 0,5; третий -= 0,1.
Тогда Р(А) = QUOTE QUOTE = 0,4 QUOTE 0,5 QUOTE 0,1 = 0,02
в) ПустьА–событие, состоящее в том, что только 1 студент решит задачу.
Только один студент решит задачу, если произойдёт либо событие: 1 QUOTE , либо событие , либо событие.
ТогдаР(А) =Р(1 QUOTE +Р(+Р(=0,6 QUOTE 0,5 QUOTE 0,1+0,4 QUOTE 0,5 QUOTE 0,1+
0,4 QUOTE 0,5 QUOTE =0,23
г) Из соображений, аналогичных предыдущему случаю, получим
ТогдаР(А) =Р(1 QUOTE +Р(+Р(=0,6 QUOTE 0,5 QUOTE 0,1+0,6 QUOTE 0,5 QUOTE 0,9+
0,4 QUOTE 0,5 QUOTE =0,48
Ответ.0,27; 0,02; 0,23; 0,48.
Задания 4,5 решается аналогично заданию 3.
Задание 6.
Имеются 2 варианта принятия судебного решения. В первом случае вердикт (виновен или не виновен подсудимый) выносит единолично судья, у которого вероятность принятия правильного решения равна 0,8. Во втором случае имеются трое присяжных, каждый из которых независимо от остальных принимает решение, а окончательный вердикт выносится по большинству голосов. При этом первый и второй присяжные с такой же, как и у судьи вероятностью 0,8 принимают правильное решение, а третий присяжный принимает решение, подбрасывая монету (орел — не виновен, решка — виновен). В каком случае больше вероятность принятия правильного решения?
Решение.
 Для ответа на вопрос нужно вычислить вероятность принятия правильного решения тройкой присяжных и сравнить с вероятностью принятия правильного решения судьей, равной р. Событие A, что тройка присяжных примет правильное решение есть сумма четырех несовместных событий:
1) A1 — все трое приняли правильное решение;
2) A2 — первый и второй приняли правильное решение, третий принял неправильное решение;
3) A3 — первый и третий приняли правильное решение, второй принял неправильное решение;
4) A4 — второй и третий приняли правильное решение, первый принял неправильное решение.
Следовательно, . Поскольку каждое из событий  есть произведение трех независимых событий, можем написать, что:
Р(А)=
Следовательно, вероятность принятия правильного решения судьей и тремя присяжными одинакова. 
Ответ. Вероятность одинакова.
Раздел 2 «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Тема 2.1«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Практическое занятие № 9
«Вычисление вероятностей событий по формулам Бейеса и Бернулли»
Учебная цель: формировать умение решать задачи по определению вероятности сприменением формул Бейеса.
Учебные задачи:
1. Научиться находить полную вероятность события;
2. Научиться находить вероятность гипотез по формуле Бейеса и Бернулли.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
-вычислять вероятность события;
знать:
- основные понятия теории вероятностей.
Задачи практического занятия №9
1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
4.Решить задачи из выбранного варианта.
5.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Справочная литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
- Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2007. – 352 с.
2.Тетрадь для практических занятий в клетку.
3.Калькулятор: простой.
4.Ручка.
5.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Вероятность события , вычисленное в предположении, что событие произошло в данном испытании, называется условной вероятностью события . Обозначается – . События называются гипотезами, если событие А может произойти или нет лишь вместе с одним из этих событий, и при этом известны условные вероятности наступления события А совместно с каждой из гипотез: .
Вероятность события , вычисленное в предположении, что может произойти с каждой из гипотез , где , называется полной вероятностью события .
составляют полную группу попарно несовместных событий.
Формула полной вероятности:
,
где .
Вероятность наступления i-той гипотезы, если событие А уже произошло, вычисляется по формуле Байеса: .
