Методическое пособие на тему Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

«Посредством уравнений, теорем я уйму всяких реазрешил проблем...»
Чосер
Английский поэт средних веков
Квадратное уравнение
Определение. Уравнение вида
ax2+bx+c=0,где a, b и c-любые действительные числа, причем a≠0, а x-переменная, называется квадратным уравнением.
В уравнении a называют первым коэффициентом, b-вторым коэффициентом и c- свободным членом.
Выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.
D=b2-4acx1;2=-b±b2-4ac2aФормула x1;2=-b±b2-4ac2a читается так: корни квадратного уравнения равны дроби, знаменателем которой является удвоенный первый коэффициент, а числителем – второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс и минус квадратный корень из дискриминанта уравнения.
Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Здесь имеют место три случая.
При D>0 уравнение ax2+bx+c=0 имеет два различных корня. В этом случае корни находим по формуле x1;2=-b±D2a.При D=0 уравнение ax2+bx+c=0 имеет два равных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле x=-b2a.
При D<0 уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней.
Я придумал для них хорошую теорему,
а они все равно решают через дискриминант
Франсуа Виет
Французский математик
Теорема Виета
Разделив обе части на первый коэффициент a уравнения ax2+bx+c=0 a≠0, можно получить приведенное квадратное уравнение:
x2+bax+ca=0Приведенное квадратное уравнение принято записывать в виде
x2+px+q=0Сопоставив x2+bax+ca=0 и x2+px+c=0, можно заключить, что
p=ba, q=ca.Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x1+x2=-p,x1∙x2=qРешение текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным путем. Задачи же, приводящиеся к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению.
Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени.
При решении задач с помощью уравнений можно придерживаться следующей схемы:
Необходимо изучить ее условие так, чтобы определить зависимость между величинами, о которых говорится в тексте задачи;
Искомую величину обозначить буквой. Очень часто решение задачи и составление уравнения упрощается, если обозначить буквой какую-нибудь вспомогательную переменную, через которую выражается искомая;
Выразить искомую переменную через данные и вспомогательные величины, обозначенные буквами;
Составить уравнение, т.е. два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравнять их;
Найти корни (решения) составленного уравнения;
Проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию задачи.
Пример 1. В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины. Длина первой комнаты в 1,5 раза больше ее ширины, а длина второй равна 7,2 м. Найдите ширину этих комнат, если площадь квартиры должна быть равной 56,7 м2.
Решение. Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой x. Тогда длина первой комнаты будет равна 1,5x м, а ее площадь – 1,5x∙x м2, а площадь второй комнаты – 7,2∙x м2.Согласно условию задачи, имеем:
1,5x2+7,2x=56,7, или:3x2+14,4x-113,4=0.Решая последнее квадратное уравнение, получим: x1=4,2 и x2=-9.Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условию задачи. Но условию задачи удовлетворяет лишь первый корень, т.е. x1=4,2, так как ширина комнаты должна быть больше нуля. Проверка по условию задачи показывает, что 4,2 м удовлетворяет задаче.
Ответ: 4,2 м.
Пример 2. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин. И ликвидировал опоздание не перегоне в 192 км со скоростью, превышающей на 10 км/ч положенную по расписанию. Найдите первоначальную скорость движения поезда.
Решение. Обозначим скорость поезда по расписанию через v кмч v>0. Если бы поезд шел на перегоне в 192 км со скоростью v кмч, то на это понадобилось бы время 192v ч. Так как поезд на этом перегоне шел со скоростью v+10 кмч, то на этот путь он потратил 192v+10 ч и ликвидировал опоздание на 16 мин 415 ч. Следовательно, 192v-192v+10=415, или: v2+10v-7200=0, корнями которого будут: v1=-90, v2=80. Так как по условию v>0, то v=80 кмч. Выполнив проверку, убеждаемся, что 80 км/ч удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 80 км/ч.
Пример 3. Двое рабочих обязались выполнить определенную работу за 16 дней. После четырехдневной совместной работы первый рабочий перешел на другую работу. А второй рабочий один закончил оставшуюся часть работы, потратив на 12 дней больше того времени, за которое первый рабочий один может выполнить всю работу.
