Контрольно-оценочные средства по математике для учащихся 11 классов
Сборник практических работ
по учебной дисциплине Математика
специальность 230115 Программирование в компьютерных системах
Москва, 2015 г.
Практическая работа №1
Тема: «Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка, используя свойства определителей».
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению определителей. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Вычисление определителей».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по вычислению определителей.
Ответить на контрольные вопросы.
Задание
Выполнить практическую работу по вычислению определителей 2 и 3-го порядков.
Вариант 1
Вычислить определители:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Решить неравенство и уравнение:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Контрольные вопросы:
1. Дать определение определителя второго порядка.
Дать определение определителя 3-го порядка.
Символическая запись алгебраического дополнения.
Перечислить основные свойства определителей (с примерами).
Вариант 2
Вычислить определители:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Решить неравенство и уравнение:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Контрольные вопросы:
Дать определение определителя второго порядка.
Дать определение определителя 3-го порядка.
Символическая запись алгебраического дополнения.
Перечислить основные свойства определителей (с примерами).
Вариант 3
Вычислить определители:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Решить неравенство и уравнение:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Контрольные вопросы:
Дать определение определителя второго порядка.
Дать определение определителя 3-го порядка.
Символическая запись алгебраического дополнения.
Перечислить основные свойства определителей (с примерами).
Вариант 4
Вычислить определители:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Решить неравенство и уравнение:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Контрольные вопросы:
Дать определение определителя второго порядка.
Дать определение определителя 3-го порядка.
Символическая запись алгебраического дополнения.
Перечислить основные свойства определителей (с примерами).
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач.
Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415- элемент матрицы; i-номер строки; i=1,,m; j-номер столбца, j=1,,n; m, n – порядки матрицы. При m=n 13 EMBED Equation.3 1415- квадратная матрица.
Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице 13 EMBED Equation.3 1415, называется число 13 EMBED Equation.3 1415.
Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.
Свойства определителей.
При транспонировании матрицы определитель не меняется.
При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.
При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.
Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
Определитель равен нулю, если
- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.
- две строки (столбца) одинаковы.
- две строки (столбца) определителя пропорциональны.
Методы вычисления определителей.
1). Разложение по строке или столбцу.
2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).
3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.
4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель 13 EMBED Equation.3 1415- го порядка равен сумме произведений всех его миноров 13 EMBED Equation.3 1415-го порядка, стоящих в выделенных 13 EMBED Equation.3 1415строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.
Примеры
1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем
Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе 13 EMBED Equation.3 1415 нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В 13 EMBED Equation.3 1415 единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать 13 EMBED Equation.3 1415 по второй строке:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом окончательно получим
13 EMBED Equation.3 1415
2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим
13 EMBED Equation.3 1415
Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов).
13 EMBED Equation.3 1415
Практическая работа №2.
Тема: Выполнение операций над матрицами.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по выполнению операций над матрицами. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Выполнение операций над матрицами».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по выполнению действий над матрицами.
Ответить на контрольные вопросы.
Задание
Выполнить практическую работу по выполнению действий над матрицами.
Вариант 1.
Перемножить матрицы, указать размерность полученной матрицы:
13EMBED Equation.DSMT41415 2) 13EMBED Equation.DSMT41415
3) 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 4) 13EMBED Equation.DSMT41415
Транспонировать матрицу: 1)13EMBED Equation.DSMT41415 2) 13EMBED Equation.DSMT41415
Вычислите определитель матрицы по элементам первой строки:
1)13EMBED Equation.DSMT41415 2) 13EMBED Equation.DSMT41415 3) 13EMBED Equation.DSMT414154) 13EMBED Equation.DSMT41415
4. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= 13 QUOTE 1415- 3x + 9,
5. Найти алгебраические дополнения матрицы А= 13 QUOTE 1415
Контрольные вопросы:
1.Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали.
2.Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы.
3.Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.
4.Свойства ассоциативности и коммутативности матриц.
5.Приведение матриц к ступенчатому виду методом.
6.Алгебраическое дополнение элемента.
7.Разложение определителя по строке или столбцу.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
1.Перемножить матрицы, указать размерность полученной матрицы:
1) 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 2) 13EMBED Equation.DSMT41415
3) 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 4)13EMBED Equation.DSMT41415
2. Транспонировать матрицу: 1)13EMBED Equation.DSMT41415 2) 13EMBED Equation.DSMT41415
3. Вычислите определитель матрицы по элементам первой строки:
1)13EMBED Equation.DSMT41415 2) 13EMBED Equation.DSMT41415 3) 13EMBED Equation.DSMT41415 4) 13EMBED Equation.DSMT41415
4. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= 13 QUOTE 1415 - 2x + 3.
5. Найти алгебраические дополнения 13 QUOTE 1415 матрицы А= 13 QUOTE 1415.
