МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для практических занятий по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса (специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
М.Д. Евдокимова
методические указания
для практических занятий
по дисциплине «Математика»
для студентов 1 курса
(специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах)
Семилуки
2014
Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Учебное пособие содержит указания для практических занятий по «Математике». Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» и предназначены для студентов 1-го курса, обучающихся по специальности 09.02.03. Программирование в компьютерных системах.
© Евдокимова М.Д., 2014
©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Введение
Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальные структуры реального мира, пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации. Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. Математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. Всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики: физика, химия, техника, информатика, биология, психология, экономика, бизнес, финансы и т.д. Поэтому расширяется круг обучающихся, для которых математика становится профессионально значимым предметом.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих (общеучебных) компетенций студента по 4 блокам (самоорганизация, самообучение, информационный и коммуникативный) согласно требованиям к результатам освоения основной профессиональной образовательной программы.
Реализация рабочей программы обеспечивает освоение общеучебных умений и компетенций в рамках информационно-коммуникативной деятельности:
создание условия для умения логически обосновывать суждения, выдвигать гипотезы и понимать необходимость их проверки, ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи.
формирование умения использовать различные языки математики, свободно переходить с языка на язык для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства, интегрирования в личный опыт новую, в том числе самостоятельно полученную информацию;
создание условия для плодотворного участия в работе в группе; умения самостоятельно и мотивированно организовывать свою деятельность, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств тел; вычисления площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:
систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач;
расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;
изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач;
развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления;
знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
Цели
Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:
формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности
В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:
построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;
самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;
проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;
самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.
В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен
знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
Алгебра
уметь
выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Функции и графики
уметь
определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
строить графики изученных функций;
описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Начала математического анализа
уметь
вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;
вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Уравнения и неравенства
уметь
решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;
составлять уравнения и неравенства по условию задачи;
использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;
изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
построения и исследования простейших математических моделей;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
уметь
решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
анализа информации статистического характера;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Геометрия
уметь
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;
изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на лекциях, а также для овладения студентами умений и навыков применять эти знания при самостоятельной работе.
Перечень практических занятий соответствует рабочей программе по дисциплине «Математика»
Выполнение студентами практических работ по дисциплине проводится с целью:
- закрепления полученных теоретических знаний по дисциплине;
- углубления теоретических знаний в соответствии с заданной темой;
- формирования умений решать практические задачи;
- развития самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирования активных умственных действий студентов, связанных с поисками рациональных способов выполнения заданий;
- подготовки к экзамену.
Нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике
Оценка практических работ обучающихся по математике
Ответ оценивается отметкой «5», если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится, если:
работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий
Общая классификация ошибок
При оценке знаний, умений и навыков учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.
Грубыми считаются ошибки:
незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;
незнание наименований единиц измерения;
неумение выделить в ответе главное;
неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;
неумение делать выводы и обобщения;
неумение читать и строить графики;
неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;
потеря корня или сохранение постороннего корня;
отбрасывание без объяснений одного из них;
равнозначные им ошибки;
вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
логические ошибки.
К негрубым ошибкам следует отнести:
неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;
неточность графика;
нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);
нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;
неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.
Недочетами являются:
нерациональные приемы вычислений и преобразований;
небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.
Практическое занятие №1 «Числовые функции»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться определять свойства функций;
научиться находить значения обратных функций.
Теоретический материал и методические указания к решению заданий
Определение: Зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называется функцией.
Определение. Область определения функции это множество значений независимой переменной, при которых функция имеет смысл.
Определение. Областью значений функции называется множество, в которое входят все значения, которые может принимать функция на своей области определения.
Определение. Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x), то функция четная, а если f(-x) = fix), то функция нечетная, если не выполняется ни одно из равенств, то функция ни четная, ни нечетная.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оу).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О).
Определение: Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f(x) = y. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Функцию х = g(y) называют обратной к функции у = f(x).
Пример: Найти область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция не определена, если 13 EMBED Equation.3 1415. Область определения: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Установите четность или нечетность функции f(x) = х3 + 2х.
1)D(f)=R.
2) f(-x) = (-х)3 + 2(-х) = - х3 - 2х = - ( х3 + 2х).
3) f(-x) = -f(x), функция f(x) = х3 + 2х является нечётной.
Пример: Установите четность или нечетность функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Пример: Найти обратную функцию к функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415- обратная функция.
Вариант 1
Какой из графиков является функцией?
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
а) б) в)
Какие из функций на рисунке нечетные?
13 EMBED MSPhotoEd.3 141513EMBED Word.Picture.81415
А) Б) В) Г)
Найти область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Установите четность или нечетность функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите функцию, обратную данной:
1)13 EMBED Equation.3 1415, 2)13 EMBED Equation.3 1415, 3)13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Какой из графиков является функцией?
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
а) б) в)
Какие из функций на рисунке являются четными.
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
Найти область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Установите четность или нечетность функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите функцию, обратную данной:
1)13 EMBED Equation.3 1415, 2)13 EMBED Equation.3 1415, 3)13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Какой из графиков является функцией?
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
а) б) в)
Какие из функций на рисунке являются нечетными.
13EMBED Word.Picture.81415 13EMBED Word.Picture.81415
А) Б) В) Г)
Найти область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Установите четность или нечетность функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите функцию, обратную данной:
1)13 EMBED Equation.3 1415, 2)13 EMBED Equation.3 1415, 3)13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Какой из графиков является функцией?
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415 13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
а) б) в)
Какие из функций на рисунке являются четными.
13 EMBED MSPhotoEd.3 141513EMBED Word.Picture.81415 13 EMBED Word.Picture.8 1415
А) Б) В) Г)
Найти область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Установите четность или нечетность функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций и опишите ее свойства:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите функцию, обратную данной:
1)13 EMBED Equation.3 1415, 2)13 EMBED Equation.3 1415, 3)13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №2 «Формулы приведения. Решение задач»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться применять формулы приведения;
научиться вычислять значения тригонометрических функций;
научиться находить значения других тригонометрических функций, зная одну из них;
научиться упрощать тригонометрические выражения.
Теоретический материал и методические указания к решению заданий
Правило перевода градусной меры в радианную:
·( = 13EMBED Equation.31415(рад).
Правило перевода радианной меры в градусную: 13EMBED Equation.31415
Определение тригонометрических функций на единичной окружности
синус любого угла определяется по оси ОУ.
косинус любого угла определяется по оси ОХ.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Знаки тригонометрических функций
Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки вчетвертях будут следующими:
Формулы приведения
ПРАВИЛО 1. Если угол
· откладывают от оси ОX, то функция не меняется.
А если угол
· откладывают от оси ОY, то функция меняется на кофункцию.
ПРАВИЛО 2. Знак в правой части формулы определяется по знаку функции в левой части.
Пример:
Пример: Упростите выражение.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример:. Определите знак произведения
А = sin 100° cos 200° tg . 20° ctg 145°.
Решение.
100° I четверть, ордината положительна;
200° III четверть, абсцисса отрицательна;
120° II четверть, ордината линии тангенсов отрицательна;
145° II четверть, абсцисса линии котангенсов отрицательна;
Знак А = (+)(–)(–)(–) = (–). Знак произведения отрицательный.
Пример: Дано: 13EMBED Equation.31415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Определим знак функции: 13 EMBED Equation.3 1415, это II четверть., значит 13EMBED Equation.31415.
Получаем: 13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415.
Вариант 1
Выразите в радианной мере величины углов 640; 1600.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначьте на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, заданным в задания 1 и 2.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите при помощи формул приведения:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Выразите в радианной мере величины углов 560; 1700.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначьте на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, заданным в задания 1 и 2. Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите при помощи формул приведения:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Выразите в радианной мере величины углов 720; 1400.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначьте на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, заданным в задания 1 и 2.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите при помощи формул приведения:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Выразите в радианной мере величины углов 420; 1300.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначьте на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, заданным в задания 1 и 2.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415 Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите при помощи формул приведения:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №3 «Тригонометрические функции»
Цели занятия:
закрепить навыки построения графиков, через преобразования графиков простых функций;
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться определять свойства функций.
