Исследовательская работа по математике на тему Большие числа

Оглавление
Введение……………………………………………..……………………..3
Глава 1 Возникновение больших чисел…………………………………5
Глава 2 Название больших чисел………………………….…………….7
Глава 3 Легенда о шахматной доске……………………….……………8
Глава 4 Большие числа в природе…………………………….…………10
Глава 5 Числа и космос………………………………………….............12
Глава 6 Практическая работа……………………………………………13
Глава 7 Что может случиться за секунду………………………..………14
Глава 8 Знаете ли вы……………………………………………………..15
Заключение …………………………………………………….………..16
Список использованной литературы…………………………..……….17
Введение
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числами не только что-то измеряют, ими сравнивают, вычисляют, даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы. Когда- то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства.
Открытия в науке о числах делали Пифагор, Архимед, немецкий ученый Карл Гаусс, французские математики Алексис Клеро, Эверист Галуа, Шюке и др. Сначала люди умели называть лишь маленькие числа, а потом все больше и больше. Они создали разные системы исчисления, такие как двоичная, десятичная, шестидесятеричная. Около 2,5-3 тысяч лет до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему. Своя система счисления была у римлян. В древности применялась и алфавитная система записи чисел. Любопытны были различные методы обозначения чисел. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел, нужны были все новые и новые знаки. Впрочем, египтяне, римляне, греки с большими числами в своей практике не встречались. И когда древнегреческий математик Архимед научился называть громадные числа и изложил свое открытие в книге «Псаммит» т.е. «Счет песчинок», никто на это не обратил внимание. Человечество развивалось и двигалось вперед. Люди пытались вычислить площадь земли, расстояние от земли до солнца, расстояние между звездами, изучали молекулы, атомы. Появилась необходимость в обозначении больших чисел. Ученые задумались: «Есть ли предел у числового ряда, как назвать и записать большое число?». В жизни мы эти числа почти не встречаем. Только в науке нужны большие числа.
Но изучение чисел и их свойств необходимо современному человеку для развития логического мышления, памяти, творческого решения задач. В школьном курсе «математика» не изучается тема «большие числа», но узнав, что существуют числа больше миллиарда, у меня возник интерес и желание больше узнать об этих числах. Безусловно, мало знать, как называются самые большие числа в мире, имеющие собственное название. Интересно узнать и посмотреть на то, как они записываются, где встречаются в жизни. Это и обусловило выбор темы работы: «Большие числа». Теперь я представляю всю найденную мной информацию, чтоб и другие могли ответить на вопрос: "Как называются большие и очень большие числа?". Я расскажу о том, что такое большие числа, источники их происхождения и о многом другом.
Глава 1. Возникновение больших чисел
Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. Причем у русских роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок "титло". При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иной). В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация", которой мы пользуемся и сейчас. В названиях чисел также происходили изменения. Например, до 15 века число "двадцать" обозначалось как "два десяти" (два десятка), но затем сократилось для более быстрого произношения. До 15 века число "сорок" обозначалось словом "четыредесяте", а в 15-16 веках это слово было вытеснено словом "сорок", которое исходно обозначало мешок, в который помещалось 40 беличьих или соболиных шкурок. О происхождении слова "тысяча" есть два варианта: от старого названия "толстое сто" или от модификации латинского слова centum - "сто". Название "миллион" впервые появилось в Италии в 1500 г. и образовалось добавлением увеличительного суффикса к числу "милле" - тысяча (т.е. обозначало "большую тысячу"), в русский язык оно проникло позже, а до этого то же значение в русском языке обозначалось числом "леодр". Слово "миллиард" вошло в употребление лишь со времени франко-пруссой войны (1871 г.), когда французам пришлось уплатить Германии контрибуцию в 5 000 000 000 франков. Как и "миллион" слово "миллиард" происходит от корня "тысяча" с добавкой итальянского увеличительного суффикса. В Германии и Америке некоторое время под словом "миллиард" подразумевали число 100 000 000; этим объясняется, что слово миллиардер в Америке стало использоватсья до того, как у кого-либо из богачей появилось 1000 000 000 долларов. В старинной (XVIII в.) "Арифметике" Магницкого, приводится таблица названий чисел, доведенная до "квадрильона" (10^24, по системе через 6 разрядов). Перельманом Я.И. в книге "Занимательная арифметика" приводятся названия больших чисел того времени, несколько отличающиеся от сегодняшних: септильон (10^42), октальон (10^48), нональон (10^54), декальон (10^60), эндекальон (10^66), додекальон (10^72) и написано, что "далее названий не имеется".
