Поурочное планирование по математике на 2 курсе по специальности Операционная деятельность в логистике в техникуме

Введение
Пособие предназначено для преподавателей математики, работающим в СПО по специальности 38.02.03 Операционная деятельность в логистике.
Поурочное планирование имеет целью логически выстроить учебный материал, постепенно вводя ключевые понятия. Уроки решения задач завершают теоретическое усвоение материала по определённой теме, а также является подготовкой к итоговому контролю.
Предлагается изучение темы в следующей последовательности:
Теоретическое усвоение материала через лекционные занятия;
Повторная проработка материала через групповые и индивидуальные формы работы;
Использование промежуточного и итогового контроля;
Анализ усвоенного и корректировка знаний.
Пособие содержит основной минимум знаний и умений в соответствии с ФГОС по данной специальности, календарно-тематическое планирование, поурочные планы уроков и список литературы.
Достижение требуемого уровня подготовки – основная цель каждого из уроков математики.
Операционный логист должен обладать общими компетенциями,
включающими в себя способность:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
В результате изучения обязательной части цикла
студент должен:
уметь:
решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
знать:
значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятности и математической статистики;
основы интегрального и дифференциального исчисления.
Календарно-тематический план
№
п/пНаименование разделов,
тем занятий Кол-во часов Календарные сроки Вид занятия Задания для самостоятельной работы
Кол-во часов Задания
1 2 3 4 5 6 7
Раздел 1
Комплексные числа. 4 Часть 1. Конспект лекций по высшей математике Д.Письменный
Тема 1.1
Комплексные числа 4 1 1.1.1 Комплексные числа, действия над комплексными числами. 1 сентябрь лекция §27,28
2 1.1.2Алгебраическая, показательная и тригонометрическая формы комплексного числа. 1 сентябрь урок §27
3 1.1.3Решение задач по теме «Действия над комплексными числами». 1 сентябрь практическое занятие Индивидуальные задания
4 1.1.4Решение задач по теме «Действия над комплексными числами». 1 сентябрь практическое занятие Индивидуальные задания
Самостоятельная работа сентябрь 3 Сообщение «Комплексные числа», решить примеры на вычисление комплексных чисел.

Радел 2
Линейная алгебра 13 Тема 2.1
Основы линейной алгебры 13 5 2.1.1Матрица. Сложение и произведение матриц. 1 сентябрь лекция §1,3
6 2.1.2Решение примеров по теме
« Сложение и произведение матриц». 1 сентябрь практическое занятие §1
7 2.1.3 Решение примеров по теме « Сложение и произведение матриц». 1 сентябрь практическое занятие §1
8 2.1.4 Определитель и способы его вычисления. 1 сентябрь урок §2
9 2.1.5 Метод Крамера. 1 сентябрь урок §4
10 2.1.6Матричный способ. 1 сентябрь урок §4
11 2.1.7Метод Гаусса. 1 сентябрь урок Индивидуальные задания
12 2.18Решение систем уравнений методом Крамера и Гаусса .1 сентябрь практическое занятие §4
13 2.1.9 Решение систем уравнений методом Крамера и Гаусса .1 сентябрь практическое занятие §4
14 2.1.10 Решение систем уравнений методом Крамера и Гаусса .1 октябрь практическое занятие Индивидуальные задания
15 2.1.11Решение систем уравнений методом Крамера и Гаусса .1 октябрь практическое занятие Индивидуальные задания
16 2.1.12 Контрольная работа
«Линейная алгебра». 1 октябрь контрольная работа §1-4
17 2.1.13Анализ контрольной работы. 1 октябрь урок §1-4
Самостоятельная работа сентябрь -октябрь 3 Создание презентации «Развитие линейной алгебры», сообщений «Крамер, его открытия», решить примеры по темам.
Раздел 3
Введение в анализ 18 Тема 3.1
Пределы 3 18 3.1.1Понятие предела. Непрерывность функции. 1 октябрь лекция §16 ,19
19 3.1.2 Вычисление пределов. 1 октябрь практическое занятие §16,17
20 3.1.3 Вычисление пределов. 1 октябрь практическое занятие Индивидуальные задания
Самостоятельная работа 2 Решение примеров на вычисление пределов.
Тема 3.2
Дифференциальное исчисление 4 21 3.2.1Производная функции. Правила дифференцирования 1 октябрь лекция §20п.1,4
22 3.2.2 Исследование функции и построение графика. 1 октябрь урок §25
23 3.2.3 Вычисление производной сложной функции. 1 ноябрь практическое занятие Индивидуальные задания
24 3.2.4Вычисление производной сложной функции. 1 ноябрь практическое занятие Индивидуальные задания
Самостоятельная работа 2 Нахождение производной функции.
Тема 3.3
Интегральное исчисление 6 25 3.3.1Неопределённый интеграл. 1 ноябрь лекция §29,30
26 3.3.2 Вычисление неопределённых интегралов. 1 ноябрь практическое занятие §31
27 3.3.3Вычисление неопределённых интегралов. 1 ноябрь практическое занятие §32,33
28 3.3.4 Определённый интеграл и его геометрический смысл. 1 ноябрь урок §35,41
29 3.3.5Решение задач прикладного характера с применением определённого интеграла. 1 ноябрь практическое занятие §41
30 3.3.6 Решение задач прикладного характера с применением определённого интеграла. 1 ноябрь практическое занятие §41
Самостоятельная работа 4 Решение примеров и задач на вычисление площадей плоских фигур, интегралов. Создание презентации «Площадь плоской фигуры».
Тема 3.4
Дифференциальные уравнения. 3 Часть 2 Конспект лекций по высшей математике Д.Письменный
31 3.4.1Однородные дифференциальные уравнения. 1 ноябрь урок §1,2 п.2,3
32 3.4.2 Решение однородных дифференциальных уравнений. 1 ноябрь практическое занятие §2 п.2,3
33 3.4.3 Решение однородных дифференциальных уравнений. 1 ноябрь практическое занятие Индивидуальные задания
34, 35 Контрольная работа
«Введение в анализ» 2 декабрь контрольная работа §1-3(2ч), §16,17,19,41(1ч)
Самостоятельная работа ноябрь-декабрь 3 Выучить уравнение Бернулли, решать дифференциальные уравнения.
Раздел 4
Теория вероятности и
математическая статистика 7 Тема 4.1
Теория вероятности 2 С.Н.Федин. Сборник заданий по высшей математике; Д.Д.Дадаян. Сборник задач по математике.
36 4.1.1 Случайного события. 1 декабрь урок §2,3
37 4.1.2Комбинаторика. Выборки элементов. 1 декабрь урок §1№6.1.8
Самостоятельная работа 3 Выучить тему «Повторные независимые события», применять математические методы для решения профессиональных задач.
Тема 4.2
Математическая статистика 5 38 4.2.1Задачи математической статистики. 1 декабрь урок 39 4.2.2Теория вероятности и математическая статистика. 1 декабрь практическое занятие конспект
40 4.2.3 Теория вероятности и математическая статистика. 1 декабрь практическое занятие конспект
41 4.2.4-4.2.5 Контрольная работа (итоговая) 1 декабрь контрольная работа 42 1 декабрь Самостоятельная работа декабрь 1 Доверительный интервал, вероятность.
Раздел 1. Комплексные числа
"Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”
Ф. Клейн.
Урок № 1
Тема: Комплексные числа, действия над комплексными числами.
Цель урока:
познакомить студентов с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.
Задачи урока.
Образовательные:
Ввести понятие комплексного числа.
Рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Познакомить с действиями над комплексными числами.
Развивающие:
Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
Развивать пространственные представления.
Воспитывающие:
Воспитывать культуру записей в тетради.
Воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания лекции.
Формирование компетенций: ОК 2.;ОК 3.; ОК4.; ОК 5.; ОК 6.
Тип урока: лекция.
Методы: словесные, наглядные.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Изложение материала.
1. Мотивация.
Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.
2. Введение понятия комплексного числа.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = — 1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 — b1b2) + (a1b2 — a2b1) i.
3. Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi– мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2 , то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Числа z1 и z2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).
(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:
z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.
Числа z1 и z2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.
2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.
4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i =
= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) =
= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное.
1 способ.
2 способ.
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i3 = i2 i = -i,
i4 = i2 i2 = 1,
i5 = i4 i = i,
i6 = i4 i2 = -1,
i7 = i5 i2 = -i,
i8 = i6 i2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 4+1 = (i 4)4 i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 5+3 = (i 4)5 i3 = 1 · i3 = — i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 42 2i + 3 4 (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
5. Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) .
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; — i; — 1 + i; 2 – 3i 
Д/З: выучить понятие комплексного числа, действия над ними.
На «3»:
1. Даны два комплексных числа z1= (4 + 2i ) и z2=(1 – 3i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.
На «4»:
1.Даны два комплексных числа z1= (5 + 2i ) и z2=(2 – 5i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.
На «5»:
Решить уравнения:
1. х2 + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0; 2. х2 + (1 – 2i) х – 2i = 0;
Итог урока: сделать вывод урока. Сказать оценки студентам и прокомментировать их.
Рефлексия:
Мне больше всего удалось…
Для меня было открытием то, что …
За что ты можешь себя похвалить?
Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
Мои достижения на уроке.

Урок № 2
Тема: Алгебраическая, показательная и тригонометрическая формы комплексного числа
Цель урока:
познакомить студентов с тригонометрической и показательной формами комплексного числа, научить студентов представлению комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.Задачи урока.
Образовательные:
Ввести формулы тригонометрической, показательной форм комплексного числа;
Рассмотреть переход комплексного числа из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы.
Развивающие:
привитие навыка применять теоретические знания при решении заданий, умения видеть проблему, анализировать ситуацию, находить пути решения проблемы;
способствовать развитию коммуникативных способностей, навыков взаимодействия;
способствовать развитию активности, инициативности.
Воспитывающие:
способствовать формированию познавательного интереса к обучению, научного мировоззрения;
способствовать формированию навыков самостоятельной работы,
вырабатывать чувство ответственности.
Формирование компетенций: ОК 2.-ОК 7.
Тип урока: 
Урок изучения нового материала и первичного закрепления новых знаний.
Методы: словесные, частично-поисковые
Материалы и оборудование урока: компьютер, мультимедиапроектор, экран, презентация «Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа», таблицы значений тригонометрических функций, методическое пособие «Комплексные числа».
Эпиграф к уроку (на доске):                 
«Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели»
А. Маркушевич.
Ход урока.
Организационный  момент.
Перед началом урока группа делится на 6 команд. Разделение могут произвести студенты самостоятельно по желанию. В том случае, если силы команд получаются неравноценными, в разделение может вмешаться преподаватель.
Преподаватель: Каждый ваш ответ может принести команде 1 балл. В конце занятия мы подведем итоги, подсчитаем количество баллов каждой команды и соответственно критериям, каждый получит оценку за урок.
Наш урок мы начнем с исторической справки. И эпиграфом нашего урока будут слова советского математика, педагога А. Маркушевича, сфера научных трудов которого – теория функций комплексного переменного: «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели».
Но для начала, необходимо проверить сплоченность команд. На прошлых уроках мы познакомились с понятием комплексного числа, алгебраической формой записи комплексного числа, научились выполнять различные действиями над комплексными числами, научились находить модуль и аргумент комплексного числа.
II. Проверка домашнего задания.
Итак, первое испытание для наших команд. Необходимо ответить на следующие вопросы:
Какие числа называются комплексными?
Как записывается комплексное число в алгебраической форме?
Какие комплексные числа называются равными?
Какие комплексные числа называются сопряженными?
Какое свойство сопряженных чисел вы знаете?
Как выполняется сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел?
На прошлом уроке мы говорили, что комплексные числа имеют 3 формы, одну мы уже изучили - алгебраическую. Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и в других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической форме. И сегодня на уроке мы познакомимся с еще двумя формами комплексных чисел, тригонометрической формой и показательной. Будем учиться переходу от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме, показательной форме и обратно. Так же мы обобщим знания по комплексным числам. Такова цель нашего урока.
Чтобы приступить к изучению нового материала, нам необходимо вспомнить материал прошлого урока. И я задаю вопросы нашим командам:
Как геометрически изображается комплексное число?
Что называется модулем комплексного числа?
Как обозначается и вычисляется модуль комплексного числа?
Что называется аргументом комплексного числа? Как он обозначается?
По каким формулам можно найти аргумент комплексного числа?
Всякое ли комплексное число имеет аргумент?
Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел:
а) z=3-i,б) z=-32-12i.
Решение. а) r=(3)2+(-1)2=4=2,cosφ=ar=32, sinφ=-12,, так как число находится в IV четверти, то аргумент φ=11π6. (Рис.1)
1659255190500
Рис.1
б) r=(-32)2+(-12)2=1=1,cosφ=ar=-32, sinφ=-12,, так как число находится в III четверти, то аргумент φ=7π6. (Рис.2)
186286830569
рис.2
Изучение нового материала.
Записываем в тетрадях тему урока.
1) Итак, дано комплексное число z = a + bi (1) в алгебраической форме. Наша задача представить это число в тригонометрической форме. Для этого из формул
cosφ=ar, sinφ=br, выразим a и b a=rcosφ, b=rsinφ (2).
Если в формулу (1) вместо а и b,подставим равенства (2), то получим z=a+bi=rcosφ+risinφ, z=rcosφ+isinφ (3).
Таким образом, любое комплексное число a+bi≠0 можно записать по формуле (3), где r - модуль, а φ – одно из значений аргумента этого числа.
Верно и обратное утверждение: если комплексное число a+bi представлено в виде (3), где r>0, то r=a+bi, φ=arga+bi.Формула (3) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Итак, алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической (открываем методическое пособие стр.5, читаем и записываем):
Находим модуль комплексного числа по формуле r=a2+b2.
Для нахождения φ определяем геометрически, в какой четверти находится точка z.
Составляем уравнения cosφ=ar , sinφ=br.
Находим угол φ.
Записываем комплексное число в тригонометрической форме.
2) Рассмотрим примеры.
Пример 1. Записать в тригонометрической форме число z = 1 + i.
Решение.
Так как a=1, b=1, то r=z=12+12=2.Видно, что числу z соответствует точка z, лежащая в I четверти. (Рис.3)
1511994179765
Рис.3

