Методические указания к практическим занятиям студентам специальности38.02.01 Экономика и бухгалтерский учёт
Министерство образования и науки Самарской области
ГБПОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»
математический и общий естественнонаучный цикл
социально-экономический профиль
Специальность:
15.02.08 ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Самара, 2015 г.
Раздел 2 «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Темы 2.1. «МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ»
Практическое занятие №1
«Вычисление определителей»
Учебная цель: формировать умение вычислять определители 2-го, 3-го и n-го порядка.
Учебные задачи:
Научиться вычислять определитель 2-го порядка;
Научиться вычислять определитель 3-го порядка;
Научиться определять определитель n-го порядка;
Научиться применять свойства при вычислении определителей.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- использовать методы линейной алгебры;
знать:
- основные понятия и методы линейной алгебры.
Задачи практического занятия №1
Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
Выполнить задания на вычисление определителей.
Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
Тетрадь для практических занятий в клетку.
Калькулятор: простой.
Ручка.
Карандаш.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Определитель матрицы второго порядка называется число
.
Определитель матрицы третьего порядка называется число
.
Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается в результате вычёркивания в определителе n-го порядка строки и столбца, содержащих элемент .
Алгебраическим дополнениемэлемента называется его минор, умноженный на: .
Разложение определителя по элементам ряда. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
или
.
Если в определителе все элементы ряда, кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение, т.е.
.
Правила Саррюса (правило треугольников)
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получается два треугольника, вершинами которых являются перемножаемые элементы.) (рис. 1).
Рис.1 Рис.2
Слагаемые, входящие в сумму со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали. (рис.2).
Свойства определителей:
1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.
2. Общий множитель всех элементов ряда определителя можно вынести за знак определителя.
3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
4. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
5. Если каждый элемент какого-либо столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых , то этот определитель равен сумме двух определителей, у которого k-й столбец первого определителя состоит из элементов , а k-й столбец второго – из элементов
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию№1.
Дайте определение определителя второго порядка.
Дайте определение определителем третьего порядка.
Запишите минор элемента определителя.
Запишите формулу для вычисления алгебраического дополнения элемента определителя.
Сформулируйте правило Саррюса.
Сформулируйте свойства определителей.
Перечислите способы вычисления определителя 4 порядка.
Задания для практического занятия №1
Задание 1. Вычислите определитель двумя способами: разложением по элементам i-той строки и i-того столбца и по определению.
Задание 2. Вычислите определитель тремя способами: разложением по элементам j-той строки и j-того столбца, по правилу Саррюса, используя свойства определителя.
Задание 3. Вычислитель определитель , используя свойства определителя.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №1
Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
В приложении 1 выберите свой вариант и выполните задания 1-3.
Методика анализа результатов, полученных в ходе практического занятия
Преобразование определителей. Используя свойства определителя, можно значительно
упростить его вычисление. Например,
Вывод. В результате вычисления определителя разложением по элементам строки и столбца вы должны получить один и тот же ответ.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию№1.
В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
Перепишите текст задачи для конкретного варианта, подставив соответствующие значения .
Разложите определитель по элементам i-той строки и вычислите определитель 2-го порядка.
Разложите определитель по элементам i-того столбца и вычислите определитель 2-го порядка.
Вычислите определитель второго порядка по определению.
Сравните результаты.
Вычислите определитель третьего порядка по правилу Саррюса.
Разложите определитель по элементам j-той строки и вычислите определитель 3-го порядка.
Разложите определитель по элементам j-того столбца и вычислите определитель 3-го порядка.
Вычислите определитель 3-го порядка, используя свойства определителя.
Сравните результаты.
Вычислите определитель 4-го порядка, используя свойства определителя.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №1 «Вычисление определителя»
Вариант 0.
Задание 1. Вычислите определитель двумя способами: разложением по элементам i-той строки и i-того столбца и по определению.
Решение.
Вычислим определитель разложением по элементам 2 строки:
Вычислим определитель разложением по элементам 2 столбца:
Вычислим определитель по определению:
Вывод. Во всех случаях определители равны 21.
