Практикум по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Пример заполненной таблице с решениями для некоторых задач и ответами для учителя.

№ Практикум по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».
Пример заполненной таблице с решениями для некоторых задач и ответами для учителя.
Если Вы уберёте колонку Ответы, получите раздатку для учащихся. Я использую такие практикумы для самост. работ по вариантам, для домашней работы. Практикум содержит задачи различной степени сложности и подойдут разным категориям учащихся. Всего задач 21, тексты задач взяты из учебников разных авторов, а задачи № 10, 11,18 с математических сайтов. Ответ
1 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа. Уравнение. х2+(х+1)2-х(х-+1)=91 9 и 10.
2 Одно число меньше другого на 8. Найдите эти числа, если их произведение равно -16. Уравнение. х( х - 8) =-16, х2 -8х+16=0. (х-4)2=0, х=4. второе число 4-8= -4. 4 и -4.
3 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 104. Найдите эти числа.
Решение. Пусть х – меньшее из данных чисел, тогда (х + 5) – большее из данных чисел. По условию задачи х · (х + 5) = 104. Решим полученное уравнение х² + 5х – 104 = 0,D = 441, х = - 13 - не удовлетворяет условию задачи (натуральные числа); х = 8 - меньшее число. Тогда 8 + 5 = 13 - большее число. 8 и 13.
4 Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210. Уравнение: х(х+1)=210 14 и 15.
5 Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника. Уравнение: х(х+3)=54 6 и 9 см. Р=28 см.
6 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 66. Найдите эти числа. 6 и 11.
7 Аквариум с прямоугольным дном занимает на столе площадь, равную 465 см2 . Ширина дна аквариума на 16 см меньше длины. Найдите ширину и длину дна аквариума. 31 и 15 см.
8 В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 7 см, а гипотенуза больше меньшего катета на 8 см. Найдите стороны треугольника.
Решение. Пусть х см – длина меньшего катета, х² + (х + 7)² = (х + 8)².Решим полученное уравнение. х² – 2х – 15 = 0, х = - 3, - не удовлетворяет условию задачи. х = 5 (см) - меньший катет. Тогда 5 + 7 = 12(см) – больший катет, 5 + 8 = 13(см) – гипотенуза. 5 см, 12 см и 13 см.
9 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.
Уравнение. х2+(х+4)2=202 х2+4х-192=0. х1=-16, х2 = 12. По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 - меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см. 12 см и 16 см.
10 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?
Решение: из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t(с), может быть найдена по формуле h=V0t-gt2/2, где V0(м/с) - начальная скорость, g - ускорение свободного падения, приближенно равно 10 м/с2. 60=40t-5t2. Отсюда 5t2-40t+60=0, t2-8t+12=0. Решив полученное уравнение, найдем, что t1 = 2 , t2 = 6. график зависимости h от t, где h= 40t-5t2. Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после броска. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. На высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.
11 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. х (х+6) = 187 х2 + 6х -187=0
Решение: D ==784› 0 → уравнение имеет 2 действительных различных корня х1=-17 - не удовлетворяет условию задачи, х2=11 - 1 число, тогда 2 число: 17. 11 и 17.
12 Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2.
Решение: х (х+4) = 60, х2+4х-60=0, D1= 22-1×(-60) = 4+60= 64. х1= -10 - не удовлетворяет условию задачи, х2=6 - ширина прямоугольника, тогда длина 10 см. Периметр Р=2(а+в) , Р= 2( 6+10)= 32 (см). 32 см.
13 Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м2.
Решение. Составим и решим уравнение: х (31-х)= 210 х2 - 31х + 210=0, D= 121, х1= 10 х2=21 . Ответ: 10м; 21 м.
14 Найдите катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м2.
Решение: Пусть один катет прямоугольного треугольника равна х м, тогда второй катет (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м2. Составим и решим уравнение: 0,5х ( 23-х)= 60 D= 49, х1= 8 х2=15 . Ответ: 8 см; 15 см и 17 см.15 В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места? Решение: Пусть в кинотеатре х рядов, тогда (х+8) мест. Всего в нем имеется 884 места. Составим и решим уравнение: х ( х+8)= 884 D1= 900, х1= -34 - не удовлетворяет смыслу задачи х2=26 . Ответ: 26 рядов.
16 Задачи на движение. С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению, и поехал на железнодорожный вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Известно также, что скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Необходимо найти скорость такси и скорость автобуса. Решение можно оформить в виде таблицы.
Пусть -х км/ч- скорость автобуса, а скорость такси (х+20)км/ч.
Компоненты движения S
v t
Участники движения Автобус 40 х
Такси 40 х+20
Разница во времени 10 минут =10:60= часа. Уравнение-=
-= х2+20x-4800 = 0; х=-80, не подходит. Значит х=60, скорость автобуса равна 60 километрам в час. А следовательно, скорость такси равна 80 км/ч. Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/
17 Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки? Решение. Пусть -х км/ч- скорость автобуса.
Компоненты движения S
v t
Участники движения Движение теплохода по течению 50 18+х
Движение теплохода против течению 8 18-х
Суммарное время 3 часа. Уравнение +=3
3х2-42х+72=0, х=12 – не подходит по условию задачи, следовательно скорость течения х=2 км/ч. 2 км/ч.
18 Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра, если скорость в штиль составляет 45 км/час. Решение: Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу. Разделив расстояние на скорость и, просуммировав, получим времяПолучили дробно рациональное уравнение, схема решения которого неоднократно повторялась Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45. Корни числителя найдем после упрощений С физических соображений первое решение отвергаем. Ответ: скорость ветра 15 км/час. Скорость ветра 15 км/час.
19 Грузовик остановился для заправки горючим на 24 минуты. Увеличив свою скорость на 10км/ч, он наверстал потерянное время на пути в 80 км. С какой скоростью двигался грузовик на этом пути?. х2+10х-2000=0, х=-50 и х=40. 50 км/ч.
20 Задачи о совместной работе. Два лесоруба, работая вместе, выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно, если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше, чем другому? Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней. Решение можно оформить в виде таблицы. Пусть – первый лесоруб выполняет норму за х дней.
Компоненты работы А
t
Участники совместной работы 1 лесоруб 1 х
2 лесоруб 1 х+6
Совместная работа 4 дня. Уравнение +=.
Одно решение х=-4 не соответствует физической сути задачи. Время второго лесорубах+6=6+6=12 (дней). Первый лесоруб выполнит работу за 6 дней, а второй за 12 дней.
21 Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить бассейн каждый кран, работая отдельно. Уравнение. , х2-2х-24=0, Д=100, х=6 и х=-4 (не подходит). Ответ: 1 кран –за 6 часов, 2 кран- за 6+6=12 (ч.) 1 кран –за 6 часов, 2 кран- за 6+6=12ч.