Составим соотношения
cosφ=ar, sinφ=brcosφ=12=22, sinφ=12=22.
Этим соотношениям соответствует в I четверти угол φ=45° или φ=π4.
Так как r=2, φ=45° или φ=π4, то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид
z=1+i=2(cos45°+i ∙sin45°)или
z=1+i=2(cosπ4+i∙sinπ4).
Пример 2.
Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число z=-3i.
Решение.
Запишем данное число в виде z=0-3i. Значит, a=0, b=-3, откуда
r=02+(-3)2=9=3.
2)Точка, соответствующая геометрически числу z=-3i, лежит на мнимой оси.
3)Аргумент этого числа равен 3π2, так как угол отсчитывается от положительного направления оси ОХ против часовой стрелки. (Рис.4)
12122153175
Рис.4
4) Запишем данное число в тригонометрической форме:
z=3(cos3π2+i∙sin3π2).
Пример 3.
Записать число z=4cos4π3+i∙sin4π3 в алгебраической форме.
Решение.
Так как аргумент φ=4π3, то числу zсоответствует на комплексной плоскости точка, расположенная в IIIчетверти. Используя формулы приведения, находим
cos4π3=cos⁡(π+π3) =-cosπ3=-12sin4π3=sinπ+π3=-sinπ3=-32.
Подставим в тригонометрическую форму числа полученные значения и раскроем скобки:
z=4cos4π3+i∙sin4π3=4-12+i∙-32=-4∙12+4i∙-32=-2-2i∙3.
Итак, алгебраическая форма данного числа имеет вид z = -2-2i∙3.
Пример 4.
Представить в алгебраической форме число z=2(cos2π+i∙sin2π).
Решение.
Подставив значения cos2π=1, sin2π=0 в данное равенство, получим
z=21+i∙0=2.
Итак, алгебраическая форма данного числа имеет вид z=2.
3) Комплексные числа в тригонометрической форме можно умножать, делить, возводить в степень, извлекать корни.
Далее мы с вами разбираем показательную форму комплексного числа.
Если комплексному числу z=cosφ+isinφ, модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение eiφ, то получим соотношение
cosφ+isinφ = eiφ(5), оно называется формулой Эйлера.
Любое комплексное число z можно записать в виде z=r∙eiφ. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.
Рассмотрим примеры.
Пример 5.
Записать число z=3(cos3π2+i∙sin3π2) в показательной форме. Решение.
Здесь r=3, φ=3π2.Следовательно, показательная форма числа имеет вид z=3∙ei3π2.
Пример 6.
Записать число z=-5i в показательной форме. Решение. Чтобы представить число в показательной форме, необходимо найти модуль и аргумент числа z.
Здесь a=0,b=-5; тогда r=a2+b2=0+(-5)2=5, φ=3π2, так как точка z лежит на мнимой оси комплексной плоскости. Зная r и φ, получим z=5∙ei3π2.
Пример 7. Записать число z=3-3i3в тригонометрической и показательной форме.
Решение. Так как a=3, b=-33, то r=32+(-33)2=9+9∙3=6.
2309436162545Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z, лежащая в IV четверти. (Рис.5)


Составим соотношения cosφ=ar =36 = 12, sinφ=br=-336=-32.
Отсюда следует, что φ=360°-60°=300° φ=2π-π3=5π3 .
Значит, r=6, φ=5π3, тогда
z=6(cos5π3+i∙sin5π3) - тригонометрическая форма, z=6∙ei5π3– показательная форма данного числа.
Закрепление материала.
В тех примерах, которые мы уже решали (III. 7) а) z=3-i,
б) z=-32-12i.
Решение.
а) r=(3)2+(-1)2=4=2,cosφ=ar=32, sinφ=-12,, так как число находится в IV четверти, то аргумент φ=11π6.
б) r=(-32)2+(-12)2=1=1,cosφ=ar=-32, sinφ=-12,, так как число находится в III четверти, то аргумент φ=7π6.
записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
а) z=2cos11π6+i∙sin11π6- тригонометрическая форма,
z=2∙ei11π6 - показательная форма данного числа.
б)z=cos7π6+i∙sin7π6- тригонометрическая форма,
z=2∙ei7π6 - показательная форма данного числа.
Преподаватель: Снова нашим командам предоставляется возможность показать себя и заработать 2 балла.
Самостоятельная работа носит обучающий характер, поэтому сначала каждый член команды решает ее самостоятельно, а затем, если у кого – то возникли трудности по решению, то капитан команды или тот, кто решил и во всем разобрался, объясняет решение своему товарищу. После того как закончится время, отведенное на решение, к доске выйдут представители команд и продемонстрируют, прокомментирую и обоснуют свое решение.
Выполнение самостоятельной работы.
Каждая команда выполняет по одному примеру из задания, соответственно своему номеру команды.
Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах:
z=-5. Решение.
r=(-5)2+02=5, cosφ=-55=-1, sinφ=05=0, (Рис.6)
3691668291391следовательно φ=π,тогда z=5(cosπ+i∙sinπ)–тригонометрическая форма, а z=5∙eiπ-показательная форма.
рис.6
z=-2-2iРешение.
r=(-2)2+(-2)2=22,
cosφ=-222=-22 , sinφ=-222=-22, тогда φ=5π4. (Рис.7) z=22cos5π4+i∙sin5π4 –тригонометрическая форма, z=22ei5π4 - показательная форма.
15864224150
Рис.7

z=1+i.4287093568148Решение. r=12+12=2, cosφ=12=22, sinφ=12=22, тогда φ=π 4. (Рис.8)
z=2(cosπ4+i∙sinπ4)–тригонометрическая форма,
z=2eiπ4 - показательная форма. Рис.8
z=1-i Решение.
r=12+(-1)2=2, cosφ=12=22,
sinφ=-12=-22, тогда φ=7π4. (Рис.9)
3393957386316z=2(cos7π4+i∙sin7π4) –тригонометрическая форма,
z=2ei7π4 - показательная форма.
Рис.9
5) z=-1+i.Решение.
r=(-1)2+12=2, cosφ=-12=-22, sinφ=12=22, тогда φ=2π3. (Рис.10)
z=2(cos2π3+i∙sin2π3)–тригонометрическая форма,
z=2ei2π3 - показательная форма.
1639585201280
Рис.10
6) z=1-i3.
Решение. r=12+(-3)2=2cosφ=12, sinφ=-32, тогда φ=5π3. (Рис.11)
4212590147320z=2(cos5π3+i∙sin5π3)–тригонометрическая форма,
z=2ei5π3- показательная форма. Рис.11
Записать комплексные числа в алгебраической и показательной формах:
z=3cosπ4+i∙sinπ4.Решение.
z=3(22+i∙22)=322+i∙322 - алгебраическая форма,
z=3∙eiπ4 - показательная форма.
z=8cos5π4+i∙sin5π4.Решение.
z=8(-22-i∙22)=-42-i∙42 - алгебраическая форма,
z=8∙ei5π4 - показательная форма.
z=6,3cos10π+i∙sin10π.Решение.
z=6,3(cos0+i∙sin0)=6,31+0∙i=6,3 - алгебраическая форма,
z=6,3∙ei0 - показательная форма.
z=5cos11π6+i∙sin11π6.Решение.
z=5(32-i∙12)=532-i∙52 - алгебраическая форма,
z=5∙ei11π6 - показательная форма.
z=2,5cos3π2+i∙sin3π2.Решение.
z=2,5(0-i∙1)=-2,5i- алгебраическая форма,
z=2,5∙ei3π2 - показательная форма.
z=4,2cos11π+i∙sin11π.Решение.
z=4,2(cosπ+i∙sinπ)=4,2-1+0∙i=-4,2- алгебраическая форма,
z=4,2∙eiπ - показательная форма.
Разгадывание кроссворда.
ВОПРОСЫ:
По горизонтали:
3. Кто впервые упомянул о мнимых числах, назвав их «софически отрицательными»?
4. Одна из форм задания комплексного числа.
6. Чье имя носит формула cosφ+isinφ = eiφ ?7. arg z.
9. Длина вектора соответствующего комплексного числа.
10. bi - …… часть числа.
11. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
1     2 3                         5 4                                               6             8
  7                
     
     
    9                 10               11             По вертикали:
1. Кто ввел название "мнимые числа"?
2. Французский математик, предложивший изображать комплексные числа на координатной плоскости.
4. Числа 3-2i и (3+2i) ?5. Сколько форм записи комплексных чисел Вы знаете?
4.Выполнение теста. Вам предлагается тест для решения, из четырех вариантов ответов вам нужно выбрать верный ответ. (Работа строго индивидуальная, по окончанию отведенного времени, студенты обмениваются работами и с помощью «ключа» проверяют и выставляют оценку и соответствующее количество баллов.)
№ п/пВопросы
1 Сколько форм записи имеет комплексное число?
    а) 1
   6)2
    в) 3
    г) 4
2 Что представляет собой число i ?    а) число, квадратный корень из которого равен -1
    б) число, квадрат которого равен -1
    в) число, квадратный корень из которого равен 1
    г) число, квадрат которого равен 1
3 Формулу Эйлера можно применять, если комплексное число записано:
  а) в показательной форме
  б) наглядной форме
  в) тригонометрической форме
  г) алгебраической форме
4 Как на координатной плоскости изображается комплексное число?
  а) в виде отрезка
  б) точкой или радиус-вектором
  в) плоской геометрической фигурой
  г) в виде круга
5 Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:
  a) z = 5 - 3i
  б) z = 75i
  в) z = 32
  r)z = 0
6 Вычислите сумму чисел z1= 7 + 2i и z2= 3 + 7i:
  a) 10 + 9i
  б) 4- 5i
  в) 10 — 5i
  r)4 + 5i
7 Для какого комплексного числа аргумент не определен?
  а) z = 100i
  б) z = 0
  в) z = 3-4i
  г) такого числа нет.
8 В какое множество входят числа 5; 3 - 6i; 2, 7; 2i ?  а) действительные числа
  б) рациональные числа
  в) комплексные числа
  г) иррациональные числа

«Ключ»
1 2 3 4 5 6 7 8
в б а б б а б в
Домашнее задание.
Методическое пособие. Выучить формулы алгебраической, тригонометрической и показательной форм комплексного числа.
Итог.
Подсчитываем количество баллов, набранных каждой командой.
Максимальное количество баллов – 7 баллов.
Выставление оценок каждому члену команды.
Рефлексия.
Урок №3,4
Тема: Решение задач по теме «Действия над комплексными числами».
Цель урока:
Научить студентов производить действия над комплексными числами, переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую и показательную формы.
Задачи:
Образовательные –
формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами;
Развивающие –
развивать мыслительную деятельность студентов на уроке посредством выполнения заданий;
способствовать формированию навыков  самостоятельной работы;
развивать интерес к предмету через включение в план урока исторического материала и практических заданий; развивать интерес к роли личности в становлении математической науки; развивать творческие способности в ходе выполнения исследовательской работы.
Воспитывающие–
воспитывать у  студентов способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя;  воспитывать чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе.
Формирование компетенций: ОК 2.-ОК 6.
Тип урока: урок совершенствования и формирования умений и навыков.