Задание 2. Вычислите определитель тремя способами: разложением по элементам j-той строки и j-того столбца, по правилу Саррюса.
Решение.
Вычислим определитель разложением по элементам 1 строки:
=2·(2·1-3·(-2)) + 1·(7·1-3·3) + 4(7·(-2)-3·2) = -66.
Вычислим определитель разложением по элементам 1 столбца:
Вычислим определитель 3-го порядка по правилу Саррюса:
Вычислим определитель, используя свойства определителя.
Считая третью строку ведущей, каждый элемент её умножим на -3 и сложим с соответствующим элементом 2-ой строки. Затем каждый элемент 3-ей строки умножим на -4 и сложим с соответствующим элементом 1-ой строки. Получив в 3-ем столбце все нули, кроме одного, разложим определитель по элементам 3-го столбца .Вывод. Во всех случаях определители равны -66.
Задание 3. Вычислите определитель,используя свойства определителя.
Решение.
=
Считая первую строку ведущей, перепишем вторую строку без изменения. Сложим
каждый элемент первой строки с соответствующими элементами 3–ей строки.
Умножим каждый элемент первой строки на -3 и сложим с соответствующими элементами 4-ой строки. Разложим по элементам 4-го столбца. Получим определитель3-го порядка. Считая первую строку ведущей, перепишем вторую строку без изменения. Умножим элементы первой строки на -5 и сложим с соответствующими элементами 3-ей строки. Разложим определитель 3-го порядка по элементам 1-го столбца. Полученный определитель 2-го порядка, вычислим по определению.
Практическая работа№1
№
варианта
1 -1 4 2 2 1
2 3 0 3 1 2
3 2 1 -2 1 3
4 1 0 4 2 1
5 1 -3 1 1 2
6 2 4 3 2 3
7 4 3 4 2 1
8 -3 2 1 1 2
9 2 2 3 1 3
10 2 -1 0 2 1
Раздел 2 «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Темы 2.2. «СИСИТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Практическое занятие №2
«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Учебная цель: формировать умение решать системы линейных уравнений.
Учебные задачи:
научиться решать систему линейных уравнений по правилу Крамера;
научиться решать систему линейных уравнений методом обратной матрицы;
научиться решать систему линейных уравнений методом Гаусса.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений;
знать:
- основные понятия линейной алгебры.
Задачи практического занятия №2
Изучить теоретический материал по теме практического занятия.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
Решить задачу на нахождение решения системы линейных уравнений тремя способами.
Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения)
Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
Рабочие тетради: тетради для практических занятий в клетку.
Калькулятор: простой.
Ручка.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практической работы
Решением n линейных уравнений с m неизвестными называется упорядоченная совокупность , обращающая каждое уравнение системы
в верное равенство.
Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется следующими способами:
1. Метод Крамера.
Решение системы находится по формулам: , где – определитель матрицы системы; – определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца столбцом свободных членов.
2. Метод обратной матрицы.
Решение системы находится с помощь уравнения: , где – матрица, обратная матрице .
3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Данный метод решения системы линейных уравнений заключается в том, что нужно привести исходную систему к треугольному виду, т.е.
Затем последовательно находить каждую неизвестную.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются:
перемена двух или нескольких уравнений местами;
умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;
прибавление к какому-либо уравнению системы другого уравнения, умноженного на число;
удаление из системы уравнение вида .
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное решение?
В чём заключается метод Крамера?
В чём заключается метод обратной матрицы?
В чём заключается метод Гаусса?
Задание для практического занятия №2
Задание. Решите систему методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №2
Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
В приложении 1 выберите свой вариант и выполните задание. Номер соответствует последней цифре в зачётной книжке.
Методика анализа результатов, полученных в ходе практического занятия
1. Метод Крамера. Для того чтобы решить систему методом Крамера, необходимо найти определители , причём .
2. Метод обратной матрицы. Для того чтобы решить систему методом обратной матрицы, необходимо найти матрицу обратную матрице А, т.е. , так, как показано в практической работе №2. Затем выполнить произведение двух матриц .
