Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
дополнительного образования детей дом детского творчества
г. Зверева Ростовской области
Решение иррациональных уравнений,
сводящихся к квадратным
Работа педагога дополнительного
образования
Куца Фёдора Ивановича
г. Зверево
2014г.
1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй
степени:
I способ решения (метод подстановки);
II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:
Iспособ решения (метод подстановки);
II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
III способ решения (уединение корня).
3) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких
степеней
4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней

1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени.
Iспособ решения(метод подстановки)
Пример 1. 2х2 + 3х - 5 2х2+3х+9 + 3 = 0. (1)
Решение. Если обозначить у = 2х2+3х+9 (у ≥ 0), тогда 2х2+3х = у2 - 9, то уравнение (1)
превратится в квадратное:
у2 - 9 - 5у + 3 = 0, у2 - 5у – 6 = 0.
у1 = - 1, у2 = 6.
у1 = - 1 не удовлетворяет условию у ≥ 0
Возвращаясь к переменной х, имеем: 2х2+3х+9 = 6,
2х2 + 3х + 9 = 36,
2х2 + 3х - 27 = 0,
х1,2 = -3±32-4∙2∙-272∙2= -3±2254 = -3±154.
х1 = -3- 154 = - 92 = - 4,5; х2 = -3+ 154 = 3.
Корни исходного уравнения: х1 = - 4,5, х2 = 3.
Пример 2. х1-х - 32 х1-x = 1.
Решение. Если обозначить у =х1-х , то исходное уравнение превратится в квадратное:
у2 - 3 2у=1 QUOTE 3 2у=1 ,
2у2 – 3у – 2 = 0, корни которого у1 = 2, у2 = - 12.
QUOTE 12 .
Далее решаем уравнения: 1) x1-x = 2, x1-x = 4, х = 4 – 4х, 5х = 4, х = 45.
2) x1-x = - 12 , нет корней в силу неотрицательности арифметического квадратного корня.
Корень исходного уравнения: х = 45.
Пример 3. 2-х = 3х + 8.
Решение. Пусть у = 2-х, где у ≥ 0, тогда х = 2 – у2, имеем уравнение у = 3(2 – у2) + 8.
3у2 + у – 14 = 0,
у1,2 = -1±12-4∙3∙( -14)2∙3 = -1±1696 = -1±136, у1=2, у2= - 73.
у2 = - 73 не удовлетворяет условию у ≥ 0, следовательно х = 2 – 22 = -2.
Корень исходного уравнения: х = -2.
IIспособ решения(возведение обеих частей уравнения в квадрат)
Пример 4. х+2 = х.
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:
х+2 2= х2, х + 2 = х2, х2 - х - 2 = 0.
х1 = -1, х2 = 2.
Проверка.
При х = - 1: -1+2 = 1 = 1, но 1 ≠ - 1, следовательно, корень х = - 1 - посторонний.
При х = 2: 2+2 = 4 = 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число является корнем исходного уравнения.
Корень исходного уравнения: х = 2.
2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени.
Iспособ решения (метод подстановки).Пример 5. 3∙х-12х+1 – 2х+1х-1 = 2.
Решение. Если обозначить у = х-12х+1, где у > 0, то получим уравнение 3у - 1у = 2, которое приумножении на у принимает вид: 3у2 – 2у – 1= 0.
Корни уравнения: у1 = 1, у2 = - 13.
у2 = - 13 не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем:
х-12х+1 = 1, х-12х+1 = 1, х – 1= 2х + 1, х = - 2.
Корень исходного уравнения: х = - 2.
II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
Пример 6. 3х+1 - х+4 = 1.
Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат:
3х+1 - х+42= 12,
3х+1 2- 2 3х+1 ∙ х+4 + х+4 2 = 1,
3х + 1 - 2 3х+1(х+4) + х + 4 = 1,
4х + 4 = 2 3х+1(х+4),
2х + 2 = 3х+1(х+4).
Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:
2х+22= 3х+1(х+4),24х2 + 8х + 4 = 3х+1(х+4),
4х2 + 8х + 4 = 3х2 + 13х + 4,
х2 - 5х= 0,
х (х – 5)= 0.
х1 = 0, х2 = 5.
Проверка.
При х = 0: 3х+1 - х+4 = 1 - 4 = - 1, но -1≠ 1, следовательно, х = 0 - посторонний корень.
При х = 5: 3х+1 - х+4 = 3∙5+1 - 5+4 = 16 - 9 = 4 – 3 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 5 – корень исходного уравнения.
Корень исходного уравнения: х = - 5.
III способ решения (уединение корня).
Пример 7. 3-2х – 1-х = 1.
Решение. Уединим один из радикалов:
3-2х = 1-х + 1.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
3-2х 2=1-х + 12,
3 - 2х = 1-х 2- 2∙1-х ∙1 + 1,
3 - 2х = 1 – х - 21-х + 1,
21-х = х – 1.
Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:
21-х 2=х-12,
4(1 - х) = х2 - 2х + 1,
4 - 4х = х2 - 2х + 1.
х2 + 2х - 3 = 0.
х1= 1, х 2 = - 3.
Проверка.
При х = 1: 3-2х- 1-х = 3-2 - 0 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 1 – корень исходного уравнения.
При х = -3: 3-2х – 1-х = QUOTE 3+6 - 1+4 3+6 - 1+3 = 9 - 4 = 3 - 2 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = -3 – корень исходного уравнения.
Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2 = -3.
3) Уравнения, содержащие радикалы третьей степени.
Пример 8. 53x2 + 3x - 6 = 0.
Решение. Пусть у =3х, тогда 5у2 + у - 6 = 0, откуда у1 = 1, у2 = - 65.
Переходя к переменной х, имеем:
1) 3х = 1, х = 1.
2) 3х = - 65, х = - 216125.
Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2= - 216125.
4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней.
Пример 9. 62х+32 - 32х+32 + 2 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = 62х+32, где у ≥ 0.
Получим уравнение: у - у2 + 2 = 0; у2 - у - 2 = 0; корни которого: у1 = -1, у2 = 2.
у1 = -1 не удовлетворяет условию у ≥ 0.
Возвращаясь к переменной х, имеем: 62х+32 = 2; 2х + 32 = 64; 2х = 32, х = 16
Корень исходного уравнения: х = 16.
Литература:
Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М."Дрофа",1999г.
Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.
Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.
Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.
Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.