Методы урока: словесные, частично-поисковые.

Ход урока.
1. Организационный момент.
- Сегодня на уроке мы с вами продолжим знакомство с полем комплексных чисел. Тема нашего урока «Алгебраические действия над комплексными числами». - Вспомним основные правила для выполнения алгебраических действий над комплексными числами.- Действия над комплексными числами в алгебраической форме. - Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Пример. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i . Найти:а)z1 + z2;    б) z1 – z2;    в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 =  10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2,(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab ± b3.
Пример. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2;    б) (3 – 5i)2;    в) (5 + 3i)3.
Решение.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2×2×3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 2×3×5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i)3 = 125 + 3×25×3i + 3×5×9i2 + 27i3;
так как i2 = – 1, а i3 = – i, то получим (5 + 3i)3 = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.
Рассмотрим теперь применение формулы(a + b)(a – b) = a2 – b2.    
Пример. Выполнить действия:
а) (5 + 3i)(5 – 3i);  
б) (2 + 5i)(2 – 5i);
в) (1 + i)(1 – i).
Решение.
а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 22 – (5i)2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 12 – i2 = 1 + 1 = 2.
- Обратим внимание на то, что при использовании формулы (*) всегда получается частный случай комплексного числа – действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.- Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.
Пример. Выполнить деление:

Решение.
Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
Итак,
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
Пример. Решите уравнение:
а) x2 – 6x + 13 = 0;    б) 9x2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формулеD = b2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня
Тренировочные упражнения. 

№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
1.Определение комплексного числа;
2.Сложение и вычитание комплексных чисел;
3.Произвдение и частное комплексных чисел;
4. Геометрическое представление комплексного числа;
5. Представление комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
1 Выполните указанные действия
1)(2 + 3i) + (3 + 4i
2)(2 + 3i) - (i + 1)
3)(2 - i)(2 + i) 1)(3 - i)(2 + i)
2)(2 + 3i)(3 - 2i) + (2 - 3i)(3 + 2i)
3) (1 - 3i)(2 + i) - (2 - i)(1 + 3i)
2 Определите модуль комплексного числа
+ i 2) (3 - i)2 1)4 + Зi 2) (1 + i)4 + Зi
3 Запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной форме следующие комплексные числа
1)(1 – i) 2) 1i3)4i1+i1)( 3 - 4i) 2) 12∙(i-3)3) 5+i-4+3i4 Решить уравнение
1)х2 +5х+9=0
2) х2 -14х+74=0 1) х2 -2х+2=0
2)4х2 +4х+5=0
Д/З: повторить основные понятия комплексных чисел.
Подведение итогов урока. 
«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых  или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин (1548-1620) - нидерландский математик и инженер. Родился в Брюгге. Преподавал в Лейденском университете, служил инженером в армии принца Оранского. Как инженер Стевин сделал значительный вклад в механику. Важнейшие из его работ в области математики: "Десятина" (1585г.) и "Математические комментарии", в 5-ти томах (1605-1608гг.).
Собрать практические работы студентов для проверки.
Раздел 2 Линейная алгебра
Урок №5
Тема: Матрица. Сложение и произведение матриц.  
 Цель:
познакомить студентов с понятием матрицы, операциями над матрицами, научить студентов производить операции над матрицами.Задачи: 
Образовательные:
Изучить понятие матрицы, её виды,
Познакомить с операциями над матрицами;
Развивающие: развивать мышление в процессе выполнения заданий; овладевать умениями и навыками постановки и решения задач; углублять теоретическую и практическую подготовку;  развивать инициативу и самостоятельность студентов.
Воспитывающие:
Воспитывать культуру записей в тетради;
Воспитывать аккуратность, внимательность при решении примеров и объяснении нового материала.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: Лекция
Методы урока: словесные, наглядные
Ход урока.1. Организационный момент.
Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?2.Изучение нового материала.Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n. 
 Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bijОпределение.
 Вычитание матриц (разность матриц) A - B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
сij = aij - bijСвойства сложения и вычитания матриц
Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
A + Θ = Θ + A = A, где Θ - нулевая матрицаA - A = Θ
Коммутативность: A + B = B + A
Примеры задач на сложение и вычитание матриц
Пример 1.
Найти сумму матриц A =   4   2   и B =   3   1  .
 9   0   -3   4  Решение:
A + B =   4   2   +   3   1   =   4 + 3   2 + 1   =   7   3 
 9   0   -3   4   9 + (-3)   0 + 4   6   4  Пример 2
Найти разность матриц A =   4   2   и B =   3   1  .
 9   0   -3   4  Решение:
A - B =   4   2   -   3   1   =   4 - 3   2 - 1   =   1   1 
 9   0   -3   4   9 - (-3)   0 - 4   12   -4  Пример 3
Найти значение матрицы С = 2A + 3B, если A =   4   2   и B =   3   1  .
 9   0   -3   4   4   -6   9   1  Решение:
C = 2A + 3B = 2  4   2   + 3  3   1   =   2·4 + 3·3   2·2 + 3·1   =   17   7 
 9   0   -3   4   2·9 + 3·(-3)   2·0 + 3·4   9   12   4   -6   9   1   2·4 + 3·9   2·(-6) + 3·1   35   -9 
Определение.
 Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnjЗамечание.
Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Свойства умножения матриц
(A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;
(z · A) · B= z · (A · B), где z - число;
A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;
En · Anm = Anm · Em= Anm - умножение на единичную матрицу;
A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.
Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.
Пример на умножение матриц
Найти матрицу C равную произведению матриц A =   4   2   и B =   3   1  .
 9   0   -3   4  Решение:
С = A · B =   4   2   ·   3   1   =   6   12 
 9   0   -3   4   27   9  Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12
c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27
c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9
Пример .Найти произведения матриц AB и BA, если
   и   
  
 Р е ш е н и е: Имеем

Д/З:Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения: Найти матрицу ВА (см. Д/З в тетради). 4.Итог урока. Сделать вывод урока.
Рефлексия.
Урок №6,7
Тема: Решение примеров по теме « Сложение и произведение матриц».
Цель урока:
Научить студентов производить операции над матрицами.
Образовательные:
 Сформировать систему знаний по теме “Действия над матрицами (массивами)”
Развивающие:
Развивать, используя проблемные ситуации, настойчивость, самостоятельность студентов, умение преодолевать трудности в учении.
Воспитательные:
 Воспитывать положительный интерес к изучаемому материалу, умение критически оценивать материал, умение слушать товарищей.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.

Тип урока: урок совершенствования и формирования умений и навыков
Методы урока: частично-поисковый, словесные.
 
 
Ход урока.
 
I. Организационный момент урока.
-приветствия студентов;
-проверка их явки и готовности аудитории к уроку
 
II. Контроль знаний студентов по теме «Действия над матрицами»:
- устный опрос
(С помощью мультимедийного проектора на доску проектируется задание, на которое студенты отвечают устно).       
Вопросы
1. Дайте определение определителя третьего порядка
2. Что называется двумерным массивом?
3. Какая матрица называется квадратной?
4. Как вычислить сумму двух матриц?
5. Как найти произведение двух матриц?
IV. Сообщение темы и цели урока
 
V. Обобщение и закрепление
Выдаются задания для самостоятельного нахождения суммы и произведения матриц
Задания:
№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
1.Понятие матрицы;
2.Свойства сложения и вычитания матриц;
3.Умножение матрицы на число;
4. Правило произведения матриц

1
Найти сумму, разность и произведение матриц
А=2-337 В=458-9А=669-5 В=52-312

 ,  
Вычислить: 3А+4В

 
VI. Контроль знаний
Преподаватель проверяет и оценивает результаты вычислений студентов, их деятельность 
Подведение итогов урока и оценка деятельности студентов.
VIII. Сообщение домашнего задания. §1                                                                              
Рефлексия                                                                                                                               

Урок №8
Тема: Определитель и способы его вычисления.
Цель урока:
Познакомить студентов с понятием определителя и способами его вычисления.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие определителя;
раскрыть способы вычисления определителя
Развивающие:
Развивать мышление при выполнении практических заданий;
Способствовать логическому мышлению при решении примеров.
Развивать навыки вычисления определителей.
Воспитывающие:
Воспитывать внимательность при объяснении нового материала и решении примеров, активность на уроке.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесные, частично-поисковый
Ход урока.
Организационный момент.
приветствия студентов;
проверка их явки и готовности аудитории к уроку
Актуализация знаний.
Повторение основных понятий:
понятие матрицы, сложение матриц,
разность и произведение матриц,
умножение матрицы на число.
Объяснение нового материала
Пусть дана квадратная матрица второго порядка
A=a11 a12a21 a22Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число а11а22-а12а21.
Определитель второго порядка записывается так:
detA=a11 a12a21 a22=a11 a22 – a12 a21Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Например, вычислить определители второго порядка:
a) 2 5-3-4; б)a2 abab b2 .Решение.
а) 2 5-3-4=2-4-5-3=-8+15=7б) a2 abab b2=a2*b2-ab*ab=a2b2- a2b2= 0
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
A=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число
a11 a21 a33+ a21 a32 a13+ a12 a23 a31- a13 a22 a31- a12 a21 a33- a11 a23 a32.Определитель третьего порядка записывается так:
detA=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33== a11 a22 a33+ a21 a32 a13+ a12 a23 a31- a13 a22 a31- a12 a21 a33- a11 a23 a32.При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем на схеме:
Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (a11 a22 a33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (a12 a23 a31 и a21 a32 a13). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (a13 a22 a31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (a12 a21 a33 и a11 a23 a32).
Например, вычислить определители третьего порядка:
а) 3 2 12 5 33 4 3; б) a b cb c ac a b.
Решение.
а) 3 2 12 5 33 4 3 = 3*5*3+2*3*3+2*4*1-1*5*3-2*2*3-3*3*4=45++18+8-15-12-36=71-63=8б) a b cb c ac a b= a·c·b + b·a·c + c·b·a – c·c·c-b·b·b-a·a·a=3abc-a3- b3- c3Перечислим различные способы вычисления определителей:
1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для определителя более высокого порядка применим следующий способ.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.
3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду.
4.Закрепление нового материала:
Пусть, например, требуется вычислить определитель: D = 1 1 1 10 -2 1 10 0 -2 21 1 1 -1 Вычитая первую строку из всех остальных, сразу получим определитель треугольного вида:
D = 1 1 1 10 -2 1 10 0 -2 20 0 0 -2=1·-2·-2·-2=-8. Задания: 1.1 2 34 5 67 8 9; 2.3 4-58 7-22-1 8;
Д/З: выучить определение определителя, свойства определителя и способы вычисления определителя.
Итог урока: сделать вывод урока и прокомментировать оценки студентов.
Рефлексия.
Урок №9
Тема: Метод Крамера.
Цель урока:
познакомить студентов с новым методом решения систем уравнений – Метод Крамера и научить их решать системы уравнений медом Крамера.
Задачи:
Образовательные:
повторить пройденный материал;
углубить знания студентов по теме “Решение систем линейных уравнений”;
изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;
научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
Развивающие:
способствовать развитию:
логического мышления;
памяти;
умению сравнивать, обобщать, анализировать;
интереса к избранной специальности.
Воспитывающие:
стремиться воспитывать:
чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;
чувство гордости за избранную профессию;
положительное отношение к знаниям, учениям; интерес к математике
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесный, наглядный
Наглядные пособия: Презентации к уроку
Раздаточный материал: карточки.
Технические средства обучения: калькуляторы, компьютер, интерактивная доска
Ход урока.
1. Организационный момент (слайд №1)
Приветствие студентов. Тема урока: “Решение систем линейных уравнений методом Крамера”. Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: “Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления”, поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.
2. Постановка целей урока
3. Проверка домашнего задания
4. Проверка знаний 
Экспресс-опрос
Какое уравнение называется линейным?
Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
Назовите коэффициенты при переменных.
Какие числа называются свободными членами?
Что является решением системы?
Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?
Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
В системе m линейных уравнений с n переменными:
.
Числа     называются коэффициентами при переменных, а  – свободными членами.
Совокупность чисел  называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.
5. Изучение нового материала
В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера5.1 Знакомство с биографией КрамераПри изучении новой темы “Решение систем линейных уравнений методом Крамера” важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.
Сведения из истории (слайды № 5-10)
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является “Введение в анализ алгебраических кривых”, опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Теорема Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Дана система 
Формулы Крамера ………….