3. Метод Гаусса. Для удобства решения систему линейных уравнений можно записать в виде расширенной матрицы и с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду:
В последнем уравнении должна остаться одна неизвестная.
3. Вывод: Сравните результаты во всех трёх случаях.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию
В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
Перепишите текст задачи для конкретного варианта.
Вычислите определитель матрицы.
Определите, сколько решений имеет система линейных уравнений.
Вычислите определители , и .
Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
Найдите .Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы, используя формулу .
Приведите матрицу А к треугольному виду.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
Сравните результаты и сделайте вывод о совпадении решений системы линейных уравнений во всех трёх случаях.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №2: «Отработка алгоритма решения систем линейных уравнений по правилу Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса»
Вариант 0.
Задание. Решите систему методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.
Решение.
Вычислим определитель матрицы .
Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
1) Метод Крамера: .
.
2) Метод обратной матрицы:
.
3) Метод Гаусса:
Вывод. Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: .
Приложение2.
№
варианта Система
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Раздел 4 «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯ»
Темы 4.1 «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»
Практическое занятие №3:
«Исследование функции с помощью дифференциального исчисления»
Учебная цель: формировать умение исследовать функцию.
Учебные задачи:
1. научиться исследовать функцию;
2. научиться строить график функции.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения
Студент должен
уметь:
- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
знать:
- основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
- основные понятия и методы математического анализа;
- основы интегрального и дифференциального исчисления.
Задачи практического занятия №3
1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.
4. Исследовать функцию.
5. Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1. Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2010. – 575 с.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.
2. Рабочие тетради: тетради для практических занятий в клетку.
3. Калькулятор: простой.
4. Ручка.
5. Карандаш: простой.
6. Чертёжные материалы: линейка.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия
Под областью определения функции понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена, D(f).
Функция f называется чётной, если для любого х из её области определения . Функция f называется нечётной, если для любого х из её области определения .
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Вертикальные асимптоты. График функции при имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид .
Горизонтальные асимптоты. График функции при имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид .
Наклонные асимптоты. Пусть график функции имеет наклонную асимптоту :
Точка из области определения, в которой производная равна 0 или не существует называется критической точкой.
Если , то функция возрастает на промежутке. Если , то функция убывает на промежутке.
Если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на (-), то она является точкой максимума функции. Если при переходе через точку производная меняет знак с «-» на (+), то она является точкой минимума функции.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума:
Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:.
Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции.
Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.
Схема исследования функции.
1. Область определения функции.
2. Чётность, нечётность функции.
3. Точки пересечения с осями координат.
4. Асимптоты.
5. Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.
6. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
7. График.
Таблица производных и интегралов некоторых функций
k-const0
Правила вычисления производных:
1.
2.
3.
4.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
1. Что включает в себя исследование функции?
2. Что называется областью определения?
3. Какая функция называется чётной (нечётной)?
4. Как найти точки пересечения графика функции с осью Х (с осью Y)?
5. Что называется асимптотой?
6. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции?
7. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?
8. Что называется точкой экстремума? Как найти точки экстремума?
9. Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы и минимумы функции?
10. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции?
Задание для практического занятия №2
Задание. Исследуйте функцию и постройте график.
Инструкция по выполнению заданий практического занятия №2
1. Изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.
2. Ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала.
3. В Приложении 3 выберите свой вариант и выполните задание. Номер соответствует последней цифре в зачётной книжке.
Методика анализа результатов, полученных в ходе практического занятия
1. Область определения функции. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль.
2. Чётность, нечётность функции. График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Например, функция - чётная, так как . График функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Например, функция - нечётная, так как . Если функция ни чётная, ни нечётная, то говорят, что функция имеет график общего положения.
3. Точки пересечения с осями координат. Абсцисса пересечение с осью OX ищется исходя из уравнения . Ордината пересечение с осью OY ищется подстановкой значения в выражение функции . Если пересечение с осью OX найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью OY не представляет труда.
4. Асимптоты. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая является вертикальной асимптотой. Например, в точке функция имеет разрыв второго рода. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты . График функции имеет наклонную асимптоту при , если существуют конечные пределы , . Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет. Если и существует конечный предел , то асимптота является горизонтальной и её уравнение .
