Конспекта урока по геометрии (по учебнику Л.С. Атанасяна и др.) «Пирамида»(с элементами учебного исследования)

КОНСПЕКТ УРОКА

ПО ГЕОМЕТРИИ В 10 КЛАССЕ
( ПО УЧЕБНИКУ Л.С. Атанасяна и др.)


ТЕМА : «ПИРАМИДА»
( с элементами учебного исследования)



Учитель математики:Граль Лада Казимировна
ГБОУ СОШ №964
СВАО г.Москвы.
2013г.
ЦЕЛЬ:

познакомить с геометрической фигурой - пирамидой, её определениями, элементами, видами, научиться строить высоты пирамиды и её граней.
ЗАДАЧИ:
- познакомиться со схемой построения определения и применить его на практике;
- научиться строить пирамиды;
- научиться строить высота пирамид;
- научится находить элементы пирамиды;
- научится строить высота боковых граней;
- исследовать где будет находиться основание высоты.

ПЛАН УРОКА:

1.Знакомство с определениями пирамид. (историческая справка)
2.Знакомство с современным определением;
3, Знакомство с видами пирамид;
4.Знакомство с элементами пирамид;
5. Исследовательская работа по группам
-Проверка результатов с использованием слайдов.

6.Итог урока. Постановка домашнего задания.

ОБОРУДОВАНИЕ:
-Компьютер
-проектор
- доска
- учебник
- листы для построений
- заготовленная таблица
-энциклопедии
- интернет
- школьно-письменные принадлежности.














Теоретический материал.


1)Осваивается схема построения определения :
<объект> -
это
< надсистемная группа> или <надсистема по месту>,
отличающаяся тем, что:
<отличительные существенные признаки>
(1)

2).Алгоритм .
Работа над готовым определением.
Выявление главных признаков (определение пишется на доске, обсуждается, какие слова нельзя выбросить из определения и почему).
Определение переписывается в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
“Раскрутка” определения (сделать все признаки “открытыми”, дать явное определение всем признакам, встречающимся в данной формулировке).
Собирается копилка объектов по определению (дополнение исходной копилки). Варьируя несущественные признаки, получают спектр примеров.
Выявляются границы применимости определения (параметры).
В случае многогранниками всё происходит в пространстве.


2. ХОД УРОКА

Определения пирамиды.


1. Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченнуюплоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например,2. Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием, которой служит многоугольник.Важнейшим недостатком этого определения является использованиенеопределенного понятия основания.
3.Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.4.Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явноизбыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других.
5.А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида- телесный угол, пересеченный плоскостью.
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
6.Пирамидой называется тело, образованное плоским многоугольником (основание), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина), и всех отрезков, соединяющих точки основания с вершиной.
7.Многогранник, составленный из п-угольника А1А2.Ап и п треугольников, называется пирамидой.

Виды пирамид:


Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной , четырехугольной и вообще n-угольной пирамидах. Чаще всего в задачах встречаются треугольные (тетраэдр) (рис. а),
четырехугольные (рис. б) и
(совсем редко) шестиугольные (рис. в).
Заметим, что n-угольная пирамида имеет n+1 граней: n боковых граней и основание. При вершине пирамиды мы имеем n-гранный угол с n плоскими и n двугранными углами. Они соответственно называются плоскими углами при вершине и двугранными углами при боковых ребрах.



Элементы пирамид.
Определение Стороны основания есть ребра основания.
Определение Прямые, соединяющие вершины основания с вершиной трапеции, есть боковые ребра.
Определение Совокупности прямых, соединяющих каждую по отдельности сторону основания с вершиной, называются боковыми гранями.
Определение Совокупность боковых граней задает боковую поверхность пирамиды.
Определение Высота, проведенная в боковой грани из вершины пирамиды на сторону основания, называется апофемой.
 При вершине пирамиды мы имеем n-гранный угол с n плоскими и n двугранными углами. Они соответственно называются плоскими углами при вершине и двугранными углами при боковых ребрах. Итак заключаем:
Определение Углы при вершине боковых граней называются плоскими углами при вершине пирамиды.
Определение Двугранные углы, образованные смежными боковым гранями, называются двугранными углами при боковых ребрах пирамиды.






Задания на исследования по группам.

Класс делится на 8 групп по 4 человека. Каждая группа получает задания:

« В зависимости от того, каким свойством обладает пирамида, определить, где будет находиться основание высоты.»
Проверка при помощи слайдов.
От каждой группы выступает человек.
В ходе проверки остальные должны заполнить таблицу.


Работа по ходу урока.
Учащиеся

Определение пирамиды.
Пирамидой называют многогранник, который состоит из а) плоского многоугольника (основания пирамиды); б) точки не лежащей на плоскости основания (вершины пирамиды); в) всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
Выполняют чертёж пирамиды»

Элементы пирамиды:
основание
вершина
боковые рёбра
боковые грани (всегда треугольник)
Вопрос: Какой из многоугольников является основанием?
(выбрать цвет)

2) Обозначение пирамиды (сначала называть вершину, затем последовательно вершины основания)
Как правильно обозначить пирамиду? (выбрать вариант).
Фронтальная работа (обозначить пирамиду, которую начертили)

Тетраэдр – треугольная пирамида (в основании которой лежит треугольник)
Особенность: любая грань может быть основанием.


4) высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Уч-ся строят высоту пирамиды.

Вопросы:
Чем является SH Д и HH
(L – наклонная:; SH – перпендикуляр; HH – проекция)
? Найти высоту H, если известно ребро L и угол образованный боковым ребром с плоскостью основания: L= 6; (=30 градусов;
H - ?





Подведение итогов урока.

На данном уроке уч-ся познакомились с новым видом многогранников – пирамидой, а также установили связь между свойствами пирамиды и положением её высоты. Эти утверждения полезно осознать и научиться «видеть» решать ту или иную тему.


Задачи на исследование.
1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонтальные грани?
Ответ: нет.
2. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить листом бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см?
Решение. Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами 7 см и 21 см, а потом каждый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб. -
3. Сколько нужно взять прямоугольников и каким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллелепипед?
Решение. Два прямоугольника для оснований со сторонами а и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами с и а и два со сторонами с и b.
4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани перпендикулярны основанию.
Решение. Призма является прямой. Две смежные боковые грани пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Остальные ребра параллельны данному ребру и, следовательно, тоже перпендикулярны основанию.
5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра?
Решение. Число ребер n-угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.
6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет n граней?
Решение. Число сторон многоугольника, лежащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n - 2, так как в призме две грани являются снованиями. Таким образом, в основании (n - 2)-угольник.

7. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида?
Ответ: n + 1 вершин. n + 1 граней, 2п ребер.
8. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?
Решение. Плоские углы при вершине пирамиды равны 60°, так как каждая боковая грань - -равносторонний треугольник. Следовательно, боковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треугольник, квадрат или пятиугольник.
9. В каких пределах находится плоский угол б при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n = 3, 4, 5, 6?
10. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находиться на одной из граней?
Ответ: может, если в основании прямоугольный треугольник.
11. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?
12. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?
Ответ: а) не может, поскольку такую трапецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если основание - квадрат.
13. При каком соотношении в правильной треугольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром b ее можно построить?




Работа по ходу урока.
Учащиеся

Определение пирамиды.
Пирамидой называют многогранник, который состоит из а) плоского многоугольника (основания пирамиды); б) точки не лежащей на плоскости основания (вершины пирамиды); в) всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.



Выполняют чертёж пирамиды»

Элементы пирамиды:
основание
вершина
боковые рёбра
боковые грани (всегда треугольник)
Вопрос: Какой из многоугольников является основанием?
(выбрать цвет)

2) Обозначение пирамиды (сначала называть вершину, затем последовательно вершины основания)
Как правильно обозначить пирамиду? (выбрать вариант).
Фронтальная работа (обозначить пирамиду, которую начертили)

Тетраэдр – треугольная пирамида (в основании которой лежит треугольник)
Особенность: любая грань может быть основанием.


4) высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Уч-ся строят высоту пирамиды.

Вопросы:
Чем является SH Д и HH
(L – наклонная:; SH – перпендикуляр; HH – проекция)
? Найти высоту H, если известно ребро L и угол образованный боковым ребром с плоскостью основания: L= 6; (=30 градусов;
H - ?




15