За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всю работу?
Решение. Предположим, что первый рабочий может выполнить всю работу за x дней, тогда за один рабочий день он должен выполнить 1x часть всей работы.
При совместной работе производительность за день равна 116 части всей работы; следовательно, на долю второго рабочего приходится в день 116-1x части всей работы. С другой стороны, второй рабочий должен выполнить в день 34:x+12=34x+12 части всей работы, так как за 4 дня их совместной работы была выполнена 14 всей работы; следовательно, на долю второго рабочего осталось выполнить 34 всей работы за x+12 дней.
Отсюда: 116-1x=34x+12. Левая и правая части уравнения выражают одну и ту же величину – дневную норму второго рабочего.
Преобразуя полученное уравнение, имеем:
x2-16x-192=0.Решая квадратное уравнение, находим: x1=24, x2=-8. Второй корень x=-8 не удовлетворяет условию задачи.
Первый рабочий выполнит всю работу за 24 дня. Теперь можно вычислить, за сколько дней выполнил бы всю работу второй рабочий. За один рабочий день он выполнит 116-124=148 часть всей работы.
Следовательно, всю работу второй рабочий выполнит за 48 дней.
Ответ: 24 дня; 48 дней.
Упражнения
Упражнения из группы АЗадача 1.
Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.
Задача 2.
Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.
Задача 3.
Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см2.
Задача 4.
Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, зная, что его площадь равна 180 см2.
Задача 5.
Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 13063. Найдите исходную дробь.
Задача 6.
Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 7. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получится 31930. Найдите исходную дробь.
Задача 7.
Моторная лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки.
Задача 8.
Моторная лодка прошла 17 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки равна 15 км/ч.
Задача 9.
Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?
Задача 10.
Двое рабочих, работая вместе, завершили работу за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждому рабочему на выполнение этой работы, если одному для этого требуется на 5 дней меньше, чем другому?
Задача 11.
Пройдя 12 км, лыжник увеличил скорость на 3 км/ч и проехал еще 30 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на весь путь он потратил 3 ч.
Задача 12.
Проехав 45 км, лыжник уменьшил скорость на 3 км/ч и проехал еще 24 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на начальное расстояние он потратил на 1 ч больше.
Упражнения из группы В
Задача 13.
На чемпионате команды встречались со всеми другими командами по одному разу. Сколько было команд, если они провели 78 встреч?
Задача 14.
Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов – 250.
Задача 15.
Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность квадратов – 104.
Задача 16.
Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов – 56. Найдите сумму квадратов этих чисел.
Задача 17.
Среднее арифметическое двух чисел равно 6, а квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
Задача 18.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157. Найдите эти числа.
Задача 19.
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 612. Найдите эти числа
Задача 20.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 26 см, а второй катет на 2 см меньше гипотенузы. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.
Задача 21.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 35 см, а разность катетов – 3 см. Найдите катеты и периметр прямоугольного треугольника.
Задача 22.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 25 см, а периметр – 10+25 см. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.
Задача 23.
Токарь должен был обработать 180 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на 30 деталей в день больше и поэтому закончил работу на один день раньше срока. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за день?
Задача 24.
Мастер и ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый из них, работая по одному, если мастеру на это потребовалось бы на 5 дней меньше, чем ученику?
Задача 25.
Пешеход прошел расстояние АВ за 3 ч. Возвращясь он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем понизил на 1 км/ч, и таким образом затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние между А и В.
Задача 26.
Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
Задача 27.
Турист проплыл на байдарке 10 км против течения реки и 18 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 28 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите собственную скорость байдарки.
Задача 28.
Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 8, а к знаменателю – 2, то данная дробь увеличивается на 2740. Найдите исходную дробь.
Задача 29.
Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю – 3, то данная дробь увеличивается на 5388. Найдите первоначальную дробь.
Задача 30. Задача Бхаскары
(Бхаскара Агарья (1114 – 1185 г.г.) индийский математик и астроном)
Обезьянок резвых стая, власть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.