Если в результате проведения nодинаковых независимых испытаний некоторое событие А наступает ровно mраз, если в каждом из них данное событие наступает с постоянной вероятность Р(А)= р, то вероятность наступления события А ровно mраз при проведении nнезависимых испытаний вычисляется по формуле Бернулли:
, где q=1- p– вероятность не наступления данного события А в каждом испытании.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
1. Что понимается под полной группой событий?
2. Чему равна сумма вероятностей полной группы случайных событий?
3. Что такое условная вероятность?
4. Какие события называют гипотезами?
5. Чему равна сумма вероятностей гипотез?
6. Для каких случайных событий вероятность определяется по формуле полной вероятности?
7. Поясните смысл слагаемых в формуле полной вероятности?
8. В чём заключается и в каких случаях применяется формула Байеса?
9. Поясните смысл формулы Бернулли.
Задания для практического занятия № 9.
Задание 1.
В три юридические фирмы обратились граждане. 55% обратились в первую фирму, 35% - во вторую, 10% - в третью. Среди тех, кто обратился в первую фирму по гражданским делам – N%, во вторую фирму – V%, в третью – W%. Найти вероятность того, что случайно выбранный гражданин пришел за помощью по гражданскому делу?
Задание 2.
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна , для второго - , для третьего - . Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Задание 3.
В студенческой группе 55% имеют высокий уровень подготовки по «семейному праву», 35% – средний и 10% – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны:, и. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что сдал экзамен студент, имеющий средний
уровень подготовки.
Задание 4.
Прививка от гриппа дает положительный результат в 70% случаев. Найти вероятность, что в группе из N человек более чем для двух она будет бесполезной. 
Задание5.
 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при N выстрелах будет ровно 3 попадания в цель.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №9
1.Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.
2.Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.В Приложении 9 выберите свой вариант и выполните задания 1-3.
4. При решении задач1-3 необходимо знать формулу полной вероятности и формулу Байеса и уметь их использовать для определения вероятностей. Необходимо обозначить событие и гипотезы, которые составляют полную группу событий. Если , то либо не все гипотезы выдвинуты, либо есть лишние.
5.При решении задач 4,5 примените формулу Бернулли.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию
1.В тетради для практических занятий напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
2.Перепишите текст задачи для конкретного варианта.
3.Найдите условные вероятности и вероятности гипотез.
4.Выполните задания 1-3 с помощью формул полной вероятности и Байеса.
5.Выполните задания 4,5 с помощью формул Бернулли.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №9
«Вычисление вероятностей событий по формуле Байеса»
Вариант 0.
Задание 1.
В три юридические фирмы обратились граждане. 55% обратились в первую фирму, 35% - во вторую, 10% - в третью. Среди тех, кто обратился в первую фирму по гражданским делам – 70%, во вторую фирму – 25%, в третью – 15%. Найти вероятность того, что случайно выбранный гражданин пришел за помощью по гражданскому делу?
Решение.
СобытиеА – гражданин обратился в юридическую фирму по гражданскому делу..Гипотезы: гражданин обратился в первую фирму.
гражданин обратился во вторую фирму.
гражданин обратился в третью фирму.
Из условия задачи определим вероятности:
Причём
Условные вероятности: .
По формуле полной вероятностиимеем:

Ответ. С вероятностью 0,4875 гражданин обратился в юридическую фирму по гражданскому делу.
Задание 2.
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что
выстрелы произведены первым стрелком.
Решение.
СобытиеА - после произведенных выстрелов мишень не поражена.
Возможны три гипотезы:
  на линию огня вызван первый стрелок,
 на линию огня вызван второй стрелок,
  на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то 
Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы  после опыта:

Ответ. Вероятность того, что мишень не поражена первым стрелком 0,628.
Задание 3.
В студенческой группе 55% имеют высокий уровень подготовки по «семейному праву», 35% – средний и 10% – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что сдал экзамен студент, имеющий средний уровень подготовки.
Решение.
Событие А-студент сдал экзамен.
Возможны три гипотезы:
  студент имеет высокий уровень подготовки,
 студент имеет средний уровень подготовки,
 студент имеет низкий уровень подготовки.
Из условия задачи определим вероятности:
Причём
Условные вероятности:
По формуле Байеса вероятность гипотезы при условии, что экзамен сдан

Ответ. Вероятность того, что сдал экзамен студент, имеющий средний уровень
подготовки равна 0,303.
Задание 4.
Прививка от гриппа дает положительный результат в 70% случаев. Найти вероятность, что в группе из 15 человек более чем для двух она будет бесполезной. Решение: СобытиеА- событие, состоящего в том, что в группе из 15 человек прививка будет бесполезной не более, чем для двух человек.
Вероятность того, что прививка даст положительный результат равна q=0,7.
Вероятность того, что прививка будет бесполезной, равна p=1-q=0.3. Событие А равно сумме событий;; : прививка будет полезна всем пациентам,  прививка будет бесполезна для 1 пациента,  прививка будет бесполезна для 2 человек. Согласно формуле Бернулли, получим: 

Тогда вероятность события , состоящего в том, что прививка будет бесполезна более чем для двух человек, равна: 

Ответ.Вероятность, что в группе из 15 человек более чем для двух она будет бесполезной равна 0,8732. 
Задание5.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах будет ровно 3 попадания в цель.
Решение. 
Подставляем в формулу Бернулли данные задачи  и получаем:

Ответ.Вероятность того, что при 5 выстрелах будет ровно 3 попадания в цель равна 0,3087.
Раздел 3 «ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»
Тема 3.2 «СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОБРАБОТКИ»
Практическое занятие № 10
«Решение статистических задач и обработка информации»
Учебная цель:вырабатывать умения в обработке информации.
Учебные задачи:
1Научиться вычислять числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.. Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
Определять математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
знать:
-- основы математической статистики.
Задачи практического занятия № 10:
1.Повторить теоретический материал по теме практической работы.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Решить задачи.
4.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.Учебно-методическая литература:
Математика: Учебное пособие / Под ред. С.Г.Григорьев. – М.: Издательский центр «Академия» -М, 2007. – 382 с.
2.Справочная литература: Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 2001.
Спирин П.А., Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Академия, 2005.
3.Тетрадь для практических занятий в клетку.
4.Калькулятор: простой.
5. Ручка.
6.Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Случайная величина называется дискретной, если множество значений её конечное или бесконечное, но счётное.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Одним из способов задания закона распределения ДСВ Х является задание таблицы, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Такая таблица носит название ряда распределения
Ряд распределения будет выглядеть:
…
…

.
Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения.
В теории вероятностей для общей характеристики случайной величиныиспользуются числовые характеристики случайной величины.
О каждой случайной величине необходимо знать её среднее значение М(Х), около которого группируются возможные значения случайной величины, а также число Д(Х), характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего.
Математическим ожиданием ДСВ Х с законом распределения
…
…
называется числоМ(Х) = (8.1)
Математическое ожидание М(Х)называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая тем самым статистический смысл этого понятия.
Математическое ожидание М(Х) ещё называют центром распределения случайной величины Х.
Разным случайным величинам может соответствовать одно и тоже математическое ожидание, поэтому одного математического ожидания недостаточно для описания случайной величины. Введём числовую характеристику, показывающую степень рассеяния случайной величины относительно центра(т.е. математического ожидания)
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 

2. Постоянный  множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Для разности аналогично.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
(8.2)
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
(8.3)
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №10
1. Дайте определение дискретной случайной величины.
2.Дайте определение характеристикам ДСВ.
Задания для практического занятия № 10.
Задание 1.
По заданному ряду распределения случайной величины Х:
вычислите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х);
хi1 2 3 4
pi 0,3 0,2 0,4 0,1
Задание 2.
Найти математическое ожидание случайной величины Х - числа угаданных номеров в «Спортлото» из Nпо 49.
Задание 3.
Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения
1 2 3 4

Найдите: 
Задание 4
Пусть Х и У – две независимые случайные величины, причём М(Х)=3 и М(У)=3. Найдите математическое ожидание случайной величины Z= NХ- (N-1) У

Задание 5
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,3 0,7
У 30 40 60
р0,5 0,2 0,3
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Инструкции по выполнению заданий практического занятия №10
1.Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
2.Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Выберите свой вариант и выполните задания 1-5.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию №10.
1.В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
2.Перепишите текст задач для конкретного варианта.
3. В задании №1используя формулы (8.1),(8.2),(8.3), определите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х).
4. В задание №2 определите вероятности значений случайной величины, затем составьте
закон распределения и по формулу 8.1определите М(Х).
5.В задании №3 определите с, затем по формулам 8.1-8.3 найдите математическое ожидание,математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х);
6.В задании №4 используя свойства математического ожидания, найдите математическое ожидание случайной величины.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие № 10
«Решение статистических задач и обработка информации»
Вариант 0.
Задание1.
По заданному ряду распределения случайной величины Х:
вычислите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х).
.
-1 1 2 4
0 0,2 0,15 0,65
Решение.
Математическое ожидание М(Х) определим по формуле .
.
Вычислим дисперсию по формуле
.