Теоретический материал и методические указания к решению заданий
Функция 13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*
·.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*
·.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=
·/2 +
·*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным
·.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=
·*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным
·.
Пример. Найти основной период функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как основной период функции 13 EMBED Equation.3 1415 есть 13 EMBED Equation.3 1415, то основной период функции 13 EMBED Equation.3 1415 есть 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 точка:
13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график тригонометрической функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить графически уравнение 13 QUOTE 1415.
Найдите наименьший положительный период функции:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Вариант 2
Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 точка:
13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график тригонометрической функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить графически уравнение 13 QUOTE 1415.
Найдите наименьший положительный период функции:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Вариант 3
Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 точка:
13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график тригонометрической функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить графически уравнение 13 QUOTE 13 QUOTE 1415 1413 EMBED Equation.3 141515.
Найдите наименьший положительный период функции:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Вариант 4
Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 точка:
13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график тригонометрической функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить графически уравнение 13 QUOTE 13 QUOTE 1415 1413 EMBED Equation.3 141515.
Найдите наименьший положительный период функции:
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Практическое занятие №4
«Решение простейших тригонометрических уравнений»
Цели занятия
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться решать тригонометрические уравнения;
научиться находить значения обратных тригонометрических функций.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
1. sinx = a, |a|
·1
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
2. cos x = a , |a|
·1
Пример. Решить уравнение
Решение: ,
, , .
3. tg x = a , a Є R ctg x = a , a Є R
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Eq
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Пример . Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №5
«Решение упражнений по теме «Тригонометрические уравнения»
Цели занятия
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться решать тригонометрические уравнения;
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций
Уравнения такого вида решаются сведением исходного уравнения к уравнению, зависящему лишь от одной тригонометрической функции. Для этого используются формулы, связывающие различные тригонометрические функции
(13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.). После производится замена тригонометрической функции на переменную, и уравнение решается как алгебраическое. Далее от переменной переходим к тригонометрической функции и получается простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Это квадратное уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415. Решим его введением новой переменной: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 – посторонний корень, так как 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Однородные уравнения
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 называют однородным уравнением второй степени.
Уравнение делим на выражение: тригонометрическую функцию, стоящую в уравнении в старшей степени. Получаем уравнение, алгебраическое относительно одной из тригонометрических функций. Метод его решения рассмотрен выше.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Делим уравнение на 13 EMBED Equation.3 1415 (при этом мы не потеряем корней, так как если в данное уравнение поставить 13 EMBED Equation.3 1415, то получим, что и 13 EMBED Equation.3 1415, что невозможно). Получаем уравнение вида: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
1. Решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
1. Решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
1. Решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №6 «Параллельность прямых и плоскостей»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться решать геометрические задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.
Теоретический материал и методические указания к их выполнению
Стереометрия это раздел геометрии, в котором изу чаются свойства фигур в пространстве. Слово «стерео метрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный и «метрео» измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Взаимное расположение прямых в пространстве
Определение : Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема 3: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Параллельность трех прямых
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема 4: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Скрещивающиеся прямые
Определение : Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема 5: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Итак, возможны три случая взаимного рас положения двух прямых в пространстве:
а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку;
б)прямые параллельны, т. е. лежат в одной;
в)прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.
Теорема 6: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Параллельность прямой и плоскости
Определение : Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема 7: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, парал лельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскос ти, то она параллельна данной плоскости.
Рассмотрим еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.
1 . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей парал лельна данной прямой.
2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Теорема 8: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Параллельность плоскостей
Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются:
Теорема 9 (признак параллельности двух плоскостей): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
1°. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
2°. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Вариант 1
Плоскости
· и
· пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости
·. Каково взаимное расположение прямой а и плоскости
·. Сделайте рисунок и поясните.
Даны пересекающиеся плоскости
· и
·. Прямая а лежит в плоскости
· и пересекает плоскость
· в точке А. Прямая b лежит в плоскости
· и пересекает плоскость
· в точке В. Докажите, что АВ – линия пересечения плоскостей
· и
·.
Прямые ОВ и СD параллельны, а ОА и CD – скрещивающиеся прямые. Найти угол между прямыми ОА и CD, если 13 EMBED Equation.3 1415АОВ=450.
Вариант 2
Прямая а параллельна плоскости
·, точка М и прямая с лежат в плоскости
· (М13 EMBED Equation.3 1415с). Через точку М проведена прямая b, параллельна а. Каково взаимное расположение прямых b и с?
Плоскости
· и
· параллельны, А-точка плоскости
·. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости
·, лежит в плоскости
·.
Прямые АВ и MN параллельны, а AK и MN – скрещивающиеся прямые. Найти угол между прямыми AK и MN, если 13 EMBED Equation.3 1415KAB=600.
Вариант 3
Плоскости
· и ( пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости
·, а b – в плоскости
·. Какие возможны взаимные расположения прямых а и b? Сделайте рисунок и поясните.
Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АС – скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними.
Вариант 4
Следствия из 1-й аксиомы стереометрии.
Определение параллельных плоскостей.
Прямая b лежит в плоскости
·. Прямая а не лежит в плоскости
· и параллельна прямой b. Через точку М, лежащую в плоскости
· (М13 EMBED Equation.3 1415b), проведена прямая с, параллельна а. Докажите, что с лежит в плоскости
·.
Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD – скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен 500.
Практическое занятие №7
«Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться решать геометрические задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Определение
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
Теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Теорема
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
Теорема
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.
Теорема
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
Теорема
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.
Определение
Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.
Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то
длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
наклонные с равными проекциями равны;
из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.
Теорема О трех перпендикулярах.
Если прямая в плоскости, проведённая через основание наклонной, параллельна её проекции, то она параллельна и самой наклонной.
Определение
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними 90.
Теорема Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Пусть a
·
·, a (
·, тогда
·
·
·. То есть, если плоскость
· содержит прямую a, перпендикулярную плоскости
·, то плоскости
· и
· перпендикулярны.
Вариант 1
1. Укажите верное утверждение и сделайте к нему рисунок:
а) если а
·b и а
· с, то с
· b;
б) если a
·b и а
·с, то с
·b;
в) если a
·_b и a
·с, то с
·b.
2. Найдите расстояние между точками А и С, если, расстояние между точками В и D равно 7 см, АВ
·a, CD
·AB, AB = CD.
Пусть АВС - правильный треугольник, точка О - его центр, ОМ -перпендикуляр к плоскости ABC, ОМ = 1, АВ = 3. Найдите расстояние от точки М до вершины треугольника ABC.
Отрезок АВ не пересекает плоскость
·, АС(
· и BD(
·, АС=20дм, BD=30дм, M(AB, AM:MB =2:3, ММ1(
·, точки С, D и M 1( плоскости
·. Найдите MM 1.
Из вершины С прямоугольного равнобедренного треугольника АВС проведен отрезок СК, перпендикулярный плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ, если АВ =12см, СК =8см,
·АСВ=90
·.
Вариант 2
1. Укажите верное утверждение и сделайте к нему рисунок:
а) если т
·п и п
· р, то p
·m;
б) если m
·n и n
·р, то m
·р;
в) если m
·n и п
·р, то m
·р.
Найдите расстояние между точка ми М и K, если расстояние между точками N и F равно 5 см, MN
·
·, KF
·a, MN=KF.
Пусть ABCD квадрат со стороной, равной 2, О - точка пересечения его диагоналей, ОК - перпендикуляр к плоскости ABC, OK = 3. Найдите расстояние от точки К до вершины квадрата.