А 12 по лианам.... стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Прежде чем решать задачу – прочитай условие
Жак Адамар
Упражнения из группы А
Задача 1.
Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.
Решение:
Первое число n+10Второе число nПо условию задачи:
n∙n+10=56n2+10n-56=0Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
n2+10n-56=0p=10, q=-56n1+n2=-10n1∙n2=-56n1=4n2=-14 Если первое число равно 4, то второе число равно 4+10=14.
Если первое число равно –14, то второе число равно –14 +10= –4.
Ответ: 4 и 14; –14 и –4.
Задача 2.
Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.
Решение:
Первое число n-16Второе число nПо условию задачи:
n∙n-16=80n2-16n-80=0Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
n2-16n-80=0p=-16, q=-80n1+n2=16 n1∙n2=-80n1=-4n2=20Если первое число равно –4, то второе число равно – 4 – 16 = – 20.
Если первое число равно 20, то второе число равно 20 – 16 =4.
Ответ: –4 и – 20; 20 и 4.
Задача 3.
Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см2.
Решение:
Ширина (см) a-3
Длина (см) aПлощадь (см2) 130
По условию задачи:
a∙a-3=130Получим приведенное квадратное уравнение:
a2-3a-130=0Решим полученное уравнение по теореме Виета:
p=-3, q=-130a1+a2=3a1∙a2=-130a1=13
a2=-10-мнимый корень
Если длина прямоугольника равна 13 см, то ширина равна 13 – 3 = 10 (см).
Ответ: 10 см и 13 см.
Задача 4.
Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, зная, что его площадь равна 180 см2.
Решение:
Ширина (см)aДлина (см)bСумма двух смежных сторон(см)27Площадь (см2)180По условию задачи:
a+b=27a∙b=180
a=12
b=15
Ответ: 12 см и 15 см.
Задача 5.
Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 13063. Найдите исходную дробь.
Решение:
Числитель дроби: x-2Знаменатель дроби:xДробь:x-2xОбратная дробь:xx-2Cумма дробей:13063По условию задачи:
x-2x+xx-2=13063×63xx-2НОКx;x-2;63=63xx-263x-22+63x2=130xx-263x2-4x+4+63x2=130x2-260x63x2-252x+252+63x2=130x2-260x63x2+63x2-130x2-252x+260x+252=0-4x2+8x+252=0÷-4Получим приведенное квадратное уравнение:
x2-2x-63=0p=-2, q=-63Решим данное уравнение по теореме Виета:
x1+x2=2x1∙x2=-63x1=9x2=-7Если знаменатель дроби равен 9, то числитель дроби будет равен 9 – 2 =7.
Ответ: Искомая дробь равна 79.
Задача 6.
Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 7. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получится 31930. Найдите исходную дробь.
Решение:
Числитель дробиx
Знаменатель дробиx+7Дробь xx+7Обратная дробьx+7xСумма дробей:31930По условию задачи:
xx+7+x+7x=31930Решим полученное уравнение
xx+7+x+7x=10930×30xx+7НОКx+7;x;30=30xx+730x∙x+30x+7x+7=109xx+730x2+30x2+14x+49=109x2+763x30x2+30x2+420x+1470=109x2+783x60x2-109x2+420x+1470-763x=0-49x2-343x+1470=0÷-49x2+7x-30=0Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим это уравнение по теореме Виета:
p=7; q=-30x1+x2=-7x1∙x2=-30x1=-10x2=3Числитель дроби 3, знаменатель дроби 3+7=10.
Искомая дробь: 310Обратная дробь: 103Ответ: Исходная дробь равна 310.
Задача 7.
Моторная лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки.
Решение:
Дадим условие задачи в виде таблицы.
Пройденный путь (км) Скорость (км/ч) Потраченное время (ч)
По течению
Против течения 10
12 x+3x-310x+312x-3=2Из таблицы следует 10x+3+12x-3=2.Решим полученное уравнение:
НОКx+3;x-3=x2-910x+3+12x-3=2×x-3x+310x+3+12x-3=2x-3x+310x-30+12x+36=2x2-1822x+6=2x2-182x2-22x-6-18=02x2-22x-24=0 ÷2x2-11x-12=0p=-11; q=-12x1+x2=11x1∙x2=-12x1=12x2=-1-мнимый кореньОтвет: Скорость моторной лодки равна 12км/ч.
