Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике, по теме «Решение неравенств функционально-графическим способом»

Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ
по математике, по теме
«Решение неравенств функционально-графическим способом»
Учитель математики Хусаинова Диляра Дамировна.Примерное планирование учебного времени. Всего 11 часов.
№ Количество часов Содержание
1 1 Использование области определения функции.
2 1 Использование непрерывности функции. Обобщение метода интервалов.
3 1 Использование монотонности функций.
4 1 Использование ограниченности функций. Метод оценки. Неотрицательность функций.
5 1 Применение свойств модуля.
6 1 Применение классических неравенств.
7 2 Метод рационализации.
8 1 Графический метод.
9 2 Итоговая проверочная работа.
План-конспект урока.
Тема: Рационализация неравенств.
Цель урока: устранить трудности, связанные с непосредственным применением метода интервалов к трансцендентным неравенствам.
Раздаточный материал: таблица №1, ряд следствий.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x) ˅ 0 равносильно неравенству F(x) ˅ 0 на области определения выражения F(x).
Таблица №1. Замена некоторых типовых выражений:
№ Выражение F(x) Выражение G(x)
1
1a
1b logaf-logaglogaf − 1
logaf(a-1)(f-g)(a-1)(f-a)(a-1)(f-1)2
2a
2b loghf - loghgloghf - 1loghf (h-1)(f-g)(h-1)(f-h)(h-1)(f-1)3 logfh - loggh (g ≠1,f ≠ 1)
(f−1)(g−1)(h-1)(g-f)4
4a hf-hg (h>0)
hf-1(h − 1)(f − g)
(h − 1)f
5 fh−gh (f>0, g>0) (f – g)h
6 f-g(f − g)( f+ g)
Рассмотренный метод рационализации обобщается на произведение и частное любого числа типовых выражений.
Перечислим ряд следствий (с учетом области определения неравенства):
loghf · logpg ˅ 0 ⟺ (h−1)(f−1)(p−1)(g−1)˅0
loghf+ loghg ˅ 0 ⟺ (fg-1)(h-1)
f-g ˅ 0 ⟺ f – g ˅ 0
hf-hghp-hq ˅ 0 ⟺ f-gp-q ˅ 0fh-gp ˅ 0 ⟺ (a – 1)(logafh-logagp) ˅ 0В указанных равносильных переходах символ « ˅ » заменяет один из знаков неравенств:
≥ ; ≤ ; > ; < .
Докажем справедливость замен, представленных в таблице №1.
Доказательство:
1.Пусть logaf-logag > 0, т.е. logaf>logag , причем а >0, а≠1, f > 0, g >0. (1)
Если 0 < a <1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств a-1<0,f-g<0, откуда следует неравенство
(a-1)(f-g)>0, верное на области определения выражения F = logaf-logag.Если a > 1,то f > g.Следовательно, имеет место неравенство (a-1)(f-g)>0.
Обратно, если выполняется неравенство (a-1)(f-g)>0 на области (1), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств:
a-1<0,f-g<0,a-1>0,f-g>0.Из каждой системы следует неравенство logaf>logag, т.е. logaf-logag > 0. Аналогично рассматриваются неравенства вида F< 0, F≤ 0, F≥ 0.
2.Пусть некоторое число a > 0, a ≠ 1, тогда имеем loghf - loghg = logaflogah - logaglogah =logaf-logaglogah. Знак последнего совпадает со знаком выражения (a-1)(f-g)(a-1)(h-1) или (h-1)(f-g).
3.Т.к. logfh -loggh= logghloggf −loggh = loggh∙logfg-loggh =
= loggh (logfg-1),то используя замены 2a, 2b, получаем , что знак последнего совпадает со знаком выражения (f−1)(g−1)(h-1)(g-f).
4.Из неравенства hf-hg > 0 следует, что hf>hg. Пусть число a > 1, тогда
logаhf >logahg или (f−g)logah >0. Отсюда с учетом замены 1b и условия a >1 получаем: (f –g)(a−1)(h−1) >0, (f−g)(h−1) >0.
5.Доказательство аналогично доказательству 4.
6.Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств
p>q и p2>q2.Выполнить упражнения: в соответствии с методом рационализации замените неравенство на равносильное ему неравенство на области допустимых значений переменной.
а) logx+1(x2-4x)-logx+13x2-2x+7>0 ,
b) logx2+4x-53x2+4x-1 >0,
c) x2+53x-1- x2+5x2+4x ≥ 0,d) x+2- 2x-5 < 0.
Решить неравенство: 1) 2log2x-1xlog2x-1(x+7) ≤ log3(x+12)log3(x+7).
Решение:
Область допустимых значений неравенства задается системой:
x >0,x+7>0,2x+1>0,2x+1≠1,x+12>0,x+7≠1. Или x> -7,x≠-6x≠0,x≠1.log2x-1x2log2x-1(x+7) ≤ log3(x+12)log3(x+7),
logx+7x2-logx+7x+12≤ 0,Далее используем метод рационализации:
(x+7-1)(x2-x-12)≤0, (x + 6)(x +3) (x −4) ≤ 0.26441403600450016440153581400075819035814000-27686037655400− + − +
//////////////////-6 -3 //////////////////////4 x
( − ∞; −6]∪[−3 ;4] . Учитывая О.Д.З.:
2434590365760001901190365760007581903657600028194036576000305371536703000159639036703000-27686040639900 //////////////////////////// /////////////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x
-7 -6 -3 0 1 4
Ответ: (−7 ; −6)∪[-3;0]∪(0 ;1 )∪( 1;4].
2) log1-x(2x2+3x+1) ≥2Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:
2x2+3x+1 >0,1 -x >0,1 - x ≠1. 2 x+1x+12 ,x <1,x ≠0 .
14859013335000
2987040444500019678654445000125349044450006819904445000342908254900///////////////// //////////////// /////////////////////// //////////////////////////////x
−1 -12 0 1
О.Д.З. (−∞ ; − 1)∪( −12 ;0)∪(0;1).
Далее используем метод рационализации:
(1−x-1)(2x2 +3x + 1 -1-x2)≥0,
−x( 2x2 +3x + 1− 1 +2x –x2) ≥ 0,
x( x2 +5x) ≤ 0,
x2( x + 5) ≤ 0.

+ +
-9906011493400567690685800014725656858000////////////// x
−5 0
Учитывая О.Д.З. x ϵ (−∞ ; −5]
Ответ: (−∞ ; −5].
3) log2-x(x+2)∙logx+33-x≤0.
Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:
х+2>0,3-x>0,2-x>0,2-x≠1,x+3>0,x+3≠1; x> -2,x<3,x<2,x≠1,x>-3,x≠-2, x ϵ (−2; 1)∪(1 ; 2).
Далее используем метод рационализации:
(2 – x − 1)(x+2 −1)(x +3 −1)(3 – x −1) ≤ 0,
(1 – x)(x +1)(x + 2)(2 –x) ≤ 0.
+ − + − +
44386562229003558540266700026511252667000180594026670009391653619500 ///////////////////// /////////////////////// x
−2 −1 1 2
Учитывая О.Д.З.:
х ϵ (− 2; −1] ∪ (1; 2).Ответ: (− 2; −1] ∪ (1; 2).Задания для самостоятельного решения:
а) ln(3x+2x -1) ln(5x+3x-2) 5 ≥log3211log211 ; Ответ: [ 14 ; 39-36950 )
б) (х-0,5)(3-х)log2х-1 >0; Ответ: (0 ; 0,5) ∪( 2; 3)
в) logх+45х+20≤logх+4х+42; Ответ: (-4; -3)∪ [1 ; +∞)г) log3х-13х+1(х- 13) ≥1; Ответ: (13 ; 23 ]
д) log2-хх+7≤ logх2-5(х+7); Ответ: (6 ; 5 ]
Проверочная работа.
х2-6х+8х-1+х-4х2-3х+2 ≤0 ( −∞ ; 1) ∪ (2 ; 4 ]
61-х2 > log3х ( 0; 1)
logх6(logх6-х) >0 (2 ; 5)
log2х-1(log2(х2-2х))log2х-1(х2+6х+10) ≤ 0 (2 +1; 1 + 3 ]
|x3+ 2x2 + 8x – 7 | ≤ x3 + 4x2 - 8x + 7 [- 3; 1] ∪ [7 ; +∞)
log2x <3-x (0; 2).