Контрольные вопросы:
1.Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали.
2.Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы.
3.Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.
4.Свойства ассоциативности и коммутативности матриц.
5.Приведение матриц к ступенчатому виду методом.
6.Алгебраическое дополнение элемента.
7.Разложение определителя по строке или столбцу.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415- элемент матрицы; i-номер строки; i=1,,m; j-номер столбца, j=1,,n; m, n – порядки матрицы. При m=n 13 EMBED Equation.3 1415- квадратная матрица.
Определение. Алгебраическим дополнение 13 EMBED Equation.3 1415 элемента 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, равное 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Дополнительным минором 13 EMBED Equation.3 1415элемента 13 EMBED Equation.3 1415 матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
13 EMBED Equation.3 1415.
Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.
Матрицы, операции над матрицами
Определение. Суммой матриц одного порядка 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415 с элементами 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Определение. Произведением матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 на число 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415 того же порядка с элементами 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Произведением матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 на матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415 с элементами 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры
Вычислить выражение 13 EMBED Equation.3 1415, если
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Прежде всего преобразуем матрицу 13 EMBED Equation.3 1415, используя определение произведения матрицы на число
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём теперь 13 EMBED Equation.3 1415. По определению, чтобы получить матрицу 13 EMBED Equation.3 1415небходимо в 13 EMBED Equation.3 1415 поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим теперь искомое выражение
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить выражение 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой матричный многочлен
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - единичная матрица.
Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставив всё это в 13 EMBED Equation.3 1415, имеем
13 EMBED Equation.3 1415..
Практическая работа №3.
Тема: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Цель: пользуясь элементарными преобразованиями получить в первых - строках и - столбцах расширенной матрицы единичную матрицу.
Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по решению систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Выполнение операций над матрицами».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по решению СЛАУ методом Гаусса.
Ответить на контрольные вопросы.
Выполнить практическую работу по решению СЛАУ.
Задание
Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, зафиксировав прямой и обратный ход:
1. Решить следующие системы уравнений:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ж) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 з) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Контрольные вопросы:
1.Понятие СЛАУ.
2. Алгоритм метода Гаусса.
3. Понятие прямого хода.
4. Понятие обратного хода.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №4.
Тема: Решение систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Системы n линейных уравнений с n переменными».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить самостоятельную работу по решению СЛАУ.
Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A ( 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
13 EMBED Equation.3 1415
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = (i/(, где
( = det A, а (i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
(i = 13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
13 EMBED Equation.3 1415
A = 13 EMBED Equation.3 1415; (1= 13 EMBED Equation.3 1415; (2= 13 EMBED Equation.3 1415; (3= 13 EMBED Equation.3 1415;
x1 = (1/detA; x2 = (2/detA; x3 = (3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:13 EMBED Equation.3 1415
( =13 EMBED Equation.3 1415 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при ((0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = = xn = 0.
При ( = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
13 EMBED Equation.3 1415; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.
Выполнить самостоятельную работу по решению систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.
Практическая работа №4.
Вариант 1
1.13 QUOTE 1415
2.13 QUOTE 1415
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Практическая работа №4.
Вариант 2
1.13 QUOTE 1415
2.13 QUOTE 1415
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Контрольные вопросы:
1.Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи.
2.Расширенная матрица системы.
3.Однородные и неоднородные системы уравнений.
4.Решение однородной и неоднородной систем по формулам Крамера.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
2) Задание.
3) Формулы и расчеты по ним.
4) Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №5
Тема: Выполнение операций над векторами.
Цель: научить обучающихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов и метода координат при решении геометрических задач. Проверить умения и закрепить навык преобразования векторов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2010.
Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону.: Феникс, 2011.
Учебное пособие Пахнющий А.А. «Геометрия» –Ставрополь, институт образования, 2012.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Теоретический материал и примеры нахождения различных уравнений прямой.
1. Определение векторов
Существует несколько видов определения векторов:
1. Два вектора называют равными, если их соответствующие координаты равны, или же они имеют одинаковую длину и направление (рис.3). Понятие равенства векторов позволяет отвлечься от расположения отрезка на плоскости или в пространстве и выделить длину и направление " в чистом виде".
2. Два вектора одинаковой длины, но противоположного направления, называются противоположными (рис.4). Вектор, противоположный вектору , обозначается через вектор .
3. Векторы называют коллинеарными если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой (рис.5). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
4. Три вектора считаются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки расположены в одной плоскости или же в параллельных плоскостях (рис.6). Векторы компланарны только при условии что точки лежат в одной плоскости.
5. Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка, или расстояние между началом и концом вектора. Обозначается как или .
2. Действия над векторами
1.3.1 Сложение векторов
Суммой векторов и называется вектор .
Теорема: Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство .
Доказательство: Пусть, данные точки. Вектор АВ имеет координаты , вектор ВС имеет координаты . Следовательно вектор АВ+ВС имеет координаты. А это и есть координаты вектора АС. Значит, векторы АВ+ВС и АС равны. Теорема доказана.
Свойства суммы векторов
1. Переместительное свойство: для любых векторов
2. Сочетательное свойство: для любых векторов .
3. Свойство нулевого вектора: для любого вектора
4. Существование и единственность противоположного вектора: для любого вектора существует, и притом только единственный, вектор , такой, что . Вычитание векторов - это операция обратная операции сложения. Вычесть из вектора вектор - значит найти такой вектор, который в сумме с вектором , даст вектор .
3. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведение векторов и называется число .
Теорема: Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними., где - угол между векторами.
Определение. Угол между двумя ненулевыми векторами - это величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. Угол между векторами не зависит от выбора той точки, от которой он откладываются.
Раздел 2. Практическая часть
2.1 Решение геометрических задач
Задача 1. Даны 4 точки А (2; 7; - 3), В (1; 0; 3), С (-3; - 4; 5), D (-2; 3; - 1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DС, АD, АС и ВD равные векторы
Решение. Надо найти координаты указанных векторов и сравнить соответствующие координаты. Таким образом, векторы АВ и DС равны. Другой парой равных векторов будут ВС и АD.
Задача 2: Даны 4 точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1;2), С (3; 1; 0), D (2; - 3;1). Найдите косинус угла между векторами АВ и СD.
Решение Координатами вектора АВ будут 1-0=1, - 1-1=-2, 2- (-1) =3 .
Координатами вектора СD будут 2-3=-1, - 1-3=-4, 1-0=1 .
Задача 3. АВСDА1В1С1D1 - параллелепипед. Докажите, что для всякой точки О выполняется равенство ОА+ОС1 =ОВ1 +ОD=ОА1 +ОС
Решение: Запишем первое из этих равенств ОА+ОС1 =ОВ1 +ОD. Оно равносильно такому ОА-ОD= ОВ1-ОС1, которое в свою очередь равносильно такому DА=С1В1. А последнее равенство в параллелепипеде выполняется. Аналогично доказывается и второе равенство.
Задание:
Вариант 1
Задача №1 Даны точки А(-1;-2;6) и В(1;-1;3). Найдите длину вектора АВ.
Задача №2 Даны точки А(-1;2;4) и В(1;5;-3). Разложите вектор АВ по координатным векторам.
Задача №3 Докажите, что треугольник с вершинами А(5;1), В(1;-3) и С(-1;-1) прямоугольный.
Задача №4 Являются ли векторы коллинеарными а(2;4;6), в(4;8;12)? Дайте определение коллинеарных векторов и компланарных.
Задача №5 Даны две вершины параллелограмма А(-3;-2;2) , В(1;-1;0) и точка пересечения его диагоналей Е(2;0;-1). Определите две другие вершины этого параллелограмма.
Задача №6Даны векторы а(-1;3;-2), в(1;5;-3), с(5;-3;1). Найдите вектор р=(2а-4в)-2с.
Задача №7Доказать, что внутренние углы треугольника А(3;-2;5) , В(-2;1;-3), Р(5;1;-1) острые.
Задача №8Найдите длины диагоналей АС и ВД параллелограмма АВСД, если А(1;-3;0); В(-2;4;-1) и С(-3;1;1).
Задача №9Проверьте, что векторы а(3/7;1/2;-3/4), в(-3/2;6;4/3) и с(9/8;-9/2;-1) компланарны.
Задача №10Известны координаты вершин треугольника: А(-2;-3;8), В(2;1;7), С(1;4;5). Найдите координаты точки пересечения медиан этого треугольника.
Вариант 2
Задача №1Даны точки А(-1;0;6) и В(1;1;3). Найдите длину вектора АВ.
Задача №2Даны точки А(1;2;-4) и В(1;5;-3). Разложите вектор АВ по координатным векторам.
Задача №3Докажите, что треугольник с вершинами А(6;2), В(2;-2) и С(0;2) прямоугольный.
Задача №4Являются ли векторы коллинеарными а(3;4;-6), в(6;8;-12)? Дайте определение коллинеарных векторов и компланарных.
Задача №5Даны две вершины параллелограмма А(-3;-2;-2) , В(1;1;0) и точка пересечения его диагоналей Е(2;1;-1). Определите две другие вершины этого параллелограмма.
Задача №6Даны векторы а(-1;4;-2), в(1;2;-3), с(5;-3;1). Найдите вектор р=(2а-3в)-2с.
Задача №7 Доказать, что внутренние углы треугольника А(1;-2;5) , В(-2;0;-3), Р(5;1;-1) острые.