Отрезок АВ пересекает плоскость
·, АС(
· и BD((, АС= 14см, BD = 10см, точка М - середина отрезка АВ, ММ1(
·, точки С, D, М1(плоскости
·. Найдите ММ1 .
Из вершины С прямоугольного равнобедренного треугольника АВС проведен отрезок СК, перпендикулярный плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ, если АВ = 3см, СК = 2см,
·АСВ= 90
·.
Вариант 3
Укажите верное утверждение и сделайте к нему рисунок:
а) если (
·( и a((, то a
·(;
б) если (
·( и a((, то а(( ;
в) если c(( и a(с, то a(((;
Отрезок MN пересекает плоскость (, причем M((. Расстояние от точки N до плоскости ( 9 см., точка Р(MN и делит отрезок в отношении MP:PN=5:4. Найдите длину перпендикуляра, опущенного на плоскость ( из точки Р.
Пусть ABCD квадрат со стороной 6см, отрезок АВ ((. Найти длину проекции наклонной ВС, если расстояние от точки D до плоскости ( равно 4 см.
Найдите длины проекций наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, если известно, что одна из них короче другой на 5 см, а дины наклонных составили 15см и 14см.
Из вершины квадрата ABCD со стороной 4см восставлен перпендикуляр DN к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки N до середины стороны АВ, если высота перпендикуляра 3см ?
Вариант 4
Укажите верное утверждение и сделайте к нему рисунок:
а) если a
·_b и a
·с, то с
·b;
б) если a
·b и а
·с, то с
·b;
в) если а
·b и а
· с, то с
· b.
Точка А лежит в плоскости, точка В – на расстоянии 12,5 от этой плоскости. Найдите расстояние от плоскости до точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ:МВ=2:3.
Какой длины нужно взять перекладину, чтобы её можно было положить концами на две вертикальные опоры высотой 4м и 8 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой?
Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 длиннее другой. Проекции наклонных равны 17 и 7. Найдите наклонные.
Из вершин квадрата ABCD восставлен перпендикуляр AE к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки E до прямой BD, если AE=2, AB=8?
Практическое занятие №8
«Преобразование тригонометрических выражений»
Цель работы:
закрепить практические навыки применения формул тригонометрии для преобразования тригонометрических выражений.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:
13 EMBED Equation.3 1415
II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:
13 EMBED Equation.3 1415
III. Формулы двойного аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415
IV. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):
13 EMBED Equation.3 1415
V. Формулы произведений:
13 EMBED Equation.3 1415
VI. Формулы сумм:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример:
Пример: Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 1
Известно, что 13 QUOTE 1415. Найдите значения функций 13 QUOTE 1415
Упростите выражение:
а) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415.
Найдите значения выражений, используя представление тригонометрических функций в виде:
а) произведения: 13 QUOTE 1415;
б) суммы: 13 QUOTE 1415.
Докажите тождество:
13 QUOTE 1415=tq13 QUOTE 1415
Найдите значения х в радианах, если х – угол I четверти:
Вариант 2
Известно, что 13 QUOTE 1415. Найдите значения функций 13 QUOTE 1415
Упростите выражение:
а) 13 QUOTE 1415; б)13 QUOTE 1415.
Найдите значения выражений, используя представление тригонометрических функций в виде:
а) произведения: 13 QUOTE 1415;
б) суммы: 13 QUOTE 1415.
Докажите тождество:
13 QUOTE 1415=ctq13 QUOTE 1415
Найдите значения х в радианах, если х – угол I четверти:
Практическое занятие №9
«Многогранники»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться строить тела вращения: цилиндр, сфера, конус и находить площади их поверхностей.
Теоретический материал и методические указания к выполнению задаинй
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.
Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые грани являются прямоугольниками.
13 EMBED Equation.3 1415
Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
d2 = a2 + b2 + c2
13 EMBED Equation.3 1415
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней:
Sполн=Sбок+Sосн
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.
Площадь боковой грани правильной пирамиды:
Sбок.гр.=1/2*m*a, где m – апофема, a - основание грани
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
Sбок.пов.=1/2 * (Pосн* m),
Вариант 1
Постройте четырехугольную пирамиду и опишите ее элементы.
Вариант 2
Постройте прямую призму и опишите ее элементы.
Вариант 3
Постройте параллелепипед и опишите ее элементы.
Вариант 4
Постройте наклонную призму и опишите ее элементы.
Практическое занятие №10
«Предел функции. Решение упражнений на вычисление пределов»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Предел в точке и на бесконечности
Определение. Число b называется пределом функции y=f(x) в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности 13 EMBED Equation.3 1415 аргументов х, элементы 13 EMBED Equation.3 1415 которой отличны от а, соответствующая последовательность её значений 13 EMBED Equation.3 1415 сходится к b.
Принято записывать: 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Число b называется пределом функции у=f(x) на бесконечности 13 EMBED Equation.3 1415, если для любой бесконечно большой последовательности её аргументов {xn}, соответствующая последовательность её значений 13 EMBED Equation.3 1415 сходится к b.
При этом принято обозначать: 13 EMBED Equation.3 1415
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
При вычислении пределов функций необходимо знать следующие теоремы.
Т1. Предел постоянной равен самой постоянной, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Т2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Т3. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тогда
а)13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Найти пределы функций:
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ВИДА 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является корнем числителя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и знаменателя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. е. обе функции можно разложить на множители, одним из которых обязательно будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 После этого можно дробь сократить на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример. Найти. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ВИДА 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получается при вычислении предела отношения двух многочленов при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то нужно числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень переменной.
Пример. Найти.13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант 1
4. Найти пределы функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
4. Найти пределы функций:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
4. Найти пределы функций:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
4. Найти пределы функций:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №11
«Производная сложной функции. Решение упражнений на вычисление производных»
Цель работы:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться находить производные функции;
научиться находить производные сложных функций;
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Определение: Функция называется сложной, если ее аргумент сам является функцией.
Пусть y=y(u) и u=u(x)- дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем
y/x=y/u *u /x или 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры:
Найти производные заданных функций
а) 13 EMBED Equation.2 1415;
Решение. 13 EMBED Equation.2 1415.
б) 13 EMBED Equation.2 1415;
Решение. Используем формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.2 1415.
в) 13 EMBED Equation.2 1415;
Решение. Используем формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.2 1415.
Найти точки, в которых производная функции равна нулю: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) Функция 13 EMBED Equation.3 1415 – это произведение двух функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому по третьему правилу дифференцирования: 13 EMBED Equation.3 1415.
Из таблицы производных находим, что 13 EMBED Equation.3 1415, и так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.2 1415
Решение. 13 EMBED Equation.2 1415
б) 13 EMBED Equation.2 1415
Решение. 13 EMBED Equation.2 1415
Вариант 1
Найти производные функций:
Найти производные функции и вычислите ее значение в указанной точке: 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найти производные функций:
Найти производные функции и вычислите ее значение в указанной точке: 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найти производные функций:
Найти производные функции и вычислите ее значение в указанной точке: 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найти производные функций:
Найти производные функции и вычислите ее значение в указанной точке: 13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №12
«Решение упражнений на исследование функций и построение графиков»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться находить уравнение касательной к графику функции в заданной точке;
научиться находить точки экстремума, интервалы монотонности функции;
научиться исследовать функции методами дифференциального исчисления, строить их графики.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Определение касательной к графику функции у=f(х)
Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР1 и будет касательной к кривой в точке Р.
Уравнение вида у=f(a)+f’(a)(х-а) является уравнением касательной к графику функции.
Алгоритм составления касательной к графику функции у=f(x)
Обозначить буквой а абсциссу точки касания.
Найти f(а).
Найти f’(x) и f’(а).
Подставить найденные числа а, f(а), f’(а) в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a)
Пример: Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.
Решение.
1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2.
2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3.
3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.