.
Среднее квадратичное отклонение вычислим по формуле σ(Х)=.
.
Ответ.М(Х) =3,1, D(X)=1,59,
Задание 2.
Найти математическое ожидание случайной величины Х - числа угаданных номеров в «Спортлото» из N по 49.
Решение.
1.Составим закон распределения случайной величины Х. Т.к. при игре в спортлото можно не угадать ни одного номера, либо угадать 1,2,3,4,5,6номеров, то случайная величина Х может принимать значения: 0,1,2,3,4,5.6.
Найдём вероятности каждого из этих значений:
; ; ;


Окончательно закон распределения имеет вид:
X 0 1 2 3 4 5 6
P 0,4360 0,4130 0,1324 1,018 0,0097 0,000018 7 QUOTE
2.В соответствии с законом распределения:
М(Х) = 0+1+2+3+4+5+6= 0 QUOTE 0,4360 +1 QUOTE 0,4130
+2 QUOTE 0,1324+3 QUOTE 1,018+4 QUOTE 0,0097+5 QUOTE 0,000018+6 QUOTE 7 QUOTE = 0,735.
Таким образом, среднее число угаданных номеров равно 0,735.
Задание 3.
Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения
1 2 3 4

Найдите: 
1) Так как , т.е. , следовательно 

Т.о. закон распределения примет вид
1 2 3 4


2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.
 

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

4) 
Ответ. С =0, М(Х)=67/24, D(Х) =575/576, QUOTE (Х)=5 QUOTE /24, Р(Х QUOTE 3)=3/8.
Задание 4
Пусть Х и У – две независимые случайные величины, причём М(Х)=3 и М(У)=3. Найдите математическое ожидание случайной величины Z= 3Х-2У
Решение.
М(Z) = M(3X-2У) = M(3X) - M(2У) = 3M(X) – 2M(У) = 3 QUOTE 2-2 QUOTE =0
Ответ. Математическое ожидание равно 0.
Приложение 8.
Задание1.
1.
хi1 2 3 4
pi 0,3 0,2 0,4 0,1
2.
хi10 20 30 40
pi 0,1 0,2 0,4 0,3
3.
хi3 4 7 10
pi 0,2 0,1 0,4 0,3
4.
хi-2 1 3 10
pi 0,2 0,2 0,3 0,3
Задание2.
Вариант1Вариант2Вариант3 Вариант47 5 4 8
Задание 3.
1вариант.
Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения
1 2 3 4