Задача №8Найдите длины диагоналей АС и ВД параллелограмма АВСД, если А(1;-3;0); В(-2;4;-1) и С(-3;0;1).
Задача №9 Проверьте, что векторы а(3/7;1/2;-3/5), в(-3/2;6;2/3) и с(9/8;-9/2;-1) компланарны.
Задача №10Известны координаты вершин треугольника: А(-3;-3;6), В(2;1;0), С(1;4;-5). Найдите координаты точки пересечения медиан этого треугольника.
Контрольные вопросы:
Понятие вектора.
Виды векторов.
Действия над векторами со свойствами.
Отчет:
Наименование и цель работы.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа № 6
Тема: Уравнение прямой на плоскости.
Цель: Проверить на практике знание понятия уравнения прямой: нормальное уравнение прямой, стандартное уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом, каноническое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, параметрическое уравнение прямой. Проверить умения и закрепить навык нахождения различных уравнений прямой.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2010.
Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону.: Феникс, 2011.
Учебное пособие Пахнющий А.А. «Геометрия» –Ставрополь, институт образования, 2012.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Теоретический материал и примеры нахождения различных уравнений прямой.
Общие уравнения прямой.
Рассмотрим систему уравнений первой степени
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Каждое из этих уравнений является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны, то система определяет прямую линию, как линию пересечения двух плоскостей. Эти уравнения называют общими уравнениями прямой.
Параметрические уравнения прямой.
Пусть прямая L задана точкой M1(x1,y1,z1) и направляющим вектором [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный этой прямой или лежащей на ней.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z,) на прямой L и радиусы-векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]где t- множитель, называемый параметром.
Уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется векторным уравнением прямой.
Перепишем это уравнение в векторной форме: так как
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
то отсюда получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Полученные уравнение называются параметрическими уравнениями прямой.
Выразим из этих уравнений параметр t :[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
получим каноническое уравнение прямой:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Уравнение прямой проходящее через две точки.
Пусть прямая L проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). За направляющий вектор[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] прямой L примем вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Тогда канонические уравнения этой прямой запишутся так:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Угол между двумя прямыми.
Пусть две прямые в пространстве L1 и L2 заданы уравнениями:
(L1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (L2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
За угол между двумя прямыми принимают один из смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов равен углу
· между направляющими векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]данных прямых, так как
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
то условие параллельности и перпендикулярности двух прямых запишутся так:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Тогда уравнение прямой в каноническом виде запишется так:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Отсюда получаем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Обозначим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Вычисление угла между двумя прямыми.
Пусть две пересекающиеся в точке M прямые l1 и l2 заданы уравнениями:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пусть прямая l1 образует с осью OX угол
·1 , а l2 угол
·2
Найдем угол
·. Из рисунка видно, что[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Переход от общих уравнений прямой к каноническим.
Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, нужно найти какую-либо точку M1(x1,y1,z1) на прямой.
Пусть прямая L задана общим уравнением
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Координаты точки М1 находятся как решение системы уравнения, задав одной из координат произвольное значение. За направляющий вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]можно взять вектор произведения нормальных векторов.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 1. Написать уравнения прямой, проходящей через две несовпадающие точки M0(x0,y0,z0) и M1(x1,y1,z1).
Решение: За направляющий вектор прямой можно принять [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно, имеем:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1(1, -2, 3) и параллельной вектору [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= (2, 4, -5). Найти точку Р прямой, которой соответствует значение t=2.
Решение. Воспользуемся формулами параметрического уравнения прямой. Так как в данном случае [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то параметрические уравнения прямой имеют вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]При t = 2 получаем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На прямой фиксирована точка Р (5, 6, -7).
Пример 3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(5, -3, 8) перпендикулярно плоскости 4х + 7у - 8z -3 = 0.
Решение. Поскольку вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=(4, 7, -8) перпендикулярен плоскости 4х + 7у -8z -3 = 0, то в силу условия, он будет параллелен искомой прямой. Возьмем на прямой текущую точку M(x,y,z). Тогда векторы[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]коллинеарны. Используя условие коллинеарности векторов, получаем искомое уравнение[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 4. Привести общие уравнения прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]к каноническому виду.
Решение. Запишем уравнение прямой в канонической форме:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Точку М1 на прямой найдем, положив в общих уравнениях прямой, например, z1=0:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решив эту систему уравнений, получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Итак, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение векторов[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Поэтому m = 3, n = -5, р = -9. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 5. Найти угол между двумя прямыми:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Первая прямая имеет направляющий вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= (7, 2, -8) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= (11, -8, -7) -вторая. В соответствии с формулой (3.17) получаем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно,
· = 45°.
Задание:
1. Составить параметрические уравнения прямых, проведенных через точку
M1(5, -4) в каждом из следующих случаев:
а) прямая параллельна прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Написать параметрические уравнения прямой, проведенной через начало координат перпендикулярно плоскости 4х - Зу + 5z -7 = 0.
3. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1(5, -3, Ц2) и параллельной вектору, образующему с координатными ортами углы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Лежат ли на этой прямой точки Р(1,-2,3) и Q(4, -4,0)?
4. Найти углы между координатными осями и прямой, проходящей через две точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
5. Найти углы между двумя прямыми : [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Отчет:
1. Наименование и цель работы.
2. Задание.
3. Формулы и расчеты по ним.
Практическая работа №7
Тема: Расстояние от точки до прямой
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению расстояния от точки до прямой. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Расстояние от точки до прямой».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по нахождению расстояния от точки до прямой.
Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Нормальное уравнение прямой называется уравнение вида
Xcos
·+Ysin
· - p=0
Где р – длинна перпендикуляра, проведенного из начала координат к данной прямой, а
· – угол, образованный этим перпендикуляром с осью 0х.
Для приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 к нормальному виду следует умножить его члены на нормирующий множитель
13 EMBED Equation.3 1415
·=13 EMBED Equation.3 1415
где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена С с общем уравнении прямой.
Определение. Расстояние от точки М0(Х0;У0) до прямой Ах+Ву+С=0 находиться по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры
1)Уравнение прямой 5х-12у+26=0 привести к нормальному виду
Решение. Сначала найдем нормирующий множитель.
13 EMBED Equation.3 1415
(берется знак «минус», так как С=26>0). Следовательно, нормальное уравнение данной прямой имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
2) В треугольнике с вершинами А(-3;10), В(2;5) и С (3;2) найти длину высоты, проведенной из вершины А
Решение. Задача сводится к определению расстояния от точки А до прямой ВС. Запишем уравнение этой прямой
13 EMBED Equation.3 1415, или 3х+у-11=0
Расстояние от точки А(-3;10) до прямой ВС найдем по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Задание
Выполнить практическую работу по нахождению расстояния от точки до прямой.
Вариант 1.
Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:
4х-3у-15=0 3) 12х-5у+78=0
х-7у+30=0 4) 8х-15у-34=0
Найти расстояние от точки (-1;3) до прямой
3х-4у+40=0
Какая из точек А(8;9), В(-5;-7) и С(-11;-3)ближе всего лежит к прямой:
6х+8у=15=0
Найти длину перпендикуляра проведенного из начала координат к прямой 1) х-у+8=0. 2) 8х-15у-34=0 3)8х-2у-5=0 4) 3х+у+7=0
Известны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х+у+11=0,
х-у-3=0. Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.
Контрольные вопросы:
1.Формула нахождения расстояния между точками.
2.Прямоугольная Декартова система координат.
3.Метод координат на прямой.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
1. Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:
4х-6у-5=0 3) 12х-5у+45=0
х-7у+36=0 4) 7х-3у-14=0
2.Какая из точек А(3;5), В(-1;0) и С(-14;3)ближе всего лежит к прямой:
6х+8у=15=0
3. Найти расстояние от точки (-1;9) до прямой
3х-4у+44=0
4. Найти длину перпендикуляра проведенного из начала координат к прямой 1) х-у+7=0. 2) 6х-15у-24=0 3)9х-2у-5=0 4) 3х+2у+7=0
5. Найти расстояние от точек А(-3;4) и В(4;2)до прямой 7х-3у-14=0.
Контрольные вопросы:
1.Полярная система координат.
2.Уравнение прямой проходящей через 2 точки.
3.Угловой коэффициент.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №8
Тема: Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по теме «Угловой коэффициент прямой». Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.»
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по выполнению действий над «угловыми коэффициентами прямой».
Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол
·, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до её совпадения с данной прямой.
Направление любой прямой характеризуется её угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона
· этой прямой к оси Ох, т.е k=tg
·. Исключение составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.
Определение. Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде y=kx+b.
Примеры
Прямая, проходящая через точку А (-2; 3) образует с осью Ох угол 135. Составить уравнение этой прямой.
Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Угловой коэффициент прямой k=tg 135=-1.
Искомая прямая y=-x+b проходит через точку А (-2; 3), поэтому ее координаты х=-2, у=3 должны удовлетворять уравнению прямой,
т.е 3= -(-2)+b, откуда b=1.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
y=-x+1, и x+y-1=0.
Задание
Выполнить практическую работу по выполнению действий с угловыми коэффициентами прямой.
Вариант 1.
Вдоль прямой 2х+5у-15=0 направлен луч света, который, дойдя до оси абсцисс, отражается от нее. Написать уравнение отражённого луча.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки :
1)А (2;3) и В (0;1);
Составить уравнение прямой, проходящей через точки
A (-1;2) и В (0;1)
Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуоси Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол
·=30.