4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной
у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2),
у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной.
Применение производной к исследованию функций
Определение: Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Определение: Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).
Признак возрастания функции
Достаточное условие возрастания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f’(x)>0, то функция f(x) монотонно возрастает на этом интервале.
Признак убывания функции
Достаточное условие убывания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f’(x)<0, то функция f(x) монотонно убывает на этом интервале (a; b) тогда и только тогда, когда f’(x)=0 в каждой точке этого интервала.
Экстремумы функции
Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)
·f(x0).
Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)
·f(x0).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции.
Критические точки функции
Достаточное условие экстремума:
Если функция f непрерывна в точке х0 и производная f’(x) меняет знак в этой точке, то х0 – точка экстремума функции f.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)>0 на интервале (a; x0) и f’(x)<0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)<0 на интервале (a; x0) и f’(x)>0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Схема применения производной
для нахождения интервалов монотонности и экстремумов
Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
Найти производную f’(x).
Найти критические точки.
В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и вид монотонности функции.
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.
Пример: y=2x3-3x2-36x+5
Схема исследования функции с помощью производной
Найти область определения функции.
Установить чётность, периодичность.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Найти асимптоты графика функции.
Найти промежутки монотонности функции.
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
Построить график функции по результатам исследования.
Вариант 1
Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2-2х+1 в точке х0=2
Исследуйте функцию и постройте график:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2+2х+1 в точке х0=1
Исследуйте функцию и постройте график:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Напишите уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415в точке х0=1
Исследуйте функцию и постройте график:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Напишите уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415в точке х0=0
Исследуйте функцию и постройте график:
13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №13
«Решение задач на отыскание наибольших и наименьших значений величин»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться находить точки экстремума, интервалы монотонности функции;
научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке;
научиться исследовать функции методами дифференциального исчисления, строить их графики.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Найти область определения функции.
Найти производную функции.
Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует производной).
Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [1, 5].
Решение: Найдём производную y' и точки “подозрительные на экстремум”, принадлежащие [1, 5].
13 EMBED Equation.3 1415.
Производная существует на всей числовой оси и равна нулю при x = 0 и x = 4. Точка x=0 не принадлежит [1, 5]. Следовательно, единственная точка “подозрительная на экстремум” на отрезке [1, 5] – точка x=4.
Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, наибольшим значением функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [1, 5] является 13 EMBED Equation.3 1415, а наименьшим 13 EMBED Equation.3 1415
Схема исследования функции
Найти область определения функции.
Исследовать четность и периодичность функции.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415. Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Построить график функции.
Пример: Провести полное исследование и построить график функции f(x)=3x5-5x3+2
Решение: 1) D(f)=R, так как f – многочлен
2) f(-x)=-3x5+5x3+2, значит f(x) ни чётная, ни нечётная; не периодическая
3),4) f’(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1)
f’(x)=0, если х2(х2-1)=0, т.е. при х=0, х=-1, х=1
5) Пересечение с осью Оу: 3х5-5х3+2=0, отсюда х=1
6) Построение графика
Вариант 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, [-3; 0];
б) 13 EMBED Equation.3 1415, [-1; 1];
Исследуйте функцию и постройте график: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, [2; 4];
б) 13 EMBED Equation.3 1415, [0; -1] ;
Исследуйте функцию и постройте график: 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
13 EMBED Equation.3 1415, [1; 5];
13 EMBED Equation.3 1415, [0; 1];
Исследуйте функцию и постройте график: 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
13 EMBED Equation.3 1415, [0; 2];
13 EMBED Equation.3 1415, [1; 3];
Исследуйте функцию и постройте график: 13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №14
«Решение задач по теме « Сложение и вычитание векторов»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться выполнять операции над векторами; строить вектора.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Пример:
Построить векторы: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Пример: ABCDA1B1C1D1- куб. Найти вектор, равный13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Вариант 1
Пусть даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дан тетраэдр DABC. Точка М середина ребра ВС, точка Nсередина отрезка DM. Выразите вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Пусть даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение: 13 QUOTE 1415.
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дан тетраэдр DABC. Медианы треугольника BDC пересекаются в точке Р, точка Ксередина отрезка АР. Выразите вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через векторы 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Пусть даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение: 13 QUOTE 1415
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный: 13 EMBED Equa
· ",.TV
·
·
·
·
·
·
·
·
·tion.3 1415.
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. О – точка пересечения его диагоналей. Разложите вектор 13 QUOTE 1415 по векторам 13 QUOTE 1415
Вариант 4
Пусть даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение:
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Ука жите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. О – точка пересечения его диагоналей. Разложите вектор 13 QUOTE 1415 по векторам 13 QUOTE 1415
Практическое занятие №15
«Решение задач по теме «Простейшие задачи в координатах»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться выполнять операции над векторами в координатной форме.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Система координат в пространстве
Рассмотрим свойства координат векторов:
1. Координаты нулевого вектора равны нулю: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Координаты равных векторов соответственно равны:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов:
13 EMBED Equation.3 1415
5. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если А(5; -1; 3), В(2; -2; 4).
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415{3; 1; -2} и 13 EMBED Equation.3 1415{1; 4; -3}. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415.
Изобразите систему координат Охуz и постройте точку А( 1; -2; -4). Найдите проекции этой точки на координатные плоскости и координатные оси.
Вершины
·АВС имеют координаты: А( -2; 0; 1 ), В( -1; 2; 3 ), С( 8; -4; 9 ). Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если ВМ – медиана
·АВС.
Заданы координаты точек A(1; -2; 0), B(3; 2; 0), C(2; 4; 0), D(1; 1; 0). Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и найдите их координаты, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если А(6; 3; -2), В(2; 4; -5).
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415{5; -1; 2} и 13 EMBED Equation.3 1415{3; 2; -4}. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415.
Изобразите систему координат Охуz и постройте точку В( -2; -3; 4). Найдите проекции этой точки на координатные плоскости и координатные оси.
Вершины
·АВС имеют координаты: А ( -1; 2; 3 ), В ( 1; 0; 4 ), С ( 3; -2; 1 ). Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если АМ – медиана
·АВС.
Заданы координаты точек A(1; -2; 0), B(3; 2; 0), C(2; 4; 0), D(1; 1; 0). Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и найдите их координаты, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если А(3; -3; 7), В(5; 2; 1).
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415{3; 5; -1} и 13 EMBED Equation.3 1415{7; 2; -6}. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415.
Изобразите систему координат Охуz и постройте точку А( 4; -1; -6). Найдите проекции этой точки на координатные плоскости и координатные оси.
Вершины
·АВС имеют координаты: А( -4; 0; 2 ), В( -5; 2; 4 ), С( 7; -4; 1 ). Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если ВМ – медиана
·АВС.
Заданы координаты точек A(0; -2; 1), B(0; 3; 2), C(0; 4; 5), D(0; 2; 1). Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и найдите их координаты, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если А(5; -2; 4), В(2; -1; 8).
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415{0; 2; -4} и 13 EMBED Equation.3 1415{5; 4; -1}. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415.
Изобразите систему координат Охуz и постройте точку А( 5; 3; -6). Найдите проекции этой точки на координатные плоскости и координатные оси.
Вершины
·АВС имеют координаты: А( -4; 2; 3 ), В( -2; 0; 3 ), С( 7; -4; 8 ). Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если ВМ – медиана
·АВС.
Заданы координаты точек A(1; -2; 0), B(3; 2; 0), C(2; 4; 0), D(1; 1; 0). Постройте векторы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и найдите их координаты, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №16
«Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться решения задач на вычисление скалярного произведения векторов.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Простейшие задачи в координатах.
Координаты середины отрезка, если А(х1; у1; z1), В(х2; у2; z2), то С(х; у; z) –середина отрезка АВ имеет координаты:
, , .