2 вариант. 1 2 3 4
с
3вариант.
1 2 3 4
с
4вариант.
1 2 3 4
Найдите:
Задание 4.
Вариант1Вариант2Вариант3 Вариант46 5 4 3
Задание 5.
Вариант1.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,4 0,6
У 30 40 60
р0,4 0,4 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Вариант2.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,3 0,7
У 30 40 60
р0,2 0,6 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Вариант3.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,7 0,3
У 30 40 60
р0,5 0,3 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Вариант4.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,6 0,4
У 30 40 60
р0,3 0,5 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Приложение.
Практическая работа№1
№
варианта
1 -1 4 2 2 1
2 3 0 3 1 2
3 2 1 -2 1 3
4 1 0 4 2 1
5 1 -3 1 1 2
6 2 4 3 2 3
7 4 3 4 2 1
8 -3 2 1 1 2
9 2 2 3 1 3
10 2 -1 0 2 1
Практическая работа №2.
Вариант11. QUOTE 3.
Вариант21. QUOTE 2. 3.
Вариант3 2.3.
Вариант41. QUOTE 2. 3.
Вариант5 1. QUOTE 2. 3.
Вариант61. QUOTE 2. 3.
Практическая работа №3-4
Вариант 1 1. 2.
Вариант 2 1. 2.
Вариант 3 1. 2
Вариант 4 1. 2.
Вариант5 1. 2.
Вариант61. 2.
Практическая работа №5.
Вариант 1 1. 2.
Вариант 2 1. 2.
Вариант 3 1. 2.
Вариант 4 1. 2. .
Вариант 5 1. 2.
Вариант 6 1. 2.
Практическая работа №6.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Вариант18 8 4 8 4 5 12 10 5 3
Вариант29 9 3 6 5 6 14 11 6 2
Вариант3 10 10 6 3 6 7 16 12 7 4
Вариант411 11 7 4 7 8 15 13 8 5
Практическая работа №7.
1 2 3 4 5 6 7
Вариант112 20 6 10 12 7 12
Вариант213 25 8 12 14 8 13
Вариант3 16 30 10 14 15 9 14
Вариант417 35 12 16 16 6 15
Практическая работа № 8.
1 2 3 4 5 6
N K Вариант160 220,7 0,8 0,3 0,8 0,7 0,4 0,7 0,9 0,6 0,3 0,9 0,9
Вариант250 36 0,5 0,7 0,6 0,7 0,8 0,6 0,3 0,7 0,4 0,8 0,7 0,6
Вариант3 72 18 0,6 0,7 0,9 0,6 0,7 0,8 0,5 0,4 0,7 0,6 0,3 0,7
Вариант464 24 0,8 0,6 0,5 0,7 0,6 0,3 0,7 0,2 0,8 0,3 0,2 0,6
Практическая работа № 9.
1 2 3 4 5
N V W N N
Вариант165 40 35 0,6 0,4 0,7 0,65 0,7 0,3 12 10
Вариант275 55 40 0,7 0,8 0,5 0,75 0,8 0,5 11 12
Вариант3 80 65 45 0,8 0,6 0,7 0,85 0,7 0,2 13 8
Вариант470 75 85 0,6 0,5 0,8 0,95 0,6 0,35 17 9
Практическая работа №10.
Задание1.
1.
хi1 2 3 4
pi 0,3 0,2 0,4 0,1
2.
хi10 20 30 40
pi 0,1 0,2 0,4 0,3
3.
хi3 4 7 10
pi 0,2 0,1 0,4 0,3
4.
хi-2 1 3 10
pi 0,2 0,2 0,3 0,3
Задание2.
Вариант1Вариант2Вариант3 Вариант47 5 4 8
Задание 3.
1вариант.
Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения
1 2 3 4

2 вариант. 1 2 3 4
с
3вариант.
1 2 3 4
с
4вариант.
1 2 3 4
Найдите:
Задание 4.
Вариант1Вариант2Вариант3 Вариант46 5 4 3
Задание 5.
Вариант1.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,4 0,6
У 30 40 60
р0,4 0,4 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Вариант2.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,3 0,7
У 30 40 60
р0,2 0,6 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Вариант3.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,7 0,3
У 30 40 60
р0,5 0,3 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Вариант4.
Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин Х и УХ 10 20
р0,6 0,4
У 30 40 60
р0,3 0,5 0,2
Найдите числовые характеристики величины Х:М(Х),D(X),
Найдите числовые характеристики величины У:М(У),D(У),
Найдите М(Х+У),D(2X+У), D(X-У).
Список источников и литературы,
используемых при подготовке методических указаний
1. Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. – СПб.: Питер, 2008. – 461 с.
2. Гончаров Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики: М.: ФОРУМ – ИНФРА-М, 2010. – 128 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2010. – 479 с.
4. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учеб.пособие для вузов. М.: Астрель,2009. – 656 с.
5. Миронова Н.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – Ростов н/Д.: Феникс, 2008. – 212 с.
6. Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2009. – 352 с.
7. Спирин П.А., Спирина М.С. Дискретная математика. М.: Академия, 2010, учебное пособие по теории вероятностей и математическая статистика. – 368 с.
8. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних проф. учеб.заведений/Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
9. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2010. – 575 с.
Афонина Надежда Евгеньевна
Преподаватель математики
ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»
«Математический и общий естественнонаучный цикл»
основной профессиональной образовательной программы
Специальность:030912 ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