Задача 8.
Моторная лодка прошла 17 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки равна 15 км/ч.
Решение:
Пройденный путь (км) Скорость (км/ч) Потраченное время (ч)
По течению
Против течения 17
13 15+x15-x1715+x1315-x=2Из таблицы следует:
1715+x+1315-x=2×15+x15-x1715-x+1315+x=215-x15+x255-17x+195+13x=450-2x2-4x+450=450-2x22x2-4x=0x2-2x=0xx-2=0x1=0-мнимый кореньx2=2Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч
Задача 9.
Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?
Решение:
Производительность труда первого рабочего 1x+10, он выполняет работу в одиночку за x+10 дней
Производительность труда второго рабочего 1x, он выполняет работу в одиночку за x дней
Вместе они выполняют эту же работу за 12 дней, то есть производительность труда 112.По условию задачи:
1x+10+1x=112Решим данное уравнение
НОКx; x+10; 12=12xx+101x+10+1x=112×12xx+1012x+12x+10=xx+1012x+12x+120=x2+10xx2-14x-120=0p=-14, q=-120x1+x2=14x1∙x2=-120x1=20x2=-6-мнимый кореньВторой рабочий выполняет эту работу за 20 дней, а первый рабочий выполняет эту работу за 20+10=30 дней.
Ответ: первый рабочий за 30 дней; второй рабочий за 20 дней.
Задача 10.
Двое рабочих, работая вместе, завершили работу за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждому рабочему на выполнение этой работы, если одному для этого требуется на 5 дней меньше, чем другому?
Решение:
Воспользуемся таблицей
Объем работы Время выполнения работы (день) Производительность труда за один день
I – рабочий
II – рабочий 1
1 xx-51x1x-5По условию задачи:
1x+1x-5=16НОКx; x-5; 6=6xx-51x+1x-5=16×6xx-56(x-5)+6x=x(x-5)6x-30+6x=x2-5xx2-17x+30=0p=-17; q=30x1+x2=17x1∙x2=30x1=2-мнимый кореньx2=15Первый рабочий выполнит эту работу за 15 дней, а второй рабочий выполнит эту работу за 15 – 5 =10 дней.
Ответ: 15 дней и 10 дней.
Задача 11.
Пройдя 12 км, лыжник увеличил скорость на 3 км/ч и проехал еще 30 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на весь путь он потратил 3 ч.
Решение:
Составим таблицу для данной задачи
Пройденный путь (км) Скорость (км/ч) Потраченное время (ч)
12
30 xx+312x30x+3=3По условию задачи:
12x+30x+3=3НОКx; x+3=xx+312x+30x+3=3×xx+312x+3+30x=3xx+312x+36+30x=3x2+9x3x2-33x-36=0x2-11x-12=0p=-11; q=-12x1+x2=11x1∙x2=-12x1=12x2=-1-мнимый кореньПервоначальная скорость лыжника равна 12 км/ч, после увеличения 12 км/ч+3 км/ч=15 км/ч
Ответ: первоначальная скорость лыжника равна 12 км/ч
Задача 12.
Проехав 45 км, лыжник уменьшил скорость на 3 км/ч и проехал еще 24 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на начальное расстояние он потратил на 1 ч больше.
Решение:
Составим условие задачи по таблице:
Пройденный путь (км) Скорость (км/ч) Время (ч)
45
24 xx-345x24x-3По условию задачи:
45x-24x-3=1НОКx; x-3=xx-345x-24x-3=1×xx-345x-3-24x=x(x-3)45x-135-24x=x2-3xx2-24x+135=0p=-24; q=135x1+x2=24x1∙x2=135x1=9
x2=15Ответ: Первоначальная скорость лыжника 9 км/ч. или 15 км/ч.
Упражнения из группы В
Задача 13.
На чемпионате команды встречались со всеми другими командами по одному разу. Сколько было команд, если они провели 78 встреч?