Расстояние между двумя точками , если А(х1; у1; z1), В(х2; у2; z2), то длина отрезка АВ:
Длина вектора, если А(х1; у1; z1), В(х2; у2; z2), то вектор 13 QUOTE 1415 имеет координаты
Скалярное произведение векторов.
13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415
Угол между векторами.
Два вектора называются коллинеарными, если выполняется:
13 EMBED Equation.3 1415
Свойство: Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
13 EMBED Equation.3 1415
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Вариант 1
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, причем: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти:
а). 13 EMBED Equation.3 1415;
б). значение т, при котором 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(3; -1; 3), В(3; -2; 2), С(2; 2; 3) и D(1; 2; 2).
Коллинеарны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, разложенные по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415? 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Перпендикулярны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант 2
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, причем: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти:
а). 13 EMBED Equation.3 1415;
б). значение т, при котором 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и D(2; -3; 1).
Коллинеарны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, разложенные по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415? 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Перпендикулярны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант 3
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, причем: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти:
а). 13 EMBED Equation.3 1415;
б). значение т, при котором 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите угол между прямыми АВ и СD, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и D(-9; -3; 1).
Коллинеарны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, разложенные по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415? 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Перпендикулярны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант 4
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, причем: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти:
а). 13 EMBED Equation.3 1415;
б). значение т, при котором 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите угол между прямыми АВ и СD, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и D(1; -5; 0).
Коллинеарны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, разложенные по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415? 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Перпендикулярны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415? 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическое занятие №17
«Решение упражнений на преобразование выражений, содержащих радикалы»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться преобразовывать выражения, содержащие радикалы
научиться строить графики функций, содержащих радикалы.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Корень п-й степени. Арифметический корень п-й степени. 13 EMBED Equation.3 1415
Корнем п-й степени из числа 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, 13 EMBED Equation.3 1415-ая степень которого 13 EMBED Equation.3 1415
или
корень п-й степени из числа 13 EMBED Equation.3 1415 - это корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Корень третьей степени из 27 равен 3, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
Корень четвертой степени из 16 - это каждое из чисел –2 и 2 , т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Существует корень нечетной степени из любого числа 13 EMBED Equation.3 1415 и притом только один.
Обозначается 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Корня четной степени из отрицательного числа 13 EMBED Equation.3 1415 не существует. Корень четной степени из 0 равен 0. 13 EMBED Equation.3 1415
Существуют два корня четной степени из положительного числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415- четное число, то выражение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет смысл при 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415- нечетное число, то выражение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет смысл при любом13 EMBED Equation.3 1415.
Арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа 13 EMBED Equation.3 1415 называется неотрицательное число, п-я степень которого равна 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
(
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тождества
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения (некоторые виды иррациональных).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (при любом 13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 При 13 EMBED Equation.3 1415 При 13 EMBED Equation.3 1415
корней нет 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При любом 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно уравнению:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 При 13 EMBED Equation.3 1415 При 13 EMBED Equation.3 1415
Корней нет 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Равносильно уравнению:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Равносильно уравнению:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства арифметического корня п-й степени.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 0
·a
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Вычислите: а) 13 EMBED Equation.3 1415.
Расположите числа в порядке убывания: 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) найдите точки пересечения графика данной функции с графиком функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Постройте график функции: 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решите уравнение: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
__________________________________________________________________
Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Вычислите: а) 13 EMBED Equation.3 1415.
Расположите числа в порядке возрастания: 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) найдите точки пересечения графика данной функции с графиком функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Постройте график функции: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решите уравнение: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
______________________________________________________________
Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №18
«Преобразование выражений, содержащих степени»
Цель занятия:
научиться преобразовывать выражения, содержащие степени
научиться строить графики степенных функций.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Степени. Степенные функции
Вариант 1
Упростите выражение:
а) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415 ; * в) 13 QUOTE 1415
Вычислите:
а) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415
3. Постройте график функции у=13 QUOTE 1415 -1
Вариант 2
Упростите выражение:
а) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415 ; * в) 13 QUOTE 1415
Вычислите:
а) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415
3. Постройте график функции у=13 QUOTE 1415
Практическое занятие №19
«Решение показательных уравнений и неравенств»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться решать показательные уравнения и неравенства.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Показательные неравенства
Неравенства , в которых переменная содержится в показатели степени, называются показательными неравенствами .
Алгоритм решения показательных неравенств.
Представить обе части неравенства в виде степени с одинаковым основанием.
Составить неравенство, учитывая монотонность показательной функции:
- если а>1, то функция возрастающая, значит большему значению аргумента соответствует большее значение функции (знак неравенства не меняется);
- если 013 QUOTE 1415, то функция убывающая, значит большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( знак неравенства меняется на противоположный)
Составить неравенство и решить его
Показать решение на числовой прямой .
Записать ответ в виде промежутка.
Пример 1. Решить неравенство
Пример 2. Решить неравенство
Вариант 1
Построить схематически график функции и найти его область определения и область значения. 13 QUOTE 1415
Решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Построить схематически график функции и найти его область определения и область значения. 13 QUOTE 1415
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Построить схематически график функции и найти его область определения и область значения. 13 QUOTE 13 QUOTE 1415 1413 EMBED Equation.3 141515.
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Построить схематически график функции и найти его область определения и область значения. 13 QUOTE 13 QUOTE 1415 1413 EMBED Equation.3 141515
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решите графически неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №20
«Решение упражнений на применение свойств логарифмов»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться выполнять действия с логарифмами, вычислять логарифмы чисел.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Логарифмом числа х по основанию a называется степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
loga x = b
где a основание, x аргумент, b собственно, чему равен логарифм.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием.
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b.
Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10)
обозначаются как
Натуральные логарифмы (логарифмы по основанию е)
обозначаются как
Логарифмическая функция
Свойства логарифма
Действия с логарифмами
логарифм произведения:
логарифм частного:
логарифм степени:
логарифм корня:
переход к новому основанию:
Дополнительные формулы:
Вариант 1
Найдите число х: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите число х : 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 2log24
Найдите значение выражения: log0,39 - 2(log0,310
Прологарифмировать по основанию 10: 100(ab3c)1/2
Найдите число х: lgx=13 EMBED Equation.3 1415lg9 – 13 EMBED Equation.3 1415lg8
Упростите выражение: 6log50,2+log615
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 9log36 – 1,5
Пропотенцируйте выражение: 13 QUOTE 1415=213 QUOTE 1415;
Постройте график логарифмической функции и опишите её свойства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Найдите число х: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите число х : logx27 = 3
Вычислить: log416
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите значения выражения: 42 log43
Найдите число х: lgx = lg12+lg15 – lg18
Найдите число х: log6 х=3(log6 2+0,5(log6 25 - 2(log6 3
Вычислить: (lg 8+lg18)/(2(lg 2+lg 3)
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Пропотенцируйте выражение:
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415;
Постройте график логарифмической функции и опишите её свойства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415:
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415:
Найдите число х: log3x=-1
Найдите значение выражения: log216+log22
Найдите значение выражения: log12 36 + log12 4
Найдите значение выражения: log27 – log27/16
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Прологарифмировать по основанию 10: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите число х:13 EMBED Equation.3 1415
Найдите число х: lg x = lg 12 + lg 15 – lg 18
Пропотенцируйте выражение:13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415;
Постройте график логарифмической функции и опишите её свойства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Вычислить: 2 log2 4
Вычислить: 10 lg100
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Прологарифмировать по основанию 6: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 2 log2 3 + log7 2 – log7 14
Упростите выражение: log2 0,04 + 2(log2 5
Упростите выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Пропотенцируйте выражение:
13 QUOTE 1415.
Постройте график логарифмической функции и опишите её свойства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие№21
«Решение логарифмических уравнений и неравенств»
Цель занятия:
научиться решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства с помощью алгоритма и способами введения новой переменной и вынесения общего множителя за скобки.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Логарифмическая функция
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма, называются логарифмическими уравнениями
Алгоритм решения логарифмических уравнений.
