Задачи с модулем и параметрами/ Программа элективного курса для обучающихся 10-11-х классов.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №24
имени Бабенко Алексея Алексеевича»
Задачи с модулем и параметрами
Программа элективного курса
для обучающихся 10-11-х классов.
Составитель :
Сутормина Надежда Петровна,
учитель математики.
Кемерово, 2013
Содержание
1. Пояснительная записка.......... 3
1. Учебно – тематический план.........7
3. Содержание обучения...........10
4. Перечень ключевых понятий ..............13
5. Список литературы для обучающихся ...........15
6. Список литературы для учителя .................16
7. Контрольные работы по курсу.........17
8. Приложения...................................................................................................2
Пояснительная записка.
Актуальность данного курса возрастает в данное время, т.к. изучение элективного курса способствует процессу самоопределения обучающихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение ученика в процесс самостоятельного построения знаний.
Предлагаемые в данном курсе задачи, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Необходимость введения данного курса в системе профильной подготовки по математике обусловлена важностью формирования математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулем и задач с параметрами в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.
Особый акцент в программе сделан на углубление отдельных тем базовых и профильных общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки.
Курс дополняет дисциплины, включенные в учебный план, и способствует обеспечению прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.
Курс рекомендован обучающимся 10-11 классов.
Цель данного курса – создание условий для формирования у обучающихся умения решать задачи с модулем и параметрами.
Задачи данного курса:
углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
выявить и развить их математические способности;
расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулем и параметрами;
повысить уровень математического и логического мышления учащихся;
развить навыки исследовательской деятельности;
обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры;
развить умственные и волевые усилия;
развить внимание;
воспитать такие качества, как активность, творческая инициатива;
воспитать трудолюбие;
Работа спецкурса строится на принципах:
-научности;
-доступности;
-опережающей сложности;
-вариативности;
-самоконтроля.
В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы:
пояснительная записка;
учебно- тематический план;
содержание образования с распределением учебных часов;
перечень ключевых понятий;
список литературы для обучающихся;
список литературы для учителя;
контрольные работы по курсу.
Программа предусматривает проведение традиционных уроков, чтение установочных лекций, обобщающих уроков, самостоятельных работ, семинаров. Последовательность изложения материала от простого к сложному, линейная.
В ходе прохождения программы обучающиеся посещают лекционные занятия, занятия – практикумы, участвуют в семинарах, занимаются индивидуально, а также имеют возможность работать с математическими сайтами.
В программу курса содержит 4 контрольных работы, которые включают в себя задания различного уровня сложности и различные типы задач с модулем и параметрами.
В результате изучения данного курса учащиеся должны знать:
понятие модуля и параметра;
алгоритмы решений задач с модулем и параметрами;
зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;
свойства функций в задачах с параметрами;
свойства функций, содержащих модули;
способы решений уравнений, неравенств и их систем, содержащих модуль.
должны уметь:
решать линейные, квадратные, рациональные уравнения с параметром;
решать неравенства с параметром;
находить корни квадратичной функции, содержащей параметр;
строить графики квадратичных функций, содержащей параметр;
исследовать квадратный трехчлен;
применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств, содержащих параметры;
решать линейные, квадратные уравнения с модулем;
решать линейные, квадратные неравенства с модулем;
строить графики уравнений, содержащие модули;
применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.
Учебно тематический план
№
№
Наименование разделов и тем
К-во учебных час
Форма контроля
всего
теория
практика
Раздел 1: Линейные и квадратные уравнения с модулем (8 часов).
1.1
Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+в|=0
2
1
1
1.2
Уравнений вида: |ах+в|=с, где с - любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.
1
1
1.3
Уравнения вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т.
1
1
1.4
Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.
1
1.5
Метод замены переменной.
2
1
1
1.6
Самостоятельная работа.
1
1
Раздел 2: Линейные неравенства с модулем. (7 часов).
2.1
Неравенства вида |ах+в|
·с.
где с – любое действительное число.
1
1
2.2
Графическое решение неравенства |ах+в|
·с, где с – любое действительное число.
1
1
2.3
Неравенства вида: |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+
| сх+д|+ пх>т.
2
1
1
2.4
Неравенства вида: |ах+в|
·| сх+д|, |ах+в|
·| сх+д|, |ах+в|
· сх+д, |ах+в|
· сх+д. Графическая интерпретация
2
2
2.5
Самостоятельная работа по теме: «Линейные неравенства с модулем»
1
1
Раздел3: Функции, содержащие модуль.(5 часов)
3.1
Построение графиков функций у=f(|х|)
1
1
3.2
Построение графиков функций, у=|f(х)|
1
1
3.3
Построение графиков функций |у|=f(х)
1
1
3.4
Обобщающий урок по теме: «Построение графиков функций, содержащих модули»
1
1
3.5
Контрольная работа по теме: «Функции, содержащие модуль»
1
1
Контрольная работа
Раздел 4: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих модули. (14 часов).
