Методическая разработка по теме: Численное решение некоторых задач векторной алгебры

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Методическое обоснование темы. Обращение к данной теме не является случайным. Векторная алгебра на плоскости рассматривается в школьном курсе весьма сжато.
Предлагается разработка факультативного занятия по данной теме. Однозначных рекомендаций по срокам проведения этого занятия нет. Отдельные элементы можно использовать на уроке в 9-м классе с высоким уровнем подготовки учащихся. Можно в качестве предварительного домашнего задания предложить из различных источников или учебной литературы по математике подыскать способы решения заданий такого типа. Большая часть занятия посвящена решению различных задач.

Задача 1

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P1. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.
А (1; 1; 2); В (2; 3; -1); С (2; -2; 4); D (-1; 2; 2).

Решение:

Составим уравнение плоскости Р в общем виде.
Найдем координаты вектора ВС.
ВС = {2 – 2; -2 -3; 1-(-1)} = {0; -5; 5}/
ВС является вектором нормали плоскости, по этому уравнение плоскости Р, проходящей через точку А (1; 1; 2) имеет вид
0 (х – 1) – 5 (у – 1) +5 (z – 2) = 0;
–5y + 5 + 5 z – 10;
–y + z – 1 = 0 - искомое общее уравнение плоскости.
1.2. Запишем уравнение плоскости в отрезках. Для этого преобразуем общее уравнение плоскости.
–y + z – 1 = 0
–y/1 + z/1 = 1 –уравнение плоскости в отрезках.
1.3. Приведем общее уравнение плоскости Р к нормальному виду: А = 0; В = -1; С = 1; D = -1. Т.к. D – отрицательное, то нормирующий множитель берем со знаком +
1/
·А2 + В2 + D2 = 1/
·02 + (-1)2 + 12 =
·2/2.
Для получения требуемого нормального уравнения плоскости умножим обе части общего уравнения на нормирующий множитель:

·2/2(–y + z – 1) =
·2/2*0 ;
–
·2/2 y +
·2/2 z –
·2/2) = 0 – нормальное уравнение плоскости.
Составим уравнение плоскости Р1, проходящей через точки А, В, С.
Уравнение плоскости ищем по формуле
х – 1
у – 1
z – 2

2 – 1
3 – 1
-1 – 2

2 – 1
- 2 – 1
4
· 2


= 0


х – 1
у – 1
z – 2

1
2
-3

1
-3
2


= 0.


(х – 1) * 2 * 2 + (z – 2) * 1 * (-3) + ( у – 1) * (-3) * 1 – [ (z – 2) * 2 * 1 +
+ ( у – 1) * 2 * 1 + (х – 1) * (-3) * (-3)] = –5х – 5у – 5z + 20 = 0
Следовательно, х + у + z – 4 = 0 искомое уравнение плоскости Р1.
Найдем угол
· между плоскостями Р и Р1, он будет равен углу между векторами, им перпендикулярными.
ВС
· Р по условию,
N
· Р1, N {1; 1; 1} – из уравнения плоскости Р1
Cos
·=
ВС · N
=
2· 1 + (-5) · 1 + 5 · 1
= 0



|ВС| ·| N|


|ВС| ·| N|



Следовательно
· = arcos
· = 90є.

Найдём расстояние от точки D до плоскости P.

D { - 1; 2; 2}; Р: –y + z – 1 = 0

d =
| 0 · (-1) – 1 · 2 + 1 · 2 – 1 |
=
1
=

·2




· 02 + (-1) 2 + 12


·2

2



ОТВЕТ:
уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС: –y + z – 1 = 0 - общее уравнение плоскости;
–y/1 + z/1 = 1 –уравнение плоскости в отрезках;
–
·2/2 y +
·2/2 z –
·2/2) = 0 – нормальное уравнение плоскости.
Уравнение плоскости Р1, проходящей через точки А, В, D : х + у + z – 4 = 0.


Задача 2

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.
Общие уравнения прямой l: х – 3у + 2z – 5 = 0;
2х + 5у – 3z + 2 = 0;
Координаты точки М (1; 2; 3)
Общее уравнение плоскости Р: 2х – 3у + 4z – 6 = 0
Решение:
1.1. Перейдём от общего уравнения прямой l к каноническому:
Для этого найдём любую точку, принадлежащею прямой, решив систему уравнений.

х – 3у + 2z – 5 = 0;
2х + 5у – 3z + 2 = 0;
У системы два уравнения и три неизвестных. Положим х = 0, тогда имеем
– 3у + 2z – 5 = 0;
5у – 3z + 2 = 0.
Умножим первое уравнение на 5, а второе – на 3:
– 15у + 10z – 25 = 0;
15у – 9z + 6 = 0.
Сложим оба уравнения.: z 19 = 0, следовательно z = 19.
Подставим х = 0, z = 19 в первое уравнение системы, получим
0 – 3у + 2*19 – 5 = 0,
– 3у + -33,
у = 11.
Получили К (0; 11; 19).
Найдём направляющий вектор р как векторное произведение нормалей n1 {1; -3; 2} и n2 {2; 5; -3} плоскостей, задающих общее уравнение прямой.

р = [ n1 x n2] =
i
j
k


1
-3
2


2
5
-3


= - 1 i + 7 j + 11 k


Следовательно р{-1; 7; 11}
Запишем каноническое уравнение прямой l, учитывая, что она проходит через точку К (0; 11; 19) и имеет направляющую р {-1; 7; 11}.
l:
х
=
у - 11
=
z - 19


-1

7

11





1.2. Запишем параметрическое уравнение прямой, для этого приравняем каждую часть канонического уравнения к параметру t.
х
= t

-1






у - 11
= t

7






z - 19
= t

11






Получили следующее параметрическое уравнение прямой l
х = - t;
l: у = 7 t + 11;
z = 11 t + 19.

2. Составим уравнение прямой l1 проходящей через точку М (1; 2; 3), параллельно прямой l. Так как прямые параллельны, то р – направляющий вектор и для прямой l1 .

Запишем каноническое уравнение прямой l1, учитывая, что она проходит через точку М (1; 2; 3) и имеет направляющую р {-1; 7; 11}.
l1:
х - 1
=
у - 2
=
z - 3


-1

7

11





3. Вычислим расстояние между прямыми l и l1
Т.к. прямые параллельны, то расстоянием между ними будет расстояние от любой точки одной прямой, до другой прямой. Например, расстояние от точки М (1; 2; 3), принадлежащей прямой l1 до прямой l.
Найдём МК {0 – 1; 11 – 2; 19 – 3} = {-1; 9; 16}.
[ МК x р] =
i
j
k


-1
9
16


-1
7
11


= - 11 i - 5 j + 2 k

Следовательно [ МК x р] = {-11; -5; 2}.
d=
|МК x р|
=

·(-11)2 + (-5)2 + 22
=

·418
=1, 08


|p|


·(-1)2 + 72 + 112

19






Найдём проекцию точки М на прямую l.
Для этого получим уравнение плоскости
·, которая перпендикулярна прямой l и проходит через точку М.
Так как
· и l перпендикулярны, то перпендикулярны и вектор р и плоскость
·, следовательно р{-1; 7; 11} – вектор нормали искомой плоскости. Составим уравнение плоскости
·, проходящей через точку М(1; 2; 3) и вектором нормали р{-1; 7; 11}:
–1(х – 1) + 7(у – 2) + 11(z – 3) = 0.
Получаем уравнение плоскости:

·: – х + 7у + 11z – 46 = 0.
Теперь найдём точку пересечения прямой l и плоскости
·, эта точка и будет являться проекцией точки М на прямую l.
Для этого решим систему, из общих уравнений прямой l и найденного уравнения плоскости
·: х – 3у + 2z – 5 = 0;
2х + 5у – 3z + 2 = 0;
– х + 7у + 11z – 46 = 0.
1
-3
2
5

2
5
-3
-2

-1
7
11
46



~



1
-3
2
5

0
11
-7
-12

0
4
13
51




~


1
-3
2
5

0
11
-7
-12

0
0
171/11
609/11








171/11 z = 609/11,
z = 309/171 = 203/57.

11у – 7z = 12,
у = (-11+ 7 · 203/57) / 11 = 67/57.

х – 3у + 2z – 5 = 0,
х = 5 + 3у – 2z = 5 + 3 · 67/57 – 2 · 203/57 = 80/57.

М’ (80/57; 67/57; 203/57) – проекция точки М на прямую l.

Найдём точку пересечения прямой l и плоскости Р.
Для этого решим систему, составив её из общих уравнений прямой l и уравнения плоскости Р.
х – 3у + 2z – 5 = 0;
2х + 5у – 3z + 2 = 0;
2х – 3у + 4z – 6 = 0.
1
-3
2
5

2
5
-3
-2

2
-3
4
6



~


1
-3
2
5

0
11
-7
-12

0
3
0
-4







3у = – 4,
у = – 4/3.

11у – 7z = –12,
z = (11у + 12)/7 = (–44/3 + 12) / 7 = –8/21.

х – 3у + 2z – 5 = 0,
х = 5 + 3у – 2z = 5 + 3 · (– 4/3) – 2 · (–8/21) = 37/21.

А (37/21; – 4/3; 37/21) – точка пересечения прямой l и плоскости Р.

х
=
у - 11
=
z - 19

-1

7

11

ОТВЕТ:
Каноническое уравнение прямой l:


Параметрическое уравнение прямой l:
х = - t;
у = 7 t + 11;
z = 11 t + 19.

х - 1
=
у - 2
=
z - 3

-1

7

11

Уравнение прямой l1 проходящей через точку М (1; 2; 3), параллельно прямой l :


d=

·418
=1, 08


19


Расстояние между прямыми l и l1


Проекция точки М на прямую l точка М’ (80/57; 67/57; 203/57);
Точка пересечения прямой l и плоскости Р точка А (37/21; – 4/3; 37/21).

15