Представить обе части уравнения в виде логарифма с одинаковым основанием.
Левая и правая части уравнения равны, основания логарифмов равны, значит и выражения, стоящие под знаком логарифма тоже равны.
Составить уравнение .
Так как логарифм определён только для положительных чисел, то необходимо составить неравенство.
Решить систему из уравнения и неравенства.
- уравнение решить;
- неравенство проверить.
Записать ответ.
Пример Решить уравнение .
Решение.
;
;
, .
Проверим, удовлетворяют ли корни условию:
13 EMBED Equation.3 1415
Подходит только первый корень. Следовательно, - корень уравнения.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляем переменную в исходное уравнение и получаем следующее квадратное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Неравенства, в которых переменная содержится под знаком логарифма, называются логарифмическими неравенствами.
Алгоритм решения логарифмических неравенств.
Представить обе части неравенства в виде логарифма с одинаковым основанием.
Составить неравенство, учитывая монотонность логарифмической функции:
- если а>1, то функция возрастающая, значит большему значению аргумента соответствует большее значение функции (знак неравенства не меняется);
- если 013 QUOTE 1415, то функция убывающая, значит большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( знак неравенства меняется на противоположный)
Составить неравенство.
Так как логарифм определён только для положительных чисел, то необходимо составить ещё неравенство.
Решить систему неравенств.
Показать решение на числовой прямой .
Записать ответ в виде промежутка.
Пример . 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ (1;1,2).
Пример . 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ (-10;20).
Вариант 1
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие№22
«Решение упражнений на дифференцирование показательной и логарифмической функций»
Цель занятия:
научиться находить производные показательной и логарифмической функций, решать прикладные задачи.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Все эти правила применяются к таблице производных
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Пример: Найти производные функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Найти производные функции 13 EMBED Equation.2 1415
Решение. Пусть 13 EMBED Equation.2 1415, тогда y = ln u и по правилу восьмому (с. 6)
13 EMBED Equation.2 1415
Вариант 1
А1. Найдите производную функции:
13 EMBED Equation.3 1415
А2. Найдите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
А3. Напишите уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
В1. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
В2. Найдите наименьшее значение функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на отрезке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
C1. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
А1. Найдите производную функции:
13 EMBED Equation.3 1415А2. Найдите производную функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
А3. Напишите уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
В1. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
В2. Найдите наибольшее значение функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на отрезке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
C1. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическое занятие №23
«Решение задач по теме «Цилиндр. Конус. Шар»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
отработать умения строить тела вращения: цилиндр, сфера, конус и находить площади их поверхностей.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Цилиндр
За площадь поверхности цилиндра принимается площадь его развертки:
Sпов=Sбок+2Sосн
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:
13 EMBED Equation.3 1415
Площадь основания цилиндра: 13 EMBED Equation.3 1415
Площадь полной поверхности цилиндра - сумма площадей боковой поверхности и основания:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
Решение:
ABCD-квадрат
Н=СD, CD=AD
2CD2=AC2
CD=10
R=0,5AD=5(2см
S=
·R2
S=50
·см2
2. Конус
За площадь поверхности конуса принимается площадь её развертки:
Sпов=Sбок+Sосн
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:
S=
· r l
Площадь основания конуса: 13 EMBED Equation.3 1415
Площадь полной поверхности конуса - сумма площадей боковой поверхности и основания.
S=
· r (l+r)
Пример: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, а высота конуса равна 12см. Найдите площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3. Сфера
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:Sсферы= 4
· R2
Пример: На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а. На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки?
Дано:
ABC – точки на сфере, AB=BC=AC=a
Найти: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
OH-высота пирамиды, OA=OB=OC=R, Н – центр описанной окружности.
Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора.
ВК – высота в АВС,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 16 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
Диаметр основания цилиндра равен 3м. высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 12, d = 5, AB = 15.
Длина образующей конуса – 15 см, диаметр его основания - 10 см. Найти высоту конуса.
Площадь осевого сечения конуса равна 48см2, его образующая составляет с плоскостью основания угол 450. Найдите площадь основания конуса.
Прямоугольный треугольник с катетами 4см и 8см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 25м2. Найти площадь сферы.
Вариант 2
Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 м2, а площадь основания – 8 м2. Найдите высоту цилиндра.
Диаметр основания цилиндра равен 1м. высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 6, d = 4, AB = 9.
Объём конуса равен 20
· дм3. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти высоту.
Площадь осевого сечения конуса равна 48см2, его образующая составляет с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь основания конуса.
Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 6см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 36м2. Найти площадь сферы.
Вариант 3
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 34 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
Диаметр основания цилиндра равен 6см. образующая цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 8, d = 6, AB = 10.
Объём конуса равен 16
· дм3. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти высоту.
Радиус основания конуса 5см, его высота 12см. Найдите площадь осевого сечения, длину образующей.
Прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 16м2. Найти площадь сферы.
Вариант 4
Площадь осевого сечения цилиндра равна 25 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.
Диаметр основания цилиндра равен 4см. образующая цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 15, d = 8, AB = 17.
Длина образующей конуса – 12 см, диаметр его основания - 16 см. Найти высоту конуса.
Радиус основания конуса 6см, его высота 12см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси конуса на расстоянии 2см от нее.
Прямоугольный треугольник с катетами 7см и 3см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 9м2. Найти площадь сферы.
Практическое занятие №24
«Решение упражнений на вычисление определённого интеграла»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться вычислять неопределенные и определенные интегралы;
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Неопределенный интеграл
Определение: Функцию 13 EMBED Equation.3 1415 называют первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение: Неопределенным интегралом ( f(x)dx от функции f(x) называется множество всех первообразных функции f(x), т. е.
13 EMBED Equation.3 1415,
Из формул дифференцирования основных элементарных функций можно получить таблицу неопределенных интегралов:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415;
6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) 13 EMBED Equation.3 1415;
9) 13 EMBED Equation.3 1415;
10) 13 EMBED Equation.3 1415;
11) 13 EMBED Equation.3 1415;
12) 13 EMBED Equation.3 1415;
13) 13 EMBED Equation.3 1415
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 ( постоянная;
5) 13 EMBED Equation.3 1415.
6) Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ( любая дифференцируемая функция, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где (((, вычисляются с использованием формул тригонометрии, преобразующих произведение тригонометрических функций в их сумму:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Найдите общий вид первообразных для функции : 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример : Найдите общий вид первообразных для функции: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: 13 EMBED Equation.3 1415
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Определение:
Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:
13 EMBED Equation.3 1415
[a;b] – отрезок интегрирования;
a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования.
Геометрический смысл – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Что значит решить определенный интеграл? Это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница:
Пример: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Пример:13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найдите множество первообразных функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Для функции f(x) = x3 найдите первообразную, график которой проходит через точку (-1; 1).
График одной из первообразных функции f(x) =1/3 x2+1 проходит через точку M(– 1; 10), а второй через точку N(2; – 6). График какой из них расположен выше?
Вычислить интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найдите множество первообразных функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Для функции f(x) = -x6 найдите первообразную, график которой проходит через точку (0; 1).
График одной из первообразных функции f(x) =1/2 x-1 проходит через точку M(1; 5), а второй через точку N(-9; 3). График какой из них расположен выше?
Вычислить интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найдите множество первообразных функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Для функции f(x) = -1/2 x найдите первообразную, график которой проходит через точку (3;1).
График одной из первообразных функции f(x) =1/4 x3 +1/2x проходит через точку M(1; 5), а второй через точку N(0; 3). График какой из них расположен выше?
Вычислить интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найдите множество первообразных функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 найдите первообразную, график которой проходит через точку (6;1).
График одной из первообразных функции f(x) = -1/3 x2 +1/2x проходит через точку M(1; 5), а второй через точку N(-1; 3). График какой из них расположен выше?
Вычислить интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №25
«Решение упражнений на вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла;
научиться находить уравнение движения с помощью определенного интеграла.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
I. Вычисление площади криволинейной трапеции
Пример:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Искомая площадь:
13 EMBED Equation.3 14
15Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0, на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
1. Строим линии в координатной плоскости.
2. S1=S2, по этому S=2S2
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение движения материальной точки
Т.к. S(t)- путь и V(t)=S((t), то для нахождения пути при известной скорости, необходимо:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Уравнение скорости материальной точки имеет вид: 13 QUOTE 1415 Напишите уравнение движения x = x(t).
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2t3 –t2
Пример:
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, второе - со скоростью 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 1415. На каком расстоянии друг от друга они окажутся они через 5с?
Решение:
Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5с:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 200м
Вариант 1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2+1, у=0, х=-1, х=2;
у=-х2-2х+8, у=0.
у=sinx, x=-(/6, x=(/6
у=4-х2, у=2х+1, y=0
Уравнение скорости материальной точки имеет вид: 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 14.15 Напишите уравнение движения S =S(t).
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в противоположном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, второе – со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 3 с?
Вариант 2
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=0,5х2+2, у=0, х=1, х=3;
у=-х2+6х-5, у=0, х=2, х=3;
у=cosx, x=(/6, x=5(/6
y=2х-х2+2, у=-х, у=0.
Уравнение скорости материальной точки имеет вид: 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 14.15 Напишите уравнение движения S =S(t).
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, а второе со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 3 с?
Вариант 3
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2, у=0, х=2;
у=-х2+2х+8, у=0.
у=sinx, x=-(/3, x=(/3
у=3х-х2, у=2х.
Уравнение скорости материальной точки имеет вид: 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 14.15 Напишите уравнение движения S =S(t).
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в противоположном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, второе - со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 1с?
Вариант 4
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=0,5х2-4х+10, у=0, х=3;
у=-3х2, у=0, х=1, х=2;
у=cosx, x=0, x=(
у=2х2, у=5-х.
Уравнение скорости материальной точки имеет вид: 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 14.15 Напишите уравнение движения S =S(t).
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, второе – со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 2с?
Практическое занятие №26
«Решение задач по теме «Объёмы тел»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
получить умения вычислять объемы многогранников и тел вращения.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Пример: Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если АС1=3
·2
Решение: Пусть ребро куба равно а, тогда из треугольника АDС:АС2=а2+а2=2а2.
Рассмотрим треугольник АСС1, найдем АС1:
АС12=a2+2a2=3а2 , выразим а
а=АС1/
·3 = 3
·2/
·3=
·6, значит V=(
·6)3=6
·6 (cм3)
Пример:Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если <ВАС=900, ВС=37см, АВ=35см, АА1=1,1дм
Решение:
V= SАВС* АА1 (по следствию 2)
SАВС =1/2 ВА* АС *cosА=1/2 ВА*АС
АС=
·(ВС2- АВ2) АС=12см.
SАВС=1/2 *35*12=210(см2)
V=SАВС*АА1
V=210*11=2310(см3)
Пример: Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, отсюда следует: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что одна сторона основания 6, высота 7, а диагональ боковой грани, содержащей неизвестную сторону основания равна 10.
Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если АС1=10
·6
Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если (ВАС=900, АС=8см, СВ=1дм, АА1=1,8дм
Найдите объем цилиндра, если в осевом сечении цилиндра получается прямоугольник АВСD со сторонами: АD = 8см (на основании), BC = 6 см
Найдите объем пирамиды, высота которой 5, а в основании - прямоугольник со сторонами 3 и 2.
Найдите объем конуса, образующая которого равна 3 и наклонена к плоскости основания под углом 600.
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 24. Найдите:
площадь поверхности шара;
его объем.
Вариант 2
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что одна сторона основания 8, высота 3, а диагональ боковой грани, содержащей неизвестную сторону основания равна 5.
Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если АС1=8
·2
Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если (ВАС=900, ВС=10см, АВ=8см, АА1=1,8дм
Найдите объем цилиндра, если в осевом сечении цилиндра получается прямоугольник АВСD со сторонами: АВ = 20см (на основании), АD = 10 см
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, высота–6.
Найдите объем конуса, образующая которого равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом 300.
Около шара описан цилиндр, объем которого равна 10/(. Найдите:
площадь поверхности шара;
его объем.
Вариант 3
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что одна сторона основания 8, высота 6, а диагональ боковой грани, содержащей неизвестную сторону основания равна 10.
Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если ВD1=8
·6
Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если (ВАС=900, АС=3см, СВ=5см, АА1=1дм
Найдите объем цилиндра, если в осевом сечении цилиндра получается прямоугольник АВСD со сторонами: АD = 6см (на основании), BC = 1 дм
Найдите объем пирамиды, высота которой 7, а в основании - прямоугольник со сторонами 8 и 3.
Высота конуса равна 8, образующая равна 10. Найдите его объем.
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 64. Найдите:
площадь поверхности шара;
его объем.
Вариант 4
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что одна сторона основания 9, высота 6, а диагональ боковой грани, содержащей неизвестную сторону основания равна 8.
Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если ВD1=10
·2
Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если (ВАС=900, ВС=5см, АВ=3см, АА1=1,1дм
Найдите объем цилиндра, если в осевом сечении цилиндра получается прямоугольник АВСD со сторонами: АВ = 1,6 дм (на основании), АD = 2 дм
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 5, высота–3.
Высота конуса равна 12, образующая равна 20. Найдите его объем.
Около шара описан цилиндр, объем которого равна 24/(. Найдите:
площадь поверхности шара;
его объем.
Практическое занятие №27
«Решение простейших задач на сочетания и размещения»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться находить количество элементов в перестановке, сочетании и размещении элементов;
научиться применять формулы комбинаторики при решении задач.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Размещения
Пусть А – множество, состоящее из элементов а1, а2,, аn.
Упорядоченные наборы, состоящие из k элементов множество А, будем называть размещениями из n элементов множества А по k элементов.
13 EMBED Equation.3 1415 – число размещений из n элементов по r элементов(r (n).
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 10 дней. Сколькими способами можно составить ему расписание, если в один день нельзя сдать более одного экзамена?
Решение: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (10 дней). Поскольку в расписании учитывается порядок экзаменов, то мы имеем дело с упорядоченными выборками, т.е. с размещениями.
13 EMBED Equation.3 1415
Перестановки
Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.
Pn – число перестановок из n элементов.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Сколькими способами могут 4 человека разместиться в 4-х местном купе железнодорожного вагона?
Решение: А = {1, 2, 3, 4} (4 места в купе вагона);
P4 = 4! = 1
·2
·3
·4 = 24.
Сочетания (неупорядоченные выборки)
Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов множества А, называются сочетаниями из n элементов по k элементов. (k13 EMBED Equation.3 1415 n).
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Подрядчику нужны 4 плотника, к нему с предложениями своих услуг обратилось 10 человек. Сколькими способами можно набрать рабочую силу?
Решение: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (плотники).
13 EMBED Equation.3 1415
Классическое определение вероятности
Определение: Вероятностью события А называются число P(А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:
13 EMBED Equation.3 1415где n – общее число исходов испытания, m – число исходов, благоприятствующих событию А.
Пример: В классе из 30 учеников, где 17 мальчиков и 13 девочек, наугад выбирается один. Какова вероятность того, что это мальчик?
Решение:
Обозначим через А событие: наугад выбранный ученик – мальчик.
Число благоприятных событию А исходов равно 17, т.е. т=17 , а число всех исходов равно 30, т.е. n=30, поэтому Р(А)=17/30.
Вариант 1
Проверьте равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных уроков?
Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестёрку?
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
Какова вероятность того, что наудачу выбранное число от 10 до 60 кратно 4?