Когда-то я прочитала один трагический рассказ, где повествуется о чукче, которого полярники научили считать и записывать цифры. Магия чисел настолько поразила его, что он решил записать в подаренной полярниками тетради абсолютно все существующие в мире числа подряд, начиная с единицы. Чукча забрасывает все свои дела, перестаёт общаться даже с собственной женой, не охотится больше на нерпу и тюленей, а всё пишет и пишет в тетрадь числа…. Так проходит год. В конце концов, тетрадь заканчивается и чукча понимает, что он смог записать лишь малую часть всех чисел. Он горько плачет и в отчаянии сжигает свою исписанную тетрадку, чтобы вновь начать жить простой жизнью рыболова, не думая больше о таинственной бесконечности чисел…
Нужны ли эти большие числа людям в жизни? Предположим, что большие числа не нужны людям в их деятельности.
Глава 2. Название больших чисел
Что такое большие числа? Большие числа - это очень большие числа, а именно:
Сто – 100
Тысяча – 1 000
Миллион – 1 000 000
Миллиард – 1 000 000 000
Триллион – 1 000 000 000 000 (12 нулей)
Квадриллион– 1 000 000 000 000 000 (15 нулей)
Квинтиллион– 1 000 000 000 000 000 000 (с 18-ю нулями)
Секстиллион – 1 000 000 000 000 000 000 000 (с 21-ю нулями)
Септиллион – 1 000 000 000 000 000 000 000 000 (с 24-ю нулями)
Октиллион – 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (с 27-ю нулями)
Нониллион – 1 с 30-ю нулями
Дециллион – 1 с 33-ю нулями
Ундециллион –1 с 36-ю нулями
Додециллион – 1 с 39 –ю нулями.
Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих. Большие числа использовали древние индусы. Они пользовались числом асанкхейя, которое записывается 1 с 140 нулями.
Глава 3. Легенда о шахматной доске
Шахматы – одна из самых древних игр. Чтобы понять легенду, вовсе не обязательно уметь играть в шахматы: что игра происходит на доске, разграфлённой на 64 клетки. Шахматная доска была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Разговор царя с Сетой.
- Я щедро награжу тебя. Проси любую награду, какую захочешь,- сказал царь. Неожиданная просьба Сеты.
- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку одно пшеничное зерно.
-Простое пшеничное зерно? -изумился царь.
-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую-8, за пятую-16, за шестую-32…Царь удивился скромности просьбы, но велел придворным математикам сделать подсчёт количества зерен. Огромное число Зёрен. Утром царю доложили, что такого количества зерна нет во всем государстве.
-Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье старцу, пришедшему с донесением. Когда мудрец назвал требуемое количество зерен, царь Шером понял, что он действительно не может выдать Сете обещанную награду. Что это за число? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сложить числа: 1,2,4,8,16,32,64,128… и т.д. всего 64 слагаемых. Последнее слагаемое будет 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2… и т. д. (перемножить 64 двойки). Я долго не мог посчитать, мне помог учитель математики. Вот эта сумма: 18 446 744 073 709 551 615 зерен. Подведем итог легенды Попробуем представить себе, какое хранилище нужно для этого числа зерен. Известно, что 1 куб метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Это значит, что награда шахматного изобретателя должна была иметь объем примерно около 12 000 000 000 000 куб. м. Поэтому длина амбара при высоте 4 м и ширине 10 м составила бы 300 000 000 км, т.е. в 2 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
Глава 4. Большие числа в природе
Быстрое размножение в мире растений. Спелая маковая головка полна крошечных зернышек; из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке.. Оказывается, одна головка мака содержит 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток,удущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Маки в одной головке. Посмотрим, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки, содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000·3000=9 000 000 растений. На третий год легко рассчитать, что число потомков нашего единственного мака будет достигать 9 000 000·3000=27 миллиардов, а на четвертый год 27 000 000 000·3000=81 триллион. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81 000 000 000 000·3000=243 квадриллиона. Очень много маков. Поверхность всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов кв.км. Вы видите, что, если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по 2000 растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!