Если есть горизонтальная асимптота, то нет наклонной, и наоборот.
5. Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы. Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками.
6. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции.
7. График. На основании проведённого исследования строим график. Если необходимо вычисляем значение функции в некоторых промежуточных точках.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию
1. В тетради для практических работ напишите название практического занятия и номер соответствующего варианта.
2. Перепишите функцию для конкретного варианта (Приложение 3).
3. Проведите исследование функции по схеме.
4. Постройте график данной функции.
Образец отчета по практическому занятию
Практическое занятие №1:
«Исследование функции с помощью дифференциального исчисления»
Вариант 0.
Задание. Исследуйте функцию и постройте график.
Решение.
1. Область определения функции.
2. Чётность, нечётность функции.
функция не является чётной.
функция не является нечётной.
График функции не симметричен ни относительно начала координат, ни оси OY.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Ох: .
График пересекается с осью Ох в точке .
Пересечение с осью Оу: х=0.
.
График не пересекается с осью Оу , т.к.
4. Асимптоты.. Значит, - вертикальная асимптота.
. Горизонтальной асимптоты нет.
.
.
Значит, наклонная асимптота.
5. Промежутки возрастания и промежутки убывания. Экстремумы..
.
.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.
.
6. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.
.
Дробь отлична от нуля, т.к.
Точек перегиба нет.
7. График.
Приложение 3.
№ варианта Задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
0.
Раздел 4 «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯ»
Тема 4.2 «Интегральное исчисление»
Практическое занятие № 4
«Интегрирование функций»
Учебная цель: формировать умение находить интегралы различных функций.
Учебные задачи:
1.Научиться находить интегралы методом интегрирования по частям.
2.Научиться находить интегралы тригонометрических функций, используя тригонометрические формулы и путем введения новой переменной (метод подстановки).
3.Научиться интегрировать некоторые иррациональные функции.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
дифференцировать и интегрировать функции;
знать:
основные понятия и методы математического анализа.
Задачи практического занятия №4
1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.
2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3.Решить задачи на нахождение интегралов методом введения новой переменной, методом интегрирования по частям.
4.Выполнить интегрирование тригонометрических функций.
5. Выполнить интегрирование некоторых иррациональных функций.
6.Оформить отчет.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1. Справочная литература:
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.
- Таблица неопределенных интегралов.
2. Тетрадь для практического занятия.
3. Калькулятор.
4. Ручка.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
по теме практического занятия № 4
1. Если , - дифференцируемые функции от , то из формулы для дифференциала произведения двух функций
получается формула интегрирования по частям
.
Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функций.
В качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая , из которых можно определить путем интегрирования.
2. Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда. В этих случаях одним из эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Этот метод описывается следующей формулой:
.
3. Интегрирование тригонометрических функций.
1). Интегрирование вида , ,
находятся с помощью тригонометрических формул:;
;
.
2) Интегралы вида , где и - четные числа, находятся с помощью формул: ; ; . Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то интеграл находим непосредственно, отделяя от нечетной степени один множитель и вводя новую переменную. Например, если ,то .
3) Интегралы вида
где - рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки , при этом , , .
Если , то целесообразно применять подстановку , при этом ; ; , . 4. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Простейшие интегралы от функций, содержащих иррациональности, являются табличными, либо сводятся к ним с использованием свойств интеграла и замены переменной. В более сложных случаях основной подход состоит в сведении искомого интеграла к интегралу от рациональной функции с помощью подходящей замены переменной (так называемой рационализации интеграла).
Интегралы вида , (где рациональная функция) находится с помощью подстановок соответственно , , .
Интеграл вида реализуется с помощью замены .
Интегралы вида , где реализуются с помощью подстановки .
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
1. В чем заключается метод замены переменных при отыскании неопределенного интеграла?
2. Выпишите формулу интегрирования по частям.
3. По какому принципу происходит разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя ( и) при применении формулы интегрирования по частям?
4. Какие виды подстановок используются при интегрировании тригонометрических функций?
5. Перечислите основные приемы, используемые при интегрировании некоторых иррациональных функций.