Решение:
Количество всех командnКоличество игр каждой командыn-1Количество встреч 156
По условию задачи:
nn-1=156n2-n-156=0p=-1; q=-156n1+n2=1n1∙n2=-156n1=13n2=-12-мнимый кореньОтвет: Всего было 13 команд
Задача 14.
Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов – 250.
Решение:
Первое числоxВторое число22-xСумма 22
Сумма квадратов250
По условию задачи:
x2+22-x2=250x2+484-44x+x2=2502x2-44x+234=0x2-22x+117=0p=-22; q=117x1+x2=22x1∙x2=117x1=9x2=13Первое число 9 или 13, второе число 22 – 9 =13 или 22 – 13=9.
Ответ: Меньшее число равно 9.
Задача 15.
Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность квадратов – 104.
Решение:
Меньшее числоx-4Большее числоxРазность квадратов 104
По условию задачи:
x2-x-42=104x2-x2+8x-16-104=08x-120=0x=15Ответ: Большее число равно 15.
Задача 16.
Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов – 56. Найдите сумму квадратов этих чисел.
Решение:
Так как среднее арифметическое двух чисел равно 7, то полная сумма равна 14.
Первое числоxВторое число14-xСумма 14
Разность квадратов56
По условию задачи:
x2-14-x2=56x2-196+28x-x2-56=028x-252=0x-9=0x=9Если первое число равно 9, то второе число равно 14-9=5. Сумма квадратов этих чисел равна 92+52=106.Ответ: 106
Задача 17.
Среднее арифметическое двух чисел равно 6, а квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
Решение:
Если среднее арифметическое двух чисел равно 6, то полная сумма будет равна 12.
Первое числоxВторое число12-xСумма12
По условию задачи:
122=x2+12-x2+70x2+144-24x+x2+70-144=02x2-24x+70=0x2-12x+35=0p=-12; q=35x1+x2=12x1∙x2=35x1=7x2=5Если первое число равно 7, то второе число равно 12-7=5. Если первое число равно 5, то второе число будет равно 12-5=7.
Ответ: 5 и 7.
Задача 18.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157. Найдите эти числа.
Решение:
Первое числоnВторое числоn+1По условию задачи:
n2+n+12=nn+1+157n2+n2+2n+1=n2+n+157n2+n-156=0p=1; q=-156n1+n2=-1n1∙n2=-156n1=-13-мнимый кореньn2=12Если первое число равно 12, то второе число равно 12+1=13.
Ответ: 12 и 13.
Задача 19.
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 612. Найдите эти числа
Решение:
Первое числоn
Второе числоn+1По условию задачи:
n+n+12=n2+n+12+6122n+12=n2+n2+2n+1+6124n2+4n+1=2n2+2n+6132n2+2n-612=0n2+n-306=0p=1; q=-306n1+n2=-1n1∙n2=-306n1=-18-мнимый кореньn2=17Если первое число равно 17, то второе число равно 17+1=18.
Ответ: 17 и 18.
Задача 20.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 26 см, а второй катет на 2 см меньше гипотенузы. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.
Решение:
Первый катет26Второй катетx-2Гипотенуза xПо теореме Пифагора:
x-22+262=x2x2-4x+4+4∙6=x2-4x=-28x=7Если гипотенуза равна 7, то катет равен 7 – 2 =5.
Ответ: Гипотенуза 7 см, катет 5 см.
Задача 21.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 35 см, а разность катетов – 3 см. Найдите катеты и периметр прямоугольного треугольника.
Решение:
Гипотенуза35Первый катетxВторой катетx+3Периметр – ?Катеты - ?По теореме Пифагора:
x2+x+32=352x2+x2+6x+9=452x2+6x+9-45=02x2+6x-36=0x2+3x-18=0p=3; q=-18x1+x2=-3x1∙x2=-18x1=-6-мнимый кореньx2=3Если первый катет равен 3 см, то второй катет будет равен 3+3=6 см.
P=3+6+35=9+33=33+3Ответ: 3 см, 6 см, 3(3+3)Задача 22.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 25 см, а периметр – 10+25 см. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.
Решение:
Первый катетa25 см
Периметр 10+25Гипотенуза –?