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

6. Закрепление.
6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера 
1) 
Ответ: (1;-1)
2)  Задача прикладного характера.
Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
Тогда условие задачи можно записать в виде системы: 
Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения - 4 млн. усл. ед., второго - 8 усл.ед.: б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед., второго 1,4. 8 = 11,2 млн. усл. ед.
При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:
.
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:

Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера

Ответ: (1; 0; -1) .
Решение. Находим определители системы:

 

Ответ: (1; 0; -1) .
7. Домашнее задание: §4
Решите системы:
1) 2) 
8. Подведение итогов
Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.
9.Рефлексия.
Урок №10
Тема: Матричный способ.
«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»Д. Пойа (1887-1985 г.)
Цель урока:
Познакомить студентов с матричным способом решения системы уравнений и научить их решать системы уравнений матричным способом.
Задачи:
Образовательные:
Ввести понятие матричного способа решения систем уравнений,
углубить знания студентов по теме “Решение систем линейных уравнений”;
изучить решение систем линейных уравнений c помощью матричного метода;
научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя матричный метод.
Развивающие:
способствовать развитию:
логического мышления;
памяти;
умению сравнивать, обобщать, анализировать;
Воспитывающие:
стремиться воспитывать:
чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;
положительное отношение к знаниям, учениям; интерес к математике.

Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесный, частично-поисковый
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих. Сказать тему, цель урока.
2.Объяснение нового материала.
Одним из способов решения СЛУ является матричный способ. Этот способ решения СЛУ применим только при выполнении двух условий:
Число уравнений равно числу неизвестных;
Определитель матрицы коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.
Теорема (матричный способ решения) Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель матрицы коэффициентов А которой отличен от нуля. Тогда решение этой системы может быть получено в виде Х=А-1В, где В – матрица свободных членов, Х- матрица неизвестных.
ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:
Запишем матрицу коэффициентов А, матрицу-столбец Х (матрица-столбец неизвестных) и матрицу-столбец В (матрица-столбец свободных членов):

Теперь данную систему можно записать в таком виде АХ=В. Решим это матричное уравнение: Х=А-1В.

Как найдена матрица А-1 можно посмотреть здесь .

Таким образом, x=1, y=1, z=1.
ПРОВЕРКА:
Подставим в систему вместо x единицу, y единицу и z единицу.

Верно. Записываем ответ.
ОТВЕТ: (1,1,1).
Упражнения к уроку:
Решите следующие системы матричным способом:

Д/З: выучить матричный способ решения систем уравнений.§4
Итог: сделать вывод урока, прокомментировать оценки студентов.
Рефлексия.
Урок №11
Тема: Метод Гаусса.
Цель урока:
Довести до сознания студентов метод решения системы уравнений – метод Гаусса.
Задачи:
Образовательные:
Познакомить студентов с методом решения системы уравнений – методом Гаусса;
Научить студентов решать систему уравнений, используя метод Гаусса.
Развивающие:
развивать навыки решения систем уравнений методом Гаусса.
Воспитывающие:
воспитывать такие профессиональные качества студентов такие как внимательность при объяснении нового материала, дисциплина на уроках, аккуратность при решении примеров и записи в тетрадях.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный урок
Методы: словесные, наглядный
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов;
Отметить отсутствующих.
2.Актуализация знаний.
Повторить основные понятия: матрица, ранг матрицы, нулевая матрица.
3.Объяснение нового материала.
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения СЛУ является МЕТОД ГАУССА, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
СУЩНОСТЬ МЕТОДА ГАУССА. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатой, восстанавливают систему, которая является равносильной исходной системе, и находят решение.
Рассмотрим этот метод на примерах.
ПРИМЕР 1:

РЕШЕНИЕ:
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Ранг основной матрицы равен 2 (ro=2), а ранг расширенной – 3 (rp=3), поэтому по теореме Кронекера - Капелли система несовместна.
(Последняя строка представляет собой уравнение вида: 0=1. Поэтому делаем вывод, что система несовместна.)Ответ: система несовместна.
Замечание: Если хотя бы одна строка имеет вид:

то система несовместна.
ПРИМЕР 2:

РЕШЕНИЕ:

ro=rp=3, поэтому по теореме Кронекера - Капелли система совместна, причем ранг системы равен числу неизвестных, следовательно система имеет единственное решение.
Найдем его

Ответ: (4;1;-5)
ПРИМЕР 3:

РЕШЕНИЕ:

Третья и четвертая строки получились нулевыми. Их можно вычеркнуть.
ro=rp=2, поэтому по теореме Кронекера - Капелли система совместна, причем ранг системы меньше числа неизвестных, следовательно система имеет бесконечное число решений.
Найдем их

Ответ:

4.Закрепление материала:
Решите системы методом Гаусса

5.Д/З: §4, выучить алгоритм решения систем уравнений методом Гаусса. Сделать индивидуальные задания по карточкам.
6.Итог урока: сделать вывод урока, сказать оценки студентам и прокомментировать их.
7.Рефлексия.
Урок №12 -15
Тема: Решение систем уравнений методом Крамера и Гаусса.
Цель урока:
Научить студентов решать системы уравнений методом Крамера и Гаусса.
Задачи:
Образовательные:
использовать алгоритм решения систем уравнений методом Крамера и Гаусса.
Развивающие:
развивать умения и навыки решения систем уравнений методом Крамера и Гаусса.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов профессиональные качества такие как внимательность при решении систем уравнений методом Крамера и Гаусса; дисциплина на уроках; активность при решении примеров; дисциплинированность.
Тип урока: практическая работа
Методы: словесные, частично-поисковый
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Приветствие студентов; отметить отсутствующих студентов на уроке. Сказать тему, цель урока.
2.Актуализация знаний.
Повторить понятия: определителя, матрицы, ранга матрицы, способы решения систем уравнений; способы вычисления определителя; алгоритмы решения систем уравнений методами Крамера и Гаусса.
3.Решение примеров по вариантам:
№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
Определение определителя;
Правило вычисления определителя;
Алгоритм решения систем уравнений методом Крамера и Гаусса.
Решить систему уравнений методом Крамера и Гаусса
1
2 .
3 .
4 . .
5
6


3.Д/З: § 4.
4.Итог урока: Собрать тетради и сделать вывод урока.
5.Рефлексия.
Урок № 16
Тема: Контрольная работа «Линейная алгебра».
Цель урока:
Проконтролировать знания и умения студентов при вычислении определителя; решении систем уравнений методом Крамера и Гаусса.
Задачи:
Образовательные:
проверить знания и умения решать системы уравнений.
Развивающие:
способствовать развитию логическому мышлению студентов
Воспитывающие:
воспитывать у студентов такие профессиональные качества как ответственность, самостоятельность, дисциплинированность.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок контроля
Методы: частично-поисковыйХод урока.
1.Организационный момент. Приветствовать студентов. Отметить отсутствующих. Назвать тему и цель урока.
2.Проведение контрольной работы.
Контрольная работа
№
п/пЗадания
1 вариант 2 вариант
Вычислить определители:
1 2 -1 7
4 3 -5
-6 -4 3 2 1 3
4 5 6
0 -1 7
Решить систему уравнений методом Крамера:
2 а)х-2у-z=-5,x+2y-2z=2,3х+у-4z=-2б)х-2у+z=-2,x+2y+2z=1,3x+y+4z=0a)2x+y-z=7, 2x-2y+3z=3,x-y-z=4б)2x-2y+3z=6,3x-2y+4z=7,3x+2y-3z=4Решить систему уравнений методом Гаусса:
3 x+2y+3z=4,2x+y-z=3,3x+3y+2z=7x+2y+3z=1,2x+4y+6z=3,3x+6y+9z=2Эталоны ответов:
№
варианта 1 2,3 4
1 -26 (0;2;1); (1;1;-1) Частное: (2/3;5/3;0)
2 42 (3;0;-1);(2;-2,5;1) Нет решений
Критерии оценивания работы студентов:
«5» - ставится, если студент выполнил правильно все задания;
«4»- ставится, если студент выполнил правильно 3 задания;
«3»- ставится, если студент выполнил правильно 2 задания;
«2»- ставится, если студент выполнил меньше двух заданий.
Д/З: повторить §1-4
Итог: сделать вывод урока и сдать тетради для проверки.
Урок №17
Тема: Анализ контрольной работы.
Цель урока:
сделать анализ допущенных ошибок студентами, обобщить, систематизировать знания и умения студентов по линейной алгебре.
Задачи:
Образовательные:
показать студентам правильный ход решения систем уравнений; вычисления определителя.
Развивающие:
развивать умения и навыки решения систем уравнений и вычисления определителя; логическое мышление при решении примеров.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов такие профессиональные качества как внимательность, дисциплинированность, активность на уроке.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок закрепления и обобщения знаний и умений, навыков
Методы: словесные, наглядные
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствовать студентов, отметить присутствующих на уроке.
2.Повторить основные понятия: определитель, матрица, ранг матрицы, методы решения систем уравнений.
3.Анализ контрольной работы.
Назвать основные ошибки, которые допускают студенты и закрепить решением примеров.
- Вычислить определитель:5742= 10-28=-18
Пример
Вычислить определитель IV порядка:

Решение системы уравнений методом Крамера:
Пример. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:          Решение. Вычислим определители Δ, Δ1 , Δ2 , Δ3.                              Тогда .     Ответ: х1=1, х2=0, х3= -1.
Решение систем уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы.
А* =
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем:  x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Д/З: повторить §1-4
Итог: сделать вывод урока, сказать оценки студентам и прокомментировать их.
Раздел № 3 Ведение в анализ
Урок №18
Тема: Понятие предела. Непрерывность функции.
Цель урока:
Познакомить студентов с понятием предела и непрерывности функции; научить вычислять предел функции и определять непрерывность функции.
Задачи:
Образовательные:
Ввести понятие предела и непрерывности функции.
Развивающие:
развивать умения вычислять предел функции и определять непрерывность функции; развивать логическое мышление студентов.
Воспитывающие:
воспитывать внимательность студентов при объяснении нового материала, активность на уроке, дисциплинированность.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: лекция
Методы: словесные, наглядныйХод урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов. Сказать тему и цель урока.
2.Объяснение нового материала.
Предел функции y = f(x) при х → ∞
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
Записывают так: lim х→+∞ f(x) = b.
Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0. Прямая  называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).  
Например: lim х→+∞ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
 Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х→–∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х < –М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
Записывают так: lim х→–∞ f(x) = b.
В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции  y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.
Например: lim х→–∞ (3 + 2х) = 3 и функция y = (3 + 2х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.
Наконец, прямая у = b  может быть горизонтальной асимптотой графика функции  и при х→+∞, и при х→–∞. Пишут так: х→∞.
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех x таких, что |х| > М, выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
Записывают так: lim х→∞ f(x) = b.
Например: lim х→∞ х2/(х2+1) = 1 и функция y = х2/(х2+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.
Понятие непрерывности функции
Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой:Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на  (множестве действительных чисел).
Каков «обывательский» критерий непрерывности? Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.
При этом следует чётко отличать два простых понятия: область определения функции и непрерывность функции. В общем случае это не одно и то же. Например:Данная функция определена на всей числовой прямой, то есть для каждого значения «икс» существует своё значение «игрека» .
3.Закрепление нового материала:
Примеры нахождения пределов:
Пример 1.Найдем
Данная функция  определена в точке х = 1. Поэтому
Пример 2. Найдем предел функции
Рассмотрим последовательность аргументов хn = n (где n ∈ N).
Очевидно, что при n → ∞ аргументы хn → +∞. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид:  Предел такой последовательности легко вычисляется:   Тогда и предел данной функции
Пример 3. Найдем
При x = 4 числитель и знаменатель функции  равны нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому сократим дробь:  Теперь вычислим предел этой функции:  Заметим, что выражения  совпадают при х ≠ 4. Причем для вычисления предела функции при x → 4 саму точку x = 4 исключают из рассмотрения.
Контрольные вопросы:
1. Понятие о пределе функции на бесконечности.
2. Предел функции в точке х = а.
3. Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.
4. Чему равен угловой коэффициент секущей к графику функции?
5. Запишите определение средней скорости движения тела.
6. Что называют средней скоростью изменения функции?
7. Непрерывность функции в точке х = а.
8. Непрерывность функции на промежутке X.
4.Д/З. §16,19
5.Итог урока: сделать вывод урока.
6.Рефлексия.
Урок №19-20
Тема: Вычисление пределов.
Цель урока: научить студентов вычислять пределы функций.
Задачи:
Образовательные:
сформировать умения и навыки вычисления пределов.
Развивающие:
развивать умения и навыки вычисления пределов, логическое мышление при вычислении пределов.
Воспитывающие:
воспитывать внимательность при решении примеров, активность на уроке, дисциплинированность. Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок применения знаний и умений
Методы: словесный, частично-поисковый.
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствовать студентов и отметить отсутствующих. Сказать цель урока.
2.Актуализация знаний.
Повторить основные понятия: понятие предела функции, свойства пределов, виды неопределённостей.
3.Решение примеров.
У доски:
Вычислите:
1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
Определение предела функции;
Основные свойства пределов;
Виды неопределённостей и способы их решения.
1. а) б)
2.а) б)
3. а) б)
4. а) б)
5. а) б)
6. а) б)
7. а) б)
8. а) б)
9.а) б)
10. а) б)
11. а) б)
12. а) б) 1 . а) б)
2. а) б)
3. а) б)
4. а) б)
5. а) б)
6. а) б)
7. а) б)
8. а) б)
9. а) б)
10. а) б)
11. а) б)
12. а) б)
Д/З: §16-19
Итог: сделать вывод урока, собрать папки практических работ для проверки.
Урок №21
Тема: Производная функции. Правила дифференцирования.
Цель урока:
познакомить студентов с понятием производной и правилами дифференцирования и научить студентов находить производные сложных функций.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие предела, раскрыть правила дифференцирования, научить находить производных функций.
Развивающие:
развивать логическое мышление студентов; навыки вычисления производных сложных функций.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов внимательность при проведении лекции, дисциплинированность на лекции.
Тип урока: лекция.
Методы: словесный, частично-поисковый
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Приветствие студентов и отметить отсутствующих на лекции. Сказать тему лекции.
2.Актуализация знаний.
Повторить понятия: понятие предела функции и непрерывности функции.
3.Объяснение нового материала.
Определение. Пусть задана функция f(x) на некотором промежутке, х0-это точка этого промежутка, число h=0 такое, что х0+ h также принадлежит этому промежутку. Тогда называют производной функции f(x) в точке х0 и обозначают f’(x0).
Правила дифференцирования.
Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые функции.
(u(x)v(x))’=u’(x)v’(x)
(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
(Cu(x))’=Cu’(x) 4.
Производная сложной функции.
Назовите вид функции: y=x2, y=2x, .Последняя функция вызвала затруднение: ее нельзя отнести ни к какому известному вам виду функций. Такие функции называют сложными функциями или композициями функций. Они получаются, когда вместо привычного вам аргумента х подставляют какую-нибудь функцию, зависящую от х. Например, пусть , найти f(cosx).
Определение. Пусть f и g – две функции (y=f(x), х=g(t)). Подставив под знак функции y=f(x) вместо аргумента х функцию x=g(t), получим новую функцию y=f(g(t)), в которой аргументом является t. Функцию y=f(g(t)) называют композицией функций g и f ( или сложной функцией), в которой x=g(t) – внутренняя функция, а y=f(x) – внешняя функция.
Обозначение. f(g(x)=(f°g)(x).Теорема. Пусть задана сложная функция y=f(g(х)), где каждая функция, входящая в композицию, имеет производную. Тогда производную сложной функции находят по формуле y’=f’(g(х))g’(x).
Для того чтобы грамотно пользоваться формулой, следует различать внутреннюю и внешнюю функции, так как сначала производная применяется к внешней функции f(x), а затем к внутренней g(х).
Замечание. Функция корня всегда внешняя; степенная функция y=gn(x) всегда внешняя; тригонометрические y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, показательная y=ax, y=ex и логарифмическая y=lnx, y=logax функции, стоящие в первой степени, всегда внешние; линейная функция y=kx+b всегда внутренняя.Пример:y=sin(x2-3); y=ln(4-7x); y=e6x-1; y=51-x; ; ; y=cos2(ln2x)
Закрепление нового материала.
1. Решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского математика, который ввел термин «производная».

-1 -5 1 12 2 1/6
Рy=4tg3x, y’(-)-?
Н y=3-sin2x, y’()-?
Г y=, y’(1)-?
А y=, y’(3)-?
Ж y=, y’()-?
А y=, y’(-)-?
Л y=, y’(1)-?
2.Решив эти примеры, вы узнаете имя и фамилию крупного французского математика, доказавшего многие теоремы о пределах, которыми вы пользуетесь при вычислении производных.
У y=sin4x, y’( )-?
О y=sin, y’()-?
Шy=cos6x, y’( )-?
Г y=(2x+3)5, y’(-2)-?
С y=(x+7)6, y’(-8)-?
Юy=(1-5x)7, y’(0)-?
К y=sin(2x-3), y’()-?
Л y=cos(-x), y’()-?
Т y=, y’(0)-?
Е y=cos(-π), y’(π)-?
Н y=2x3+sin3x, y’(0)-?
И y=xsin2x, y’(π)-?
10 -35 -6 - 3
- -4 2π
2 6 2π
3.Решите данные примеры и вы узнаете, что сказал Платон одному из желающих поступить в его школу изучать философию, не зная при этом геометрии.
1. y=, y’()-?
2. y=, y’(1)-?
3. y=, y’(2)-?
4. y=, y’(4)-?
5. y=, y’(0)-?
6. y=((x+1)4-2)3, y’(0)-?
7. y=(+1)5, y’(4)-?
8. y=, y’(1)-?
9. y=(7tgx-3ctgx)3, y’()-?
уйди выйди -6π
из прочь! 2
тебя у
есть нет 0
орудия 12 для 101,25
изучения философии 960
4. Решив эти примеры, вы узнаете, у кого возникла идея о необходимости создания единой науки, изучающей процессы сохранения и переработки информации управления и контроля, для которой он предложил название «кибернетика», получившее общее признание.
Рy=x2sinx, y’()-?
И y=(x+-2)3, y’(1)-?
Е y=tg23x, y’()-?
В y=, y’(0)-?
Н y=x2, y’(1)-?
ln4 0 12 1
Д/З: §20 п.1,4
Итог урока: Сделать вывод урока, сказать оценки и прокомментировать их.
Рефлексия.
Урок №22
Тема: Исследование функции и построение графика.
Цель урока:
познакомиться с алгоритмом исследования функции и построения графика.
Задачи:
Образовательные:
ввести алгоритм исследования функции и построения графика.
Развивающие:
развивать логическое мышление студентов, умения и навыки исследования функции и построения графика.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов внимательность при объяснении нового материала, активность на уроке, дисциплинированность.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный.
Методы: словесные, наглядныйХод урока:
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих студентов. Сказать тему урока, сказать оценки.
2.Актуализация знаний.
Решите данные примеры и расшифруйте фамилию персидского и таджикского поэта, математика и философа, который в математическом трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» дал систематическое изложение решения уравнения до третьей степени включительно.
А y=sin3x2, y’()-?
М y=exsinx, y’()-?
Я y=logx, y’(-1)-?
Х y=, y’(1)-?
Й y=5sinx-3cosx, y’()-?
7,5 15ln5 log2e e
3.Объяснение нового материала.
Определение. Функция f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности.
Правило нахождения промежутков монотонности:
Вычислить производную данной функции.
Найти точки, в которых производная равна 0 или не существует. Эти точки называются критическими.
Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, в каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются промежутками монотонности.
Исследовать знак производной на каждом интервале. Если на рассматриваемом интервале производная положительная, то функция возрастает на этом интервале; если производная отрицательная, то функция убывает на этом интервале.
Пример: y=x2-4x+1; ;
Определение. Точка х=а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место неравенство f(a)>f(x) (f(a)<f(x)) для любого х из некоторой окрестности точки а.
Точки максимума и минимума объединяют названием точки экстремума, а значения функции в этих точках, т.е. максимум и минимум, называют экстремумами функции.
Правило исследования функции на экстремум с помощью первой производной:
Найти производную функции.
Найти все точки, в которых производная равна 0, из области определения функции. Такие точки называются стационарными точками.
Установить знаки производной функции при переходе через стационарные точки. Если знак меняется с + на -, то это точка максимума, если знак меняется с – на +, то это точка минимума.
Вычислить значение функции в каждой экстремальной точке. Это будут экстремумы функции.
Пример: y=x3+3x2+9x-6; y=x3-2x2+3x+1
Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной:
Найти производную функции.
Приравняв ее к 0, найти действительные корни полученного уравнения.
Найти вторую производную.
Во вторую производную подставляют поочередно все числа, найденные в пункте 2: если при этой подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.
Пример: y=x3-x2+6x; y=sinx+cosx Известно, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:
Найти все точки, принадлежащие отрезку [a,b], в которых производная равна 0 и вычислить значение функции в этих точках.
Вычислить f(a) и f(b), т.е. значение функции на концах отрезка.
Сравнить полученные результаты: максимальное из найденных будет наибольшим значением функции, минимальное – наименьшим значением функции.
Пример: на [-6; 8]
Определение. Непрерывная функция вогнута (выпукла), если соединив любые две точки ее графика отрезком, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже (выше) проведенного отрезка.
Правило нахождения интервалов выпуклости функции с помощью второй производной:
Найти производную функции и точки, в которых она равна 0 или не существует.
Определить интервалы, на которые область определения функции разбивается найденными точками.
Установить знаки второй производной в каждом из найденных интервалов: если вторая производная положительная, то кривая на рассматриваемом интервале выпукла; если же вторая производная отрицательная, то кривая на рассматриваемом интервале вогнута.
Пример: y=x4-2x3-36x2-x+7
Определение. Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.
Правило нахождения точек перегиба кривой:
Найти производную функции и точки, в которых она равна 0 или не существует.
Установить знаки второй производной при переходе через найденные точки. Изменение знака второй производной указывает на наличие точки перегиба.
Найти ординаты точек перегиба.
Пример:
Определение. Прямая y=kx+b называется асимптотой графика функции f(x) при , если .
Отсюда
Замечание. Если k=0, то прямая y=b называется горизонтальной асимптотой.
Пусть дана дробно-рациональная функция , числа х1, х2,...,хn - корни уравнения Q(x)=0. Тогда прямые х=х1, х=х2,..., х=хn – вертикальные асимптоты.
Пример:
Схема исследования функции:
Найти область определения функции D(y).
Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, проверить на периодичность.
Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
Найти критические точки.
Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.
Определить промежутки выпуклости.
Найти асимптоты функции.
Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной линией. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек: их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.
Закрепление материала: Исследовать функцию и построить ее график:
а)
Решение.
1. Находим область определения: .
2.Исследуем на четность. , следовательно функция общего вида.
3. Находим точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непрерывна при всех . х=0 – точка разрыва II рода, т.к. .
5. Находим асимптоты графика функции.
Так как в точке х=0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
.

Наклонная асимптота у = х.
6. Находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.
; y = 0 при х = 2, у = при х = 0.
Стационарная критическая точка: .
х(- 0 (0,2) 2 (2,+ + - 0 +
возрастает Не сущ. убывает 3 возрастает
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Экстремум функции: .
7.Находим интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
Находим вторую производную.
> 0 при любом х 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.
8. Построим график функции, начертив сначала наклонную асимптоту , отметив точку экстремума и точку пересечения с осью Ох.