Найти угловой коэффициент каждой из следующих прямых, заданных двумя точками: 1)А (2;5) и В (7;6); 2) С (-3;2) и D (-1;5).
Контрольные вопросы:
1. Угол наклона прямой к оси Ох.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
1. Написать уравнение с угловым коэффициентом и начальной ординатой для прямой 2х+3у+7=0.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (0;2) и образующей с осью Ох угол, вдвое больший угла, который составляет с той же осью прямая
·3х-y+1=0.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки :
С (0;-5) и D (-2;-5)
4. Найти угловой коэффициент каждой из следующих прямых, заданных двумя точками: 1) A (1;-3) и В (-2;1); 2)С (3;-4) и D (-3;2).
5. Найти угловой коэффициент каждой из следующих прямых:
х-4у-7=0;
5х-2у=0;
3у+5=0.
Контрольные вопросы:
1. Угол наклона прямой к оси Ох.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №9
Тема: Угол между двумя прямыми.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению углов между прямыми. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Угол между двумя прямыми».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по нахождению угла между прямыми.
Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Под углом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс угла
· между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, вычисляется по формуле
13 QUOTE 1415, (1)
причем знак "плюс" соответствует острому углу
·, а знак "минус"- тупому.
Заметим, что если хотя бы одна из данных прямых параллельна оси Oy, то формула (1) не имеет смысла. В этом случае острый угол
· вычисляется непосредственно по формуле 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415- углы наклона прямых к оси Ox.
Примеры
Найти острый угол между прямыми
13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415
Решение.
Угловые коэффициенты данных прямых таковы:13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415. Тангенс острого угла между этими прямыми найдем по формуле (1):
Отсюда
·=13 QUOTE 1415
Задание
Выполнить практическую работу по нахождению угла между прямыми:
Вариант 1.
1. Вычислить острый угол между прямыми:
1) 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415
2) 13 QUOTE 14150 и 13 QUOTE 1415
3) 13 QUOTE 1415;
4) 13 QUOTE 1415.
2. Найти острый угол между прямыми 13 QUOTE 1415 и прямой, проходящей через точку 13 QUOTE 1415и 13 QUOTE 1415.
3. Стороны треугольника заданы уравнением 13 QUOTE 1415 Найдите углы, которые медиана, проведенная из точки B, образует со сторонами AB и BC.
4. Найти внутренние углы треугольника ABC с вершинами A(1;2), B(2;2), C(0;3).
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точу М(-1;2) и составляющий угол 13 QUOTE 1415 с прямой 13 QUOTE 1415
Контрольные вопросы:
1.Угол между двумя прямыми, определение.
2. Формула нахождения tg13 QUOTE 1415.
3. Какому углу соответствуют "+" и "-" в формуле.
4. Формула нахождения угла 13 QUOTE 1415
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
1. Вычислить острый угол между прямыми:
1) 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415
2) 13 QUOTE 14150 и 13 QUOTE 1415
3) 13 QUOTE 1415;
4) 13 QUOTE 1415.
2. Противоположные вершины квадрата находятся в точках В(-2;2) и D(0:-3). Составить уравнения сторон квадратов.
3. Найти острый угол между прямыми 13 QUOTE 1415 и прямой, проходящей через точку 13 QUOTE 1415и 13 QUOTE 1415.
4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС даны вершина острого угла А(1;3) и уравнение противолежащего катета:
Составить уравнение двух других сторон треугольника.
13 QUOTE 155. Найти острый угол между прямыми 13 QUOTE 1415 и прямой, проходящей через точку 13 QUOTE 1415и 13 QUOTE 1415.
Контрольные вопросы:
1.Угол между двумя прямыми, определение.
2. Формула нахождения tg13 QUOTE 1415.
3. Какому углу соответствуют "+" и "-" в формуле.
4. Формула нахождения угла 13 QUOTE 1415
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №10
Тема: Уравнение прямой проходящей через две точки.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по теме Уравнение прямой проходящей через две точки. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Уравнение прямой проходящей через две точки».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по выполнению заданий по данной теме.
Ответить на контрольные вопрос.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так: 13 QUOTE 1415
Определение. Если точка A и B определяют прямую, параллельную оси Ох(13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415или оси Оy (13 QUOTE 1415), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде: 13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
Примеры
Составим уравнение прямой, проходящей через точки А(-3;5) и В(7;-2)
Решение:
Воспользуемся уравнением (1):
13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
Откуда
7x+10y-29=0
Проверим, лежат ли точки A(5;2), B(3;1) и C(-1;-1) на одной прямой
Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С:
13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
Подставляем в это уравнение координаты точки B(13 QUOTE 1415, получим
13 QUOTE 1415, т. е. 13 QUOTE 1415. Таким образом, координаты точки В удовлетворяют уравнению прямой АС, т.е. В
· АС
Задание
Выполнить практическую работу по составлению уравнений прямой, проходящей через две точки
Вариант 1.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки:
A(4;-1) и B(-2;-9)
C(0;3) и D(-4;2)
E(-3;7) и F(-3;-5)
K(9;-2) и L(-3;-2)
Даны координаты вершин треугольника: M(-1;3), N(4;-2), P(0;-5)
Составить уравнение его сторон.
Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки:
A(-2;-7), B(1;-1), C(4;5)
D(-2;9), E(2;-7), F(0;1)
K(-1;-1), L(-3;-7), M(2;7)
Найти ординату точки P(5;y), лежащей на одной прямой с точками M(-1;8)
и N(2;-1).
5.Найдите длину биссектрисы угла А треугольника с вершинами А(4;-2), В(7;-2), С(4;5).
Контрольные вопросы:
1. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
2. Что называется уравнениями линии на плоскости?
3. Какой смысл имеют коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой?
4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?
5. Как найти угловой коэффициент прямой?
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
1) А (1; -1) и В (-3; 2)
2) С (2; 5) и D (5; 2)
3) М (0; 1) и N (-4; -5).
Вершины четырехугольника имеют координаты P(1;0), Q(2;13 QUOTE 1415, R(5;2), S(6;-1). Найти точку пересечения его диагоналей.
Проверить, лежат ли три данные точки на одной прямой:
1) А (3; -7; 8), В (-5; 4; 1), С (27; -40; 29)
2) A (-5; 7; 12), В (4; -8; 3), С (13; -23; -6)
3) A (-4; 8; -2), В ( - 3; -1; 7), С (-2; -10; -16)
Найти точку M(x;y), лежащую на прямой, проведенной через точки
P(1;-7) и Q(-2;5), если координаты искомой точки равны между собой.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин: А(-3;4), B(-9;6),
и C(5;2).Составить уравнение средней линии, параллельной стороне AC.
Контрольные вопросы:
1. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках на осях?
2. Какой вид имеет уравнение пучка прямых?
3. Какие координатные четверти пересекает прямая, если k<0, b<0?
4. Как привести уравнение с угловым коэффициентом к общему уравнению прямой?
5. Как можно найти точку пересечения двух прямых?
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы
Практическая работа №11
Тема: Вычисление кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола парабола)
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний Кривых второго порядка. Уметь составлять общих уравнений и путем преобразований переходить к каноническим уравнениям. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Кривые второго порядка».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по составлению и исследованию уравнений окружности, эллипса, гиперболы и параболы».
Ответить на контрольные вопросы.
Выполнить практическую работу по исследованию кривых второго порядка.
Вариант 1
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (4; -7), r=5;
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М (2; 1).
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F ( 0; 4).
Вариант 2
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (-6; 3), r=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Окружность, касающаяся осей координат, проходит через точку М (-2: -4). Написать её уравнение.
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (0; - 3).
Вариант 3
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (4; -7), r=5;
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r: а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Составить уравнение окружности касающейся координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее радиус равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (6; 0).
Вариант 4
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (-6; 3), r=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r:
а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Составить уравнение окружности касающейся координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее радиус равен 2.
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (-2,5; 0).
Контрольные вопросы:
1.Определение кривых второго порядка: окружность, парабола, гипербола, эллипс.
2. Написать канонические уравнения для каждой кривой.
3.Описать каждую кривую с рисунком.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
2) Задание.
3) Формулы и расчеты по ним.
4) Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа № 8
Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого
порядка.
Содержание работы.
Основные понятия.
1 Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые
функции, их производные различных порядков и независимые переменные.
2 Порядком дифференциального уравнения называется наивысший поря-
док, входящих в него производных.
3 Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество
функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое мно-
жество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
4 Частное решение дифференциального уравнения это решение, не
содержащее произвольных постоянных
5 Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной
неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независи-
мым переменным х, искомой функцией у и её производной
6 Если уравнение может быть разрешено относительно производной, то
получается уравнение y' = f (x, у), разрешенное относительно производной.
7 Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями
с разделенными переменными
8 Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:
9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x)
· 0, то
уравнение неоднородное
Задание
Исходные данные:
Решить дифференциальное уравнение y ' cos2 x
· y
· tgx .
Решение:
Обязательная контрольная работа №1
Практическая работа № 5.
Определение сходимости рядов по признаку Даламбера;
определение сходимости знакопеременных рядов;
разложение функций в ряд Маклорена.
Цель занятия: изучить методы определения сходимости
ряда
Теоретическая часть:
Вывод: ряд сходится.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение понятию «числовой ряд»
2. Сформулируйте признак Даламбера
3. Сформулируйте признак Коши
Практическая часть:
Найдите первых пять членов последовательности по
известному общему:
Практическая работа №25
Тема: Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявной функции.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению дифференциалов сложных функций. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме "Дифференцирование сложных функций" и "Дифференцирование неявной функции".
