Демонстрации на уроках физики

Методы расчета резисторных схем постоянного тока.
Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда»
· «треугольник»
Задача 1: В электрических цепях (рис. 1 и 2) сопротивление RAB между зажимами A и B и сопротивление RCD между зажимами C и D равны, а сопротивления резисторов R1, R2 и R3 
· заданы. Найдите все возможные значения сопротивления Rx.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вначале немного теории:Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R1 и R2, включенные последовательно (Рис. 1), можно заменить одним резистором сопротивлением
R1 + R2.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если резисторы включены параллельно (Рис. 2), то их можно заменить одним резистором сопротивлением
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения.Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (Рис. 3) в «треугольник» (Рис. 4), и наоборот.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r1 соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R13 подключен к точкам 1 и 3.Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек).Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 + r2, в «треугольнике»
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3.
13 INCLUDEPI
·CTURE "http://fizportal.ru/z/9-7.jpg" \* MERGEFORMATINET 1415
Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Эти выражения легко запомнить:знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Аналогично получают и формулы обратного преобразования:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Последние выражения также легко запомнить и проверить: числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.А теперь приступим к решению задачи:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Наиболее просто сопротивления RAB и RCD можно вычислить, если соединение «треугольником» резисторов R1, R2 и Rx (на рисунках 5 и 6 оно обведено пунктирным контуром) заменить эквивалентным соединением «звездой» (рис. 7 и 8).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На данном этапе мы воздержимся от пересчета «треугольника» в «звезду», а будем считать, что rA, r1 и r2 нами уже найдены. Поскольку RAB = RCD, то и RMB = RND, так как rAсоединено последовательно с каждым из них:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Так как в последнем уравнении знаменатели равны, то должны быть равны и числители:
(rx + R3)(r2 + Rx) = (rx + Rx)(r2 + R3).
После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Такое равенство возможно в двух случаях:
Rx = R3 
· это один корень уравнения;
r1 = r2.
Данное равенство указывает на симметрию соединения «звездой», но симметрия «звезды» возможна только тогда, когда и исходная схема соединения «треугольником» обладает подобной симметрией, то есть когда R1 = Rx 
· это второй корень уравнения. Других решений у составленного нами уравнения нет. Следовательно, возможны только два значения Rx:
Rx = R1 и Rx = R3.
При внимательном анализе схем (рис. 1 и 2) оба решения легко «угадываются», но их единственность не очевидна.
Заголовок 3Заголовок 415