Урок по теме Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Конспект урока по алгебре «Решение уравнений, сводящихся к квадратным»
Алгебра 8 и 9 классы. УМК: Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.
Погребняк Татьяна Николаевна Учитель математики ГБОУ лицея № 408 Пушкинского района Санкт-Петербурга 2014 – 2015 учебный год
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ:
Учебник алгебры 8 класс. Ю.М.Калягин,Ю.В.Сидоров и др.Изд. Просвещение
М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Изд. Просвещение.
Л.А.Жигулёв, Н.А.Зорина. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация. Изд. СМИО Пресс, Санкт- Петербург.
Тема урока: «Решение уравнений, сводящихся к квадратным»
Урок закрепления изученного.
Цель: Дидактическая – формирование у учащихся умения решать биквадратные уравнения и некоторые виды уравнений с неизвестным в знаменателе, приводящиеся к квадратным.
Развивающая – развитие логического мышления, формирование потребности приобретения новых знаний.
Воспитательная – развитие аккуратности, трудолюбия, воспитание уважения друг другу, взаимопонимания, уверенности в себе, самостоятельности.
« То, что я понял – превосходно. Думаю, таково же и то, чего я не понял»
Сократ
Учитель Ученик Доска
Актуализация знаний:
Устно:
А) Запишем тождество для любого числа α
α² - α² = α² - α²
Вынесем α в левой части за скобку, а правую часть разложим по формуле разности квадратов:
α (α – α) = (α – α)(α + α)
Разделим обе части равенства на выражение
α – α, получаем
α = α + α, или
α = 2α
«Сокращение» уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице, ярким представителем которой является данный софизм.
Нарушение свойства уравнения:
Деление обеих частей уравнения на выражение, равное нулю.
α – α = 0 α² - α² = α² - α²
α (α – α) = (α – α)(α + α) !?!
α = α + α
α = 2α
Софизм (от греч. Sophisma – уловка, выдумка, головоломка) – мнимое доказательство, в котором обоснованность заключения кажущаяся, порождается чисто субъективным впечатлением, вызванным недостаточностью логического или сематического анализа.
Гарднер:
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Задания по карточкам:
Перед Вами на листе слева написаны уравнения, а справа способы решения уравнений. Свяжите уравнение с наиболее рациональным способом решения. х² + 4х – 5 = 0
2х² - 5х + 3 = 0 Теорема обратная
х² - 6х = 0 теореме Виета.
х² + 24 = 0 Введение новой х⁴ - 10х² + 25 = 0 переменной.
4х² + х – 3 = 0 Формула дискрими-
нанта.
Вынесение общего
множителя за скобки.
х² + 4х – 5 = 0
теорема обратная теореме Виета,D
2х² - 5х + 3 = 0
D:2, теорема обратная теореме Виета (3/2; 1). Свойство: если сумма коэффициентов равна 0, то один корень равен 1.
х² - 6х = 0
вынесение общего множителя за скобки
х² + 24 = 0
действительных корней нет
х⁴ - 10х² + 25 = 0
введение новой переменной
4х² + х – 3 = 0
D. 14503401212851583690111760х² + 4х – 5 = 0 Теорема обратная
135509015430514503401905 2х² - 5х + 3 = 0 теореме Виета.
х² - 6х = 0 Формула дискрими-
108839063501355090635 нанта.
х² + 24 = 0 Вынесение общего мно-
жителя за скобки.
х⁴ - 10х² + 25 = 0 Введение новой
15360657620 переменной.
4х² + х – 3 = 0
Есть ли на Ваш взгляд, уравнения, которые можно решить разными способами?
Да: 1; 3; 6. Перейдём к решению уравнений самостоятельно с последующим разбором на доске.
А) 10 - 8 = 1;
Х-3 х
Б)4х⁴ + 20 х² + 25 = 0 Один ученик записывает и рассказывает о своём способе решения уравнеия. А)10 - 8 = 1, х≠3; х≠0.
Х- 3 х
10х – 8(х – 3) – х(х-3) = 0
(х – 3)х
10х – 8х + 24 - х² + 3х = 0
х² - 5х – 24 = 0,
х₁ + х₂ = 5
х₁∙х₂ = - 24
х=8, х= - 3
Ответ: -3; 8.
Б) 4х⁴ + 20х² + 25 = 0
1 способ: (2х² +5)² = 0
2х² + 5 = 0
Корней нет.
2 способ: D =10² -4∙25 = 0
4
(х²) ₁,₂ = -10
4
Корней нет.
3 способ: D= 20² - 4∙20∙25 = 0
(х²) ₁,₂ = -20
8
Корней нет
4 способ: введение новой переменной.
Ответ: действительных корней нет.
Рассмотрим способы решения уравнения:
2t² - 5t + 2 = 0 Произведение корней равно 1, значит корни взаимно обратные числа. Свойства уравнения: деление и умножение на выражение ≠0.
4216391257303454401257302787651257302t² - 5t + 2 =0
D :2 ∙2
t² - 5t + 1 = 02t² - 5t +2 = 0 I∙2
2 (2t)² - 5(2t) +4 = 0
(2t₁) + (2t₂) = 5
(2t₁)∙(2t₂) = 4
2t =1, 2t = 4
t = ½ , t = 2
Ответ: t=1/2 , t=2
Итоги урока:
- перечислите приёмы, которые успели повторить на уроке для решения квадратных уравнений. Домашнее задание: решите уравнения
А) 6х² = 5х + 1
Б) 3х² - 5х = - 4 (умножением обеих частей уравнения на старший коэффициент)
В) 2(х² - 2х)² - 5х² + 10х + 2 = 0 (посмотрите внимательно на данное уравнение и последнее, решенное нами) Литература: 1) Учебник алгебры 8 класс. Ю.М.Калягин,Ю.В.Сидоров и др.Изд. Просвещение
2) М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Изд. Просвещение.
3) Л.А.Жигулёв, Н.А.Зорина. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация. Изд. СМИО Пресс,
Санкт-Петербург.