Пример: Исследовать функции и построить графики.; Д/З: §25
Итог урока: сделать вывод урока, сказать оценки студентам и прокомментировать их.
Рефлексия.
Урок №23-24
Тема: Вычисление производной сложной функции.
Цель урока:
сформировать умения и навыки вычисления производной сложной функции.
Задачи:
Образовательные:
учить применять учебный материал к решению примеров.
Развивающие:
развивать умения и навыки вычисления производной сложной функции, логическое мышление при решении примеров.
Воспитывающие:
воспитывать внимательность при решении примеров, активность, дисциплинированность, аккуратность при записи в тетрадях.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок применения знаний, умений.
Методы: словесный, частично-поисковый

Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов и отметить отсутствующих. Сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний.
Ответить на контрольные вопросы.
3.Решение практической работы
№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
Определение производной;
Формы дифференцирования производной;
Производная произведения и частного двух функций;
Производная сложной функции;
Механический смысл производной (скорость, ускорение).
1 Вычислить производные функций
2x5-4x2 (2x+1)∙x3ex+sinx4x+36е) x arctgx3x4+2x3(3x-2)∙x2cosx-log5x(3x-2)5 е) х5 ·arccos x2 Решить задачу
Тело движется по закону St=2t3-5t2+4t+3. Определите скорость тела в момент времени t=2.
Тело движется по закону vt=3t3-4t2+8t+1. 0пределите ускорение тела в момент времени t=1.
3 Вычислите :
1)y = sin x – (1/2)sin2x.
2)y = ln(x2 + 2 ).
3)у= x2e-2x. 1)y = 3x – 6х5
2)y = x22x
3)y = ln.
4 Решить задачу
Кусок проволоки данной длинны l нужно согнуть так, чтобы площадь ограниченного ею прямоугольника была наибольшей. Каковы должны быть размеры прямоугольника? Число 10 разбейте на два положительных сомножителя, сумма которых является наименьшей.
5 Исследовать функцию и построить график

Д/З: повторить схему исследования функции и построение графиков.
Итог урока: Сделать вывод урока и собрать работы студентов.
Урок №25
Тема: Неопределённый интеграл.
Цель урока:
довести до сознания студентов понятие неопределённого интеграла и научить студентов находить неопределённые интегралы.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие неопределённого интеграла и научиться находить неопределённые интегралы.
Развивающие:
развивать умения и навыки вычисление неопределённых интегралов, логическое мышление при решении примеров.
Воспитывающие:
воспитывать внимательность при решении примеров, аккуратность при записях в тетради, самостоятельность при решении примеров.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: лекция
Методы: частично-поисковыйХод урока:
1.Организационный момент.
Приветствие студентов и отметить отсутствующих на уроке. Сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний.
Повторить основные понятия дифференцирования функции:
Что значит дифференцируемая функция?
Правила дифференцирования функции.
Производная постоянной величины?
3. Объяснение нового материала.
Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство: F’(x)=f(x).
Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+С, где С – любое действительное число.
Определение. Совокупность всех первообразных F(x)+С функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то = F(x)+С, где С – любое действительное число.
Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной: отсюда происходит и само название «неопределенный интеграл».
Свойства неопределенного интеграла:
1. =m, m – любое действительное число, не равное 0.
2.
3.
Алгоритм интегрирования методом замены переменной:
Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.
Определить, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записать эту замену.
Найти дифференциалы обеих частей замены и выразить дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной.
Произвести замену под интегралом.
Найти полученный интеграл по таблице.
В результате произвести обратную замену, т.е. перейти к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.
Способ интегрирования по частям.

Замечание. При практическом использовании формулы данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают u и dv. Множитель u стараются выбрать так, чтобы u’ было проще, чем u.
Закрепление нового материала:
Решить у доски примеры способом интегрирования по частям:
Решить пример способом замены переменной с объяснением: ; ; ; ; Д/З: §29,30
Итог урока: Сделать вывод урока. Сказать оценки студентам и прокомментировать их.
Рефлексия.
Урок №26 -27
Тема: Вычисление неопределённых интегралов.
Цель урока:
сформировать умения и навыки вычисления неопределённых интегралов.
Задачи:
Образовательные:
научиться находить неопределённые интегралы.
Развивающие:
развивать логическое мышление, навыки вычисления неопределённых интегралов.
Воспитывающие:
воспитывать самостоятельность при решении примеров, активность на уроке, дисциплинированность.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок применения знаний, умений.
Методы: словесный, частично-поисковый
Ход урока.
1.Организационный момент.
2.Актуализация знаний.
Решить у доски примеры: ;;; – используем метод замены переменной.
Решение.
Имеем интегралы вида . Для сведения интеграла к табличному интегралу используем прямую подстановку . .
.

=

Ответить на контрольные вопросы.
3.Решение примеров:
1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
Что называется неопределенным интегралом?
Что такое интегрирование?
Свойства неопределенного интеграла?
Основные способы интегрирования?
Таблица основных интегралов?
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.
4.Д/З: §31-33
5.Итог урока: Сделать вывод урока, собрать практические работы студентов для проверки.
Урок №28
Тема: Определённый интеграл и его геометрический смысл.
Цель урока:
Довести до сознания студентов понятие определённого интеграла и научить студентов вычислять определённые интегралы
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие определённого интеграла
Развивающие:
развивать умения и навыки вычисления определённого интеграла; развивать логическое мышление студентов.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов такие профессиональные качества как внимательность при объяснении нового материала, активность на уроке, дисциплинированность

Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный урок.
Методы: словесные, наглядные.
Оборудование урока: компьютер, плакаты, листы опроса, таблица интегралов, портреты и высказывания математиков, таблица Брадиса, предмет для демонстрации «Метода исчерпывания», калькулятор.
Ход урока.
1.  Приветствие. Слайд 1.
«Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» (Норберт Винер)
2.  Мозговой штурм.
1.  Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третей степени, то какую степень имеет производная этой функции? А первообразная?
2.  Для какой функции производная совпадает с самой функцией?
3.  Производные каких функций равны 1, x, x2?
4.  Вспомним, какая функция называется первообразной для заданной функции на заданном промежутке?
5.  Если F(x) –первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?
6.  Какая из двух функций является первообразной другой: 5x4 и x5+11? Почему?
7.  Является ли функция F(x)=сtgx первообразной для функции f(x)= -1/sin2 x на R?
8.  Назовите все элементы равенства =F(x)+C.
9.  Какие из равенств записаны неверно:
1)  =3x2+C;
2)  =x+x2 /2+C? В чём ошибка?
10.  Как проверить результаты интегрирования?
3.  Математический диктант.
Древнегреческий поэт Нивей говорил, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Работаем самостоятельно.
В листах опроса напишем математический диктант. Пишем только ответ и сразу поднимаем ручку. (На доске последовательно пишутся задания, дожидаясь, пока будут подняты большинство рук.)
Задание 1. Слайд 2
Ответы пишите в первый столбец.
Найдите первообразную функции: y=5; y=2x; y=3x2; y=cosx; y=1/x.
Ответы на обороте доски: 5x; x2; x3; sinx; ln│x│.
Оцените себя на листе опроса.
Можно ли считать только данные ответы верными? Почему?
Как называется это множество всех первообразных?
Задание 2. Слайд 3.
Ответы пишите во второй столбец.
Найдите интеграл:
1; 1; 1; 1; 1.
Ответы на обороте доски: 1 +c; 1+c; 1+c; +c; 1+c.
Оцените себя на листе опроса.
4.  Актуализация темы и цели урока. Слайд 5.
Выявите связь между понятиями, которые я назову, и продолжите этот ряд: 5 и 1/5, умножение и деление, возведение в квадрат и извлечение из-под корня, дифференцирование и… Какой термин будет в паре? Почему? Какие это действия?
Тема урока «Определенный интеграл и его геометрический смысл».
Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.
Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н. э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.
Галилей, Кавальери, Торричелли, Паскаль, Барроу …
Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В. Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.
Сегодня мы будем следовать естественноисторическому развитию математики и искать тот самый скрытый порядок в хаосе…
5.  Объяснение новой темы.
1)  Геометрический смысл задачи интегрирования.
Какая связь между величинами пути s(t) и v(t) - скорости?
Т. е, s’(t)=v(t) и обратное действие интегрирования дает 1=s(t).
Таким образом, интеграл скорости равен пути.
Рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого интеграла.
Интерактивный видеоматериал. Слайд 7.
Пусть точка движется с постоянной скоростью v=v0 . Графиком скорости в системе координат (t,v) будет прямая v=v0 , параллельная оси t. Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле s= v0* t. Эта величина представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного графиком функции v=v0, осью абсцисс, осью ординат и параллельной оси ординат прямой. Т. о., путь точки равен площади под графиком.
Если движение неравномерное, то скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени [t, t+dt]. Если скорость меняется по закону v=v(t), то путь, пройденный за отрезок времени [t, t+dt] выразится произведением v(t)* dt. На графике это площадь прямоугольника со сторонами v(t) и dt. Точное значение пути за отрезок времени [t, t+dt] равно площади криволинейной трапеции, закрашенной на рисунке. Весь путь получится сложением площадей таких криволинейных трапеций, т. е. выразится как площадь под графиком.
Т. о. задача интегрирования тесно связана с задачей вычисления площади.
Вывод: интеграл – это площадь.
2)  Криволинейная трапеция.
Определим понятие криволинейной трапеции.
Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком положительной функции f, определенной на промежутке от a до b, прямыми х = а, х = b, осью х.
Площадь криволинейной трапеции – это определенный интеграл. Интеграл определенный, т. к. площадь, имеет конкретное значение.
Работа с плакатом.
S кр. тр.=
f(x)-подынтегральная функция, a и b - пределы интегрирования.
Криволинейную трапецию можно образовать с помощью различных функций.
Запишите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунке.
Выделите подынтегральную функцию; пределы интегрирования.
Обратная задача: как изобразить криволинейную трапецию, если задан интеграл?
Пример 1 Слайд 9.
Итак, интеграл - это площадь криволинейной трапеции.
Если умеем вычислять площадь, то научимся вычислять интеграл.
3)  Пример – интеграл через площадь.
Вычислить интеграл 1
Этот интеграл можно вычислить, используя геометрический смысл определенного интеграла.
Наводящие вопросы:
Данный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной … графиком какой функции?
Постройте график этой функции у = х.
На каком промежутке мы должны рассматривать эту функцию?
Найдем площадь полученной фигуры. Как находится площадь прямоугольного треугольника?
Какого знака функция на заданном промежутке? Т. о. интеграл равен -2.
Обобщение. Слайд
Если функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расположенной выше оси x, со знаком «+», а ниже оси x – со знаком «– », тогда интегралом от функции f будем считать сумму площадей частей, взятых с указанными знаками.
4)  Метод исчерпывания» Архимеда (сообщение студента).
В данном примере определенный интеграл вычислялся через площадь треугольника. Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит и интегралов от некоторых функций, проделал Архимед еще в 3 веке до н. э. Он вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им метода исчерпывания.
При определении объемов Архимед разбивает тело рядом параллельных плоскостей на тонкие слои, которые заключает между двумя рядами цилиндров: вписанных и описанных. Суммируя объемы каждого ряда, он получает два предела, между которыми находится искомый объем (работа с плакатом). Эти пределы могут быть сближены, если уменьшить расстояние между секущими плоскостями. Таким образом, Архимед является как бы предвозвестником того универсального метода, который мы называем «интегральным исчислением», дающим общую формулу для вычисления объемов и площадей.
Итак, интеграл - это площадь криволинейной трапеции.
Если умеем вычислять площадь, то научимся вычислять интеграл.
3)  Пример – интеграл через площадь.
Вычислить интеграл 1
Этот интеграл можно вычислить, используя геометрический смысл определенного интеграла.
Наводящие вопросы:
Данный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной … графиком какой функции?
Постройте график этой функции у = х.
На каком промежутке мы должны рассматривать эту функцию?
Найдем площадь полученной фигуры. Как находится площадь прямоугольного треугольника?
Какого знака функция на заданном промежутке? Т. о. интеграл равен -2.
Обобщение.
Если функция произвольная, то условимся брать площадь фигуры, расположенной выше оси x, со знаком «+», а ниже оси x – со знаком «– », тогда интегралом от функции f будем считать сумму площадей частей, взятых с указанными знаками.
А теперь вычислите по формуле Ньютона-Лейбница интеграл из лабораторной работы 1и вы убедитесь какой метод легче.
  Решение примеров, используя формулу Ньютона-Лейбница.
1.  1.
2.  dx.
Самостоятельная работа в листах опроса.
Вариант I.
1.  Запишите с помощью интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке: 1Вычислите определенные интегралы:1.  1.    5. 
Вариант II.
1.Запишите с помощью интеграла площади фигуры, изображенной на рисунке:
Вычислите определенные интегралы:2.
3. 4.  5.
Ответы: 1) 2) 1; 3) 8; 4) ; 5) 4,5.
1)  2) 1; 3) 1,5; 4) ; 5) 4,5.
Самооценка на листах опроса.
Домашнее задание по уровням.
а) Решите самостоятельно задания любого уровня.
Уровень 1 (на «3»).
1) Вычислите интеграл: 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 1.
2) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Уровень 2 (на «4», « 5»).
1.  Найдите пары чисел a и b, при которых функция удовлетворяет условию:

7.  Рефлексия деятельности.
Цель: зафиксировать новое содержание, изученное на уроке; оценить работу на уроке.
Выведите средний балл ваших оценок и сдайте листы опроса.
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
Для чего можно использовать эти знания?
Как вы теперь понимаете слова «интеграция», «интегрирование»?
Проанализируйте свою деятельность на уроке и оцените свою работу.
Поднимите руки те,
кому было трудно понять, но интересно изученное на уроке.
Кому было понятно, но остались вопросы? Кому было все понятно?
Количество поднятых рук подсчитывается и вносится в таблицу диаграммы:
Лист опроса студента
№ задания Найдите первообразнуюНайдите интеграл Найдите пару "функция- её первообразная" Самостоятельная работа
1 2 3 4 Урок №29-30
Тема: Решение задач прикладного характера с применением определённого интеграла
Цель урока:
научить студентов решать прикладные задачи с использованием определённого интеграла.
Задачи:
Образовательные:
использовать определённый интеграл при решении прикладных задач.
Развивающие:
развивать логическое мышление, умения и навыки решения прикладного характера с использованием определённого интеграла.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов профессиональные качества такие как внимательность, самостоятельность, дисциплинированность
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок применения знаний, умений.
Методы: словесные, частично-поисковыйХод урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих, сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний, умений.
Ответить на контрольные вопросы устно ( вопросы в таблице)
У доски решить примеры на нахождение площади криволинейной трапеции.1
-4
-4
X
Y

Пример 1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
параболой и прямой ;
лемнискатой .
1) параболой и прямой
Решение. Фигура имеет вид, изображенный на рис.
Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой и параболой и находится по формуле:
. Для нахождения пределов интегрирования найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений
Откуда находим , . Таким образом площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой и параболой на отрезке .

(кв. ед.).
Самостоятельное решение заданий:
№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
Что называется криволинейной трапецией?
Вычисление площади криволинейной трапеции.
Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении, за промежуток времени от до , если задан закон движения тела .Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .
1 Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,02 м, если для сжатия ее на 0,04 м нужно приложить силу в 2 Н .Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,03 м нужно приложить силу 15 Н.
2 Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=3t²2t1,м/c. Вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=24t6t²¸ м/с. Вычислить путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.
3 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями:
y=2xx²; y=0.
Найти площадь фигуры, ограниченный кривыми, заданными уравнениями:
y= x², y= 3x.
4 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
А)у= - х2 +3, у=2
Б)у=-х3 -4, у=хВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
А) у= х3 , х=-1, у=0
Б)у= х2 , у= х
5 Исследовать функцию и построить ее график:


Д/З: §41
Итог урока: Сделать вывод урока, собрать папки с практической работой.
Урок №31
Тема: Однородные дифференциальные уравнения.
Цель урока:
довести до сознания студентов понятие однородного дифференциального уравнения и научить студентов решать данные уравнения.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие однородного дифференциального уравнения, решения дифференциального уравнения.
Развивающие:
развивать логическое мышление , умения и навыки решения однородных дифференциальных уравнений.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов активность на уроке, внимательность при объяснении нового материала, дисциплинированность.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный.
Методы: словесные. наглядные
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих на уроке.
Сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний.
Устно: повторить основные понятия - производной функции, интеграла, свойства производных, интегралов.
3.Объяснение нового материала.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py' +qy = 0, где pи q- постоянные величины.
3. Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py' +qy = 0.
2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r2, y'  через r, y через 1: r2 + pr +q = 0
3.Вычислить дискриминант  D = p2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:
а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C1 и C2 - произвольные постоянные.
б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде
в) D < 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет комплексные корни, Общее решение дифференциального уравнения выражается, в виде 

Пример типового расчета:
1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение
D>0,

Общее решение
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений:
4.Закрепление нового материала.
Повторить основные определения однородных дифференциальных уравнений, алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений.
Решить у доски номера: № 11.39; 11.40 Сборник задач по математике. А.А.ДадаянСамостоятельная работа по вариантам: 1 вариант: № 11.43; 11.41
вариант: № 11.42; 11.11.44
Д/З: §2.2 п.2.2.4 Математика. В.П.Омельченко.
Итог урока: Сделать вывод урока, собрать тетради для проверки самостоятельной работы.
Рефлексия.
Урок №32-33
Тема: Решение однородных дифференциальных уравнений.
Цель урока:
научить студентов решать однородные дифференциальные уравнения.
Задачи:
Образовательные:
сформировать и закрепить умения и навыки решения однородных дифференциальных уравнений.
Развивающие:
развивать умения и навыки решения однородных дифференциальных уравнений.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов внимательность при решении однородных дифференциальных уравнений, активность, дисциплинированность.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок применения знаний, умений
Методы: словесные, частично-поисковые
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих студентов на уроке. Сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний и умений.
Устно ответить на контрольные вопросы (вопросы в таблице).
Решить пример у доски:
Задания:
№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
1.Определение однородного дифференциального уравнения;
2.Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения;
3. Формулы общего решения однородного дифференциального уравнения;
4. Запись характеристического уравнения.
xyx2 y2 y ;xy2 x2 y2 y ; .
.

y'' − 6y' + 9y = 0. y'' − 6y' + 5y = 0.
y'' − 4y' + 5y = 0. y'' + 25y = 0.
xy2x2 y2 y ;xy3 x2 y2 yД/З: §2, п.2,3 Курс лекций по высшей математике .Д. Письменный; § 2.2. п.2.2.4 Математика. В.П.Омельченко
Итог урока: Сделать вывод урока, собрать папки с практической работой.
Урок №34-35
Тема: Контрольная работа «Введение в анализ»
Цель урока:
проконтролировать знания и умения студентов раздела «Введение в анализ».
Задачи:
Образовательные:
проверить знания и умения студентов решать задачи раздела «Введение в анализ».
Развивающие:
развивать логическое мышление, развивать навыки решений задач раздела «Введение в анализ»
Воспитывающие:
воспитывать внимательность при решении примеров, активность на уроке, дисциплинированность.

Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок проверки знаний и умений.
Методы: частично-поисковыйХод урока.
Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих. Сказать тему и цель урока.
Решение контрольной работы
№
п/пЗадания
1 вариант 2 вариант
Вычислить пределы функций:
1 а)limх→∞3х2 +5х+1х2+4; б)limх→-12х2+5х+3х2-4х-5а)limх→∞2х2 +42х2+3х+1 ; б)limх→33х2 -10х+3х2-2х-3Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:
2
у=2х3 +6х2 -18х+120
у=14 х4 - 23 х3 -32 х2 +2
Найти интеграл:
3 (7-2х)3dx sin3xdxВычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
4 Параболой у=4х2 и прямой х=9 у=3х2 , х=0, х=2 и осью ОХ
Решить дифференциальное уравнение:
5 у"-4у’-12у=0 у”+2у’+у=0
Эталоны ответов:
№
п/п1 2 3 4 5
1 3; -1/6 Кубическая парабола, решение по алгоритму -(7-2х)4 /8 36 y=C1 e6x+ C2 e-2x2 2;2 Парабола, решение по алгоритму -(cos3x)/3 8 y=C1 e-x+ xC2 e-xКритерии оценивания работы студентов:
«5» - ставится, если студент выполнил правильно все задания;
«4»- ставится, если студент выполнил правильно 4 задания;
«3»- ставится, если студент выполнил правильно 3задания;
«2»- ставится, если студент выполнил меньше трёх заданий.
Д/З: §1-3, §16,17,19, 41 (1ч)
Итог урока: Сделать вывод урока. Собрать тетради для контрольных работ.
Раздел 4
Теория вероятности и
математическая статистика
Урок №36
Тема: Случайные события.
Цель урока:
Довести до сознания студентов понятие случайного события.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие случайного события, полной группы событий, относительной частотой события
Развивающие:
развивать логическое мышление, навыки вычисления частоты случайных событий.
Воспитывающие:
воспитывать внимательность при объяснении нового материала, дисциплинированность, активность на уроке.

Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный
Методы урока: словесный, наглядный, частично-поисковый.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Приветствие студентов. Сказать тему, цель урока.
2.Объяснение нового материала.
Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности.
Будем называть случайным событием или просто событием всякий факт, который в результате эксперимента может произойти или не произойти.
А, В, С, …
Теорию вероятности изучают модели опытов со случайными исходами. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет, и невозможно, если оно не может произойти в результате опыта.
Полной группой событий называется совокупность всевозможных исходных экспериментов, т.е. в результате опыта никакие два из них не могут появиться вместе. Элементарными мы будем называть события wk, которые 1) не совместны; 2) образуют полную группу; 3) по известному элементарному событию можно судить произошло случайное событие А или не произошло. Совокупность всех элементарных событий образует пространство элементарных событий .
Замечание. Надо различать разложимые и неразложимые результаты экспериментов.
Опр. Относительной частотой случайного события А называется отношение числа испытаний, в которых событие А произошло к общему числу испытаний. Рассмотрим 3 задачи с карандашами.
Перекладываем карандаши из 4-х ячеек в другие 4 ячейки. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
.
Перекладываем карандаши из шести ячеек в другие 4 ячейки. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
Размещение
.
Перекладываем карандаши из четырех ячеек в стакан. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
или иначе
3.Закрепление нового материала.
Задача. Все двузначные числа написаны на карточках. Пётр случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризовать как достоверные, невозможные или случайные события следующие события:
событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;
событие Б- на карточке оказалось составное число;
событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;
событие Д- на карточке оказалось чётное или нечётное число.
Решение: События А и Б случайные, так как они могут как произойти, так и не произойти. Событие С невозможно: любое двузначное число либо простое, либо составное. Событие Д достоверно, так как любое двузначное число или чётно, или нечётно.
Задача. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет:
а)4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число очков, не кратное трём.
Решение: Все имеется N =6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6. Мы считаем, что ни один из них не имеет никаких преимуществ перед другими, то есть принимаем предположение о равновероятности этих исходов.
а)Ровно при одном из исходов произойдёт интересующее нас событие А – выпадение 4. Значит, N(A)=1 и Р(А) = N(A)/N = 1/6.
б) решение и ответ такие же, как и в а).
в) Интересующее событие В произойдёт ровно в трёх случаях, когда выпадет 2,4 или 6. Значит, N(B) =3 и Р(В)=N(B)/N = 0,5
г) Интерсующее нас событие С произойдёт ровно в двух случаях, когда выпадет 5 или 6. Значит N9C)=2, P(C)=N(C)/N = 2/6=1/3.
д) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1,2,4 и 5) не кратны трём, а остальные (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырёх из шести возможных и равновероятных между собой исходов опыта. Поэтому в ответе получится 4/6=2/3.
Ответ: а) 1/6; б) 1/6; в)1/2; г) 1/3; д) 2/3.
Д/З: выучить все определения случайных событий, вероятности события.
Итог урока: сделать вывод урока, сказать оценки студентам и прокомментировать их.
Рефлексия.

