Методические указания для студентов-заочников по дисциплине Элементы высшей математики
Департамент образования, науки и молодежной политики
Воронежской области
ГОБУ СПО ВО «Борисоглебский индустриальный техникум»
Элементы высшей математики
Методические указания для студентов-заочников
ГОБУ СПО ВО «Борисоглебский индустриальный техникум»
по специальности 230113 «Компьютерные системы и комплексы»
2013 г.
Методические указания по дисциплине «Элементы высшей математики» разработаны на основе рабочей программы дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности «Компьютерные системы и комплексы».
Разработчик:
Соседова О.С., преподаватель ГОБУ СПО ВО «Борисоглебский индустриальный техникум»
Рассмотрена цикловой комиссией информационных технологий
Протокол от «___» _____________ 201_г. № ____
Председатель ц/к _______________ Г.В. Торгашин
Методист Зам.директора по УР
______________О.А. Сергеева _____________С.С. Прохорова
Введение
В современном обществе важным для жизни является формирование математического стиля мышления. Математические умозаключения вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.
Задача предмета состоит в том, чтобы перед изучением общетехнических и специальных дисциплин учащиеся получили достаточную теоретическую базу, на основе которой должна проходить дальнейшая подготовка будущего специалиста. При изучении дисциплины большое внимание уделяется ее прикладному характеру.
Программа разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 230113 «Компьютерные системы и комплексы»
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая его изучение по рекомендованным учебникам, решение задач с помощью учебных пособий, самопроверка. Завершающим этапом изучения дисциплины является экзамен.
Программа предусматривает изучение 12 разделов:
Раздел 1.Матрицы и определители.
Раздел 2. Системы линейных уравнений.
Раздел 3. Основы алгебры векторов.
Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.
Раздел 5. Теория пределов.
Раздел 6. Дифференциальное исчисление.
Раздел 7. Интегральное исчисление.
Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.
Раздел 9. Функции нескольких переменных.
Раздел 10. Дифференциальные уравнения
Раздел 11. Основы теории комплексных чисел.
Раздел 12. Численные методы.
Примерная программа учебной дисциплины:
Наименование разделов
и тем
Содержание учебного материала
Объем
часов
Раздел 1.
Матрицы и определители
Раздел 2.
Методы решения систем линейных уравнений.
Определение матрицы. Виды матриц. Порядок квадратной матрицы. Главная и побочная диагональ матрицы. Единичная и нулевая матрица. Матрица-строка и матрица-столбец. Равенство матриц. Транспонированная матрица. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства операции сложения и умножения матриц. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Основные свойства определителей. Правило треугольников вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Способы вычисления определителей. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Правило нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Простейшие матричные уравнения.
Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Примеры. Решение систем линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
2
Раздел 3.
Основы алгебры векторов
Раздел 4.
Элементы аналитической геометрии.
Векторные и скалярные величины. Длина и направление вектора. Сумма векторов. Правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов. Свойства операции сложения векторов. Противоположные векторы. Вычитание векторов. Умножение вектора на число и его свойства. Действия над векторами, заданными своими координатами. Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарности двух векторов. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинерным векторам. Компланарные векторы. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Вычисление угла между двумя векторами. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.
Параметрические и каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, походящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящую через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Общее и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы. Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Каноническое уравнение параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат.
2
Раздел 5.
Теория пределов.
Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Формула общего члена последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и связь между ними. Теоремы о пределах последовательностей. Понятие предела функции в точке. Основные свойства пределов. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы. Пределы некоторых элементарных функций. Приращение аргумента и приращение функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в промежутке. Свойства непрерывных функций. Примеры исследования функций на непрерывность.
2
Раздел 6.
Дифференциальное исчисление.
Понятие производной. Вычисление производной на основе определения. Геометрический смысл производной. Кинематический смысл производной. Основные правила дифференциального исчисления. Производные некоторых элементарных функций. Таблица производных. Формулы дифференцирования для сложной функции. Вычисление производных сложных функций. Производные обратных функций. Производные обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков, их вычисление. Механическое значение второй производной. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциалы различных порядков. Возрастание и убывание функции, экстремум функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Набольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план исследования функций и построение графиков
2
Раздел 7.
Интегральное исчисление
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов и табличное интегрирование. Методы вычисления неопределенного интеграла: способ подстановки, интегрирование по частям. Примеры «неберущихся» интегралов. Интегрирование рациональных дробей. Криволинейная трапеция и ее площадь. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Длина дуги кривой. Задача о вычислении пути. Задача о силе давления жидкости. Работа переменной силы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Понятие несобственных интегралов от неограниченных функций.
2
Раздел 8.
Числовые и функциональные ряды.
Раздел 9.
Функции нескольких переменных.
Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов. Признаки сравнения положительных рядов. Признак Даламбера. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд.
Понятие функциональной зависимости между несколькими переменными. Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Полное приращение и полный дифференциал. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.
2
Раздел 10.
Дифференциальные уравнения
Примеры дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными: определения и примеры, правило нахождения общего решения. Частное решение дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Частное решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
2
Раздел 11.
Основы теории комплексных чисел.
Раздел 12.
Численные методы.
Необходимость расширения множества действительных чисел. Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами. Решение квадратных уравнений.
Абсолютная и относительная погрешности приближения. Округление чисел. Погрешность округления. Погрешности вычислений с приближенными данными. Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод итераций. Определение интервала изоляции действительного корня уравнения. Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Постановка задачи численного дифференцирования. Постановка задачи численного интегрирования. Формулы численного интегрирования. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.
2
Всего: 16
Содержание предмета.
Раздел 1. Матрицы и определители.
Требования к знаниям: определение матрицы, виды матриц, какие матрицы называются равными, основные свойства операции сложения матриц, основные свойства операции умножения матрицы на число, основные свойства операции произведения матриц, что такое определитель, основные свойства определителя; как вычисляются определители второго и третьего порядка, что такое минор, алгебраическое дополнение, теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца что такое обратная матрица, вырожденная и невырожденная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы, свойства обратной матрицы, что такое матричное уравнение.
Требования к умениям: определять порядок матрицы, находить транспонированную матрицу, складывать матрицы, умножать матрицу на число, вычислять произведение двух матриц, вычислять определители второго и третьего порядка, находить миноры и алгебраические дополнения, применять теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца на практике; находить обратную матрицу, решать простейшие матричные уравнения.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Определение матрицы. Виды матриц. Порядок квадратной матрицы. Главная и побочная диагональ матрицы. Единичная и нулевая матрица. Матрица-строка и матрица-столбец. Равенство матриц. Транспонированная матрица. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства операции сложения и умножения матриц. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Основные свойства определителей.
Правило треугольников вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Способы вычисления определителей. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Правила нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Простейшие матричные уравнения.
Методические указания
Матрицей размера m(n («m на n») называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов и имеющая вид:
13 EMBED Equation.3 1415. В сокращенной записи: 13 EMBED Equation.3 1415.
Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент. Например, элемент 13 EMBED Equation.3 1415 (читается «a три пять») расположен в третьей строке и пятом столбце.
Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов соответственно равны и равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.
Нулевой (обозначается O) называется матрица, все элементы которой равны нулю.
Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Элементы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 квадратной матрицы образуют ее главную диагональ, а элементы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 ( побочную диагональ.
Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Единичной (обозначается E) называется диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице. Например,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
соответственно квадратная, диагональная и единичная матрицы третьего порядка.
Суммой матриц A и B одинаковых размеров (обозначается 13 EMBED Equation.3 1415) называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B. Например,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично определяется разность матриц A и B, обозначаемая 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Например,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
При этом произведением матрицы A размера m(k на матрицу B размера k(n называется матрица C размера m(n (13 EMBED Equation.3 1415), каждый элемент 13 EMBED Equation.3 1415 которой (стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С) вычисляется как сумма произведений элементов i-той строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найти произведения матриц AB и BA (если они существуют):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Матрица A имеет размер 13 EMBED Equation.3 1415, матрица B – 13 EMBED Equation.3 1415. Произведение AB существует, т. к. число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Найдем размер матрицы-произведения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим элементы матрицы-произведения C, умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы B следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведение BA не существует, т. к. число столбцов матрицы B не равно числу строк матрицы A.
Транспонированной к матрице A называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Например,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Определителем квадратной матрицы n-го порядка 13 EMBED Equation.3 1415 (или просто определителем n-го порядка) называется число, обозначаемое 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415) и определяемое по следующим формулам:
1) при n = 1 13 EMBED Equation.3 1415;
2) при n = 2 13 EMBED Equation.3 1415;
3) при n = 3 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Последнюю формулу легко запомнить, пользуясь правилом треугольников:
Пример. Вычислить определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Минором 13 EMBED Equation.3 1415 элемента 13 EMBED Equation.3 1415 квадратной матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 n-го порядка называется определитель матрицы (n–1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (т. е. строки и столбца, содержащих элемент 13 EMBED Equation.3 1415).
Алгебраическим дополнением 13 EMBED Equation.3 1415 элемента 13 EMBED Equation.3 1415 называется его минор, взятый со знаком 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Например, в матрице 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Определитель квадратной матрицы n-го порядка (n ( 2) равен сумме произведений элементов любой ее строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, то есть:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.1)
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2)
Формулы (1.1) и (1.2) называются соответственно разложением определителя по i-й строке (i = 1, 2, ..., n) и разложением определителя по j-му столбцу (j = 1, 2, ..., n).
Пример. Вычислить определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Разложим определитель по первой строке:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства определителей:
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.
3) При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.
4) Определитель матрицы равен нулю, если она содержит:
а) строку (столбец), состоящую из нулей;
б) две одинаковые строки (столбца);
в) две пропорциональные строки (столбца).
5) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Вычисление определителя можно упростить, если, используя свойство 5, преобразовать матрицу так, чтобы получить в ней строку (или столбец), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю, а затем разложить определитель по этой строке (столбцу).
Матрица A–1 называется обратной для квадратной матрицы A, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415. Такая матрица имеет единственную обратную:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – алгебраическое дополнение элемента 13 EMBED Equation.3 1415 данной матрицы 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Для матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 найти обратную.
Решение
1) Вычисляем 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, значит A–1 существует.
2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Вычисляем обратную матрицу по формуле (1.3):
13 EMBED Equation.3 1415.
Элементами первой, второй и третьей строк матрицы в правой части формулы являются алгебраические дополнения элементов первого, второго и третьего столбцов матрицы A соответственно!
13 EMBED Equation.3 1415.
4) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам: 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Задания для самоконтроля:
1. Даны матрицы A, B, C и число (. Вычислите: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вычислите определитель:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 2. Системы линейных уравнений.
Требования к знаниям: какая система называется однородной и неоднородной, совместной и несовместной, определенной, какие преобразования называются эквивалентными, какая система называется линейной системой канонического вида, что такое расширенная матрица системы, матрица канонического вида, Требования к знаниям суть метода Гаусса, формулы Крамера.
Требования к умениям: составлять расширенную матрицу для системы линейных уравнений, приводить расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований к матрице канонического вида; решать системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью формул Крамера.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Решение систем линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
Методические указания
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – неизвестные (j = 1, 2, ..., n), 13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициенты при неизвестных (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n), 13 EMBED Equation.3 1415 – свободные члены (i = 1, 2, ..., m).
Решением системы (1) называется совокупность n чисел 13 EMBED Equation.3 1415, при подстановке которых вместо неизвестных в уравнения все уравнения системы обращаются в тождества.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Рассмотрим систему, у которой число неизвестных совпадает с числом уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
В матричной форме система (2) имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
где
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
называются соответственно (основной) матрицей системы, матрицей-столбцом неизвестных, матрицей-столбцом свободных членов.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система (1.5) имеет единственное решение, которое может быть найдено:
1) матричным способом, то есть по формуле
13 EMBED Equation.3 1415;
2) по формулам Крамера
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Пример. Решить систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
а) матричным способом; б) по формулам Крамера.
Решение
а) Записываем систему в матричной форме:
пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисляем определитель 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, система имеет единственное решение.
Находим обратную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Находим решение системы по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
От такой записи решения можно перейти к более привычной форме записи: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Вычисляем определитель 13 EMBED Equation.3 1415 (см. пункт а)):
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, система имеет единственное решение.
Вычисляем определители 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 матриц, полученных из матрицы A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
По формулам Крамера (1.7) находим решение данной системы:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Любую систему уравнений вида (1.4) можно решать методом Гаусса.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что посредством элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида (прямой ход), из которой последовательно определяются значения неизвестных, начиная с последнего (по номеру) неизвестного (обратный ход).
Элементарными преобразованиями системы являются:
1) перестановка уравнений;
2) умножение уравнения на число 13 EMBED Equation.3 1415;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.
Задания для самоконтроля:
1. Решите систему линейных уравнений двумя способами: а) матричным способом; б) по формулам Крамера13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 3. Основы алгебры векторов.
Требования к знаниям: какие величины называются векторными и скалярными, что такое вектор, равные вектора, нулевой вектор, длина вектора, направление вектора, сумма векторов, противоположные векторы, разность векторов, произведение вектора на число, свойства операции сложения векторов и операции умножения вектора на число, правило треугольника для сложения и вычитания векторов, правило параллелограмма и многоугольника для сложения двух и более векторов; какие векторы называются коллинеарными и компланарными, теорему о разложении вектора на плоскости и в пространстве, что такое базис пространства, координаты вектора в данном базисе; что такое ортогональная проекция вектора на ось, правила нахождения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, как вычисляется угол между двумя векторами.
Требования к умениям: производить алгебраические операции над векторами, складывать вектора по правилу треугольника и параллелограмма, находить длину вектора и вычислять угол между векторами, вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Векторные и скалярные величины. Длина и направление вектора. Сумма векторов. Правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов. Свойства операции сложения векторов. Противоположные векторы. Вычитание векторов. Умножение вектора на число и его свойства. Действия над векторами, заданными своими координатами. Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарности двух векторов. Угол между векторами. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинерным векторам. Компланарные векторы. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Базис пространства. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Вычисление угла между двумя векторами. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.
Методические указания
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке A, а конец – в точке B, то вектор обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1).
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Длиной (модулем, абсолютной величиной) 13 EMBED Equation.3 1415 вектора 13 EMBED Equation.3 1415 называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора равна нулю.
Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице: 13 EMBED Equation.3 1415.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначаются 13 EMBED Equation.3 1415.
Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях (или в одной плоскости).
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Суммой двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется третий вектор 13 EMBED Equation.3 1415, который находится по правилу треугольника или параллелограмма (рис. 2.).
Разностью векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, для которого 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведением 13 EMBED Equation.3 1415 вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на число ( называется такой вектор 13 EMBED Equation.3 1415, длина которого равна 13 EMBED Equation.3 1415, причем векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлены при 13 EMBED Equation.3 1415 и противоположно направлены при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а базисом в пространстве – любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 – базис в пространстве, то любой вектор 13 EMBED Equation.3 1415 пространства можно разложить единственным образом по базисным векторам, т. е. представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 называются координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в базисе 13 EMBED Equation.3 1415.
Проекцией вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на ось l (ось – направленная прямая) называется число, обозначаемое 13 EMBED Equation.3 1415 и равное 13 EMBED Equation.3 1415, где ( – угол, образованный вектором 13 EMBED Equation.3 1415 с осью l, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 3).
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Орты (единичные векторы) 13 EMBED Equation.3 1415 соответствующих координатных осей Ox, Oy, Oz образуют ортонормированный базис (базис, векторы которого единичны и взаимно перпендикулярны).
Любой вектор 13 EMBED Equation.3 1415 пространства можно разложить по базису 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Для вектора 13 EMBED Equation.3 1415 с координатами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 часто используют обозначение 13 EMBED Equation.3 1415.
Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
4) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в пространстве определяется углами (, (, (, которые он образует с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.3)
Чтобы найти координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415 по известным координатам точки 13 EMBED Equation.3 1415, которая является началом вектора, и точки 13 EMBED Equation.3 1415, являющейся концом вектора, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (2.4)
Пример .Даны точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, длину отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, направляющие косинусы вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Найдем координаты вектора по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Длину вектора 13 EMBED Equation.3 1415 найдем по формуле :
13 EMBED Equation.3 1415.
Направляющие косинусы вектора 13 EMBED Equation.3 1415 найдем по формулам :
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Скалярным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, обозначаемое 13 EMBED Equation.3 1415 и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если известны координаты векторов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
В формуле (2.5) произведение 13 EMBED Equation.3 1415 есть проекция вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на вектор 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая этот факт, можно записать: 13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда следует:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для двух ненулевых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 условие перпендикулярности имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Даны вершины треугольника: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Угол 13 EMBED Equation.3 1415 равен углу между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку по формуле (2.4) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Векторным произведением вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющий условиям:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
3) вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен так, что из конца вектора 13 EMBED Equation.3 1415 кратчайший поворот от вектора 13 EMBED Equation.3 1415 (первого множителя) к вектору 13 EMBED Equation.3 1415 (второму множителю) виден в направлении против часовой стрелки, т. е. векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 образуют правую тройку векторов. Начала векторов предполагаются совмещенными (рис.4).
Если известны координаты векторов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты их векторного произведения вычисляются по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
а площадь треугольника –
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Вершины треугольника расположены в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите площадь треугольника.
Решение
Площадь треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 можно находить, подставляя в формулу координаты любых двух векторов, исходящих из одной вершины, например, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим координаты векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисляем векторное произведение 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (кв. ед.).
Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, обозначаемое 13 EMBED Equation.3 1415 и равное скалярному произведению векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Если известны координаты векторов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Условие компланарности трех ненулевых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 компланарны ( 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415, а объем пирамиды – 13 EMBED Equation.3 1415.
Задания для самоконтроля:
Вычислить скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить векторное произведение вектров 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить смешанное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.
Требования к знаниям: какой вектор называется направляющим и нормальным вектором данной прямой; как записываются параметрические и каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, походящей через 2 точки; уравнение прямой в отрезках; уравнение прямой, проходящую через данную точку, параллельно данному вектору; общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; нормированное уравнение прямой; что называется угловым коэффициентом прямой; как располагается прямая относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С общего уравнения. Общее уравнение окружности и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы и фокальное расстояние эллипса. Уравнение эллипса в выбранной системе координат. Каноническое уравнение эллипса. Исследование эллипса по его каноническому уравнению. Эксцентриситет эллипса. Фокусы и фокальное расстояние гиперболы. Уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Каноническое уравнение гиперболы. (Действительное и мнимая полуоси гиперболы. Асимптоты гиперболы). Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат. Каноническое уравнение параболы. Исследование гиперболы и параболы по их каноническим уравнениям.формулу вычисления угла между прямыми, заданными общими уравнениями; заданными уравнениями с угловыми коэффициентами; заданными каноническими уравнениями; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями; заданных уравнениями с угловыми коэффициентами; заданных каноническими уравнениями; что называется окружностью и эллипсом, что такое центр и радиус окружности, фокус и фокальное расстояние эллипса, эксцентриситет эллипса, как записывается общее и каноническое уравнение окружности, уравнение эллипса в выбранной системе координат и каноническое уравнение эллипса; что называется гиперболой и параболой, равнобочной гиперболой, что такое фокус и фокальное расстояние гиперболы, действительная и мнимая полуоси гиперболы, асимптоты и эксцентриситет гиперболы, фокус и фокальный параметр параболы, директриса параболы, как записывается уравнение гиперболы в выбранной системе координат и каноническое уравнение гиперболы, уравнение параболы в выбранной системе координат и каноническое уравнение параболы.
Требования к умениям: записывать уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой в отрезках; находить угловой коэффициент прямой; вычислять угол между прямыми; проверять пары прямых на параллельность и перпендикулярность; записать уравнение окружности с заданным радиусом и центром; записать каноническое уравнение эллипса, если известна его малая полуось и фокусное расстояние или, если известны его полуоси; определять по заданному каноническому уравнению эллипса его полуоси, фокусное расстояние, координаты вершин и фокусов, эксцентриситет; записывать каноническое уравнение гиперболы, если известны ее полуоси или, если известны мнимая ось и фокусное расстояние; определять по заданному каноническому уравнению гиперболы его полуоси, фокусное расстояние, координаты вершин и фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот;записывать каноническое уравнение параболы, если известны координаты фокуса и уравнение директрисы; если известно ее расположение относительно системы координат, координаты вершины и фокальный параметр.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Параметрические и каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, походящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящую через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Общее и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы. Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Каноническое уравнение параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат.
Методические указания
Прямая на плоскости
Расстояние между двумя точками 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 можно найти по формуле
13EMBED Equation.31415.
Координаты точки 13EMBED Equation.31415, делящей отрезок AB в данном отношении 13 EMBED Equation.3 1415, определяются по формулам
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Если точка C делит отрезок 13EMBED Equation.31415 пополам, то
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Прямую на плоскости можно задать разными способами. В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнений.
1) Уравнение прямой, которая образует с положительным направлением оси Ox угол ( и пересекает ось Oy в точке (0, b) (рис. 3.1), имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (13 EMBED Equation.3 1415 – угловой коэффициент прямой).
Величина k характеризует направление прямой. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая параллельна оси Оx. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то угол наклона прямой к оси Оx будет острым, при 13 EMBED Equation.3 1415 – тупым. Прямая, перпендикулярная к оси Оx, не имеет углового коэффициента.
2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку 13 EMBED Equation.3 1415 в данном направлении, которое определяется угловым коэффициентом k, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если k – произвольное число, то уравнение (3.5) определяет пучок прямых, проходящих через точку 13 EMBED Equation.3 1415, кроме прямой 13 EMBED Equation.3 1415, параллельной оси Oy.
3) Уравнение прямой, проходящей через данную точку 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно данному вектору 13 EMBED Equation.3 1415, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
где вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется нормальным вектором прямой.
Если в уравнении (3.6) раскрыть скобки и ввести обозначение 13 EMBED Equation.3 1415, то получится общее уравнение прямой:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
4) Прямая, проходящая через данную точку 13 EMBED Equation.3 1415 параллельно данному вектору 13 EMBED Equation.3 1415 (вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется направляющим вектором прямой), может быть задана каноническим уравнением:
13 EMBED Equation.3 1415.
или параметрическими уравнениями:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
5) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Угловой коэффициент этой прямой определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
6) Уравнение прямой, которая пересекает ось Ox в точке 13 EMBED Equation.3 1415, ось Oy – в точке 13 EMBED Equation.3 1415, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
и называется уравнением прямой в отрезках (на осях Ox и Oy прямая отсекает отрезки a и b соответственно).
Пусть две прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заданы уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Острый угол ( между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 находится по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Условие параллельности прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Условие перпендикулярности прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Точка пересечения прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 находится из решения системы:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Расстояние d от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до прямой, заданной уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением второй степени вида
13EMBED Equation.31415,
где A, B, C, D, E, F – заданные действительные числа 13 EMBED Equation.3 1415. В частности, такими линиями являются эллипс (если А и С одинакового знака, т.е. 13EMBED Equation.31415), окружность (если 13 EMBED Equation.3 1415), гипербола (если А и С разного знака, т.е. 13EMBED Equation.31415) и парабола (если 13EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415).
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают 13 EMBED Equation.3 1415), причем эта величина больше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают 13 EMBED Equation.3 1415).
Если за ось Ox принять прямую 13 EMBED Equation.3 1415, а за ось Oy – перпендикуляр к оси Ox, проходящий через середину отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 (то уравнение эллипса примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение эллипса называется каноническим.
Величины a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – вершинами эллипса. Координаты фокусов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Число 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 называется эксцентриситетом эллипса, он является «мерой сжатия» эллипса к оси Ox.
Начало координат является центром симметрии эллипса (называется центром эллипса).
При 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение (2) также задает эллипс, но у такого эллипса фокусы расположены на оси Oy, параметр b задает большую полуось, а a – малую полуось.
При 13 EMBED Equation.3 1415 эллипс представляет собой окружность радиуса a с центром в начале координат. Уравнение этой окружности
13 EMBED Equation.3 1415.
Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают 13 EMBED Equation.3 1415), причем эта величина меньше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают 13 EMBED Equation.3 1415). Вид кривой показан на рис. 3.4.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Величины a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – вершинами гиперболы. Координаты фокусов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 – центр гиперболы. Число 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 называется эксцентриситетом гиперболы.
Прямые 13 EMBED Equation.3 1415, к которым гипербола неограниченно приближается на бесконечности, являются асимптотами гиперболы.
Уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
также определяет гиперболу, но у нее фокусы расположены на оси Oy, параметр b есть действительная полуось, а a – мнимая.
Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Если за ось Ox выбрать прямую, проходящую через фокус13 EMBED Equation.3 1415перпендикулярно директрисе, а за ось Oy – прямую, проходящую через середину перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису (рис. 3.5), то уравнение параболы примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
где p – расстояние от фокуса до директрисы 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение параболы называется каноническим, точка 13 EMBED Equation.3 1415 – вершиной параболы. Координаты фокуса: 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение директрисы: 13 EMBED Equation.3 1415. Ось Ox – ось симметрии параболы. Парабола не имеет асимптот.
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 задает параболу, симметричную относительно оси Oy.
Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением (3.15), то видно, что в них 13 EMBED Equation.3 1415. Если в уравнении (3.15) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то центр эллипса или гиперболы, или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в точке 13EMBED Equation.31415. Строить кривую в этом случае удобно, перенеся начало координат в эту точку, т. е. сделав замену 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда в новой системе координат с началом в точке O1 и с осями O1X и O1Y уравнение кривой будет иметь канонический вид.
Уравнение эллипса с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
13EMBED Equation.31415.
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 3.6) имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение гиперболы с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
13EMBED Equation.31415.
Уравнение параболы с вершиной в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
13EMBED Equation.31415
Задания для самоконтроля:
1. Дан треугольник с вершинами A, В, С. Найдите:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение медианы AM;
в) угол 13 EMBED Equation.3 1415;
2. Составить уравнение гиперболы, если ее действительная ось равна 16, а мнимая ось равна 8.
3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х = - 4.
4. Дано уравнение гиперболы 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Найдите координаты ее вершин и фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет.
5. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.
6. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а большая ось равна 10.
7. Дан эллипс 36х2+100у2=3600. Найдите координаты вершин и фокусов эллипса, длины его полуосей и фокальное расстояние, эксцентриситет эллипса.
Раздел 5. Теория пределов.
Требования к знаниям: что такое числовая последовательность, предел последовательности, какие последовательности называются ограниченными, неограниченными, монотонными, сходящимися и расходящимися, способы задания числовых последовательностей, какие последовательности называются бесконечно малыми и бесконечно большими, теоремы о пределах последовательностей; что такое предел функции в точке, односторонние пределы, бесконечный предел функции, основные свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, приемы вычисления пределов; что называется приращением аргумента и приращением функции; какая функция называется непрерывной в точке, на промежутке; свойства непрерывных функций.
Требования к умениям: находить числовую последовательность по формуле члена аn; Требования к знаниям основные свойства пределов; вычислять предел функции в точке хо, вычислять предел функции при х((; Требования к знаниям формулы первого и второго замечательных пределов; исследовать функцию на непрерывность.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Числовые последовательности: ограниченные и неограниченные, монотонные. Способы задания числовых последовательностей. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Формула общего члена последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и связь между ними. Теоремы о пределах последовательностей. Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечный предел функции. Основные свойства пределов. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы. Приращение аргумента и приращение функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в промежутке. Свойства непрерывных функций. Примеры исследования функций на непрерывность.
Методические указания
Предел функции
Проколотой (-окрестностью 13 EMBED Equation.3 1415 точки x0 называется множество 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Число a называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или при x, стремящемся к 13 EMBED Equation.3 1415), если для любого числа 13 EMBED Equation.3 1415 можно указать такое число 13 EMBED Equation.3 1415, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 13 EMBED Equation.3 1415, имеет место неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначается: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 (т. е. число 13 EMBED Equation.3 1415 есть предел функции 13 EMBED Equation.3 1415 при x, стремящемся к 13 EMBED Equation.3 1415 так, что x принимает только значения, меньшие 13 EMBED Equation.3 1415), то пишут 13 EMBED Equation.3 1415 и число 13 EMBED Equation.3 1415 называют пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 слева (или левым пределом).
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то пишут 13 EMBED Equation.3 1415 и число 13 EMBED Equation.3 1415 называют пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 справа (или правым пределом).
Пределы функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 слева и справа называются ее односторонними пределами.
Число a называется пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, если для любого числа 13 EMBED Equation.3 1415 существует такое число 13 EMBED Equation.3 1415, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 13 EMBED Equation.3 1415, имеет место неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Говорят, что функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет в точке 13 EMBED Equation.3 1415 предел, равный 13 EMBED Equation.3 1415, если для любого числа 13 EMBED Equation.3 1415 существует такое число 13 EMBED Equation.3 1415, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 13 EMBED Equation.3 1415, имеет место неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначается: 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно малой при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства бесконечно малых. Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно малые функции при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то будут бесконечно малыми следующие функции: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, где C – постоянная; 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – ограниченная функция; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно большой при 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно малая функция при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно большая при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. И обратно, если 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно большая функция при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно малая при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Основные теоремы о пределах:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, где C – постоянная.
2) Если существуют конечные пределы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то верны следующие равенства:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
в частности, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Теоремы (1) – (3) выполняются и при 13 EMBED Equation.3 1415.
Основные теоремы о пределах облегчают нахождение пределов.
Пример . Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
В простейших случаях (чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции) оказывается достаточным подставить в функцию вместо аргумента его предельное значение.
Если при подстановке предельного значения в функцию получается неопределенное выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то нахождение предела для таких случаев называют раскрытием неопределенности.
Раскрытие неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415.
1) Если f(x) – рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители и сокращают дробь.
Пример Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Числитель и знаменатель дроби 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле разложения квадратного трехчлена на множители. После сокращения дроби подставим предельное значение x:
13 EMBED Equation.3 1415.
2) Если f(x) – дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида 13 EMBED Equation.3 1415 достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.
Пример Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Избавимся от иррациональности в числителе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение 13 EMBED Equation.3 1415. Получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное выражение преобразуем: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь в последнем выражении неопределенность не возникает:
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415.
3) В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 используют первый замечательный предел (и его следствия), следствия второго замечательного предела или эквивалентные бесконечно малые функции.
Первый замечательный предел:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.1)
Из существования первого замечательного предела вытекает ряд следствий:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй замечательный предел:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
(его значение есть иррациональное число 13 EMBED Equation.3 1415).
Второй замечательный предел можно также записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3)
Из существования второго замечательного предела следует существование пределов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Преобразуем это выражение так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом (1.1):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Раскрытие неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415
Неопределенное выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 преобразуется к неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Раскрытие неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415
Неопределенное выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если: 1) она определена в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и некоторой ее окрестности; 2) имеет конечный предел при 13 EMBED Equation.3 1415; 3) этот предел равен значению функции в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Условие (1.4) эквивалентно условию
13 EMBED Equation.3 1415.
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1) Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то функции 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (при 13 EMBED Equation.3 1415) также непрерывны в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то сложная функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой разрыва функции 13 EMBED Equation.3 1415, если функция 13 EMBED Equation.3 1415 не является непрерывной в этой точке (нарушается хотя бы одно из условий непрерывности).
При вычислении пределов степенно-показательных функций 13 EMBED Equation.3 1415 могут получиться неопределенности вида [1
·], [00], [(0].
Неопределенность вида [1
·] удобно раскрывать, используя второй замечательный предел
Задания для самоконтроля
1.Найдите пределы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 6. Дифференциальное исчисление.
Требования к знаниям: определение производной; какая линия называется касательной к данной кривой; в чем заключается геометрический смысл производной; в чем заключается кинетический смысл производной; основные теоремы дифференциального исчисления; производные некоторых элементарных функций; что такое сложная функция и формулу дифференцирования для сложной функции, что такое обратная функция и как находятся производные обратных функций, производные обратных тригонометрических функций; определение второй производной и производных высшего порядка, в чем заключается механический смысл второй производной; определение дифференциала функции и его геометрический смысл; правила и формулы дифференцирования; определение дифференциала высшего порядка; определение возрастающей и убывающей функции, монотонной функции, максимума и минимума функции, экстремума функции; необходимое и достаточное условия существования экстремума функции; схему исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной; набольшее и наименьшее значения функции; определение выпуклой и вогнутой кривой, точек перегиба; алгоритм нахождения точек перегиба; определение асимптоты графика функции, виды асимптот; общий план исследования функций и построение графиков; знать правила и формулы дифференцирования, формулы дифференцирования сложной и обратной функций.
Требования к умениям: вычислять производную функции, пользуясь непосредственно определением производной; определять тангенс угла наклона касательной к кривой в заданной точке; вычислять производные функций; вычислять вторую производную функции; находить дифференциал функции.
исследовать функцию на возрастание и убывание; исследовать функцию на экстремум с помощью первой и второй производной; находить наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке; находить точки перегиба; исследовать функции и строить их графики.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Понятие производной. Вычисление производной на основе определения. Геометрический смысл производной. Кинематический смысл производной. Теоремы дифференциального исчисления. Производные некоторых элементарных функций. Формулы дифференцирования для сложной функции. Вычисление производных сложных функций. Производные обратных функций. Производные обратных тригонометрических функций. Вычисление производных обратных тригонометрических функций. Определение производной второго порядка. Вычисление производных второго порядка. Производные высших порядков, их вычисления. Механическое значение второй производной. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциалы различных порядков. Возрастание и убывание функции, экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Набольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Алгоритм нахождения точек перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план исследования функций и построение графиков.
Методические указания
Производная и дифференциал
Производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел отношения приращения функции в этой точке 13 EMBED Equation.3 1415 к приращению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, если этот предел существует:
13 EMBED Equation.3 1415.
Другие обозначения производной: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ( дифференцируемые функции, а 13 EMBED Equation.3 1415 ( постоянная, то имеют место следующие правила дифференцирования:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415, в частности, 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 ( сложная функция от 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ( дифференцируемые функции, то
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференцирование функций, т. е. вычисление их производных, выполняется с использованием правил дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; в частности,
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; в частности, 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; в частности, 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415;
6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) 13 EMBED Equation.3 1415;
9) 13 EMBED Equation.3 1415;
10) 13 EMBED Equation.3 1415;
11) 13 EMBED Equation.3 1415.
При нахождении производной от степенно-показательной функции 13 EMBED Equation.3 1415, а также от громоздких выражений, поддающихся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), удобно предварительно прологарифмировать обе части равенства, а затем результат продифференцировать, учитывая, что
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример . Найти производные следующих функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
а) Используя правила дифференцирования (1), (2) и (3) и формулу (1) таблицы производных, получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
В таблице производных отсутствует производная иррационального выражения вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, поскольку эти выражения легко сводятся к степенным функциям 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 формально можно дифференцировать как дробь, однако более рационально свести это выражение к степенной функции с числовым коэффициентом: 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Используя правило дифференцирования (3) и формулы (5) и (3) таблицы производных, получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
в) Данная функция является сложной функцией: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции (формула 2.1)
13 EMBED Equation.3 1415.
При вычислении производной сложной функции можно обойтись без введения переменных для обозначения промежуточных аргументов:
13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференцирование начинается с внешней функции, при этом внутренняя функция 13 EMBED Equation.3 1415, сколь громоздко она бы не выглядела, играет роль простого аргумента. Производная внутренней функции находится по обычным правилам.
г) Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу (6) таблицы производных, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415, в свою очередь, является сложной, поэтому для нахождения ее производной еще раз применяют правило дифференцирования сложной функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда окончательно
13 EMBED Equation.3 1415.
д) Используя правило дифференцирования (4), формулы (2), (4) и (1) таблицы производных и правило (2.1), получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
е) Логарифмируем по основанию 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 задана уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, не разрешенным относительно зависимой переменной y, то говорят, что функция задана неявно. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как функцию от x, затем из полученного уравнения найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример . Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Это уравнение не разрешимо относительно y, следовательно, функция y(x) задана неявно. Продифференцируем обе части уравнения по x, рассматривая y как функцию от x:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
из полученного уравнения найдем искомую производную 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Производная 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 называется производной первого порядка. В свою очередь производная функции 13 EMBED Equation.3 1415 называется производной второго порядка функции 13 EMBED Equation.3 1415 (или второй производной) и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В общем случае производной n-го порядка (обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415) называется производная от производной (n ( 1)-го порядка: 13 EMBED Equation.3 1415. Для обозначения производных порядка выше третьего используются арабские цифры в скобках.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет конечную производную 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то полное приращение функции 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 ( бесконечно малая функция при 13 EMBED Equation.3 1415.
Главная, линейная относительно 13 EMBED Equation.3 1415, часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому дифференциал обычно записывают в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
При достаточно малых 13 EMBED Equation.3 1415 полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Исследование функций и построение графиков
Условие монотонности функции. Если производная функции 13 EMBED Equation.3 1415 положительна (отрицательна) во всех точках интервала 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастает (убывает) на этом интервале.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой максимума (минимума) функции 13 EMBED Equation.3 1415, если существует такая окрестность этой точки, что для всех 13 EMBED Equation.3 1415 из этой окрестности имеет место неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. В точке экстремума функции ее производная 13 EMBED Equation.3 1415 либо равна нулю, либо не существует.
Функция может иметь экстремум только в тех точках области ее определения, в которых 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточное условие экстремума. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 ( критическая точка функции 13 EMBED Equation.3 1415. Если при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 слева направо производная 13 EMBED Equation.3 1415 меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то 13 EMBED Equation.3 1415 ( точка максимума (точка минимума). Если при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная 13 EMBED Equation.3 1415 не меняет знак, то в точке 13 EMBED Equation.3 1415 экстремума нет.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415 называется выпуклым (вогнутым) на интервале 13 EMBED Equation.3 1415, если он расположен не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 положительна (отрицательна) во всех точках интервала 13 EMBED Equation.3 1415, то график функции 13 EMBED Equation.3 1415 является вогнутым (выпуклым) на этом интервале.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, в которой выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба этого графика.
Необходимое условие точки перегиба. Если 13 EMBED Equation.3 1415 ( абсцисса точки перегиба графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, то вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415 равна нулю или не существует. Точки области определения функции 13 EMBED Equation.3 1415, в которых 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 не существует, называются критическими точками II рода.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 ( критическая точка II рода функции 13 EMBED Equation.3 1415. Если при переходе через эту точку вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415 меняет знак, то 13 EMBED Equation.3 1415 ( точка перегиба. Если же при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная 13 EMBED Equation.3 1415 не меняет знак, то 13 EMBED Equation.3 1415 точкой перегиба не является.
Асимптоты. Прямая называется асимптотой графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, если расстояние от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является вертикальной асимптотой графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, если хотя бы один из односторонних пределов функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 равен бесконечности:
13 EMBED Equation.3 1415.
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 может быть вертикальной асимптотой в том случае, если 13 EMBED Equation.3 1415 ( точка разрыва или граничная точка области определения.
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 называется наклонной асимптотой графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415), если 13 EMBED Equation.3 1415.
Наклонные асимптоты находятся по следующим формулам:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то асимптоту называют горизонтальной.
Для полного исследования функции и построения ее графика рекомендуется следующая схема:
1) Найти область определения функции, промежутки непрерывности, определить характер точек разрыва (если они имеются), найти вертикальные асимптоты.
2) Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность и сделать вывод о наличии симметрии: если 13 EMBED Equation.3 1415, то функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy; если 13 EMBED Equation.3 1415, то функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат; а если 13 EMBED Equation.3 1415 ( функция общего вида.
3) Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции: границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых 13 EMBED Equation.3 1415 равна нулю или не существует и границами области определения. В интервалах, где 13 EMBED Equation.3 1415, график функции расположен над осью Ox, а где 13 EMBED Equation.3 1415 ( под осью Ox.
4) Исследовать функцию с помощью первой производной: интервалы монотонности, точки экстремума, экстремумы функции.
5) Исследовать функцию с помощью второй производной: интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
6) Найти наклонные (горизонтальные) асимптоты 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
7) Найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график.
Пример . Провести полное исследование функции 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
Решение.
1) Функция не определена лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль, т. е. при 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим вертикальные асимптоты. Поскольку
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
то прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются вертикальными асимптотами графика функции.
2) 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
3) Для нахождения точек пересечения графика функции с координатными осями необходимо решить системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Обе системы имеют одно и то же решение: 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, график функции пересекает координатные оси в начале координат.
Находим промежутки знакопостоянства функции. Знаки функции показаны на схеме:
4) Вычисляем производную:
13 EMBED Equation.3 1415.
Первая производная обращается в нуль, когда 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Строим схему для определения знаков производной и интервалов монотонности функции:
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то функция возрастает в промежутках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Функция убывает в промежутках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 так как на этих промежутках 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 является точкой максимума, 13 EMBED Equation.3 1415
· точкой минимума, 13 EMBED Equation.3 1415 не является точкой экстремума, так как при переходе через нее знак первой производной не меняется.
Вычисляем значения экстремумов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
5) Находим вторую производную:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Вторая производная равна нулю при 13 EMBED Equation.3 1415 и меняет знак при переходе через эту точку:
Следовательно, точка (0; 0) является точкой перегиба. График функции является вогнутым в интервалах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и выпуклым в интервалах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
6) Ищем невертикальные асимптоты по формулам (1.6):
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. k = 1;
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. b = 0,
следовательно, прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является наклонной асимптотой.
7) Находим координаты двух дополнительных точек:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
На основании полученных результатов строим график функции (рис. 1).
Задания для самоконтроля
1. Найдите производные функций.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Методами дифференциального исчисления исследуйте з функцию13 EMBED Equation.3 1415 и постройте ее график.
Раздел 7. Интегральное исчисление.
Требования к знаниям: понятие первообразной, определение неопределенного интеграла и его свойства; таблицу интегралов; способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки, интегрирование по частям; интегрирование рациональных дробей.
что такое криволинейная трапеция; определенный интеграл и его свойства; определенный интеграл с переменным верхним пределом; формулу Ньютона-Лейбница вычисления определенных интегралов; методы вычисления определенных интегралов: метод подстановки и метод интегрирования по частям.
формулу вычисления площади плоской фигуры, длины дуги кривой, вычисления пути, пройденного телом, вычисления силы давления жидкости, вычисление работы переменной силы.
что такое интеграл с переменным верхним пределом, с бесконечными пределами, интеграл от разрывной функции.
Требования к умениям: вычислять неопределенный интеграл; вычислять неопределенный интеграл методом замены переменной; вычислять неопределенный интеграл способом интегрирования по частям; вычислять интеграл от рациональных дробей.
вычислять определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница; вычислять определенный интеграл способом замены переменной; вычислять определенный интеграл по формуле интегрирования по частям; вычислять площадь плоской фигуры; вычислять длину дуги кривой; вычислять путь, пройденной точкой; вычислять работу переменной силы.
вычислять интеграл с переменным верхним пределом и с бесконечными пределами, вычислять интеграл от разрывной функции.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выпо
·
"$&.8<‚¤¦АВикмо
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Флнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Первообразная. Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов и табличное интегрирование. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки, интегрирование по частям. Примеры «неберущихся» интегралов. Интегрирование рациональных дробей. Криволинейная трапеция и ее площадь. Определение определенного интеграла, его свойства. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Длина дуги кривой. Задача о вычислении пути. Задача о силе давления жидкости. Работа переменной силы. Интеграл с бесконечными пределами. Интеграл от разрывной функции.
Методические указания
Первообразная. Неопределённый интеграл
Основная задача дифференциального исчисления: по заданной функции
·(х) найти её производную
·/(x) или дифференциал
·/(x)dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию
·(х).
С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.
Функция F(x) называется первообразной функцией для функции
·(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F/(x)=
·(х) или dF(x)=
·(x)dx 13 EMBED Equation.3 1415
Простейшие примеры:
13 EMBED Equation.3 1415так как13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415так как13 EMBED Equation.3 1415
Если для
·(х) существует первообразная F(x), то существует и бесчисленное множество первообразных. Например, для
·(х) = х2 первообразными будут функции:
13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Теорема 1: Если F(x) есть первообразная для функции
·(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число.
Теорема 2: Если две функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для
·(х) на (a,b), то их разность постоянна на этом интервале: Ф(х) – F(x) = C 13 EMBED Equation.3 1415
Из данных теорем следует, что если F(x) есть первообразная для
·(х) на (a, b), то любая другая первообразная Ф(х) для
·(х) на (a, b) имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.
Множество всех возможных первообразных функции
·(х) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом функции
·(х) и обозначается символом
13 EMBED Equation.3 1415
Знак 13 EMBED Equation.3 1415 называется интегралом,
·(х) – подынтегральная функция,
·(х)dx – подынтегральное выражение. Таким образом, если F(x) – одна из первообразных для
·(х), то; по определению:
13 EMBED Equation.3 1415
Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразная) называют интегрированием функции
·(х). В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать.
Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.
Теорема: Если функция
·(х) непрерывна на (a, b) то для неё существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема.
Основные свойства неопределённого интеграла
Эти свойства вытекают непосредственно из определения.
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции (применяется для проверки):
13 EMBED Equation.3 1415 так как,
13 EMBED Equation.3 1415
Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: 13 EMBED Equation.3 1415
Tаким образом, символы
· и d, следующие за друг за другом в любой последовательности, взаимно уничтожаются (с точностью до С).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от слагаемых:
13 EMBED Equation.3 1415
(верно для любого конечного числа слагаемых).
Таблица неопределённых интегралов
Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то всякую формулу для производной конкретных функций можно обратить:
13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому таблицу основных интегралов получаем из таблицы производных, записав, её справа налево:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Все эти формулы проверяются дифференцированием правой части.
Пример: Вычислить неопределенные интегралы.
13 EMBED Equation.3 1415
Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными и их надо твёрдо запомнить, т.к. вычисление интеграла сводится к последовательным операциям, результатом которых являются приведения заданного интеграла к табличному (если это возможно).
Интегрирование с помощью замены переменной
Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.
Пусть надо вычислить интеграл
13 EMBED Equation.3 1415F(x)dx. (2)
Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив
x =
·(t) и dx =
·(t)dt . (3)
Для преобразования неопределённого интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
В формуле (4) предполагается, что
·(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции
·(t) и
·(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х =
·(t) мы должны получить тождество.
Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (5)
Замечание 2: Так как
13 EMBED Equation.3 1415,
то, если 13 EMBED Equation.3 1415,
из (4) следует: 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вообще:
13 EMBED Equation.3 1415
Если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Правило интегрирования по частям
Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Интегрируем обе части равенства по х:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 . (7)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла13 EMBED Equation.3 1415udv к вычислению интеграла 13 EMBED Equation.3 1415vdu, который может оказаться проще исходного. При этом за u(x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.
Пример : Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.
13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Разложение правильной дробно – рациональной функции на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей.
Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция: 13 EMBED Equation.3 1415
(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда дробь (13) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415
и т.д – некоторые коэффициенты.
Без доказательства.
Практически числа A13 EMBED Equation.3 1415, B13 EMBED Equation.3 1415, и т.д. находят по методу неопределённых коэффициентов.
Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.
Пример : Вычислить интеграл13 EMBED Equation.3 1415.
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.
13 EMBED Equation.3 1415
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:
13 EMBED Equation.3 1415
Подставим найденные коэффициенты в разложение
13 EMBED Equation.3 1415
Окончательно получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях, причём в результате получаются многочлены, дробно – рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
1.Площадь криволинейной трапеции
Понятие определённого интеграла является одним из основных понятий математики. Между определённым и неопределённым интегралами существует тесная связь, которая и лежит в основе практического использования определённого интеграла.
К понятию определённого интеграла приводят многие задачи геометрии, механики и физики. Рассмотрим такую задачу.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямыми: x = a и x = b.
Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – её основанием
Найдём площадь этой фигуры. Разобьём отрезок [a,b] на n частей произвольным образом. Через точки деления х1, х2,хn-1 проведем прямые, параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим длины элементарных отрезков через
·хk:
13 EMBED Equation.3 1415В каждом из элементарных промежутков возьмём произвольную точку13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим значения функции f(x) в этих точках:
13 EMBED Equation.3 1415
Каждую элементарную полоску с основанием 13 EMBED Equation.3 1415заменим прямоугольником с тем же самым основанием 13 EMBED Equation.3 1415 и высотой f(13 EMBED Equation.3 1415) (k = 0, 1, 2,n-1). Площадь каждого такого прямоугольника равна f(13 EMBED Equation.3 1415)
·хk.
При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближённым значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичны интервалов (и больше n)
Если измельчать разбиение отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, то число промежутков возрастает и полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 делается сколь угодно мелким (если такой предел существует): 13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - наибольшая длина элементарного отрезка.
Данное определение соответствует интуитивным представлениям о площади плоской фигуры и оно полностью оправдывается практикой.
Понятие определённого интеграла
Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на некоторых отрезках. Формулы (1) и (2) аналогичны друг другу в том смысле, что имеют одинаковую структуру и получены в результате выполнения однотипных действий.
Операция, приведшая к формулам (1) и (2) называется интегрированием функции на отрезке, а её результат число – называется определённым интегралом.
Пусть произвольная функция y=f(x) непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Рис. 10.
Разобьём 13 EMBED Equation.3 1415 на n (рис. 10) частей произвольным образом точками а=x0, x1, x2,xk, xk+1,xn-1, xn=b.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415.
В каждом из элементарных промежутков выберем произвольную точку 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (k=0,1,n-1) и
вычислим значение функции f(x) в этих точках: 13 EMBED Equation.3 1415 (k=0,1,n-1). Составим сумму:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) при данном разбиении отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 на частичные и данном выборе промежуточных точек 13 EMBED Equation.3 1415.
Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они
зависят от способа разбиения отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 и выбора точек13 EMBED Equation.3 1415. Пусть разбиение отрезков делается сколь угодно мелким, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. При этом очевидно число n элементарных отрезков в разбиении стремиться к бесконечности, и интегральная сумма будет каким-то образом изменяться.
Если существует предел интегральной суммы (3), когда разбиение отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 делается сколь угодно мелким, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек 13 EMBED Equation.3 1415, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается:
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Таким образом, по определению:
13 EMBED Equation.3 1415 . (4)
Из определения следует, что определённый интеграл – это число, зависящее от вида функции f(x) и от чисел a и b, но не зависящее от х0. Теперь в рассмотренных примерах можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (5)
и 13 EMBED Equation.3 1415
Из формулы (5) следует геометрический смысл определённого интеграла при 13 EMBED Equation.3 1415: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующе криволинейной трапеции.
Из определения непосредственно вытекает, что
13 EMBED Equation.3 1415.
Определение (4) интеграла сделано для случая a
b, то примем по определению:
13 EMBED Equation.3 1415, а если a=b, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция, для которой существует определённый интеграл на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, называется интегрируемой на этом отрезке.
Теорема: Функция f(x) непрерывная на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, интегрируема на этом отрезке.
Эта теорема даёт достаточное условие интегрируемости. Среди разрывных функций может быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.
В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функции, имеющей на нём конечное число точек разрыва, существует определённый интеграл.
Свойства определенного интеграла
I. Свойства, выражаемые равенствами.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на 13 EMBED Equation.3 1415, то определённый интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание: Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.
Следствие:
13 EMBED Equation.3 1415
(свойство линейности операции интегрирования).
3. Если отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 разбит точкой С на части, то интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).
13 EMBED Equation.3 1415
(свойство аддитивности).
II. Свойства, выражаемые неравенствами
1. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 интегрируема на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 (a2. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 (a 13 EMBED Equation.3 1415 (неравенства можно интегрировать, когда aНеравенство обращается в равенство, если 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Если f(x) интегрируема на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и a13 EMBED Equation.3 1415 (6)
4. Если функция f(x) интегрируема на 13 EMBED Equation.3 1415 (a13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрический смысл:
5. Теорема о среднем для определённого интеграла.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с 13 EMBED Equation.3 1415 такая, что имеет место равенство:
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Геометрический смысл. Если обе части равенства рассматривать как площади фигур, то криволинейная трапеция aABa равновелика прямоугольнику с длиной основания (b-a) и высотой f(c).
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Число f(c), получаемое по формуле (8), называется средним значением функции на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Определённый интеграл с переменными верхним
пределом. Связь между определённым и неопределённым интегралом
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 есть число, не зависящее от переменной интегрирования. Поэтому в определённом интеграле переменную интегрирования можно обозначить любой буквой:
13 EMBED Equation.3 1415 (если 13 EMBED Equation.3 1415).
Рассмотрим отрезок 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Раз функция интегрируема на 13 EMBED Equation.3 1415, то она интегрируема на 13 EMBED Equation.3 1415, но на этом отрезке верхний предел интегрирования будет переменным:
13 EMBED Equation.3 1415.
Рис. 15.
При этом каждому значению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует единственное значение определённого интеграла. Таким образом интеграл с переменным верхним пределом есть функция верхнего предела:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (9)
(При 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать как площадь заштрихованной криволинейной трапеции).
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема на 13 EMBED Equation.3 1415, причём
13 EMBED Equation.3 1415.
Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 есть первообразная для f(x) на 13 EMBED Equation.3 1415. Производная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой аргумент t заменяется на х: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 (11)
Формула (11) устанавливает связь между неопределённым и определенным интегралами.
Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление
определённого интеграла
Установленная связь между определённым и неопределённым интегралами (11) позволяет получить очень важную формулу для вычисления определённого интеграла.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и F(x) есть какая-то из первообразных для f(x) на 13 EMBED Equation.3 1415, то имеет место формула:
13 EMBED Equation.3 1415 - формула Ньютона-Лейбница.(12)
Будем обозначать 13 EMBED Equation.3 1415 - двойная подстановка.
Пример 1. Вычислить определенный интеграл (рис. 16).
Рис. 16 . Рис. 17.
13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрирование по частям в определённом интеграле
Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда, дифференцируя произведение получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Проинтегрируем это тождество по х в промежутке13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Эту формулу надо понимать так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Формула такая же, что и для неопределённого интеграла, но в результат надо подставить пределы интегрирования.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Замена переменной в определённом интеграле
Пусть надо вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, где f(x) – некоторая непрерывная функция.
Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415. При этом пользуются следующим правилом:
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
Функция f(x) непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Сложная функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна на 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (13)
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Приложения определенного интеграла.
Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
Если 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то площадь криволинейной трапеции вычисляют по формуле (1). Если 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и
S= (13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Если f(x) принимает на 13 EMBED Equation.3 1415 значения разных знаков, то 13 EMBED Equation.3 1415
Вычисление длин дуг
Пусть дана функция f(x) имеющая непрерывную производную на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Геометрически это означает, что на кривой АВ нет ни угловых точек, ни точек возврата. Такие линии называются гладкими.
Это дифференциал длины дуги параметрически заданной кривой 13 EMBED Equation.3 1415
Если гладкая кривая задана в декартовых координатах: y=f(x)
13 EMBED Equation.3 1415
Если кривая задана параметрически, то из (I0):
13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самоконтроля
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить интеграл13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить определенный интеграл методом замены переменной13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить площадь плоской фигуры 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.
Требования к знаниям: что такое числовой и функциональный ряд, члены ряда, общий член ряда, частичные суммы ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда; что такое степенной ряд, радиус и область сходимости степенного ряда, сумма степенного ряда;
что такое абсолютно и условно сходящиеся ряды, необходимое условие сходимости ряда; признак сравнения и признак Даламбера для исследования числовых и функциональных рядов на сходимость.
формулу Тейлора, что такое ряд Тейлора, как раскладывается функция в ряд Тейлора.
Требования к умениям: исследовать числовые и функциональные ряды на сходимость, находить сумму ряда, раскладывать функции в ряд Тейлора.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Определение числового и функционального ряда. Ряды с неотрицательными членами. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Степенной ряд. Радиус и область сходимости степенного ряда. Сумма степенного ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признак сравнения и признак Даламбера для исследования числовых и функциональных рядов на сходимость. Формула Тейлора. Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. Ряды Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.
Методические указания
Пусть задана бесконечная последовательность чисел а1.аn тогда выражение вида 13EMBED Equation.31415 (1) называется числовым рядом. Числа а1, а2,аn называется членами ряда. an – общий член ряда.
Сумма n первых членов ряда называется n- ой частной суммой и обозначается Sn=a1+a2++an.
Рассмотрим последовательность частичных сумм S1=a1, S2=a1+a2, Sn= a1+a2++an последовательность S1,S2,..,Sn (2)
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-либо конечному числу, т.е. 13EMBED Equation.31415 - сумма ряда (1) = lim S S=13EMBED Equation.31415
Если 13EMBED Equation.31415не существует или Sn(( n(( то ряд (1) называется расходящимся.
Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами.
Теорема 1
Если сходится ряд a1+a2++an (4), то сходится и ряд aк+1+aк+2++aк+n=13EMBED Equation.31415 (5) и обратно если сходится ряд (5) то сходится и ряд (4)
Иными словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.
Теорема 2
Если ряд (4) сходится и его сумма равна S то и рад 13EMBED Equation.31415 (6) где с=const тоже сходится, причем его сумма =с S.
Теорема 3
Пусть даны два ряда 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 пусть они сходятся и их суммы соответственно равны S и ( тогда ряд 13EMBED Equation.31415 тоже сходится и его сумма равна S+( .
Таким образом сходящиеся ряды можно умножать на число, складывать или вычитать.
Необходимое условие сходимости ряда.
При исследовании рядов на сходимость возникают две задачи исследовать ряд на сходимость, зная что ряд сходится найти его сумму.
Теорема (необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд 13EMBED Equation.31415 сходится то его общий член стремится к 0 то есть 13EMBED Equation.31415 (7)
Замечание: условие (7) является необходимым но не является достаточным условием сходимости ряда.
Таким образом, если общий член ряда стремится к 0 то еще нельзя сделать вывод о сходимость ряда, необходимо дополнительное исследование с помощью других признаков сходимости ряда.
Замечание: Если для некоторого ряда аn не стремится к 0 то ряд расходится.
Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.
Пусть даны два ряда с положительными членами 13EMBED Equation.31415(9) и 13EMBED Equation.31415 (10).
Теорема (Признак сравнения)
Если все члены ряда (9) не больше соответствующих членов ряда (10) an(bn (11) то из сходимости (10) следует сходимость (9) , а из расходимости (10) следует расходимость (9).
Замечание (1): Теорема остается в силе и для того случая, если некоторые члены рядов (9) или (10) равны 0. Однако перестает быть верной, если среди членов ряда есть отрицательные числа.
Замечание 2: Теорема справедлива и в том случае если (11) выполняется не для всех n начиная с первого а с N(n.
Существуют признаки сходимости рядов позволяющее непосредственно судить о сходимости или расходимости ряда не сравнивая их с другими рядами, о которых известно сходятся они или нет.
Признак Даламбера.
Теорема
Пусть ряд 13EMBED Equation.31415с положительными членами и существует 13EMBED Equation.31415 , тогда при ((1 ряд сходится ((1 ряд расходится.
Замечание: При (=1 вопрос о сходимости остается. Требуется делать дополнительные исследования.
Пример. Используя признак Даламбера исследуйте на сходимость следующие ряды:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Используя признак Даламбера, получаем:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 , а ( ряд сходится
б) 13 EMBED Equation.3 1415 а следовательно ряд сходится
Знакопеременые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Рассмотрим ряд с членами произвольных знаков u1+u2++un=13EMBED Equation.31415(1) . Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные при чем их расположение произвольно.
Рассмотрим одновременно ряд составленный из абсолютных величин (u1(+(u2(++(un(=13EMBED Equation.31415- (2).
Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся если сходится ряд (2) если же знакопеременный ряд (1) сходится а ряд два расходится то данный ряд (1) называется условно сходящимся.
Функциональные ряды. Область сходимости.
Ряд U1(x)+U2(x)++Un(x)+= 13EMBED Equation.31415 (1) называется функциональным , если все его члены являются функциями от x. При различных x мы получаем различные числовые ряды, которые могут быть как сходящимися, так и расходящимися. Совокупность их значений x , при которых (1) сходится, называется областью сходимости этого функционального ряда. Сумма (1) Sn(x) является функцией от x в области сходимости ряда. Пусть Sn(x) которая частичная сумма Sn(x)=U1(x)+U2(x)++Un(x) , тогда если ряд
сходится, то f(x)=Sn(x)+Rn(x), где Rn(x)=Un+1(x)+Un+2(x)-Rn - остаток ряда (1) после n-го числа к ее области сходимости ряда для каждого x 13EMBED Equation.31415 ,поэтому
Rn(x)=S(x)-Sn(x) , то 13EMBED Equation.31415=13EMBED Equation.31415-13EMBED Equation.31415=0 остаток степенного ряда Rn при n13EMBED Equation.31415 стремится к нулю.
Разложение функции в ряд Тейлора
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням 13 EMBED Equation.3 1415, то это разложение единственно и задается формулой:
Дання формула носит название формулы Тейлора.
Очень часто приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, корда а=0:
Это разложение в ряд называют рядом Маклорена.
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию .
Реш ение. Положим , тогда . Имеем
При находим искомое разложение
которое справедливо, очевидно, для всех значений х.
Задания для самоконтроля:
Найти сумму ряда 13 EMBED Equation.3 1415
Исследовать ряд 13 EMBED Equation.3 1415на сходимость
Разложить функцию у = cos х в ряд Тейлора до 5 порядка
Раздел 9. Функции нескольких переменных.
Требования к знаниям: что такое функция нескольких переменных; область определения и область значений функции нескольких переменных; геометрическое изображение функции двух переменных; что такое предел и непрерывность функции двух независимых переменных.
что такое частные производные функции нескольких переменных; геометрическую интерпретацию частных производных функции двух переменных; что такое полное приращение и полный дифференциал; максимум и минимум функции нескольких переменных.
что такое двойной интеграл и его свойства; как вычисляется двойной интеграл; приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.
Требования к умениям: вычислять предел функции двух независимых переменных; исследовать функцию двух независимых переменных на непрерывность; находить частные производные.
вычислять двойные интегралы; вычислять: площадь поверхности, массу неоднородной плоской фигуры, координаты центра тяжести неоднородной плоской фигуры.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Полное приращение и полный дифференциал. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.
Методические указания
Понятие функции двух переменных.
Область определения.
Если каждой паре значений независимых переменных (х,у), взятых из некоторой области изменения, по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение третьей переменной z, то z называется функцией двух переменных х и у: z = f (x,y)
Например: z =ln (13 EMBED Equation.3 1415.
Переменные х и у называются аргументами функции z. Область D – область определения функции z. Область определения функции двух переменных – некоторая область плоскости Оху .
Рис.1. Рис. 2.
Определение. (- окрестностью точки M0 (х0,у0) называется внутренняя часть круга радиуса (. с центром в точке M0, d (M0Р) ( (. или 13 EMBED Equation.3 1415( (..
Точка М1 называется внутренней точкой множества D, если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества.
Точка М2 называется граничной точкой множества D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие (рис.2). Сама граничная точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать.
Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей.
Множество D называется замкнутым (13 EMBED Equation.3 1415), если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым , если все его точки являются внутренними.
Множество D точек плоскости Оху называется областью, если: 1. D – открытое множество т.е. состоит только из внутренних точек.
2.Всякие две точки М1 и М2(D можно
соединить непрерывной линией, все
точки которой также принадлежат D (свойство связанности).
Рис. 3.
Открытая область является аналогом интервала (а,b) на прямой. Замкнутая область 13 EMBED Equation.3 1415 - аналог отрезка [a,b] Найдем области определения функций.
Пример. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Замкнутый круг (рис.4, а) - аналог отрезка [a,b].
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Открытый круг (рис.4, б) - аналог интервала (a,b).
Рис. 4.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415
Кольцо (рис. 4, в) - аналог полуинтервала (a,b].
Для функции y= f (x) графиком является кривая на плоскости Оху. Функция двух переменных также допускает непосредственное геометрическое истолкование.
Предел и непрерывность функции нескольких
переменных.
Определение предела функции нескольких переменных такое же, что и для функции одной переменной. Для простоты формулировки рассмотрим определение для n=2.
Определение. Число А называется пределом функции двух переменных f (х, у) при х( х0, у( у0 ( или при М ( М0), если( ( >0 ( ( ( > 0 такое, что для всех точек (-окрестности точки М 0 ( х0 , у0) выполняется неравенство
13 EMBED Equation.3 1415 , (1)
если (х, у)(U( (M0) (2)
В этом случае пишут:
13 EMBED Equation.3 1415, или13 EMBED Equation.3 1415.
Условие (2) означает, что точка М ( х , у) принадлежит ( - окрестности точки М 0 (х0 , у0) и не совпадает с точкой М0. Согласно определению, предел А не зависит от способа приближения точки М к точке М0: чтобы существовал предел f (М) при М( М0, все пределы по бесконечному множеству различных путей должны существовать и быть равными
В этом отношении для функции одной переменной дело обстоит проще; т.к. здесь х( х0 только по двум направлениям: слева и справа (рис. 7, б). Для существования 13 EMBED Equation.3 1415
необходимо и достаточно, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как определение предела для функции f (х, у) логически совпадает с определением предела для функции одной переменной, то остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила их вычисления.
Иногда при вычислении предела функции двух переменных можно поступать следующим образом: вычисляют предел функции f (х, у) по всем возможным прямым, проходящим через точку М0 ( при М (М0), если все эти пределы равны числу А, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция f (х,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если точка М0 принадлежит области определения функции и если
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (4).
Функция f (х, у) называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.
Для выполнения условия непрерывности (3) необходимо, чтобы:
1) функция f (х, у) была определена в точке М0(х0,у0);
2) существовал предел 13 EMBED Equation.3 1415;
3) f (М0) = А.
Точка М1(х1,у1) называется точкой разрыва функции f (х, у), если функция определена в окрестности этой точки, но в самой точке М1 не выполнено хотя бы одно из указанных условий непрерывности.
Непрерывность функции f (х, у) по совокупности аргументов не сводится к непрерывности по каждому аргументу в отдельности.
Определение непрерывности функции нескольких переменных f (М) (4) совершенно аналогично определению непрерывности функции одной переменной. Поэтому все свойства, установленные для непрерывных функций одной переменной, остаются в силе для непрерывных функций нескольких переменных:
1.Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в области определения.
2. Если функция f (М) непрерывна в замкнутой области13 EMBED Equation.3 1415, то она ограничена в ней ( достигает наибольшего и наименьшего значения ).
3. Непрерывная в 13 EMBED Equation.3 1415 функция, непрерывно переходя от одного своего значения к другому, необходимо проходит через каждое промежуточное значение.
Частные производные и частные
дифференциалы первого порядка
Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М0 (х0, у0) и ее некоторой окрестности. Фиксируем значение
у = у0, а изменять будем х. Получим функцию одной переменной z =f (х, у0). Пусть М1( х +(х, у0). Рассмотрим разность
(х z = f (М1) - f ( М0)= f ( х +(х, у0) - f (х0,у0).
Эта разность называется частным приращением функции z
по переменной х : (х z.
Рис. 5. .
Если существует предел отношения 13 EMBED Equation.3 1415 при (х(0 , то этот предел называется частной производной функции z по переменной х в точке М0 (х0, у0).
Обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, по определению 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
В определении частной производной не все координаты равноправны: у – фиксирован, а х изменяется. Точно так же при перемещении из точки М0(х0, у0) в точку М2( х0, у0 +(у) получим частное приращение функции z по переменной у (фиксировано х = х0, а у изменяется: z= f(х0, у) ).
(y z = f (М2) - f ( М0)= f ( х0 ,y0+( у) - f (х0,у0)
Предел отношения 13 EMBED Equation.3 1415 при (у(0 , если он существует, называется частной производной функции z по переменной у.
Обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
По определению 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Отношение 13 EMBED Equation.3 1415 дает среднюю скорость изменения функции z по аргументу х на отрезке М0 М1, а отношение 13 EMBED Equation.3 1415 дает среднюю скорость изменения функции z по аргументу у на отрезке М0 М2.
Частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 характеризуют скорость изменения функции z в точке М0 (х0, у0) в направлении координатных осей Ох и Оу.
Из определения частных производных следует и правило их вычисления: например, частная производная функции z =f (х, у) по переменной х находится так же, как и обыкновенная производная, считая у =const . Наоборот, частная производная функции z =f (х, у) по переменной у находится так же, как и обыкновенная производная, считая х =const.
Поэтому при вычислении частных производных сохраняют силу правила и формулы дифференцирования, доказанные для функции одной переменной.
Пример . 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Точно также определяются частные производные для функций большего числа переменных. Например, для n=3:
u= f(x,y,z) и
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
По аналогии с функциями одной переменной можно для частных приращений функции f(x,y) ввести понятие частного дифференциала :
(х z = 13 EMBED Equation.3 1415; dх z = 13 EMBED Equation.3 1415 и
(y z = 13 EMBED Equation.3 1415; dy z = 13 EMBED Equation.3 1415.
dх z и dy z – главная часть соответствующих частных приращений функции f(x,y) .
Полное приращение функции и полный
дифференциал
Для дифференцируемой функции одной переменной:
(у = f( (x0)(x +((x,
где ((0 при (x (0.
dу = f( (x0)d x и
(у( f( (x0) ( x,
т.е. f (x0+ ( x) ( f (x0) + f( (x0) ( . Рис. 6.
При этом дуга кривой 13 EMBED Equation.3 1415 заменяется отрезком касательной 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [x0, x0+ ( x]. Это значит, что нелинейная функциональная зависимость на малом промежутке заменяется более простой – линейной.
Рассмотрим функцию двух переменных f (x,у). Пусть она определена и непрерывна в точке М0(х0 ,у0) и некоторой ее окрестности.
Перемещению из точки М0(х0 ,у0) в точку М(х ,у)
х = x0+ ( x, у = у0+ (у
соответствует полное приращение функции:
( z = f (М) - f (М0) =
=f (x0+ ( x, у0+ ( у) - f (x0, у0);
т.к. здесь, вообще говоря, все переменные получают
приращения отличные от нуля .
Так как z = f (x, у) непрерывна в точке М0,:
13 EMBED Equation.3 1415; то13 EMBED Equation.3 1415 = 0 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 0. Если функция z = f (x, у) линейна, то ее полное приращение имеет очень простой вид: оно линейно относительно приращений аргументов. Действительно:
z = a x +b у + c; ( z = [a( x +(x) + b( у + (y) +c] – [a x +b у + c ];
( z =a(x + b (y.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Точка М0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(М) , если всюду в некоторой окрестности точки М0 (0 f(М) Точка М0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(М) (рис.14), если всюду в некоторой окрестности точки М0 (0 f(М) (f(М0) или ( z = f(М) - f(М0) ( 0.
Точки максимума и точки минимума – точки экстремума. Понятие экстремума носит локальный характер: в определении рассматриваются лишь точки М1 достаточно близкие к точке М0.
Теорема. (Необходимое условие). Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Следствие. В тех точках, в которых существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.
Значит экстремум следует искать только в тех точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.
Такие точки называются критическими (стационарными). В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. В общем случае о наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточных признаков экстремума.
Достаточный признак экстремума
Теорема 2. Пусть функция z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е. точка М0 является критической). Обозначим:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда :
1. Если число ( =13 EMBED Equation.3 1415>0, то точке М0 (х0 ,у0) функция f(х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.
2. Если число ( =13 EMBED Equation.3 1415<0, то точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.
3. Если число ( =13 EMBED Equation.3 1415=0, то признак не применим.
Пример. Найти экстремум функции
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем частные производные и приравняем их нулю.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решая систему уравнений, получим критические точки
х1=0; у1 =0; х2= 3; у2= 3; М1(0,0); М 2(3,3).
Найдем вторые производные:
13 EMBED Equation.3 1415 = 6х, 13 EMBED Equation.3 1415 =(9, 13 EMBED Equation.3 1415= 6у.
В точке М1: А=0, В= ( 9, С =0. 13 EMBED Equation.3 1415< 0. Экстремума нет .
В точке М1: А=18, В = ( 9, С = 18. 13 EMBED Equation.3 1415>0. Следовательно, в точке М2 функция имеем минимум, так как А(0.
13 EMBED Equation.3 1415
Двойной интеграл
Двойным интегралом от f(x;y) по области D называется предел сумм:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
D – множество точек (x;y) – область, по которой интегрируют
Площадь i-части 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрический смысл двойного интеграла: V=13 EMBED Equation.3 1415
D – область интегрирования, V – объём. Аналогично определяется тройной интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
T – трёхмерная область интегрирования (объёмная фигура)
dV13 EMBED Equation.3 1415 - элемент объёма, который получился после разбиения Т на элементарные кусочки. Анало-гично определяются все оставшиеся n-мерные интегралы.
Свойства кратных интегралов аналогичны свойствам определённого интеграла. Рас- смотрим на примере двойного интеграла:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 (f(x;y))
3) 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
4) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
5) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 области T
7) Если на D 13 EMBED Equation.3 1415, то т. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
8) Теорема о среднем: Если f непрерывна в D, то существует хотя бы одна точка 13 EMBED Equation.3 1415, для кото- рой 13 EMBED Equation.3 1415
Достаточное условие интегрируемости: Кратный интеграл от f по множеству D(T) су- ществует, если f непрерывна на этом множестве.
Вычисление кратных интегралов:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415- пределы изменения x и y.
Чтобы вычислить двойной интеграл, надо сначала вычислить внутренний интеграл по y, считая x-const, получим функцию, зависящую только от x, которую интегрируем по 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание: если область интегрирования – прямоугольник, то 13 EMBED Equation.3 1415,
где a, b, c, d – числа.
Двойной интеграл применяется для вычисления расстояния, объёма и т. д.:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самоконтроля:
Найдите полное и частные приращения функции 13 EMBED Equation.3 1415
Исследовать на непрерывность функцию 13 EMBED Equation.3 1415
Найти предел функции 13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные функции 13 EMBED Equation.3 1415
Найти экстремум функции
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 10. Дифференциальные уравнения.
Требования к знаниям: основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка; некоторые дифференциальные уравнения первого порядка.
что такое уравнения с разделяющимися переменными; правило нахождения общего решения; что такое линейные дифференциальные уравнения первого порядка; общее решение линейного уравнения первого порядка; однородные дифференциальные уравнения.
какие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами, линейными однородными уравнениями с постоянными коэффициентами.
какие уравнения называются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры решения.
Требования к умениям: решать дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменным, находить общее решение; линейные дифференциальные уравнения первого порядка, находить общее решение; однородные дифференциальные уравнения
решать дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
решать неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Примеры дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными: определения и примеры, правило нахождения общего решения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: общее решение линейного уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры решения.
Методические указания
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и её произведение у’,y’’,y(n)
Например: 100ху2 – у' +5=0
Если искомая функция у=f(x) – функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например: так уравнение 100ху2 –у' +5=0 – уравнение первого порядка
уравнение у''+ку'-bу-sinx=0 – уравнение второго порядка.
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется всякая функция у=f(x), которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.
Решить дифференциальное уравнение – это значит:
найти его общее решение (если начальные условия не заданы) или
найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнения вида у'=f1(х) ·f2(у)(*), где f1(х) и f2(у) – непрерывные функции называются уравнением с разделяющимися переменными.
Решение такого уравнения: предположим, что f2(y)13 EMBED Equation.3 14150 и перепишем в виде: 13 EMBED Equation.3 1415=f1(x)dx (1)
Считая у – известной функцией от х рассматриваем (1) как равенство двух дифференциалов.
Интегрируем левую часть по у, а правую – по х и получим:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 - это общее решение уравнения (*)
Уравнение вида М(х)dx+М(у)dу=0 – называется уравнением с разделёнными переменными, его решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Уравнение вида М1(х)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 – называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно приводится к виду (2) делением обеих частей на N1(y)M2(x):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Однородные уравнения первого порядка
Функция f(x;y) – называется однородной функцией первого измерения относительно переменных х и у, если 13 EMBED Equation.3 1415 верно f(13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415nf(x;y)
Уравнение первого порядка 13 EMBED Equation.3 1415=f(x;y) называется однородным относительно х и у, если f(x;y) – однородная функция нулевого измерения относительно х и у, т.е. f(13 EMBED Equation.3 1415)=f(x;y)
Решают однородные уравнения при помощи замены u=13 EMBED Equation.3 1415 или y=ux.
Тогда уравнение имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415=u+13 EMBED Equation.3 1415 ·x,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415=f(1;13 EMBED Equation.3 1415) или u+13 EMBED Equation.3 1415··x=f(1;u) – это уравнение с разделяющимися переменными: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
К однородным приводятся уравнения вида:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Замена z=ax+by
и получим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 с разделяющимися переменными 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Линейные уравнения.
Уравнения вида у'+p(x)y=f(x), где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если f(x)13 EMBED Equation.3 14150, то получаем линейное однородное уравнение.
Если f(x)13 EMBED Equation.3 14150, то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.
Решение линейного уравнения ищут в виде у=u(x)·v(x)
В качестве v(x) берём v(x)= e-13 EMBED Equation.3 1415
u(x)=13 EMBED Equation.3 1415
Тогда y=v(x)13 EMBED Equation.3 1415
Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение вида F(x,y,y’,y’’)=0 называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Обычно их записывают в виде: у’’=f(x;y;y’) (1)
Начальные уравнения для уравнения второго порядка имеют вид: если х=х0, то у=у0, у'=у'0 (2)
Функция у= (x,C1,C2) называется общим решением уравнения (1), если она является решением уравнения (1) при любых значениях С1 и С2 и при любых значениях начальных условий (2) существуют единственные значения С1 и С2 такие, что функция у= 13 EMBED Equation.3 1415(х,С13 EMBED Equation.3 14151,С2 ) удовлетворяет данным начальным условиям.
Любая функция у= 13 EMBED Equation.3 1415(х,С1,С2 ), получающаяся из общего решения у=13 EMBED Equation.3 1415 (х,С1,С2) уравнения (1) при определённых значениях С1 и С2 называется частным решением.
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнение вида: у''+ру'+qy=0.
Для его решения составляют характеристическое уравнение, заменяя у’’ на к2; у’ на к; у на 1
к2+рк+q=0
Находят корни этого уравнения
к1 и к2
Этим соответствуют частные линейно независимые решения (т.е. 13 EMBED Equation.3 1415) у1=ек х и у2=ек х
Общее решение будет иметь вид: у=С1ек х+С2ек х.
Замечание: если к1= к2, то у1=ек х, у2=хек х, если к1, к2 – компл., то у1=eRekcosImk2x
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнение вида у''+ру'+qу=f(x) (2), где f(x) – непрерывная функция.
Общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Для нахождения частного решения пользуются методом неопределённых коэффициентов.
Если f(x)=Pn(x) – многочлен n-ой степени, то частное решение 13 EMBED Equation.3 1415=Qn(x)·xr, где Qn(x) – многочлен с неопределёнными коэффициентами n-ой степени, r – количество корней характеристического уравнения, равных 0.
Коэффициенты определяем путём подстановки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 в исходное уравнение.
Системы дифференциальных уравнений
Совокупность уравнений вида
13 EMBED Equation.3 1415
называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения
Решение. Разделив переменные, получим
Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований в качестве такой постоянной приняли
Потенцируя по следнее равенство, получим
Это и есть общее решение данного уравнения.
Пример. Найти частное решение уравнения
Решение. Разделив все члены данного уравнения на cos х, придем к уравнению
которое является линейным . Положим y=uz; тогда
Подставив выражение для
или
Для отыскания u получаем уравнение
из которого следует
Подставляя выражение для и в уравнение (**), приходим к
т.е
Следовательно, общее решение исходного уравнения:
Используя начальные условия, получаем
Откуда С=0. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
Задания для самоконтроля:
Найти общеерешение уравнения y2dx + (x - 2)dy = 0
Найти частоное решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 y=4 при х=0
Раздел 11. Основы теории комплексных чисел.
Требования к знаниям: что такое комплексное число; как геометрически изображается комплексное число; что такое модуль и аргументы комплексного числа.
какие существуют формы записи комплексного числа; как переходить из одной формы записи к другой.
как на множестве комплексных чисел вводятся операции сложения, умножения, деления и равенства комплексных чисел; свойства операций над комплексными числами; алгебраические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме; как комплексное число возводится в степень, и извлекается корень из комплексного числа; как решаются квадратные уравнения на множестве комплексных чисел.
Требования к умениям: переходить от одной формы записи комплексного числа к другой; выполнять действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической форме.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Необходимость расширения множества действительных чисел. Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Свойства операций над комплексными числами. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа. Решение квадратных уравнений. Комплексная степень числа е.
Методические указания
Комплексным числом называется выражение z =x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей: i2= (1.
Корни приведенного уравнения можно записать в виде
z1 = (2+3i ), z2 = (2(3i ).
Числа х и y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами:
x = Re z , y = Im z
Если y = 0, z = x + i0 считается совпадающим с действительным числом x. Если x = 0, то z = 0 + iy обозначается просто iy и называется чисто мнимым числом.
Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и будем рассматривать упорядоченную пару чисел (x,y) как координаты точек этой плоскости.
Тогда каждому числу z = x + iy будет отвечать определённая точка z (x,y) плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости будет отвечать определённое число z = x + iy.
Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости Оху существует взаимно однозначное соответствие.
Плоскость Оху называется плоскостью комплексных чисел (z). Действительные числа изображаются при этом точками оси Oх. Ось Oх называется действительной осью.
Рис.1.
Чисто мнимые числа z = iy изображаются точками на оси Oу, которая называется мнимой осью.
Три формы записи комплексного числа
Алгебраическая форма:
z = x + iy. (1)
Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны друг другу (z1 = z2) тогда и только тогда, когда
x1 = x 2, и y1 = y2
Если x2 = x1, а y2 = -y1, то комплексные числа z1 = z2 называются взаимно сопряжёнными:
z = x + iy, 13 EMBED Equation.3 1415 = x – i y.
Точки z(x,y) и z(x,-y) симметричны относительно действительной оси Oх.
2. Тригонометрическая форма.
Введём в рассмотрение радиус-вектор точки z и угол
·, образованный им с положительным направлением оси Oх. (рис.1).
Величины r и
· называются, соответственно, модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются символами:
r = | z |;
· = Arg z .
Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой (из треугольника, рис 1);
r = | r |13 EMBED Equation.3 1415
Все значения аргумента
· удовлетворяют соотношению
13 EMBED Equation.3 1415
Угол
· называется аргументом комплексного числа z:
13 EMBED Equation.3 1415
Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2
·. Если z =0, то аргумент произволен.
Наименьшее по модулю значение аргумента Arg z называется его главным значением:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Главное значение аргумента определяется однозначно. Очевидно:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Из треугольника: x = 13 EMBED Equation.3 1415cos
· и y = 13 EMBED Equation.3 1415sin
· . Поэтому любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415или (13 EMBED Equation.3 1415=r)
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2к
·:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Для перехода от алгебраической формы (1) к тригонометрической (2) пользуются равенствами:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415..
Пример. Записать комплексные числа в тригонометри-
ческом виде
13 EMBED Equation.3 1415
Рис.2.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
3. Показательная форма.
Рассмотрим показательную функцию с мнимым показателем 13 EMBED Equation.3 1415. Положим по определению:
13 EMBED Equation.3 1415= cos
· - i13 EMBED Equation.3 1415 - (формула Эйлера) (3)
Вывод этой формулы содержится в теории рядов. С её помощью от тригонометрической формы (2) записи комплексного числа можно перейти к показательной:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Пример. Записать комплексные числа в показательной форме.
13 EMBED Equation.3 1415
Правая часть формулы (3) есть комплексное число с модулем, равным 1:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Значит, равенство (5) на плоскости (z) определяет окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
. Рис. 3.
При
·=0 z=13 EMBED Equation.3 1415=1; при
·=
·/2 z=13 EMBED Equation.3 1415=I и т.д. Таким образом, при изменении
· от 0 до 2
· точки z =13 EMBED Equation.3 1415 опишет окружность единичного радиуса против часовой стрелки.
В отличии от функции 13 EMBED Equation.3 1415, функция 13 EMBED Equation.3 1415 периодическая с периодом T = 2
·.
13 EMBED Equation.3 1415
Действия над комплексными числами
На множестве комплексных чисел определены те же действия, что и на множестве действительных чисел. Пусть
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
а) Сумма и разность двух комплексных чисел определяется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются, а при вычитании вычитаются.
13 EMBED Equation.3 1415
б) Произведение двух комплексных чисел получается по правилу умножения многочленов, учитывая, что i2 = -1:
13 EMBED Equation.3 1415
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
13 EMBED Equation.3 1415
Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
В показательной форме:
13 EMBED Equation.3 1415
в) Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению:
13 EMBED Equation.3 1415
В алгебраической форме:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Вычислить:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме (6). Найдём модуль и аргумент частного. По определению:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
г) Возведение комплексных чисел в натуральную степень.
Целая положительная степень комплексного числа определяется так же, как и действительного: 13 EMBED Equation.3 1415.
Например: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415и т.д. В общем случае:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть число z задано в тригонометрической форме:
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда:
13 EMBED Equation.3 1415.
Рис. 4. В показательной форме:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Запишем число z=1+i в тригонометрическом виде. Здесь 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415,
tg13 EMBED Equation.3 1415=1; 13 EMBED Equation.3 1415; z =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415(рис. 4).
13 EMBED Equation.3 1415
д) Извлечение корня.
Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число w (w=13 EMBED Equation.3 1415), что wn=z.
Пусть числа z и w представлены в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Найдём
· и(. Так как
13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому:
·=13 EMBED Equation.3 1415- арифметическое значение корня из положительного числа r, а (=13 EMBED Equation.3 1415 (k=13 EMBED Equation.3 1415). Т.о.
13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
Значение (к, дающие существенно различные значения корня n-ой степени из z соответствуют только n значениям k (0,1,2,n-1). Остальным целым k соответствуют значения (k, отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2
·.
Проверить, например, что wn=w0 !
Таким образом, комплексное число z13 EMBED Equation.3 14150 имеет ровно n корней степени n, получаемых из этих формул. Из формул вытекает, что все значения корня лежат на окружности радиуса
·=13 EMBED Equation.3 1415и делят окружность на n равных частей.
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Запишем число в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415
Рис.5.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2: Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Запишем число в показательной форме:
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 6.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самоконтроля:
Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415
Выполните действия 13 EMBED Equation.3 1415
Для данного комплексного числа запишите сопряженное и противоположное числа: 1 - 5i
Выполните действия 13 EMBED Equation.3 1415
Представьте в тригонометрической форме число 13 EMBED Equation.3 1415
Представьте в алгебраической форме число 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение х2 - 2х + 5 = 0
Раздел 12. Численные методы.
Требования к знаниям: что такое приближенное значение величины; абсолютная и относительная погрешности приближения; как проводится округление чисел; каковы погрешности вычислений с приближенными данными.
суть метода половинного деления, метода простой итерации, метода секущих и метода парабол.
суть метода исключения Гаусса, метода простой итерации, метода итераций Зейделя, метода Ньютона решения систем уравнений.
что такое интерполяция, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона, погрешность и сходимость интерполяции, экстраполяция.
суть дифференцирования интерполяционного многочлена Ньютона, как применяется ряд Тейлора для численного дифференцирования.
суть численного интегрирования, формулы численного интегрирования, суть метода Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точности.
суть метода конечных разностей, метода Эйлера и метода Рунге-Кутты.
Требования к умениям: решать уравнения методом половинного деления, методом простой итерации, методом секущих, методом парабол; решать системы уравнений методом исключения Гаусса, методом простой итерации, методом итераций Зейделя, методом Ньютона
исследовать интерполяционные математические модели; проводить оценку точности интерполяции; дифференцировать интерполяционный многочлен Ньютона, применять ряд Тейлора для численного дифференцирования; применять формулы численного интегрирования, применять метод Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точности.
применять методы конечных разностей, Эйлера, Рунге-Кутты для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Формируемые компетенции
OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание учебного материала: Абсолютная и относительная погрешности приближения. Округление чисел. Погрешность округления. Погрешности вычислений с приближенными данными. Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод итераций. Определение интервала изоляции действительного корня уравнения. Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Постановка задачи численного дифференцирования. Постановка задачи численного интегрирования. Формулы численного интегрирования. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.
Методические указания
Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух типов:
одни в точности дают истинную величину и называются точными;
другие – только приблизительно, не точно; такие называются приближенными.
Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, т. к. последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти.
Рассмотрим несколько примеров.
Примеры
В книге 420 страниц; число 420 – точное.
В шестиугольнике 9 диагоналей; число 9 – точное.
Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла; число 50 – приближенное, т. к. весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.
Расстояние от станции Москва до станции Санкт-Петербург по железной дороге составляет 651 км; число 651 – приближенное, т. к. наши измерительные инструменты не точны и, кроме того, сами станции имеют некоторое протяжение.
Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число.
Теория приближенных вычислений позволяет:
зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;
брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но при этом по возможности избавить вычислителя от излишних бесполезных расчетов;
рационализировать сам процесс вычислений, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
В приближенных вычислениях часто приходиться округлять числа (как приближенные, так и точные), т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила:
Правило №1
Если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу.
Пример. Дано число 45,769, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра – 6
· 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет 45,8.
Правило №2
Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается.
Пример
Дано число 45,749, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра – 4<5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) не усиливается, т. е. округленное число будет – 45,7.
Правило №3
Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Т. е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если – нечетная.
Примеры
Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем – 0,046. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (6) – четная.
Округляя число 0,0415 до третьего десятичного знака, пишем – 0,042. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (1) – нечетная.
Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.
Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее).
Пример
При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.
Пример
При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197
· 0,01523 или приближенно 3/200
· 1,5%.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой
· – "дельта". А предельная относительная погрешность – греческой буквой
· ("дельта малая"). Если приближенное число обозначить буквой
·, то
· =
·/
·.
Погрешность действий над приближенными числами
Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Пример. Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463
· 2,46 и 3,208
· 3,21.
Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.
Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.
Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.
Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.
Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001
· 0,005.
Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
Алгебраические и трансцендентные уравнения
Уравнение называется алгебраическим, если каждая из его частей есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам.
Т. е. алгебраическое уравнение – это уравнение вида Pn = 0, где Pn – многочлен n-ой степени от одной или нескольких переменных.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение сводящееся к уравнению вида: a0xn+a1xn-1++ an-1x+an = 0, где n – неотрицательное целое число, степень уравнения; a0, a1, , an – коэффициенты уравнения.
Корнем уравнения называют значения неизвестного.
Если уравнение содержит только одно неизвестное, то степенью уравнения называют наибольший из показателей при неизвестном.
Трансцендентное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком трансцендентной функции.
К трансцендентным функциям относятся – показательная (y = ax, a > a
· 1), логарифмическая (y = logax), тригонометрическая (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x) или обратно-тригонометрическая (y = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x) функция.
Однако точное решение уравнения не является безусловно необходимым. Задача отыскания корней уравнения может считаться практически решенной, если удалось определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.
К методам приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений относятся: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод интерполяции.
Студенту также необходимо изучить следующие вопросы:
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
Постановка задачи численного дифференцирования.
Постановка задачи численного интегрирования.
Формулы численного интегрирования.
Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.
Задания для самоконтроля:
Определить графически интервалы изоляции действительных корней уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Методом дихотомии решить уравнение с точностью до 0,01:
13 EMBED Equation.3 1415
Методом хорд решить уравнение с точность до 0,01:
13 EMBED Equation.3 1415
Методом касательных решить уравнение с точность до 0,01:
13 EMBED Equation.3 1415
Методом итераций решить уравнение с точность до 0,01:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить по формуле прямоугольников интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность. Проверить методом Ньютона-Лейбница.
Вопросы для экзамена:
Понятие и виды матриц. Транспонированная матрица.
Операции над матрицами и их свойства.
Обратная матрица и ее свойства.
Определитель матрицы и его свойства.
Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.
Векторы. Операции над векторами и их свойства.
Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
Векторное произведение двух векторов и его свойства.
Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
Уравнение прямой на плоскости: способы задания.
Кривые второго порядка: окружность.
Кривые второго порядка: эллипс.
Кривые второго порядка: гипербола.
Кривые второго порядка: парабола.
Числовые последовательности и способы их задания.
Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей.
Предел функции. Непрерывность функции.
Производная. Геометрический и кинематический смысл.
Теоремы дифференциального исчисления.
Производная сложной и обратной функции.
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Исследование функций с помощью производной.
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Методы вычисления неопределенных интегралов.
Определенный интеграл и его геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой, площадь плоской фигуры, вычисление пути, пройденного точкой, вычисление работы силы.
Определение числового и функционального ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Примеры.
Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость.
Разложение функций в ряд Тейлора. Привести пример.
Понятие функциональной зависимости между несколькими переменными.
Предел и непрерывность функции двух независимых переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
Экстремумы функции двух независимых переменных.
Несобственный интеграл.
Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.
Различные формы записи комплексных чисел.
Операции над комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической форме.
Погрешности приближенных значений чисел. Действия над приближенными значениями.
Приближенное решение уравнений: метод дихотомии.
Приближенное решение уравнений: метод хорд.
Приближенное решение уравнений: метод касательных.
Приближенное решение уравнений: метод итераций.
Интерполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
Литература.
Основные источники:
Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008
Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010
Дополнительные источники:
Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.
Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009
Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009
Лапчик М.П. Элементы численных методов. - ОИЦ «Академия», 2008
13PAGE 15
13PAGE 14215
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис..4
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3.
Рис. 4
Рис. 3.6
Рис.1
y=f(x,y)
b
0
13 EMBED Equation.3 1415
y
а
у0
0
М0
(1
х0=a
13 EMBED Equation.3 1415
y
xn=b
.
...
(0
(2
( k
( n-1
Ay
B
...
у0
...
0
М0
М101
х1
х0=a
13 EMBED Equation.3 1415
y
xn=b
х2
хk
хk+1
...
y
x
a
0x
m
M
D1
B
D
b
C1
C
A
y
0
x
a
c
b
m
B
M
f(c)
y
0
x
a
c
b
f(c)
y=f(x)
x
x+(x
y
0
x
1a
S=2
y=sinx
y
0
x
1a
2
S=7/3
y=13 EMBED Equation.3 1415
ух
у0+(у
P
0
b
x+(x
x
a
B
N
A
y
M
(
x
у
х
у0
х0+(х
0
М0
х0
х0
(Р(х,у)М0
D
0
у0+(у
M2
(
(
M1
x
у
D
M2
M1
x
x
y
x
y
y
а)
б)
в)
13 EMBED Equation.3 1415
D
М0
0
х0
х
х0+(х
х
х0+(х
х
х0
х0+(х
х0
0
0
ух
ух
у0
у0+(у
М0
М101
М2
у0
у0+(у
М0
М1
М2
М1
Т
dy
dx
ух
0
х
у0
х0+(х
х
0
М2
х0
у0
у0+(у
х0+(х
М0
х0
М(x,y)
у0+(у
r
(x
x
0
у
z(x,у)
у
x
-1
у
х
z2= i
-i
1
i
у
х
1
(/4
0
13 EMBED Equation.3 1415
x
у
z=1+ix,у)
у
х
w0
w1
w2
w2
у
х
w1
w0
w3
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native