ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ВОПРОСОВ ПРИ РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ВОПРОСОВ ПРИ РЕШЕНИИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
А.Е. Девятерикова, учитель математики
МБУ «Школа № 66»,
г. Тольятти
Аннотация: В статье рассматриваются традиционные подходы к понятию учебной математической задачи. Представлено понимание текстовой задачи. Выявляются наиболее распространенные подходы к решению математической задачи. На основе выявленных видов учебных математических задач отдельно рассмотрены текстовые задачи на проценты. Показана целесообразность метода вопросов Д. Пойа при осуществлении поиска решении текстовых задач на проценты.
Ключевые слова: текстовая задача, этапы решения задачи, метод вопросов.
Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Учебные математические задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся. Задачи служат основой для формулирования и достижения дидактических целей обучения, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении. Особое место при обучении в школьном курсе математики занимают текстовые задачи. Их исследованию посвящены научные разработки видных ученых-методистов Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Г.Л. Луканкина, Е.И. Лященко, Д. Пойа, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, Л.М. Фридмана и др. Проведем анализ понятия «текстовая задача», опираясь на исследования этих ученых.
Таблица 1
Определения дефиниции «текстовая задача»
по Л. М. Фридману по Ю.М. Колягину
Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики.[4, с. 5] Текстовая задача является описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.[1, с. 16]
Подход Ю.М. Колягина отличается широтой и обобщенностью. Серьезное значение при таком подходе имеют модельные представления. Задача по Ю.М. Колягину есть не только цель обучения математике, но средство обучения. Средство обучения математике через проведение анализа и синтеза различных проблемных ситуаций, осуществление обобщений и проведение классификаций, и др., а также планирование своей деятельности в глобальном и локальном смыслах, осуществление рефлексии и саморегуляции. Л.М. Фридман, описывая свой подход к понятию текстовой задачи тщательно выписывает конкретные возможности текстовой задачи по использованию ее прикладных возможностей. Л.М. Фридман описывает алгоритм работы учителя и учащихся с задачей. Указывает путь к задачной ситуации, поиску решения, нахождению решения и проверки. Описывая структуру задачи автор указывает на то, что задача состоит из условия и требования. Требование задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме. Требований в задаче может быть несколько. Утверждения задачи называют условиями. В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Условия и требования взаимосвязаны [4, с. 7-8], работа с ними приводит к решению задачи, под которым понимают результат, т.е. ответ на требование задачи. Ответ в задаче получаем после прохождения по этапам решения задачи: 1 этап – анализ задачи; 2 этап – схематическая запись задачи; 3 этап – поиск способа решения задачи; 4 этап – осуществление решения задачи; 5 этап – проверка решения задачи; 6 этап – исследование задачи; 7 этап – формулирование ответа задачи; 8 этап – анализ решения задачи [4, c. 27].Изучение различных подходов к работе с учебной математической задачей позволяет особым образом выделить метод вопросов - целенаправленный поиск решения задачи, разработанный Д. Пойа [3, c. 35]. Метод состоит в последовательном разрешении следующих вопросов:
1. Понимание постановки задачи (Нужно ясно понять задачу; что неизвестно?; что дано?; в чем состоит условие?).
2. Составление плана решения (Нужно найти связь между данными и неизвестным. Не встречалась ли вам раньше эта задача? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу? Все ли данные вами использованы? Все ли условие?).3 Осуществление плана (Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?)4. «Взгляд назад» - изучение полученного решения (Нужно изучить найденное решение. Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?).Разработанный Д. Пойа метод вопросов к поиску и решению математической задачи формирует общий подход к работе над различными школьными математическими задачами. Для его конкретизации при работе с определенными видами задач рассмотрим их.
Таблица 2
Виды задач
Автор Классификация
Ю.М. Колягин - обучающие задачи (их структура содержит один неизвестный компонент);
- задачи поискового характера (т.е. те задачи, в структуре которых неизвестны два компонента);
- проблемные задачи (задачи с тремя неизвестными компонентами) [1, с. 22]
Л.М. Фридман - задачи, решаемые составлением уравнения, системы уравнений (или неравенств);
- задачи на доказательство;
- задачи на тождественные преобразования (на построение) [4, с. 12]
Лященко Е.И. - задачи на движение;
- задачи на части;
- задачи на проценты;
- задачи на работу;
- задачи на смеси, растворы, переливания [2, с. 36]
Д. Пойа - задачи на вычисление;
- задачи на построение;
- задачи на доказательство;
- задачи текстовые;
- задачи комбинаторного характера [3, c. 41]
Рассмотрим текстовые задачи, поскольку такие задачи обязательно имеются в материалах ЕГЭ и ГИА. Как показывает анализ результатов выполнения этих работ, не все учащиеся одинаково успешно с ними справляются, особую трудность вызывают задачи на проценты. Трудности мы связываем с рядом причин как объективного характера, так и субъективного. Трудности объективного характера мы связываем с тем, что впервые задачи на проценты появляются в 5 классе основной школы при изучении курса «Математика». Тогда же и происходит обучение решению различных типов задач на проценты. Используется арифметический способ решения, основанный на понимании смысла понятий «часть» и «целое», «доля», «обыкновенная дробь». Изучению текстовых задач на проценты отводится значительная часть учебного времени. Для усиления наглядности учебник снабжен разного рода иллюстрациями, чертежами, диаграммами. А затем задачи на проценты исчезают из поля зрения ученика и появляются уже в курсе алгебры 7-9 классов. Но появляются уже в ином качестве, не как «старый знакомый», а как совершенно новый объект изучения. Эти текстовые задачи направлены на формирование у школьников осмысленных навыков использования модельных представлений, реализуемых через уравнения, неравенства, их системы. Подход к решению этих задач приобретает налет формализма, под уравнениями, неравенствами, их системами выхолащивается содержательный смысл задачи, уходят из поля зрения данные величины вместе с их взаимосвязями и свойствами. Часто оказывается, что приобретенные в 5 классе навыки решения таких задач, становятся ненужными и просто забываются, а новые навыки, формируемые с расчетом на использование алгебраического метода решения, приобретаются с большим трудом, через многочисленные пробы и ошибки, если вообще приобретаются.
Поясним это на примере задачи, выделяя каждый из этапов решения задачи по Д. Пойа.
Пример. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?
1. Анализ текста задачи.
В результате анализа появится и будет заполнена следующая таблица, она позволит перейти к поиску пути решения задачи. Предположим, что первой «бедной» руды нужно взять x (т), тогда второй «богатой» руды пойдет (20-x) (т), чтобы всего получилось 20 т сплава. Теперь выясним, составляя пропорции, сколько чистой меди содержится в тоннах:
1) в x тоннах «бедной» руды: В 100 тоннах руды содержится 6 тонн чистой меди;
В x тоннах руды содержится U1 тонн чистой меди.
100x=6U1 ⇒ U1=6∙x100=0,06∙x ;2) в (20-x) тоннах «богатой» руды В 100 тоннах руды содержится 11 тонн чистой меди;
В (20-x) тоннах руды содержится U2 тонн чистой меди.
10020-x=11U2 ⇒ U2=11∙(20-x)100=0,11∙20-x;3) в 20 тоннах сплава В 100 тоннах руды содержится 8 тонн чистой меди;
В 20 тоннах руды содержится U3 тонн чистой меди.
10020=8U3 ⇒ U3=8∙20100=1,6 .Данные заносим в последнюю строку таблицы.
I («бедная» руда) II («богатая» руда) III (сплав)
Чистая медь (в %) 6 11 8
Руда (в тоннах) x 20-x 20
;
Чистая медь (в тоннах) 0,06∙x 0,11∙(20-x) 1,6
2. Поиск пути решения.
При смешивании «бедной» и «богатой» руд чистая медь также смешивается, и в нужном сплаве ее в чистом виде будет содержаться 1,6 тонн. Зная, что чистой меди в I руде было 0,06∙x тонн, а во II руде чистой меди было 0,11∙(20-x) тонн, составим уравнение
0,06∙x+0,11∙20-x=1,6 .
3. Осуществление плана решения.
Решив уравнение, получаем x=12 .4. Проверка.
При проведении проверки важно помнить что мы проверяем: правильность решения уравнения или правильность решения исходной текстовой задачи. Правильность решения уравнения проверяется непосредственной подстановкой. Правильность решения задачи, если внимательно поработать с ее содержанием, сводится к проверке уравнения.
Ответ: нужно взять 12 тонн «бедной» руды.
Подобные задачи решаются школьниками успешно только после специальной практической отработки. Понимание приходит тогда, когда школьники самостоятельно начинают использовать при работе над задачей метод вопросов Д. Пойа, используя при этом имеющиеся знания и дробях, процентах, пропорциях и пр.
Литература
1. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. В 2 т. Т. 2 / Ю.М. Колягин. – М. : Просвещение, 1997. – 155 с.
2. Лященко, Е.И. Проблема задач в школьном курсе математики / Е.И. Лященко // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы : Межвузовский сборник научных трудов. – Л. : ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1981. – С. 3-13.
3. Пойа, Д. Как решать задачу : Пособие для учителей / Д. Пойа. - М. : Учпедгиз, 1961. – 207 с.
4. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи : Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М. : Просвещение, 1989. – 192 с.