Урок №37
Тема: Комбинаторика. Выборки элементов.
Цель урока:
довести до сознания студентов основные понятия комбинаторики, выборки элементов.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятия комбинаторики, выборки элементов.
Развивающие:
развивать логическое мышление, навыки нахождения перестановок, размещения
Воспитывающие:
воспитывать у студентов такие профессиональные качества как внимательность при объяснении и нового материала, дисциплинированность, активность на уроке.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесный, частично-поисковый
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих. Сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний.
Математическом аппаратом элементарной теории вероятности является комбинаторика. Все мыслимое множество объектов называется генеральной совокупностью. Ее часть, получая по некоторым правилам, называется выборкой. Комбинаторика изучает различные способы получения выборок и их количества. Рассмотрим 3 задачи с карандашами.
Перекладываем карандаши из 4-х ячеек в другие 4 ячейки. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
.
Перекладываем карандаши из шести ячеек в другие 4 ячейки. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
Размещение .
Перекладываем карандаши из четырех ячеек в стакан. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
или иначе
Различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элемента. Различные размещения могут отличаться друг от друга как порядком, так и составом переменных. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом элементов.
Свойства сочетания:
1)
Число способов выбора одинаково.
2) 0!=1

3)
Доказательство:


4)
Для доказательства нужно воспользоваться формулой бинома Ньютона

Сочетания часто называют биномиальными коэффициентами.
Положим a=b=1,
5) Положим a=1, b=-1;
Биномиальные коэффициенты легко получить с помощью треугольника Паскаля:



Кроме этих трех способов выбора, иногда используются выборки с возвращением. Они используются тогда, когда выбранный объект возвращается в генеральную совокупность или когда в выборке имеется много однотипных объектов.
Задача. Сколькими различными способами можно выбрать из группы 25 человек старосту и двух его заместителей?

Рассмотрим 3 задачи с карандашами.
1)Перекладываем карандаши из 4-х ячеек в другие 4 ячейки. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
.
2)Перекладываем карандаши из шести ячеек в другие 4 ячейки. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
Размещение
.
3).Перекладываем карандаши из четырех ячеек в стакан. Число способов, которыми можно переложить карандаши:
или иначе
Закрепление нового материала.
Задача. Собрание из 80 работников выбирают главного операционного логиста, секретаря и трёх членов помощников главного операционного логиста. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: При выборе двух человек из 80 присутствующих на роли главного операционного логиста и его помощников и секретаря порядок существенен, значит такой выбор можно сделать А802 способами.
Если испытание А - выбор главного специалиста и секретаря – завершено, то следует заняться испытанием Б – выбором трёх помощников из оставшихся 78 участников. Помощников главного операционного специалиста выбирают списком, то есть порядок не имеет значения. Сделать это можно С783 способами. С783 =76076. Поскольку испытания А и Б предполагаются независимыми, остаётся лишь применить правило умножения: А802 х С783 =480800320.
Ответ: 480800320 способов.
2.Задача. Среди 28 логистов 15 девушек и 13 юношей. Нужно выбрать двух дежурных на праздничные дни. Сколькими способами можно это сделать:
А) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить девушка и юноша;
Б) без указанного условия?
Ответ: а) 195; Б) 378
3.Задача. № 15.1-15.5 Сборник задач по математике. А. А. Дадаян.
Д/З: выучить все определения и формулы комбинаторики № 15.6
Итог урока: сделать вывод урока, сказать оценки и прокомментировать их.
Рефлексия.
Урок №38
Тема: Задачи математической статистики.
Цель урока:
Научить студентов решать задачи математической статистики.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятия математического ожидания, дисперсии, отклонения.
Развивающие:
развивать умения и навыки вычисления вероятностей, математического ожидания, дисперсии и отклонения; развивать логическое мышление.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов внимательность, активность, самостоятельность при решении примеров.
Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: применение знаний, умений
Методы: словесные, частично-поисковые.
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов и отметить отсутствующих. Сказать тему и цель урока.
2.Актуализация знаний, умений.
Устный опрос понятий математической статистики.
3. Решение задач математической статистики.
Пример.
В стрелковом взводе, состоящем из 20 человек 3 человека попадают в мишень с вероятностью 0,9, 10 человек – с 0,7, 7 человек – с 0,5.
Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель


Теорема. Пусть вероятность наступления события А Р(А) в каждом испытании постоянна и равна , тогда вероятность того, что в n испытаний событие А появится ровно k раз
(3), здесь φ(x) – функция Гаусса,

Пример.
Вероятность попадания при одном выстреле p=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах будет 8 попаданий.
n=10, k=8
q=0,25,
Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает только одно значение x из множества допустимых. Случайные величины делятся на непрерывные и дискретные. Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой x представляет собой непрерывное множество.
Дискретной называется случайная величина, множество значений которой представляет собой дискретное, т.е. счетное множество. Если множество значений случайной величины конечно, то величина называется конечно конечнозначной.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, которое каждому значению случайной величины ставит в соответствие ее вероятность. Для дискретных и конечнозначных случайных величин закон распределения можно записать в виде ряда распределения
x x1 x2 .... xn....
p p1 p2 .... pn....
Основное правило здесь следующее: .
Для непрерывных случайных величин закон распределения выражается уже с помощью функции.
Пример.
Написать закон распределения для числа выпадений орлов при броске трех монет.
x 0 1 2 3
p 1/8 3/8 3/8 1/8
Вероятность выпадения 3-х орлов сразу .
Воспользуемся формулой Бернулли:
Задача.
Ежедневное количество студентов операционных логистов, посещающих методический кабинет на протяжение ряда дней, следующее 15,17,16,18,20,21,18,17,20,15,18,17,16,19,17,16,18,19,18,19. Составить статистическое распределение выборки.
Решение: В первой строке таблицы укажем встречающиеся значения посещений, а во второй количество таких значений и, наконец, в третьей – относительную частоту этих значений.
Значение признака хi15 16 17 18 19 20 21
Частота встречаемости mi 2 3 4 5 3 2 1
Относительная частота
fi =mi /n 0,1 0,15 0,2 0,25 0,15 0,1 0,05
Д/З:§4.3, выучить основные понятия математической статистики. Учебное пособие. Математика. В.П.Омельченко.
Итог урока: сделать вывод урока, сказать оценки студентам и прокомментировать их.
Рефлексия.
Урок №39-40
Тема: Теория вероятности и математическая статистика.
Цель урока:
Научить студентов решать задачи по теории вероятности и математической статистики.
Задачи:
Образовательные:
закрепить знания и умения при решении задач по теории вероятности и математической статистики.
Развивающие:
развивать умения и навыки вычисления вероятностей, математического ожидания, дисперсии и отклонения; развивать логическое мышление.
Воспитывающие:
воспитывать у студентов внимательность, активность, самостоятельность при решении примеров.

Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесные, частично-поисковые
Ход урока.
1.Организационный момент.
Приветствие студентов, отметить отсутствующих студентов.
2.Актуализация знаний.
Ответить на контрольные вопросы ( в таблице)
3.Решение задач.
№
п/п1 вариант 2 вариант
Контрольные вопросы:
1.Определения сочетания, перестановки, размещения;
2.Определение вероятности события;
3.Свойства сочетаний;
4.Теорема сложения вероятности событий;
5.Понятие случайной величины;
6.Закон распределения дискретной случайной величины.
1 В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных шаров. Из урны наудачу
берутся 9 шаров. Найти:
1) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров;
2) сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 6 белых и 3
черных;
3) сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 2 белых, 3
черных и 4 красных шара. В лаборатории работают несколько человек, причем каждый из работников знает хотя бы один иностранный язык (английский знают 6 человек, немецкий – 6 человек, французский – 7 человек, английский и немецкий–4 человека, немецкий и французский – 3человека, английский и французский – 2 человека, все три языка знает один человек). Сколько человек работает в лаборатории? Сколько сотрудников знают только английский?
2 На почте имеются марки 10-ти различных типов. Покупается 15 марок.
Сколько существует различных способов покупки 15-ти марок?
Имеются пирожные 7 различных типов. Пирожные одного и того же типа
считаем неразличимыми. Сколько существует различных способов покупки 12 пирожных?
3 На 7-ти карточках написаны буквы, из которых можно составить слово
СВАРЩИК. Сколько существует различных семибуквенных слов, которые можно составить
при помощи этих 7-ти карточек?
На 10-ти карточках написаны буквы так, что из этих карточек можно
составить слово МАТЕМАТИКА. Сколько существует различных 10-буквенных слов, которые
можно образовать при помощи этих десяти карточек?
4 Наудачу дважды подбрасывают монету. Найти: 1)вероятность выпадения
двух гербов; 2)вероятность выпадения только одного герба; 3)вероятность выпадения хотя бы
одного герба. Наудачу один раз бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения
числа очков, кратного трем.
5 В партии содержатся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из партии
наудачу берутся 5 деталей. Найти вероятность того, что: 1)все 5 деталей бракованные; 2)все 5
деталей доброкачественные; 3)в пятерке извлеченных деталей 3 детали бракованные и 2 детали
доброкачественные.
В урне находятся 25 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу извлекаются
9 шаров. Найти: 1)вероятность того, что все 9 шаров – белые; 2)вероятность того, что среди 9-
ти извлеченных шаров 3 черного цвета; 3)вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров
имеется хотя бы один шар черного цвета.
6 В лотерее 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и двадцать выигрышей по 50 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х. В лотерее 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и десять выигрышей по 100 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х.
7 В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным.
Событие А состоит в том, что станок в течение часа потребует внимания рабочего. Вероятность этого события составляет 0,7. Определить, с какой вероятностью станок не потребует внимания.
Д/З: повторить основные определения, формулы линейной алгебры, математического анализа , теории вероятности и математической статистики.
Итог урока: Сделать вывод урока, собрать папки с практическими работами.
Урок №41 -42
Тема: Контрольная работа (итоговая).
Цель урока:
проконтролировать знания и умения студентов решать примеры линейной алгебры и математического анализа.
Задачи:
Образовательные:
проверить знания и умения решать примеры линейной алгебры м математического анализа.
Развивающие:
развивать логическое мышление студентов, навыки решения примеров линейной алгебры и математического анализа.
Воспитывающие:
воспитывать профессиональные качества такие как самостоятельность, ответственность, дисциплинированность.

Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.
Тип урока: урок проверки знаний и умений.
Методы: частично-поисковые
Ход урока.
1.Организационный момент.
Сказать тему и цель урока.
2.Поведение контрольной работы.
Задания:
№
п/п1 вариант 2 вариант
1 Представить комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

2 Вычислить главный определитель:

3 Вычислить предел:

4 Вычислить производные:

5 Найти интеграл:

Ответы решения заданий:
№
п/п1 вариант 2 вариант
1 a=2+2i, a=22(cosπ4 + isinπ4 ), a=e22 (cosπ4 + isinπ4 ) a=2+i23, a=4(cosπ3 + isinπ3), a= e4i (cosπ3 + isinπ3)
2 -8 -27
3 1/3 1/3
4 5 sinx·cosx (sin3 x-4cos2 x) 6sin2 2x ·cos2x
5 х+sin6x/6 + 2e3x/3 +C х+sin6x/6 + 2e3x/3 +C
Критерии оценивания дифференцированного зачёта:
«5» - ставится за верное решение всех пяти заданий;
«4» - ставится за верное решение четырёх заданий;
«3» - ставится за верное решение трёх заданий;
«2 – ставится, если студент выполнил меньше трёх заданий.
Д/З: повторить основные понятия и подготовиться
Итог урока: Сделать вывод урока, собрать тетради.
Литература:
Д.Письменный. Курс лекций по высшей математике.
В.П.Омельченко. Математика. Ростов-на-Дону. «Феникс» 2012
А.А.Дадаян. Сборник задач по математике. Москва. «Форум» 2010
Содержание: стр.
Введение…………………………………………………………………….. .. 1
Общие компетенции …………………………………………………………. 2
ФГОС по математике………………………………………………………… 3
Календарно-тематический план…………………………………………….. 4-8
Раздел № 1 Комплексные числа (урок1-4)…………………………………. .9-29
Раздел № 2 Линейная алгебра (урок 5-17)……………………………………29-54
Раздел № 3Введение в анализ (урок 18-35)………………………………….54-86
Раздел № 4 Теория вероятности и математическая статистика (урок 36-42) 87-99
Литература……………………………………………………………………. ..100