Вариант 2
Проверьте равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
Сколькими способами из 7 членов президиума собрания можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, 0 ( цифры в этом числе не должны повторяться)?
Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Пете не выпадет.
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6.
Вариант 3
Проверьте равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 ( цифры в одном числе не должны повторяться)?
Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырёх для участия в праздничном концерте?
На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 30 до 60 является кратным 4.
Вариант 4
Проверьте равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
Сколькими способами из 9 различных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков?
Сколькими способами можно расставить на книжной полке тома 4-томника Эдгара По так, чтобы четвёртый том не стоял крайним слева?
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 20 до 80 является кратным 7.
Практическое занятие №28
«Решение простейших задач на вычисление вероятности»
Цель занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;
научиться находить коэффициенты бинома Ньютона;
научиться решать простейшие задачи на вычисление вероятности.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Бином Ньютона
Классическое определение вероятности
Определение: Вероятностью события А называются число P(А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:
13 EMBED Equation.3 1415
где n – общее число исходов испытания,
m – число исходов, благоприятствующих событию А.
Пример: Бросается один раз игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?
Решение: Опыт состоит в бросании игральной кости 1 раз и наблюдении за числом очков, появившихся на верхней грани.
Все исходы опыта: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число всех исходов: n = 6.
Рассмотрим событие А – выпало нечетное число очков. Исходы благоприятствующие А: 1, 3, 5. Число исходов, благоприятствующих А : m = 3
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?
Решение: Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть два, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 2:
Число благоприятствующих исходов:
Следовательно, искомая вероятность
Пример: В ящике находится 20 деталей, из них 8 бракованных. Из ящика наудачу извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажутся две бракованные детали.
Решение: Опыт состоит в выборе наудачу 5 деталей из 20. Все исходы опыта – множество сочетаний из 20 деталей (находящихся в ящике) по 5.
Число всех исходов опыта n=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим событие А – среди 5 деталей, извлеченных из ящика, две бракованные.
Если среди 5 деталей две бракованные, то остальные 3 небракованные. Тогда число исходов, благоприятствующих
событию А, можно найти по принципу умножения. Нужно выполнить одно за другим два действия: из 8 бракованных выбрать 2 детали и затем из 12 небракованных выбрать 3 детали. Первое действие можно выполнить n1=13 EMBED Equation.3 1415второе действие можно выполнить n2=13 EMBED Equation.3 1415 способами. Итак, m=n1.n2=13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем вероятность события А:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 1
Возведите в степень: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите коэффициент в разложении 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
Из ящика, в котором 10 белых и 6 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два черных?
Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первый раз попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Вариант 2
Возведите в степень: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите коэффициент в разложении 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415.
В кармане у Миши было четыре конфеты «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 пригласительных билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что только один автомат исправен.
Вариант 3
Возведите в степень: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите коэффициент в разложении 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415.
В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
В корзине находятся 5 красных и 4 синих мяча. Из корзины наудачу вынимают два мяча. Какова вероятность того, что они оба окажутся красными?
Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист два первых раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
Вариант 4
Возведите в степень: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите коэффициент в разложении 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415.
На рок-фестивале выступают группы по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Из ящика, в котором 8 белых и 4 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что два из них белые, а один черный?
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата исправны.
Практическое занятие №29
«Решение уравнений и неравенств»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений.
закрепить решение уравнений и неравенств различными способами.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Пример: Решить уравнение:
Возведем обе части уравнения в квадрат
Решая данное квадратное уравнение, находим
Проверка корней.
1) Если х = 42, то 2) Если х = 2, то
Значит, число 2 является
корнем уравнения.
Значит, число 42 не является
корнем уравнения.
Ответ. 2
Пример: Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Решить уравнение:
Решая квадратное уравнение находим,
Корень х = - 4, не удовлетворяет условию
Ответ. 0
Пример: Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415
Область определения функции найдём из условия
13 EMBED Equation.3 1415
Нули функции найдём, решив уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Проверкой убеждаемся, что 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем уравнения, а 13 EMBED Equation.3 1415 - корнем уравнения не является.
Определим знаки функции на полученных интервалах
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример . 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ (-10;20).
Вариант 1
Найдите корни уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решите следующие неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Найдите корни уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решите следующие неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Найдите корни уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решите следующие неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Найдите корни уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решите следующие неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №30
«Решение систем уравнений, уравнений и неравенств с параметрами»
Цели занятия:
закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений.
закрепить умения решения систем уравнений, уравнений и неравенств с параметрами.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Пример: Решите систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415
х=6 или х=7
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Данная система уравнений содержит два показательных уравнения, она сводится к системе двух рациональных уравнений первой степени.
13 EMBED Equation.3 1415
Путем сложения первого и второго уравнения, получаем:
2х=4, х=2.Тогда у = 3 - х, у = 3 – 2 =1;
Ответ: (2;1)
Пример: При каком значении а уравнение 2х2 + ах + 8 = 0 имеет один корень?
Решение. Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0.
D = а13 EMBED Equation.3 1415- 4·2·8
а2 – 4 · 2 · 8 = 0
a2 – 64 = 0
a2 = 64
a1= 8
a2 = - 8
Ответ: при а = 8, и при а = - 8 уравнение имеет один корень
Вариант 1
Решите систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из корней равен – 4, найдите другой корень этого уравнения и коэффициент р.
Вариант 2
Решите систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При каком значении а уравнение х2 - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?
Вариант 3
Решите систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При каком значении а уравнение х2 + 3ах + а = 0 имеет один корень.
Вариант 4
Решите систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В уравнении х2 + рх -28 = 0 один из корней равен 7, найдите другой корень этого уравнения и коэффициент р.
Литература
Основные источники
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11-в 2 частях, –М.:Мнемозина, 2013.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни, - 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.
Глазков Ю.А. Тесты по геометрии: 10 класс: : к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2012.
Дополнительные источники
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2012.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 1011 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2010.
Богомолов Н.В Практические занятия по математике:"Высшая школа", 2008
Дудицын Ю.П., Семенов А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. Контрольные работы в новом формате:-М.; 2011
Дудицын Ю.П., Семенов А.В. Алгебра и начала математического анализа. 11 кл. Контрольные работы в новом формате:-М.; 2011
Крайнева Л.Б. Тестовые материалы для оценки качества обучения Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. - М., 2013
Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Геометрия. 10 кл. Рабочая тетрадь- М., 2010
Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Геометрия. 11 кл. Рабочая тетрадь- М., 2010
Балаян Э.Н.Геометрия. Задачи на готовых чертежах. 10-11кл-Ростов-на-Дону; 2013
Саакян С.М, Бутузов В.Ф Изучение геометрии в 10-11кл. Кн. для учителя- М., 2010
Периодические издания
Журнал «Математика и логика»
Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»
Интернет-ресурсы
Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: http://sgtek.ru
http://www.riis.ru/PS/inet-class.html – Internet-класс по высшей математике: Вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов
http://www.exponenta.ru/educat/class/class.asp – Образовательный математический сайт «Экспонента»
http://www.edunews.ru/task/pre_c_math.htm – Государственное централизованное тестирование. Тест по математике
http://matembook.chat.ru/ – Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика
http://www.homebook.narod.ru/index.html – Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика, дифференциальные уравнения)
http://mathem.h1.ru/ – Математика on-line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические данные
http://www.helen.ukrbiz.net/index.htm – Контрольные работы по математике
http://www.history.ru/progmath.htm – Обучающие программы по математике
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/, http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/ – Онлайн-учебник по высшей математике (1-ый и 2-ой семестры)
http://www.mozg.ru/g3/rating/catalog – Каталог тестов
http://www.allmath.ru/ – Математический портал
13PAGE 15
13PAGE 15
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
13 EMBED MSPhotoEd.3 1415
(
B
А
C
D
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
1
у
х
0
1
1
-1
-1
0
х
у
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
S
А
О
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
"$2<>@LNVXТФ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·