Направление: Математика, информационные технологии. Тема: Решение практических задач методом векторной алгебры.

Всероссийский конкурс научно-исследовательских,
проектных и творческих работ обучающихся
«ОБРЕТЁННОЕ ПОКОЛЕНИЕ –
НАУКА, ТВОРЧЕСТВО, ДУХОВНОСТЬ» ___________________________________________________________________________________
Направление: Математика, информационные технологии.
Тема: Решение практических задач методом векторной алгебры.

Авторы: Матюхина Валерия Дмитриевна, Иншакова Евгения Анатольевна
Место выполнения работы: ГБПОУ КК «Краснодарский колледж электронного приборостроения»
2017

Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение. PAGEREF _Toc464347036 \h 3Основная часть. PAGEREF _Toc464347037 \h 5Практическая часть PAGEREF _Toc464347038 \h 9Задача №1. PAGEREF _Toc464347039 \h 9Задача №2. PAGEREF _Toc464347040 \h 11Задача №3. PAGEREF _Toc464347041 \h 12Задача №4. PAGEREF _Toc464347042 \h 13Практическое применение. PAGEREF _Toc464347043 \h 15Литература. PAGEREF _Toc464347044 \h 17
Введение.Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные математические фигуры.
Г.Галилей.
Математика как наука изучается вовсе не для того чтобы насладится красотой теоретических выкладок, а из-за ее способностей описания и познания реального мира. Она порождена событиями, происходящими в реальном мире и призвана познавать и анализировать этот мир, в котором мы живем.
В последние столетия в геометрии появились новые методы, в том числе координатный и векторный, позволившие переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Возникли и развиваются новые направления геометрических исследований: геометрия Лобачевского, проективная геометрия, топология, компьютерная геометрия и др. Геометрические методы широко используются в других науках, например: теории относительности, квантовой механике, кристаллографии.
Перед человеком постоянно возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего вариантов. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может осуществляться не единственным способом и приходится из всех отыскивать наилучший способ. В одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшим могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия.
Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа:
формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);
решение полученной математической задачи
интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).
Но, так как в своей научной работе я буду обращаться больше к векторной алгебре, то и рассказать хочу немного о ней. Векторный метод решения задач является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом. Применение метода координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемой аналитической геометрией. (Она была создана в первой половине XVII в. В работах знаменитых французских ученых Рене Декарта и Пьера Ферма).
Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Термин вектор употребляют в геометрии, по крайней мере, в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике «векторные величины». 
Аппарат векторной алгебры удобен при решении задач геометрии и физики, техники и экономики. Решение задач проходит три этапа (подобно тому как это происходит при решении текстовых задач).
Условие задачи надо записать в векторном виде, введя подходящим образом векторы (аналогично тому как мы составляем алгебраические уравнения, вводя неизвестные величины).
Средствами векторной алгебры исходное условие задачи, записанное в векторной форме, преобразуется к такому виду, который дает решение задачи в векторном виде (аналогия- решение алгебраического уравнения).
полученным векторным соотношениям дается толкование в исходных терминах (аналогия- формулировка ответа задачи, после того как решено алгебраическое уравнение).
Накануне Нового года, гуляя по одному из торговых центров, я стала свидетельницей следующего происшествия: огромный подарок, оборвавшись с троса начал падать в холл, но повис на гирляндах, не упав на посетителей торгового центра. Мне стало интересно был ли это счастливый случай или гирлянды должны висеть таким образом, чтобы угол между ними не позволил провалиться подарку, упасть и нанести ущерб людям и торговому центру
Так возникла математическая задача, сводящаяся к нахождению угла между скрещивающимися прямыми, если гирлянды, висящие в торговом центре, сами являются скрещивающимися прямыми.