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по нахождению дифференциала функции.
Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Дифференцирование сложных функций.
Если 13 QUOTE 1415 дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y дифференцируемые функции аргумента 13 QUOTE 1415 находится по формуле
13 QUOTE 1415 (1)
или 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415- дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y, в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями аргументов u и 13 QUOTE 1415, то частные производные сложной функции 13 QUOTE 1415 находятся по формулам
или
По аналогичным правилам вычисляются производные сложных функций, зависящих от большего числа аргументов.
Примеры:
Дано 13 QUOTE 1415 ,где 13 QUOTE 1415. Найти 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415
Решение. По формуле (1) находим
Дифференцирование неявной функции
Пусть переменная z есть не явно заданная функция независимых переменных x и y, определяемая уравнением F(x, y z)=0, причем F(x, y z)
·0. Тогда неявная функция z=z(x, y) так же является дифференцируемой и её частные производные находятся по формулам.
13 QUOTE 1415 (1)
В частности, если переменная y есть новая функция одной переменной x, заданная уравнением F(x, y)=0, то
13 QUOTE 1415 (2)
Примеры:
Найти производную неявной функции y, заданной уравнением
13 QUOTE 1415
Решение. Здесь 13 QUOTE 1415 Так как
13 QUOTE 1415, то по формуле (2) имеем
Задание
Выполнить практическую работу по нахождению дифференциала функции:
Вариант 1.
Найти указанные производные
1. 13 QUOTE 1415
2. 13 QUOTE 1415
3. 13 QUOTE 1415
4. 13 QUOTE 1415
5. 13 QUOTE 1415
6. 13 QUOTE 1415
Контрольные вопросы:
1. Формула нахождения полной производной сложной функции.
2. Формула нахождения частной производной сложной функции.
3. Формула нахождения частной производной неявной функции.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
1. 13 QUOTE 1415
2. 13 QUOTE 1415
3. 13 QUOTE 1415
4. 13 QUOTE 1415
5. 13 QUOTE 1415
6. 13 QUOTE 1415
Контрольные вопросы:
1. Формула нахождения полной производной сложной функции.
2. Формула нахождения частной производной сложной функции.
3. Формула нахождения частной производной неявной функции.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №2.
Тема: Вычисление неопределенных интегралов.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению неопределенных интегралов. Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Задачи:
развитие творческого профессионального мышления;
познавательная мотивация;
овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
углубление теоретической и практической подготовки;
развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.
Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
Изучить теоретический материал по теме «Вычисление неопределенных интегралов».
Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
Выполнить практическую работу по вычислению неопределенных интегралов.
Ответить на контрольные вопросы.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если F’(x)=f(х) (или dF(x)=f(x)dx)
Определение. Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение. Общее выражение F(x)+C совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:
·f(x)dx=F(x)+C, если d(F(x)+C=f(x)dx
Основные свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от него равен подынтегральному выражение:
(
· f(x)dx)’=f(x); d(
· f(x)dx=f(x)dx
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
· df(x)=f(x)+C
Постоянный множитель можно выносит за знак неопределенного интеграла:
· k(x)dx=k
· f(x)dx
Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций;
· [f1(x)±f2(x)]dx=
· f1(x)dx±
· f2(x)dx
Если а – постоянная, то справедливы формулы
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица простейших интегралов
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Определение. Проинтегрировать функцию f(x) – значит найти ее неопределенны интеграл. Неопределенное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.
Примеры.
Найти интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 1. Разделим почленно числитель и знаменатель; в результате подынтегральная функция окажется суммой трех слагаемых, каждое из которых проинтегрируем.
13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что произвольные постоянные, получаются при интегрировании каждого слагаемого, здесь объединены в одну произвольную постоянную С.
2. Вычитая и прибавляя числитель подынтегральной функции число 9, получим
13 EMBED Equation.3 1415
3. Возводя в квадрат и интегрируя каждое слагаемое, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Использую тригонометрическую формулу 13 EMBED Equation.3 1415 находим
13 EMBED Equation.3 1415
5.Здесь следует воспользоваться формулой понижения степени
13 EMBED Equation.3 1415 откуда получаем
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Задание
Найти интегралы
Вариант 1.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольные вопросы:
1.Сформулируйте определение первообразной функции y = f(x) .
2.Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?
3.Перечислите теоремы о первообразных.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
1) Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
Вариант 2.
Найти интегралы
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольные вопросы:
1.Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции f(x).
2. Что такое первообразная функция?
3. Перечислите основные свойства интеграла.
Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.
Содержание отчета:
Наименование и цель практической работы.
Задание.
Формулы и расчеты по ним.
Ответы на контрольные вопросы.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415