Пособие по решению задач с экономическим содержанием

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Мирновская средняя общеобразовательная школа им. А.А.Воскресенского
Торжокского района Тверской области
«БИТВА» за ТРИ балла
или
РЕШЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Пособие для учащихся 10-11 классов
для подготовки к ЕГЭ по математике.
Профильный уровень.
Составители ученики 11 класса:
Кудряшова Татьяна
Садовникова Кристина
Стажок Татьяна
Шапуткина Анна
Руководитель С.Г. Конькова,
учитель математики
Мирный, 2016
Задачи, которые мы рассмотрим здесь, были включены в КИМах ЕГЭ по математике 2015 года. Тексты задач размещены на сайте http://alexlarin.net/ege15.html в свободном доступе.
Мы условно разделили представленные задачи на три группы.
Первые две группы – задачи о кредитах:
- кредит погашается равными платежами или известными траншами;
- долг уменьшается на одну и ту же величину.
Третья группа – задачи экономического содержания по расчетам наибольшего дохода (прибыли) или наименьшего периода окупаемости.
Вряд ли содержание задач соответствует конкретным жизненным ситуациям, но желание получить три балла на ЕГЭ за решение №17 побудило нас к созданию данного пособия. Очень надеемся, что наши труды принесут пользу не только нам, но и всем, кто ознакомится с нашим пособием.
Рассмотрим, что происходит, когда мы кладем в банк на n лет некоторую сумму S под r% годовых:
S → S + r100S = (1+ r100) S = (1 + 0,01r) S – сумма, которая будет на счету через год.
После второго года произойдет то же самое:
(1 + 0,01r) S → (1 + 0,01r) S + 0,01r (1 + 0,01r) S = =(1 + 0,01r)2 S
Через n лет, после начисления последних процентов, вклад достигнет величины, равной
(1 + 0,01r)n S = qn S (1)
Формулу (1) называют формулой сложных процентов, q= 1 + 0,01r – повышающим коэффициентом или коэффициентом увеличения.
Давайте теперь возьмем кредит в размере a под r% годовых сроком на n лет.
Условия возврата кредита могут быть различными.
Кредит погашается равными платежами, размером b.
Прошел год, наш долг банку увеличился на заявленные проценты, а мы платим заявленный платеж. К концу года долг перед банком будет иметь вид
(1 + 0,01r)a – b.
Проходит еще год:
(1 + 0,01r) ((1 + 0,01r)a – b) – b =
=(1 + 0,01r)2a –1 + 0,01rb-b = =(1 + 0,01r)2a –1+1 + 0,01rb= q2a-1+qb и т. д.
К концу договора мы отдаем долг полностью, его величина становится равной нулю и это равенство запишется таким образом:
qna-1+q+ q2+…+ qn-1b=0, (2)
где 1,q,q2… qn-1- геометрическая прогрессия, первый член которой равен 1, знаменатель q.
Напомним формулы n - ого члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии: bn= b1∙ qn-1 , Sn= b1(qn-1)q-1.
Тогда в нашем случае 1+q+ q2+…+ qn-1=qn-1q-1.Таким образом, уравнение (2) примет вид:
qna-qn-1q-1b=0 (3).
Задача №1.
В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
РЕШЕНИЕ.

Задача № 2.
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн. рублей.Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
РЕШЕНИЕ.

Задача № 3.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.
РЕШЕНИЕ

Задача № 4.
В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
РЕШЕНИЕ

Задача № 5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?
РЕШЕНИЕ

Условия выплаты кредита таковы, что долг уменьшается на одну и ту же величину (т.е. оплата состоит из 1n кредита и процентов).
Пусть (an) - сумма долга в конце n-ого месяца (года), (bn) – оплата в конце n-ого месяца (года), r – процентная ставка, тогда
a1= a0+ 0,01ra0- b1 = (1+ 0,01r)a0 - b1= =qa0 - b1 a2= a1+ 0,01ra1- b2 = (1+ 0,01r)a1- b2 =
=qa1- b2 и.т.д.
Заметим, что a0 , a1 , a2 ,….an- арифметическая прогрессия,т.к. долг уменьшается на одну и ту же величину.
Напомним формулы для арифметической прогрессии: an= a1+n-1d, Sn= a1+an2 ∙n или Sn= 2a1+n-1d2 ∙n.В нашем случае первый член прогрессии a0- сумма кредита,
тогда an=a0 + nd и an=0, получаем d = - a0nЗадача № 6.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?
РЕШЕНИЕ

Задача № 7.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.Сколько млн. рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?
РЕШЕНИЕ

Задача № 8.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн. рублей?
РЕШЕНИЕ
Задача № 9.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
РЕШЕНИЕ

Задачи экономического содержания на нахождение наибольшего или наименьшего значения величины можно решить методами математического анализа.
Задача №10.
Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х2+2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px-(0,5x2+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
РЕШЕНИЕ

Задача №11.
Зависимость объема Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
РЕШЕНИЕ

Задачи для самостоятельного решения
31 декабря 2015 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
31 декабря 2015 года Максим взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Максим переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 640 250 рублей, то выплатит долг за 4 года, если по 2 936 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Максим взял деньги в банке?
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условие его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1027,5 тыс. рублей.
Какую сумму планируется взять в кредит?
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн. рублей?
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 м2 и номера «люкс» площадью 49 м2. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 653 м2. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 9000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёт будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Литература
Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена 2016 года по математике. Профильный уровень. – www.fipi.ruЕГЭ 2016. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2/ И.В. Ященко, М.А. Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2016.
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2015