Развитие самостоятельности мышления учащихся при решении текстовых задач по математике

Развитие самостоятельности мышления учащихся при решении текстовых задач по математике
Развитие у детей логического мышления – одна из важнейших задач обучения математике. Умение логически мыслить, анализировать, сравнивать, делать выводы, выполнять умозаключения, сравнивать свои рассуждения по определённым законам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала.
Главная работа по развитию логического мышления проводится при решении текстовых задач, так как в каждой задаче имеются огромные возможности для этого.
Как известно, решение текстовых задач предполагает сложную умственную деятельность. Для того чтобы овладеть ею, необходимо, во-первых, иметь ясное представление об объектах и сущности, во-вторых, предварительно освоить элементарные действия и операции, из которых состоит эта деятельность. И, наконец, знать основные методы её выполнения и уметь ими пользоваться. Имея теоретическую базу, учащийся при решении задачи сразу ищет последовательность общих положений математики (определений, теорем, правил, формул) и находит решение. Причём каждый старается решить задачу самостоятельно и своим способом.
Текстовые задачи по математике несут ряд важных функций. В частности, процесс их решения, являясь иллюстрацией практического применения математики, способствует формированию математических знаний и умений, а также служит объектом для отработки умений самостоятельной работы учащихся. Решение практической задачи подразделяется на три этапа: этап формализации (переход от практической ситуации, положенной в основу задачи, к математической постановке), этап применения математических методов, этап интерпретации результатов в условиях сопоставления с исходной ситуацией.
В процессе решения задачи алгебраическим методом естественно происходит формирование таких умений, как умения планировать свою деятельность, мотивировать каждый шаг, внимательно воспринимать информацию, логически осмысливать условие и результаты, рационально записывать результаты своих действий, осуществлять самоконтроль. Решение текстовых задач будет содействовать формированию универсальных учебных действий: Познавательные УУД: - выделение задачи из предложенных текстов; -формулирование условия, вопроса, ответа задачи; - осуществление поиска необходимой информации для выполнения учебного задания с использованием дополнительной литературы; - добывание новых знаний: извлечение информации, представленной в разных формах (текст, схема, иллюстрация); - использование различных способов моделирования текстовой задачи: схемы, таблицы, рисунка, краткой записи, диаграммы; - анализ задач, определение корректности формулировок, дополнение условия задачи недостающими данными или вопросами;- осуществление синтеза как составления целого из частей; - решение составных задач: построение модели задачи, планирование хода решения, реализация построенного плана, запись решения и ответа; -осуществление смыслового чтения текста задачи, выделение существенной информации; -установление причинно-следственных связей; - выдвижение гипотез и их обоснование; - сравнение условий различных задач и их решения, выявление сходства и различия; - анализ задачи, логическое обоснование выполненных действий с помощью общих правил. Коммуникативные УУД: - выстраивать коммуникативно-речевые действия, направленные на учет позиции собеседника - выстраивать конструктивные способы взаимодействия с окружающими; - строить понятные для партнера высказывания. -договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности; - учитывать разные мнения и стремиться к координации разных позиций в сотрудничестве; - договариваться и приходить к общему мнению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов; - уметь задавать вопросы; -умение высказываться, используя математическую терминологию; -умение взаимодействовать с одноклассниками в паре, в группе Регулятивные УУД: -ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно; -принимать и сохранять учебную задачу; - определять цель деятельности на уроке с помощью учителя и самостоятельно; - планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации; - определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата; - составлять план и последовательность действий; - осуществлять контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; - внести необходимые дополнения и коррективы в план и способ действия в случае расхождения эталона; - адекватно воспринимать оценку учителя и учащихся. Личностные УУД: - понимать значение границ собственного знания и «незнания»; - осознать необходимость самосовершенствования; - адекватно судить о причинах своего успеха или неуспеха в учении; - умение связывать успехи с усилиями, трудолюбием; - осознание правил взаимодействия в группе. - воспитание терпения, настойчивости, воли.
Остановимся на решении задач при помощи уравнения.
При обучении школьники усваивают, что, решая текстовую задачу, необходимо пройти три этапа: записать условие задачи на алгебраическом языке, решить алгебраическую задачу известным способом, сопоставить решение с условием текстовой задачи. А ведь это не что иное, как приобретение умений самостоятельно спланировать свою деятельность, поэтапно исполнить и проверить свои действия в ходе непосредственной работы над задачей.
Несколько лет я использую в работе учебно-методический комплекс Муравиных, благодаря которому ребята перестают бояться задач и получают возможность лучше подготовиться к ОГЭ. В учебниках 7,8 и 9 классов содержится практикум по решению текстовых задач, который значительно облегчает работу учащихся по составлению уравнения к задаче. Здесь подробно рассмотрены такие типы задач:
Задачи на выполнение плановых заданий
Задачи на изменение количества
Задачи на сплавы и смеси
Задачи на определение площади прямоугольника
Задачи на движение
К каждой задаче практикума дана рекомендация о том, какую величину следует обозначить за х, а также ряд вопросов, отвечая на которые ученик составляет уравнение. Параллельно составляется таблица. На первых уроках при изучении темы «Математическая модель текстовой задачи» основное внимание я уделяю составлению уравнения, т.е. выполнению первого этапа решения задачи
Задача 1. Из пункта М в пункт N со скоростью 15 км/ч выехал велосипедист, а через 16 минут вслед за ним выехал другой велосипедист, проезжавший в час 18 км. Чему равно расстояние, если второй велосипедист прибыл в пункт N одновременно с первым?
1 этап
Обозначив время движения второго велосипедиста (в часах) буквой х, выразите:
А) время движения первого велосипедиста в часах;
Б) путь, проделанный вторым велосипедистом;
В) путь, проделанный первым велосипедистом.
Учитывая, что велосипедисты проехали одно и то же расстояние, составьте уравнение.
Первый этап решения задачи обычно представляют в виде таблицы.
Велосипедист
Скорость, км/ч

Время,
ч
Расстояние,
км

1
15
Х+16/60
15(х+16/60)

2
18
х
18х

Получим уравнение 15(х+16/60)=18х.
При составлении таблицы полезно обращать внимание учащихся на то, как легко выражается третья величина после того, как заполнены два столбца таблицы. Отработав это на простых задачах, проще переходить на дробно-рациональные уравнения.
Задача 2.
Из пункта А в пункт В, расположенных на расстоянии 100км, отправился автобус со скоростью 36км/ч. Как только автобус проехал пятую часть пути, в след за ним выехала машина. В пункт В они прибыли одновременно. Найдите скорость машины в км/ч.
Обозначим за х скорость движения машины в км/ч, заполним таблицу.

Скорость, км/ч
Время, ч
Расстояние, км

Автобус
36
100/36
100

Машина
х
100/х
100

Так как автобус проехал пятую часть пути, когда выехала машина, то 100/х+20/36=100/36
Поиск различных способов решения задачи – эффективный приём, который позволяет глубже раскрыть взаимосвязь между величинами и является одним из способов проверки решения задачи. Полезно направить действия учащихся на поиск других способов решения, их сравнение и выбор наиболее рационального. Такая работа окажет положительное влияние на развитие мышления и умения решать задачи.
Задача 3. Сумма двух положительных чисел равна 187. При делении большего из них на меньшее в частном получается 4, а в остатке 2. Найдите эти числа.

Решение 1
1 этап.
х- большее число, у- меньшее число, то х+у=187; х=4у+2.
2 этап
Х+у=187,
Х=4у+2.
х=150;
У=37

3 этап.
Большее число равно 150, меньшее равно 37.

Решение 2
1 этап.
Х-большее число,
187-х-меньшее число,
Х=(187-х)4+2.
2 этап
Х-(187-х)4-2=0,
Х-748+4х-2=0,
5х=750,
Х=150.

3 этап.
Большее число равно150, меньшее равно 177-150, т.е.37
Решение 3
1 этап.
Х-большее число,
187-х-меньшее число,
187-х=4х+2.
2 этап.
187-х-4х-2=0,
5х=185,
Х=37.

3 этап.
Меньшее число равно 37, большее 187-37, т.е. 150

Демонстрация нескольких решений одной и той же задачи позволяет учащимся не просто ознакомиться с различными подходами, ведущими к составлению уравнений, но и сравнить их с позиции целесообразности и эффективности.
Например, рассмотренная задача допускает три варианта решения, причём предпочтительнее оказался третий вариант, в котором уравнение выглядит более просто и решается легче. Таким образом, учитель не навязывает свой способ решения задачи, демонстрируя несколько вариантов, даёт возможность ученику сделать самостоятельный выбор.
Проанализировав ряд задач, содержащихся в сборниках для подготовки к ОГЭ, можно выделить среди них такие, которые требуют введения большого количества переменных. Необходимо приучать выпускников не бояться этого. Хитрость состоит в том, что искать нужно не их значения, а разность или отношение (смотря о чём говорится в условии ).
Задача 4. Семья состоит из мужа, жены и дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 60%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Пусть х - зарплата мужа, у - жены,z - стипендия дочери

Реальная ситуация
Первое предположение
Второе предположение

Муж
х
2x
X

Жена
y
y
Y

Дочь
z
z
Z/2

Общий доход
х+y+z
2x+y+z
X+y+z/2

Нетрудно заметить, что общий доход в первом случае отличается от реального на х, что составляет 60%, а во втором случае на z/2, что составляет 2%. Таким образом, зарплата мужа – 60% общего бюджета, стипендия дочери – 4%, значит, остальное – зарплата жены.
100-(60+4)=36(%).
Обычно, затруднения у учащихся возникают на первом этапе, т.е. при составлении уравнения или системы уравнений. Я предлагаю рассмотреть задачу, к которой несложно составить систему, однако решается она нестандартным способом.
Задача 4. Три автомашины различной грузоподъёмности могут вывезти товар со склада, сделав по восемь рейсов. Если первая и вторая автомашина совершат только по два рейса, то третьей, чтобы вывезти весь оставшийся товар, придётся выполнить шестнадцать рейсов. Сколько рейсов нужно совершить второй автомашине, чтобы перевезти товар полностью, если первая уже выполнила пять рейсов, а третья - двенадцать?
Обозначив х у z грузоподъёмности автомобилей,n – количество рейсов, которое нужно совершить второй автомашине, приходим к системе:
8х+8у+8z=1
2х+2у=16z=1;
5х+ny+12z=1.
Умножим третье уравнение системы на два и вычтем из него второе, получим
8х+(2 n-2)y+8z=1.Сравнивая это уравнение с первым, нетрудно догадаться, что
2n-2=8, значит n=5.

15