урок по геометрии на тему Признаки равенства прямоугольных треугольников (7 класс)

Признаки равенства прямоугольных треугольников
(комбинированный урок геометрии в 7 классе
по учебнику Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. «Геометрия» 7 – 9)
Учитель математики МОУ СОШ № 11: Мелёшина В.В.
г. Орехово – Зуево, Московской области
Тип урока: комбинированный урок.
Цели урока:
повторение основных понятий и свойств по теме «Прямоугольный треугольник»;
формирование знаний по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»;
научить учащихся решать задачи на применение признаков равенства
прямоугольных треугольников;
развитие математического мышления;
развитие умения правильно и грамотно излагать свои мысли;
повышение мотивации учения и интереса к математике за счет включения в урок элементов проблемного обучения и за счет привлечения ИКТ.
Необходимое оборудование и материалы:
компьютер;
мультимедиапроектор;
интерактивная доска;
набор карточек трех цветов для каждого ученика.
Ход урока
Орг. момент.
Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы будем говорить о прямоугольном треугольнике, о его свойствах, познакомимся с признаками равенства прямоугольных треугольников, посмотрим применение этих признаков при решении задач и выполним самостоятельную работу по этой теме.
А начнем наш урок с проверки домашнего задания.
Проверка домашнего задания.
Двое учащихся готовят у доски чертежи и условие домашних задач.
Таблица с возможными решениями домашних задач.
№ 255
1 ученик Дано: ∆CDE, CD = DE
CF ED
D=54o
Найдите: ECF
Решение
∆CDE – равнобедренный, т.к. CD = DE
С = Е = (180о – 54о) : 2 = 63о( свойство углов при основании равнобедренного треугольника).
∆CFЕ – прямоугольный, т.к. CF ED
ЕCF = 90o - Е (по свойству острого угла в прямоугольном треугольнике)
ECF = 90о – 63о = 27о
Ответ: 27о
№ 257
2 ученик
Дано: ∆АВС, С = 90o
ВАК = 120o
АС + АВ = 18 см
Найдите: АС, АВ
Решение
ВАК – внешний угол ВАК = В +С =120о (свойство
внешнего угла треугольника)
Т.к. С = 90o В = 120о – 90о = 30о
Т.к. В = 30o, то АС = АВ (свойство катета, лежащего напротив угла равного 30о)
Т.к. АС + АВ = 18 см (по условию)
АВ + АВ =18 АВ = 12см, АС = 6 см
Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см
Игра «Ты мне, я тебе»:
(Учащиеся задают друг другу вопросы, выслушивают и оценивают ответы)
Возможные вопросы.
Какой треугольник называется прямоугольным?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Может ли иметь треугольник два прямых угла? Ответ объясните.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Каким свойством обладают острые углы прямоугольного треугольника?
Каким свойством обладает катет, лежащий напротив угла 30о?
Найдите острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
Каким свойством обладает медиана, проведенная к гипотенузе?
Заслушать решение домашних задач.
Дополнительный вопрос.
Какие геометрические утверждения были применены при решении задач?
Решение задач по готовым чертежам. (Слайды 2 – 6)
(Работа с сигнальными карточками.)
Ребята, у каждой задачи есть три ответа, которые записаны в прямоугольники разного цвета. Перед вами лежат цветные карточки. Вы должны устно решить задачу и по моей команде поднять карточку того цвета, на которой записан правильный ответ.
№ Задачи для тестовой работы Ответы
Слайд 2 Найдите второй острый угол прямоугольного треугольника, если один из них равен 37о. 53о
Слайд 3 Найдите острый угол прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна
10 см, а катет, лежащий напротив этого угла, равен 5 см 30о
Слайд 4 Чему равна гипотенуза, если катет, лежащий напротив угла 30о, равен 4 см? 8 см
Слайд 5 Найдите величину медианы, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, если гипотенуза равна 10 см. 5 см
Слайд 6 Определите вид треугольника, если медиана, проведенная из вершины одного из углов треугольника, равна половине противоположной стороны прямоугольный
Объяснение нового материала.
Запишите в рабочих тетрадях тему урока «Признаки равенства прямоугольных треугольников. (Слайд 7)
Сегодня мы самостоятельно попытаемся вывести признаки равенства прямоугольных треугольников, опираясь на ранее изученные теоремы. Нам потребуются признаки равенства треугольников.
Какие признаки равенства треугольников вы знаете?
А теперь решим задачу.
№ Задача 1
Слайд 8

Дано: ∆АВС,
ВН АС
АН = НС
Доказать: ∆АВН = ∆СВН

Доказательство
АН = НС (по условию)
АНВ = ВНС = 90о, т.к. ВН АС ∆АВН = ∆СВН
ВН – обшая
Слайд 9 Беседа Примерные ответы
1.По какому признаку равны треугольники?
2. Какие это треугольники? По I признаку
прямоугольные
3.Давайте сравним и проведем аналогию между первым признаком равенства треугольников и равенством данных прямоугольных треугольников. 4.Какой элемент всегда присутствует у любого прямоугольного треугольника? Прямой угол
5.Равенство, каких элементов нам известно? Два катета
6.Как можно сформулировать признак равенства для прямоугольного треугольника? Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
№ Задача 2
Слайд 10
Дано: АC = BD
B = C = 90o
1 = 2
Доказать: ∆АВD = ∆ACD

Доказательство
Рассмотрим ∆АВD и ∆ACD
B = C = 90o
АC = BD (по условию) ∆АВD = ∆ACD
1 = 2
Слайд 11 Беседа Примерные ответы
1.По какому признаку равны треугольники?
2. Какие это треугольники? По II признаку
прямоугольные
3.Давайте сравним и проведем аналогию. 4.Какой элемент всегда присутствует у любого прямоугольного треугольника? Прямой угол
5.Равенство, каких элементов нам известно? Катет и прилежащий к нему острый угол
6.Как можно сформулировать признак равенства для прямоугольного треугольника? Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
№ Задача 3
Слайд 12 Дано: ∆АВС и ∆МКР
С =Р = 90о
А = М
АВ = МК
Доказать:∆ АВС = ∆ МКР
Доказательство
∆АВС – прямоугольный и ∆МКР – прямоугольный
В =90о - А по свойству острых углов
К = 90о - М прямоугольного треугольника
А =М – по условию
В = К
Итак, В =К
А =М – по условию ∆ АВС = ∆ МКР
АВ = МК – по условию
Слайд 12 Беседа по слайду Примерные ответы
1.По какому признаку равны треугольники?
2. Какие это треугольники? По II признаку
прямоугольные
3.Какой элемент всегда присутствует у любого прямоугольного треугольника? Прямой угол
5. Какие элементы треугольника были известны? гипотенуза и острый угол
Сформулируйте новый признак равенства прямоугольных треугольников Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Ребята, мы смогли доказать три признака равенства прямоугольных треугольников, но существует еще один признак. (Слайд 13)
Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие
треугольники равны.
-258445231775(Доказательство этого признака проводит сам учитель)
Дано: ∆ АВС и ∆А1В1С1, С = С1 = 90о
ВС =В1С1
АВ = А1В1
Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1
Доказательство
Доказательство проведем методом наложения.
Т.к. С = С1 =90о, то ∆ АВС можно наложить на ∆ А1В1С1:
1. Вершина С совместится с вершиной С1
2. Сторона СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1В1
3. Вершина В совместится с вершиной В1, т.к. ВС =В1С1
4. Тогда и вершина А совместится с вершиной А1.Это утверждение надо
доказать.
Предположим, что А совместится с точкой А2,
тогда ∆ А1В1А2 – равнобедренный (А1В1 = А2В1)
А2 – острый, В1А1А2 – тупой, т.к. смежный с острым углом ∆ А1В1С1 .
А2 ≠ В1А1А2 – углы при основании, но это невозможно,
значит вершины А и А1 совместятся, а, следовательно, ∆ АВС полностью совместится с ∆ А1В1С1 ∆ АВС = ∆ А1В1С1
Мы рассмотрели все признаки равенства прямоугольных треугольников. А теперь давайте еще раз вспомним эти признаки. (Слайд 14)
(Учащиеся дают формулировки признаков равества прямоугольных треугольников).
Запишите в тетрадь признаки равенства прямоугольных треугольников
и сделайте соответствующие чертежи.
Слайд 14 1 По двум катетам
2 По катету и прилежащему к нему острому углу
3 По гипотенузе и острому углу
4 По гипотенузе и катету
Закрепление изученного материала
Устно решить задачи по готовым чертежам.
Слайд 15
Задача 1
Дано: AB║CD
АB = CD
F = D = 90o
Доказать: BF = ED
Доказательство
∆ АВF и ∆ CDE: F = D = 90o(по условию)
АB = CD (по условию)
АВF = ECD ( внутренние накрест лежащие углы при AB║CD и АС – секущей)
∆ АВF = ∆ CDE( по гипотенузе и острому углу)
BF = ED
Слайд 15
Задача 2
Дано: О(r)- окружность
МОВ = 90o
МО = ОЕ
Доказать: АЕ = МВ
Доказательство
∆ АОЕ и ∆ МОВ: МОВ = АОЕ = 90o(по условию)
МО = ОЕ (по условию) ∆ АОЕ = ∆ МОВ (по
АО = ОВ = r двум катетам)
АЕ = МВ (соответствующие элементы)
Решить задачу № 263 письменно у доски и в тетрадях.
24511037465
Дано: ∆ АВС, АВ = ВС
СС1ВВ1 = М
СС1 АВ, ВВ1 АС
МВС = 140о
Найти: А, В, С
Решение
∆ АВС – равнобедренный, т.к. АВ = ВС В = С
∆ ВВ1С = ∆ С1СВ по гипотенузе и острому углу (В1 = С1 =90о,
ВС – общая гипотенуза ,В = С – острые углы) ВВ1С = СС1В
значит ∆ ВМС – равнобедренный ВВ1С = (180о – 140о) : 2 = 20о
Из ∆ ВВ1С В = 90о – 20о = 70о (по свойству острых углов прямоугольных треугольников)
А = 180о – (70о +70о) = 40о
Ответ: 40о, 70о, 70о
Самостоятельная работа. Решите самостоятельно задачу (Слайд 16)
Вариант 1 Вариант 2

Доказать: AE =FC, BF = ED
Доказать: О – середина отрезка СD
Взаимопроверка (Слайд 16)
Обменяйтесь тетрадями и проверьте решение задач друг у друга.
Вариант 1 Вариант 2
Доказательство
1.Рассмотрим ∆ АBD и ∆ CBD
AD = BC
AB = CD ∆ АBD = ∆ CBD
DB – обшая ( по III признаку)
CBF = ADЕ
2.∆ АED и ∆ BFC
ВС = AD
CBF = ADЕ
∆ АED = ∆ BFC (по
гипотенузе и острому углу)
3. AE = CF, BF = ED (как соответствующие элементы) Доказательство
Рассмотрим ∆ АBD = ∆ CBD
(AO = OB – радиус окружности,
АОD =СОВ – вертикальные углы)
А = В = 90o
∆ АBD = ∆ CBD (по катету и прилежащему к нему острому углу)
DO = OC ( как соответствующие элементы)
точка О - середина DC
Критерии оценивания:
Доказательство в целом верное 5
Допущены неточности в формулировках геометрических утверждений 4
Пропущено хотя бы одно обоснование геометрических утверждений 3
Отсутствуют формулировки геометрических утверждений 2
Кто верно решил задачу? Поднимите зеленую карточку.
Итоги урока
Наш урок подошел к концу. Что нового вы узнали на уроке?
Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.
Для чего нужны признаки равенства прямоугольных треугольников?

Домашнее задание
Запишите домашнее задание:
п.35, вопросы 12,13.
решите задачи: № 262, № 265.
Спасибо за урок.