Сделаем подобный же расчет для какого-нибудь другого растения. Возьмем хотя бы одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок. Расчеты показывают, что на девятом году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре. Почему так не бывает. Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, истребляются животными.
Быстрое размножение верно не только для растений, но и для животных. Не будь смерти, потомство одной пары любого животного рано или поздно заполнило бы всю Землю.
Размножение насекомых. 15 апреля - самка отложила 120 яиц; в середине мая вышло 120 мух, из них 60 самок. 5 мая каждая самка кладёт 120 яиц; в начале мая - выходит 60∙120=7200 мух, из них 3600 самок. 25 мая каждая из 3600 самок кладёт по 120 яиц; в начале июня 432 000 мух. 25 июля выходит 93 312 000 000 мух. И так они размножаются до сентября. 1 сентября выходит 355 923 200 000 000 мух.
Глава 5. Числа и космос
Большие числа нужны в астрономии, чтобы измерять массу звёзд и планет и расстояние между ними. Масса Земли 5 976 000 000 000 000 000 000 000 (с 21 – м нулём) кг, т.е. около 6 – ти септиллионов кг. Масса Солнца 1990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (с 28 – ю нулями) кг, т.е. около 2- х нониллионов кг. Атомы и звёзды. Количество атомов – мельчайших частиц вещества во всей Вселенной выражается 10 000…0 (1 со ста нулями). Это число называется - Гугол. Если посмотреть во все сильнейшие телескопы, то мы увидим 500 000 000 звезд. И если бы на них жили люди, то их бы насчиталось 1 квинтиллион. Как велик квадриллион – 1 000 000 000 000 000? Одним квадриллионом кирпичей можно покрыть все материки равномерным сплошным пластом высотою четыре этажа. Чтобы изготовить столько кирпичей завод должен выпускать по 5 миллиардов кирпичей и работать 200 миллионов лет. Последняя перепись населения проходила в России в 2002 году. Тогда результаты были такими: проживало нас на территории могучей державы 145 165 000 человек.
Глава 6. Практическая часть
1. Сколько времени потребуется человеку, чтобы сосчитать миллиард зерен, если он в минуту будет считать по 100 зерен.
Решение: По нашему условию, сосчитать до миллиарда человеку потребуется 1 000 000 000:100=10 000 000 мин. Или (10 000 000:60=166 667ч.), т. е. Примерно 170 000 ч.или (170000:24=7000) около 7000 суток, т. е. Более 16 лет беспрерывного счета.
2. От Земли до Марса около 60 млн.км. Сколько времени придется лететь на ракете от Земли до Марса, если скорость ракеты будет 10 км/с? Сколько времени потребовалось бы самолету, летящему со скоростью 1000км/ч, чтобы преодолеть это расстояние?
Решение: Ракета будет лететь 60:10=6 млн.с, или около 1667ч, что составляет примерно 70 суток. Так как скорость самолета 1000км/ч, то на все расстояние ему потребуется 60 000 ч, или 2500 суток, т.е. примерно 7 лет.
3. В нашей стране проживают около 250 млн. человек. Если все люди встанут в одну шеренгу, то какой длины будет эта шеренга?(Пусть каждый человек занимает место длиной в 50см).