Второй катет –?
По теореме Пифагора:
a2+b2=c2252+b2=c2c2-b2=20P=a+b+c=10+2525+b+c=10+25b+c=10c2-b2=20b+c=10→c-bc+b=20b+c=10→c-b=2b+c=10c=6; b=4Ответ: второй катет равен 4 см, гипотенуза равна 6 см.
Задача 23.
Токарь должен был обработать 180 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на 30 деталей в день больше и поэтому закончил работу на один день раньше срока. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за день?
Решение:
Всего деталей Количество обтачиваемых деталей за день Время (день)
По плану
Выполнено 180
180 xx+30180x180x+30По условию задачи:
180x-180x+30=1180x+30-180x=xx+30x2+30x=180x+5400-180xx2+30x-5400=0p=30; q=-5400x1+x2=-30x1∙x2=-5400x1=-90-мнимый кореньx2=60Ответ: 60 деталей по плану за день
Задача 24.
Мастер и ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый из них, работая по одному, если мастеру на это потребовалось бы на 5 дней меньше, чем ученику?
Решение:
Количество затрачеваемых дней на выполнение работы (дн) Производительность труда
Мастер x1xУченик x+51x+5Объем работы принимаем за единицу, тогда половина работы будет равна 12.По условию задачи:
121x-121x+1x+5=2x2-122x+5x∙x+5=2x2-x∙x+52∙2x+5=2x∙2x+5-x∙x+52∙2x+5=22x2+5x-x2-5x=2∙2∙2x+5x2-8x-20=0Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
p=-8; q=-20x1+x2=8x1∙x2=-20x1=-2-мнимый кореньx2=10Если мастер выполняет работу за 10 дней , то ученик выполняет эту работу за 10+5=15 дней.
Ответ: Мастер за 10 дней; ученик за 15 дней.
Задача 25.
Пешеход прошел расстояние АВ за 3 ч. Возвращясь он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем понизил на 1 км/ч, и таким образом затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние между А и В.
Решение:
Весь путь (км) 3x
Время (ч)3
Скорость (км/ч) x
На обратном пути:
Первые 16 км пройдены с той же скоростью
Скорость на остатке пути (км/ч)х – 1
Потраченное время на обратный путь (ч)3 ч и 4 мин т.е. 3115ч.По условию задачи:
16x+3x-16x-1=311516x+3x-16x-1=4615×15xx-116∙15∙x-1+15x∙3x-16=46x∙x-1240x-240+45x2-240x=46x2-46x45x2-46x2+46x-240=0-x2+46x-240=0x2-46x+240=0x1+x2=46x1∙x2=240x1=40-мнимый корень x2=6Расстояние между А и В равно 6*3=18 км.
Ответ: 18 км.
Задача 26.
Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
Решение:
По течению58 км
Против течения42 км
В стоячей воде100 км
Скорость течения4 км/ч
Составим таблицу:
Пройденный путь (км) Скорость (км/ч) Время (ч)
По течению
Против течения
В стоячей воде 58
42
100 x+4x-4x58x+442x-4100xПо условию задачи:
58x+4+42x-4=100x58xx-4+42x+4=100x-4x+458x2-232x+42x2+168x=100x2-1600100x2-64x=100x2-160064x=1600x=25Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна 25 км/ч.
Задача 27.
Турист проплыл на байдарке 10 км против течения реки и 18 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 28 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите собственную скорость байдарки.
Решение:
Против течения (км)10
По течению (км)18
По озеру (км)28
Скорость течения (км/ч) 2
Составим таблицу:
Пройденный путь (км) Скорость (км/ч) Время (ч)
Против течения
По течению
По озеру 10
18
28 x-2x+2x10x-218x+228xПо условию задачи:
10x-2+18x+2=28x10xx+2+18xx-2=28x-2x+210x2+20x+18x2-36x=28x2-11228x2-16x=28x2-11216x=112x=7Ответ: Собственная скорость байдарки равна 7 км/ч.
Задача 28.
Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 8, а к знаменателю – 2, то данная дробь увеличивается на 2740. Найдите исходную дробь.
Решение:
Числитель дробиxЗнаменатель дробиx+3Исходная дробьxx+3По условию задачи:
x+8x+3+2=xx+3+2740x+8x+5-xx+3=2740x+8x+3x+5x+3-xx+5x+5x+3=2740x2+11x+24-x2-5xx+5x+3=27406x+24x2+8x+15=2740406x+24=27x2+8x+15240x+960=27x2+216x+40527x2-240x+216x+405-960=027x2-24x-555=09x2-8x-185=0D=-82-4∙9∙185=64+6660=6724x1=8+822∙9=9018=5x2=8-822∙9=-7418-мнимый кореньЕсли числитель равен 5, то знаменатель равен 5+3=8. Исходная дробь: 58.
Ответ: Исходная дробь равна 58.
Задача 29.
Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю – 3, то данная дробь увеличивается на 5388. Найдите первоначальную дробь.
Решение:
По условию задачи:
x-7+7x+3=x-7x+5388xx+3-x-7x=5388x2-x-7x+3xx+3=5388x2-x2-4x-21x2+3x=5388x2-x2+4x+21x2+3x=53884x+21x2+3x=538853x2+159x=352x+184853x2+159x-352x-1848=053x2-193x-1848=0D=1932+4∙53∙1848=37249+391776=429025x1=193+4290252∙53=193+655106=848106=8x2=193-4290252∙53=193-655106=-462106-мнимый кореньЕсли знаменатель равен 8, то числитель будет равен 8-7=1. Искомая дробь равна 18.
Ответ: Искомая дробь равна 18.
Задача 30. Задача Бхаскары

Обезьянок резвых стая, власть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.
А 12 по лианам.... стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?
Решение:
Пусть было x обезьянок, тогда не поляне забавлялось x82Составим уравнение: x82+12=xx264+12-x=0 домножим все на 64
x2-64x+768=0p=-64; q=768x1+x2=64x1∙x2=768x1=16x2=48Ответ: 16 обезьянок или 48 обезьянок
Тестовые задания
Квадрат суммы трех последовательных чисел больше суммы их квадратов на 862. Найдите эти числа.
11; 12; 13
20; 21; 22
10; 11; 12
9; 10; 11
Решение:
Первое число nВторое числоn+1Третье числоn+2По условию задачи:
n+n+1+n+22=n2+n+12+n+22+8623n+32=n2+n2+2n+1+n2+4n+4+8629n2+18n+9=3n2+6n+8676n2+12n-858=0:6n2+2n-143=0p=2; q=-143По теореме Виета:
n1+n2=-2n1∙n2=-143n1=-13-мнимый кореньn2=11Первое число 11
Второе число 12
Третье число 13
Ответ: Искомые числа: 11; 12; 13.
Сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел меньше квадрата суммы этих чисел на 2644. Найдите эти числа.
20; 21; 22
19; 20; 21
18; 19; 20
15; 16; 17
Решение:
Первое числоnВторое числоn+1Третье числоn+2По условию задачи:
n2+n+12+n+22=n+n+1+n+22-2644n2+n2+2n+1+n2+4n+4=3n+32-26443n2+6n+5=9n2+15n+9-26446n2+12n-2640=0:6n2+2n-440=0p=2; q=-440По теореме Виета:
n1+n2=-2n1∙n2=-440n1=-22-мнимый кореньn2=20Первое число20
Второе число21
Третье число22
Ответ: Искомые натуральные числа: 20; 21; 22.
Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 дней. Если бы сначала первая бригада, работая одна, выполнила 23 всей работы, а затем вторая бригада – оставшуюся часть, то на ремонт всего шоссе потребовалось бы 40 дней. Определите, за сколько дней каждая бригада, работая отдельно, могла бы отремонтировать шоссе.
45 дней, 30 дней или 24 дня и 72 дня.
46 дней, 12 дней или 24 дня и 74 дня.
24 дня, 45 дней или 41 дней и 10 дней.
12 дней, 15 дней или 40 дней и 12 дней.
Решение:
Первая бригада за x дней, производительность труда первой бригады 1x
Вторая бригада за y дней, производительность труда второй бригады 1y.
По условию задачи две бригады работая вместе за один день выполняют 118 часть работы. Тогда получим: 1x+1y=118.
Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
90 ступенек
45 ступенек
40 ступенек
35 ступенек
Решение:
x- количество ступенек неподвижного эскалатора, тогда x-30-количество недосчитанных ступенек, а 150-x-количество пересчитанных ступенек. Тогда, x-30=150-x или x=90Ответ: 90 ступенек.
Паасажир метро спускается по движущемуся эскалатору за 24 с. Если он пройдет по неподвижному эскалатору с той же скоростью, то спустится вниз за 42 с. За какое время пассажир спустится вниз, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?
56 c.
42 c.
46 c.
58 c.
Два токаря, работая вместе, могут выполнить заказ за 7 дней, причем второй начинает работу на 1,5 дня позже первого. За сколько дней каждый из них может выполнить этот заказ, работая отдельно, если второму потребуется на 3 дня меньше, чем второму?
14 дней; 11 дней.
15 дней; 12 дней.
13 дней; 11 дней.
10 дней; 11 дней.
Решение:
Пусть второй рабочий выполняет работу за x дней, тогда первому рабочему понадобится x+3 дней. Учитывая условие задачи получим дробно-рациональное уравнение:
7x+3+5,5x=1Отсюда x2-9,5x-16,5=0, корни этого уравнения являются числа 11 и – 1,5. Таким образом, второй рабочий выполняет работу за 11 дней, а первый за 14 дней.
Ответ: 14 дней, 11 дней.
Двое рабочих, выполняя определенный задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит другой, то все задание будет сделано за 25 дней. За сколько дней каждый из них выполнит это задание?
20 дней, 30 дней
10 дней, 30 дней
20 дней, 25 дней
10 дней, 15 дней
Решение:
Первый рабочий за x дней, значит производительность труда первого рабочего 1x.
Второй рабочий за y дней, значит производительность труда второго рабочего 1y.Количество работы принимаем за единицу, тогда половина работы будет 12. Из условия задачи следует:
12x+12y=251x+1y=112→x+y=5012y+12x=xy→x+y=5012x+y=xy→y=50-x12∙50=xy600=x∙50-x
x2-50x+600=0
p=-50, q=600
x1+x2=50x1∙x2=600
x1=20, x2=30
y1=50-20=30, y2=50-30=20
Ответ: 20 и 30 дней
Из города по двум перпендиклярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость одного из них равна 4 км/ч, а другого – 5 км/ч. Первый находится в 7 км от города, а второй – в 10. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет 25 км?
2 ч.
3 ч.
4 ч.
5 ч.
Решение:
AB=7 км, AC=10 км. t-искомое время. Тогда, BD=4t, CE=5t. Таким образом, AD=7+4t, AE=10+5t, DE=25. По теореме Пифагора, 7+4t2+10+5t2=252 или 41t2+156t-476=0. Последнее уравнение имеет два корня: 2 и -23841. Так как t>0, условию задачи удовлетворяет число 2. Таким образом после двух часов расстояние между двумя пешеходами будет равно 25 км.
Ответ : 2 часа.
Правильные ответы:
Номер вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8
Вариант ответа А А А А А А А А
Используемая литература:
А.Е.Абылкасымова, З.А.Жумаголова, А.Абдиев, В.Е.Корчевский , 2008. Издательство «Мектеп»
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков Т.И., Суворова С.Б., 2001. Издательство «Мектеп» 2001
Б.Баймухнов, Е.Медеуов, С.Базаров, 2004. «Мектеп» 2004.
Барыбын К.С. Методика преподавания алгебры. – М.: Просвещение. 1995.
Жұбаев Қ.Ж. Теңдеулерді шешу барысында оқушыларды зерртей білуге Үйрету. – Ақтөбе, 1989
А.Абылкасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев «Алгебра» Методическое руководство, Алматы «Мектеп» 2008
Алгебра – 8. С.А.Теляковский ред. – Алматы. 1992.
Алгебра – 9. С.А.Теляковский ред. – Алматы. 1992.