Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.
Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.
Тема: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
Разработку подготовила
учитель математики
высшей квалификационной категории
МБОУ СОШ № 31
г.Новочеркасска, Ростовской области
Шевченко Людмила Ивановна
2014 год
Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике
Тема: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
1.Примерное планирование учебного времени:
Содержание занятий Цели занятий Количество часов
Простейшие тригонометрические уравнения Повторить общие и частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений. Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора. 1
Виды тригонометрических уравнений и методы их решения Повторение основных методов решения тригонометрических уравнений: однородных I и II степеней; вынесением общего множителя за скобки; применением формул приведения, двойного угла, понижения степени и т.д. 2
Отбор корней при решении тригонометрических уравнений Повторение алгоритмов отбора корней в тригонометрических уравнениях. Напомнить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях. 3
Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений» Проверка знаний и умений отбора корней при решении тригонометрических уравнений. 1
План-конспект урока по теме
"Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"
Цели:
- повторить основные формулы решения тригонометрических уравнений и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;
-рассмотреть основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.
Оборудование: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.
Ход урока
1.Организационный момент.Учитель обращает внимание учащихся на важность темы урока. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тестах ЕГЭ.
2.Актуализация знаний. Учащиеся устно заполняют третий столбец таблицы,
проверка проводится с помощью презентации на слайде.
Значения
а Уравнение Формулы решения уравнений
sinx=a
sinx=a уравнение решений не имеет
а=0 sinx=0
а=1 sinx= 1
а= -1 sinx= -1
cosx=a
cosx=a уравнение решений не имеет
а=0 cosx=0
а=1 cosx= 1
а= -1 cosx= -1
tgx=a
ctgx=a
Актуализация опорных знаний (устная работа).
В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса; формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
1). Вычислите:
а) arcsin(-1)
б) arccos
в) arcsin 2 (не существует);
г) arctg
д)arccos(не существует);
е) arсctg= - arсctg
2).Решить уравнения:
а) cosx = - 1; ;
б) sin х = ;
;
в) cosх = 0; ;
г) tgx = ; .
3.Обобщение знаний.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа.Перед вами раздаточный материал.
Выполнение заданий: Учащиеся делятся на группы и решают задания, применяя разные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.
1 группа:(алгебраический способ)
Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π.Пример 1.
Решение :Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе
Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение
Получаем
Итак,
Пример 2.
Решение.
Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение
где целое число.
Пусть
тогдаИтак,
2 группа: Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности.
Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.
Пример 1.cosx + cos 2x – cos 3x = 1.
Решение.
cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,
2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0,
2sin x (sin 2x – sin x) = 0,
Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида из корней первой серии.
0xy
Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.
Решение.
tg x · tg 2x · tg 3x = 0;
Из второй серии корней числа вида не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида входят в третью серию. Первая серия так же входит в третью серию корней, поэтому ответ можно записать одной формулой.
0xy0
Пример 3
Решение.
Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.Нанесем на числовую окружность все числа
серии и исключим корни,
удовлетворяющие условию
0xy0
Оставшиеся решения из серии корней можно
объединить в формулу
3 группа : Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.
Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.
Пример 1. Найти корни уравнения
sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие
условию x [0; 2π].
Решение.
sin 2x = cos x | cos x |;
2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;
cos x (2sin x - | cos x |)=0;
Определим решения систем с помощью числовой окружности.
0yx0yxcos x ≥ 0cos x < 0
Условию x [0; 2π] удовлетворяют числа (для первой системы) и (для второй системы).
Пример 2. Найти все решения уравнения
принадлежащие отрезку
Решение.
ОДЗ: cos 3x ≥ 0;
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:
0yx
Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно .
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:
1 + sin 2x = 2cos2 3x ;
sin 2x = cos 6x;
sin 2x - cos 6x=0;
Пример 3 .Решить уравнение 6sin2x+2sin22x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .
Решение.
Приведем уравнение 6sin2x+2sin22x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.
6··1-cos2x2+2(1-cos22x)-5=0,
cos22x +3cos2x = 0,
cos2x (cos2x + 3) =0,
cos2x = 0.783590254000
Откуда
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.
При к=2 получим , при к=3 получим .
Ответ: .
4.Отчет групп.
Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней тригонометрических уравнений.
5.Подведение итогов.
Какими способами можно произвести отбор корней?
Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?
6.Домашнее задание.
1.Решите уравнение: sin2x+2sin2x-cosx=0.2.Найдите сумму корней уравнения sin3x-cos3x= 22, принадлежащих отрезку
[-π;π2].
3.Решите уравнение: cosx sin5x=0.Проверочная работа по теме
«Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»
Работа рассчитана на 45 минут
1.Найдите наименьший положительный корень уравнения соs2х-1 = 0.
2.а) Решите уравнение:.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
3. а)Решите уравнение 5sin² x – 4 sinxcosx - cos² x = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
3.Решите уравнение sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0, и укажите корни, принадлежащие отрезку –π; π2.
4.Решите уравнение 1cos2x+3tgx-5=0, и укажите корни принадлежащие отрезку –π; π2.
Ответы к заданиям:
π.
2.а) .
б) .
3. а) , б) , , .
4. а) π4+πk, -arctg4+πk, k∈Z ;б) -3π4; -arctg4, π4.