Решение: 250 000 000•50 =12 500 000 000см, т.е. 125 000 км
4. Самая высокая гора на Земле – Джомолунгма. Её высота 8848м. Сколько этажей имел бы дом высотой с эту гору, если считать, что расстояние между этажами 4м. Решение: 8848:4=2212 этажей.
Глава 7. Знаете ли вы
Миллион - тысяча тысяч ВXIII веке известный путешественник Марко Поло посетил Китай и, чтобы выразить несметные богатства этой чудесной страны, придумал слово «миллион». Хотите ощутить истинные размеры миллиона? Представьте: Сделав миллион шагов по одному направлению, вы отошли бы примерно на 600 км от Москвы до Петербурга. Книга в миллион страниц имела бы толщину 50 м. Миллион дней – это более 27 столетий. От начала нашей эры не прошло ещё миллиона дней.
Миллиард – тысяча миллионов Одно из самых молодых названий чисел. Оно вошло в употребление лишь со времён франко-прусской войны (1871г.), когда французам пришлось уплатить Германии-победителю 5 000 000 000 франков. Как велик миллиард (биллиард, биллион)? Миллиард минут составляет более 19 столетий. Оказывается, 1 год=31 536 000 сек=525 600 мин 1 век = 3 153 600 000 сек=52 560 000 мин.
Глава 8. Что может случиться за секунду
За 1 секунду свет пробегает 3 000 000 000 метра; за 1 секунду луч Рентгена совершает 250 биллионов колебаний; на 1 секунду приходится 250 000 000 000 000 световых волн; за 1 секунду земля проходит 3 000 м; за 1 секунду пуля пролетит 33 000 см; за 1 секунду кристаллы, на которых работают кварцевые часы, колеблются 32 768 раз; за 1 секунду микропроцессор на обычных кварцевых часах обрабатывает 30 000 элементов информации; Этот маленький промежуток времени теперь представляется нам уже гораздо менее незаметным, почти осязаемым. Мы нашли яркие примеры больших чисел из окружающего мира; Узнали о происхождении больших чисел; Поняли, что исследование больших чисел – процесс бесконечный, так как самого большого числа не существует.
Заключение
Проделанная исследовательская работа помогла узнать, как зародилась наука о числах, как она развивалось, какие трудности встречались на ее пути и какие ученые занимались изучением чисел и их свойств.
Узнав историю возникновения чисел, систем счисления, название классов, расширила свой кругозор в области математики, а именно по вопросу большие числа.
Была удивлена, что большие числа и названия их появились давно. Оказывается, они окружают нас повсюду. Подробно изучив классы, могу называть и записывать большие числа, использовать знания при решении задач. Через практическую деятельность – вычисления, сравнения попыталась представить, насколько эти числа огромны. Я научилась сосчитать миллиард зерен, лететь от Земли до Марса, узнала, сколько людей в нашей стране проживают, узнала, что самая высокая гора на Земле – Джомолунгма и т.д.
Полученные знания помогут в дальнейшем в изучении предметов физика, химия, астрономия, география.
Из исследования видно, что большие числа нужны человеку во многих областях его деятельности. Методом исследования я смогла считать сумму зерен в шахматной доске, узнать о большом количестве этих зерен, размножения насекомых, прорастаний зерен маков, одуванчиков, сравнивать большие числа, решала задачи с большими числами. Теоретическая ценность полученных результатов высока. Я узнала, какие большие числа нас окружают, что может случиться за секунду
Гипотеза, что большие числа не нужны людям в их деятельности не была верной. Оказывается, большие числа нужны людям в науке, а также в деятельности, в природе, в космосе. Планирую продолжить изучение чисел и их свойств. Зная, что существуют большие числа, хочется иметь представление о маленьких числах.
Список использованной литературы
1. Виленкин Н.Я., Депман И. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. М.Просвещение,1989
2. Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982
3. Кординский Б. А., Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986
4. Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. М,1959.
5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. М.Просвещение, 1988
6. Перельман Я.И. «Живая математика». Издательство «Наука», Москва,1970 г.
7. Я познаю мир. Математика.
8. Материалы из Интернета.