Задания для практического занятия №4
Вариант №1.
1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):
а) ; б) ; в) ; г) .
2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:
а) ; б) ; г) .
4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:
а) ; б) ; г) .
Вариант №2.
1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):
а) ; б) ; в) ; г) .
2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:
а) ; б) ; в) .
4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:
а) ; б) ; в) .
Вариант №3.
1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):
а) ; б) ; в) ; г) .
2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:
а) ; б) ; в) .
4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:
а) ; б) ; в) .
Вариант №4.
1. Найдите интегралы методом замены переменной (метод подстановки):
а) ; б) ; в) ; г) .
2. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Найдите интегралы следующих тригонометрических функций:
а) ; б) ; в) .
4. Найдите интегралы следующих иррациональных функций:
а) ; б) ; в) .
Инструкция по выполнению практического занятия № 4:
1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.
2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.
3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).
4. Внимательно прочитайте каждое задание. Определите, к какому виду относятся данные интегралы.
5. В первом задании интегралы находите методом подстановки. В заданиях под буквами а) и б) замените функции в скобках. В задании под буквой г) выделите в знаменателе полный квадрат и сделайте замену выражения в скобке, приведя данный интеграл к табличному.
6. Для выполнения второго задания нужно использовать метод интегрирования по частям. В задании под буквой а) за лучше взять тригонометрическую функцию, в задании б) – показательную функцию. В задании под буквой в) возьмите за логарифмическую функцию, а в задании г) – тригонометрическую. В некоторых заданиях после применения формулы интегрирования по частям необходимо применить метод подстановки.
7. При выполнении третьего задания обратитесь к кратким теоретическим и учебно-методическим материалам по теме практической работы и определите к какому виду относится заданный интеграл и выберете метод его вычисления.
8. При выполнении четвертого задания обратитесь к кратким теоретическим и учебно-методическим материалам по теме практической работы и определите к какому виду относится заданный интеграл и выберете метод его вычисления.
9. Проверьте правильность решения заданий.
10. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно спишите их в чистовик.
Порядок выполнения отчета по практическому занятию №10-11
1. Запишите тему практического занятия.
2. Под темой практического занятия запишите номер варианта.
1 вариант выполняют студенты, у которых последняя цифра в зачётной книжке 1,2,3.
2 вариант выполняют студенты, у которых последняя цифра в зачётной книжке 4,5.
3 вариант выполняют студенты, у которых последняя цифра в зачётной книжке 6,7,8
4 вариант выполняют студенты, у которых последняя цифра в зачётной книжке 9,0.
3.Далее записывайте номер задания, перепишите текст задания.
4.С новой строчки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию).
Образец отчета по практическому занятию №41.Найти интегралы методом замены переменной:
а) .
Решение. Пусть , тогда и .
Ответ:
б) .
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение: выделим полный квадрат в знаменателе..
Пусть , тогда и .
.
Ответ: .
2. Найти интегралы по формуле интегрирования по частям:
а) .
Решение. Пусть , тогда .
Ответ: .
б) .
Решение. Пусть , тогда .
Ответ: .
в)
Решение. Пусть , тогда .
Ответ:
г) .
Решение. Пусть , тогда .
Ответ:.
3. Найти интегралы следующих тригонометрических функций:
а) .
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение с помощью формулы : , тогда
Ответ:
б) .
Решение. Здесь . Преобразуя подынтегральную функцию с помощью соответствующих формул, находим
Ответ:
в) .
Решение. В данном случае . Получаем
Ответ:
4. Найти интегралы:
а) .
Решение. Вычислим данный интеграл, используя метод подстановки.
Применим подстановку , откуда и .
Ответ:
б) .
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение: выделим полный квадрат в знаменателе: .
Применим подстановку , тогда и .
Ответ:
в) .
Решение. Наименьшее общее кратное степеней 2 и 4 радикалов, через которые записана подынтегральная функция, равно4. поэтому полагаем
, тогда , .
Первый и третий интегралы – табличные, а для нахождения второго интеграла воспользуемся методом подстановки.
Пусть , тогда и .
.
Ответ: