Методика решения задач с экономическим содержанием в рамках подготовки к ЕГЭ

Методика решения задач с экономическим содержанием в рамках подготовки к ЕГЭ
Основные формулы по теме

Вывод формулы 2
Пусть S0 - первоначальный вклад сроком на n лет,
r% годовых, p - ежегодная доплата, k = 1 + r100 .
Через 1 год - вклад составит S0∙k+p 2 года - ( S0∙k+p ) ∙k+p=S0∙k2+p∙k+1= =S0∙k2+p∙(k-1)∙(k+1)k-1 = =S0∙k2+p∙k2-1k-1 3 года - (( S0∙k+p ) ∙k+p ) ∙k+p = S0∙k3+pk2+pk+p= =S0∙k3+p∙k2+k+1=S0∙k3+p∙1+k+k2= =S0∙k3+p∙k3-1k-1…………………………………
n лет - S0∙kn+p∙kn-1k-1Если по окончании срока вклада дополнительный взнос не поступает, то получим:S0∙kn+p∙kn-1k-1-p=S0∙kn+p∙kn-kk-1 , т.е.
, где к = 1 + r100 , r % годовых ( в месяц)
S – сумма вклада через n лет
S0 - первоначальный вклад
p - ежегодный ( месячный) платёж
Пример применения формулы 2
Задача.В банк помещена сумма 20000 рублей под 10%
годовых сроком на 5 лет. Первые 4 года клиент
производит дополнительный взнос в размере
2000 рублей. Найдите сумму вклада через 5 лет.
S0=20000руб. - первоначальный вклад сроком на n=5 лет,
r% = 10% годовых, p =2000 руб. - ежегодный дополнительный взнос, k = 1 +r100 = 1 + 10100=1,1S = S0∙ kn+p∙kn-kk-1
Применяя формулу , получим

S = 20000∙ 1,15+2000∙1,15-1,11,1-1==20000∙ 1,61051+2000∙0,510510,1=Итак, через 5 лет вклад станет равным 42420,4 рублям.
Ответ: 42420,4 руб.
Решение задачи №506950 из открытого банка заданий
Задание 19 № 506950.В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?S0=3900000руб. - первоначальный вклад сроком на n=5 лет, r% = 50% годовых, p - ежегодный дополнительный взнос, k = 1 +r100 = 1 + 50100=1,5Т.к. клад вырос на 725%, то он стал составлять 825%,
S = S0∙ kn+p∙kn-kk-1т.е 8,25 от 3900000 руб. - 8,25 ∙ 3900000 = 32175000 рублей.
2) Воспользовавшись формулой , получим:
32175000 = 3900000∙ 1,55+p∙1,55-1,51,5-1 ,
1,55=7,59375,
32175000 = 3900000∙ 7,59375+p∙6,093750,5 ,
32175000 = 29615625+p∙12,1875 ,
p∙12,1875=2559375 ,
p=210000 рублей .Ответ: 210000 рублей .Применение формулы (3) по кредитам
Задача. Кредит в 100000 руб. выплачивается равными платежами в течение 5 месяцев , процент по кредиту 20% в месяц. Какова сумма ежемесячного платежа?
k = 1 + r100 = 1 + 20100=1,2S=100000руб. – сумма кредита, выданного на n=5 мес., r% = 20% годовых, p - ежемесячный платёж.
S ∙ kn=p∙kn-1k-1Используя формулу
,
получим:
100000 ∙ 1,25=p∙1,25-11,2-1 ,
1,25=2,48832 ,
248832=p∙1,488320,2, 248832 =p∙7,4416 ,
p=2488327,4416=33437, 97(руб.)
Т.о., сумма ежемесячного платежа 33437,97 рублей.
Ответ: 33437,97 рублей.
Применение формулы (6) по кредитам
Задача из реального ЕГЭ-2015.
Кредит в 5 млн. руб под 20% годовых взят на несколько лет. Долг уменьшается равномерно раз в год. Общая сумма выплат по погашению долга составил 7,5 млн руб. На сколько лет взят кредит?
B=S∙(1+r∙n+1200 )

Применяя формулу , где В = 7,5 млн. руб. – общая сумма, выплаченная банку за весь период кредитования ,
S=5 млн.руб. – сумма кредита, выданного на n лет,
r = 20% - процент по кредиту в год , получим:
7,5 млн.=5 млн. ∙(1+20∙n+1200 ) ,7,5 млн.=5 млн. ∙(1+n+110 ) ,7,5 млн.=5 млн. ∙ 11+n10 ,
11+n10=1,5 ,
11+n=15 , n=4 .Итак, кредит выплачен за 4 года.
Ответ: за 4 года.
Задачи реального ЕГЭ – 2015.
19.1 Кредит взят на 11 месяцев. Долг по кредиту уменьшается на одну и ту же величину. Сумма, которая была отдана банку на 24% превышает сумму, которую взяли в кредит. Найти месячный процент. 19.2 Кредит 28 млн. р под 25% годовых. Долг уменьшается равномерно раз в год. Максимальная годовая выплата по погашению составил 9 млн. Каков размер всех выплат.19.3 Кредит 5 млн. руб под 20% годовых взят на несколько лет. Долг уменьшается равномерно раз в год. Общая сумма выплат по погашению долга составил 7,5 млн. руб. На сколько лет взят кредит?19.4 Взят кредит 14 млн рублей на 14 лет. Долг возрастает каждый год на r% . Долг уменьшается равномерно раз в год. Найдите r , если известно, что наибольший годовой платеж составит не более 2,4 млн рублей, а наименьший - не менее 1,1 млн. рублей.
Досрочный ЕГЭ

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах
производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном
во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе,
трудятся суммарно t часов в неделю, то за эту неделю они производят
2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе,
трудятся суммарно t часов в неделю, то за эту неделю они производят
5t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему
500 рублей.
Владимиру надо каждую неделю производить 580 единиц товара
Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих ?Ответ: 58000000