Основная часть.«Нужно измерять все измеримое и делать измеримым то, что пока не поддается измерению». Г. Галилей.
Цель научно-практической работы:
Решение практических задач методами векторной алгебры.
Нахождение оптимального угола между прямыми.
Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимисяпрямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
3581404429125
33775654705350
3390905257800
32918405362575
Нахождение угла между прямыми таким образом не всегда удобно на практике так как иногда спроектировать прямую на плоскость весьма затруднительно; поэтому попробуем решить эту задачу векторным методом.
При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи.
Известные нам величины могут быть двух видов. Есть величины, которые вполне определяются своими численными значениями (при данных единицах измерения), например: длина, площадь, масса. Такие величины называются скалярными величинами или, короче, скалярами.
Но многие физические величины, например: сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).
Определение: отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором. Свободным вектором называется такой вектор, который без изменения длины и направления может быть перенесен в любую точку пространства.
Векторы можно складывать (по правилу многоугольника и параллелограмма), умножать на число и друг на друга.


Но выполнять геометрические операции с векторами не всегда удобно. Например, надо сложить десять векторов, да еще умноженных на некоторые числа. Но если на плоскости ввести систему координат, то каждый вектор можно задать парой чисел – его проекциями на оси координат. И тогда окажется, что действия с векторами можно свести к аналогичным действия с тремя числами, что куда проще.
При удачном введении системы координат можно сильно упростить себе задачу.Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.
Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, можно применять алгебру и математический анализ к решению геометрических задач.
Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций — первый пример такого применения метода координат.
Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).
268224041910000Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе
11296651717675004168140147002500
Рассмотрим теперь вопрос о том, как найти координаты вектора, отложенного не от начала координат. Пусть вектор a, имеет своим началом точку A1(x1, y1, z1) и концом точкуA2(x2, y2, z2). Тогда его можно представить, как разность векторов, а именно:a=A1A2= OA2-OA1, и, следовательно, он имеет координаты (x2-x1, y2-y1, z2-z1).

Применение метода координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемой аналитической геометрией. (Она была создана в первой половине XVII в. В работах знаменитых французских ученых Рене Декарта и Пьера Ферма).
-38101466850
Пусть в пространстве задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов, отложенных от некоторого начала – точки О, и совпадающих по направлению с осями координат таким образом, что вектор i,совпадает по направлению с осью абцисс, вектор j совпадает по направлению с осью ординат, а вектор kсовпадает по направлению с осью аппликат.
Такую тройку векторов называют прямоугольным базисом в пространстве.
39395401111250y
00y
Для нахождения угла φ между прямыми, если векторыq(x1;y1; z1)и p(x2;y2; z2)параллельны соответственно этим прямым, используют формулу:
cos=p*qq*p41871902603500362063897479
или в координатной форме:
cos= x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12*x22+y22+z22601599090170x
00x
58350158064500
В частности, для того чтобы прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы p*q=0 илиx1x2+y1y2+z1z2=0.

Практическая частьГеометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)
Задача №1.
Вернемся к случаю с падающим подарком и примем гирлянды за скрещивающиеся прямые, угол между которыми необходимо найти. Примем помещение торгового павильона условно за куб, а гирлянды за диагонали куба и одной из его граней. Тогда получаем математическую модель задачи:
337185010731500473456010604500В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K-центр грани ABCD. Вычислите угол между прямыми:
332041510160BC1 и D1 K
B1D и C1 K
373507022288500
474662513525500393001522987000304292030226000Решение
BC1 и D1 K
Прямые BC1 и D1 K являются скрещивающимися прямыми. Т.к. угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым, и он не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые, то для нахождения угла между этими прямыми необходимо:
Найти прямые BC1 и D1K которые будут лежать в одной плоскости. Задача достаточно трудоемкая так как придется применить разные методы проектирования, со с ложными тригонометрическими выкладками. Поэтому попробуем решить эту задачу методами векторной алгебры, т.е. найдем угол между этими прямыми как угол между векторами.
При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи.
5829300519430005359400725805004632325497840004596765675640000Введем прямоугольную систему координат: поместим вершину куба B в начало координат, тогда ось абсцисс совпадает с ребром AB, ось ординат – с ребром BC, ось аппликат – с ребром BB1.4140200120655909310106426000446595510877550039693859144000006083935127000000420751031305500Примем ребро куба за a, тогда A(a;0;0), B(0;0;0), C (0; а;0), D (а; а;0), K (а2; а2;0).
BC1(0; а; a)
D1 K(-a2; -a2;-a)
BC1*D1K=|BC1|*|D1K|*cosBC1*D1 KcosBC1*D1K=XBC*XD1K+yBC*yD1K+ZBC*ZD1KX2BC+y2BC+z2BCX2D1K+y2D1K+z2D1K =
=0-a22-a2a2+a2*a24+a24+a2=-3a222a2*3a22 = -3a22a23 = -3a22a23 =-32.
cosBC1*D1 K=-32.
BC1*D1 K = 5π6=150°
Ответ: 150°
(Задача №1.)3764915166370Решение: пункта б
458660560261500507873044704000386207043053000325628062103000Примем ребро куба за a, тогда A(a;0;0), B(0;0;0), C (0; а;0), D (а; а;0), K (а2; а2;0).312102547498000405828525400000544068023558500479107539751000516636076200038874704445003430270595185500
B1D(а; а; -a)C1K(-a2;a2;a)
B1D*C1K=|B1D|*|C1K |*cosB1D*C1KcosB1D*C1K= XB1D*XC1K+yB1D*yC1K+ZB1D*ZC1KX2B1D+y2B1D+z2B1DX2C1K+y2C1K+z2C1K =
= -a22+a22-a2a2+a2+a2*a24+a24+a2=-a23a2*3a22 = -a23a22 =-23.
cosB1D*C1K=-23.
B1D*C1K=arccos-23.
Т. к. косинус искомого угла получился отрицательным, то угол между векторами тупой. Но, по определению угла между прямыми, угол между В1Д и С1К должен быть острым. Поэтому необходимо ввести модуль
Ответ: 61°50´.
Метод векторной алгебры можно применять не только в декартовой системе координат.
Задача №2.На ребре A1C1 треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка P так что , A1P=5:7. Точка M принадлежит диагонали AC1грани AA1CC1, причем AM:AC1=5:7. Плоскость, проходящая через точку пересечения диагоналей граниAA1BB1 и через точку Mи P, пересекает ребро A1B1в точке K. Найдите отношения A1K:KB1.
417766511620500045015151047750004530090166687500
112966513430250020059651047750032727908572500111061510477500
Пусть плоскость (MPO) пересекает ребро A1B1 в точке K, в качестве базисных векторы C1K=a;C1A1=b;C1B1=с.
ВекторыA1Kи A1B1–коллинеарные, тогда, используя условие коллинеарности, ->A1K=x A1B1=x *(c-b)= -xb+xc.
С другой стороны, A1K=A1P+PK=310b+PK.
Найдем PK: Так как M, P, O, K лежат в одной плоскости, то векторыPK,PM,PO-коллинеарные.
Поэтому
PK= yPO+zPM.
PM= - 710b+27aPO=PA1+A1O= 310b+A1OA1O=12A1B=12(A1A+AB)=12(A1C1+C1A1)+(C1B1+C1A1)=12(b+a) +12(c-b)= 12a+12c.
Итак, PK=y (12a+710b+12c) + z (- 710b+27a), где z,y – некоторые числа.
В силу единственности разложения вектора A1K по векторамa,b,сполучим из соотношений.
A1K=-xb+ xcA1K=a12y+27z- b(310+710y+710z) +12yсПриравниваем коэффициенты:
12y+27z=0310+710y+710z=x12y=x, ↔z=-72310+710 2x+710-72x=x, y=2x↔ x=641Т.е. A1K :KB1=6:35
Задача №3.ТочкиMи E-середины ребер ACи ABсоответственно правильного тетраэдра ABCD, P- точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите угол между прямыми MPи DE.

Решение.
Выберем базисные векторы DA=a, DB=b, DC=cТак как по условию задачи рассматривается правильный тетраэдр , то примем ребро тетраэдра равным a=1, а плоские углы при вершине D будут равны π3.
Составим таблицу умножения векторов базиса, использовав формулу скалярного произведения a*b=abcos60° ; a2 = b2= c2= 1
Угол между векторами DE и MD найдем по формуле cos(DE, MP) = MD*DE MD*DE Для этого найдем разложение векторов MD, DE по векторам базиса и их длины.
MD=MD+DP = -12(DC+DA)+23DO = − 12(a+c ) + 23 * 12(DB+DC )= − 12(a+c ) +
+13(b+c )= − 12 a −12 c + 13 b + 13 c =16 (-3a-c+2b)
MP= MP2=16 (-3a-c+2b)2= 16 * -9a+c+4b+6ac-12ab-4bc == 16 * 9+1+4*6*16-12*16-4*16 = 1614+3-6-2 = 16 9 =12DE=12 (a + b)
DE= 12 (a2 +2ac+b2) = 121+1+1 =123cos(MD,DE) = MD* DEMD* DE = 16-3a-c+2b-12(a + b)12*123 =112(-3-312+212+2*1)34=112*5234 = 5318cos(MD,DE)=5318MD DE = 61° 10´
Ответ : 61° 10´
Задача №4.1623695305435D
00D
В пирамиде ABCDADB+ADC=180°. НайдитеADF, если DF- биссектриса угла BDC.
1793240274955e3
00e3
15601951066165e2+e3
00e2+e3
1245235290195e1
00e1
22898101294130C
00C
19310351506220F
00F
14268451725930B
00B
8724901292225A
00A
167068514414500138493514414500167767014414500161099513652500167005015113000167767013652500153035013798550018973806413500016116307880350010337801365885001019175135826500153162014414500101917512954000
Рассмотрим базис е1, е2, е3, где е1, е2, е3-еденичныевекторы, направления которых совпадают с направ-лениями векторовDA,DB,DC.Легко увидеть, чтовектор е2+е3 имеет то же направление, что и век-тор DF. Согласно формуле:cosADF=cosе1;е2+е3=е1*(е2+е3)|е1|*|е2+е3|=0,
Так какe1*e2+e3=e1*e2+e1e3=e1*e2*cosADB+e1*|e3|cosADC=cosADB++cos180-ADB=cosADB-cosADB=0.Следовательно, ADF=90°
Итак, чтобы вычислить величину угла, достаточно выбрать три некомпланарных (два неколлинеарных в случае плоскости) вектора, длины которых и величины углов между которыми известны. Затем найти векторы, задающие искомый угол и вычислить косинус искомого угла по формуле:
cosa b=a*ba*b.


Практическое применение.
Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной
возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)
Данный способ измерения и вычисления может быть применен, например, в бюро технический инвентарь определяет размеры помещений с помощью лазерных указок, которые позволяют измерить углы с точностью до 0,1;в высокотехнологичных лазерных оптических измерительных приборах и системы: электронные приборы для замера геометрических параметров высокой точности, лазерные измерительные приборы. (с 1991года.)
Приборы измеряют бесконтактными способами любые геометрические размеры любых объектов (металл, стекло, полимер и пр.).
.
Изобретение относится к авиационной технике: система содержит три лазерных излучателя, установленные вблизи взлетно-посадочной полосы со стороны захода воздушного судна на посадку, два из которых - глиссадные - расположены по краям полосы и предназначены для формирования лучей, определяющих плоскость глиссады, а третий - курсовой - расположен на продолжении осевой лини полосы и предназначен для формирования луча, определяющего курс посадки.
При провисании высоковольтных линий происходит их соприкосновение, нужно рассчитать угол и расстояние расположения, чтобы такого не допустить замыкание

Литература.
http://camafon.ru/signalizatsiya/lazernaya
https://www.drive2.ru/c/288230376152219429/
http://studopedia.ru/13_175700_nahozhdenie-ugla-mezhdu-skreshchivayushchimisya-pryamimi.html
http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/angle_between_skew_lines.html
http://festival.1september.ru/articles/635027/
http://www.freepatent.ru/patents/2369532
http://ru.d-test.ru/
http://www.stabila.de/cms/upload/download/pdf/katalog/stabila_ru.pdf