4.1
Графические и аналитические методы решения задач, содержащих модули. Классификация задач
1
1
4.2
Квадратные неравенства с модулем
1
1
4.3
Показательные уравнения и неравенства с модулем
2
1
1
4.4
Логарифмические уравнения и неравенства с модулем
2
1
1
4.5
Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем
2
1
1
4.6
Решение систем неравенств с модулем
2
2
4.7
Решение систем уравнений с модулем
2
2
4.8
Контрольная работа по курсу «Задачи с модулем»
1
Контрольная работа
Раздел 5: «Линейное уравнение с параметрами (4 часа)».
5.1
Понятие параметра.
1 ч.
5.2
Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в,
2
1
1
5.3
Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.
2
2
Раздел 6: «Линейные неравенства с параметрами (5 часов)».
6.1
Линейные неравенства с параметрами вида ах
·в, ах
·в.
2
1
1
6.2
Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.
2
1
1
6.3
Самостоятельная работа по теме: «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»
1
1
Раздел7: «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (6 часов)».
7.1
Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.
3
1
2
7.2
Количество корней в зависимости от значений параметров.
2
1
1
7.3
Контрольная работа по теме: " Квадратные уравнения и неравенства с
параметрами»
1
Контрольная
работа
Раздел 8: «Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих параметры (18 часов)».
8.1
Графические и аналитические методы. Классификация задач.
1
1
8.2
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами
3
1
2
8.3
Показательные уравнения и неравенства с параметрами
4
1
3
8.4
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами.
5
1
4
8.5
Свойства функций в задачах с параметрами и модулями.
2
1
1
8.6
Обобщающий урок по теме: «Задачи с параметрами»
1
8.7
Контрольная работа по курсу: «Задачи с параметрами»
2
Контольная работа
Содержание обучения (68 часов).
Раздел 1: Линейные и квадратные уравнения с модулем (8 часов).
Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация.
Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+в|=0.
Дать понятие модуля действительного числа. Научить решать уравнения вида |х|= а, |ах+в|=0, основываясь на определение.
Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с – любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.
Уравнения вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т.
Научить решать уравнения вида |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т методом промежутков.
Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.
Метод замены переменной. Решение уравнений.
Раздел 2: Линейные неравенства с модулем. (7 часов).
2.1. Неравенство вида |ах+в|
·с.
Дать понятие линейного неравенства, научить обучающихся алгебраическому методу решения неравенства для любых действительных значений с.
2.2. Графическое решение неравенства |ах+в|
·с, где с – любое действительное число.
Научить обучающихся графическому методу решения неравенства |ах+в|
·с, где с – любое действительное число.
2.3. Неравенства вида |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+| сх+д|+ пх>т.
Научить обучающихся решать неравенства вида |ах+в|+|сх+д|<т, |ах+в|+| сх+д|+ пх>т методом промежутков.
2.4. Неравенства вида |ах+в|
·| сх+д|, |ах+в|
·| сх+д|, |ах+в|
· сх+д, |ах+в|
· сх+д. Графическая интерпретация.
Рассмотреть графические и аналитические методы решения неравенств вида |ах+в|
·| сх+д|, |ах+в|
·| сх+д|, |ах+в|
· сх+д, |ах+в|
· сх+д
Раздел 3: Функции, содержащие модуль. (5 часов)
3.1. График функции у= f(|х|.
3.2. График функции у=|f(х)|,),
3.3. График функции |у|= f(х).
Научить использовать алгоритмы построения графиков функций, содержащих модули.
Раздел 4: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих модули. (14 часов).
4.1. Графические и аналитические методы. Классификация задач.
4.2. Квадратные неравенства.
4.3. Показательные уравнения и неравенства с модулем.
4.4. Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.
4.5. Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем.
4.6. Решение систем неравенств с модулем.
4.7. Решение систем уравнений с модулем.
Раздел 5: Линейное уравнение с параметрами (4 часа).
Понятие параметра.
Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.
5.2. Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения
уравнения вида ах= в.
Рассмотреть варианты решения при в=0, в(0.
5.3. Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.
Рассмотреть линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).
Раздел 6: Линейные неравенства с параметрами (5 часов)
6.1. Линейные неравенства с параметрами вида ах
·в, ах
·в.
Рассмотреть записи решения неравенства, при а<0, а>0, а=0.
6.2. Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.
Приводить к линейным уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия.
Раздел 7: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (6 часов)
7.1. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.
7.2. Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.
Раздел 8: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих параметры. (18 часов).
8.1. Графические и аналитические методы. Классификация задач.
8.2. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.
8.3. Показательные уравнения и неравенства с параметрами.
8.4. Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами.
8.5. Свойства функций в задачах с параметрами и модулями.
Рассмотреть задачи на определение параметра, при котором данное уравнение имеет заданное число решений.
Перечень ключевых понятий.
Аргумент функции: зависимая переменная функции Асимптота: прямая, к которой неограниченно приближается ветвь кривой. Возрастание и убывание функции: функция f( x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любой пары точек x1 < x2, принадлежащих этому отрезку, выполняется неравенство f( x1) < f( x2), и убывающей, если f( x1) > f( x2).
Выпуклость и вогнутость: свойства графика функции y = f( x) (кривой), заключающиеся в том, что каждая дуга кривой не выше (выпуклость книзу, или вогнутость кверху) или не ниже (вогнутость книзу, или выпуклость кверху) стягивающей ее хорды.
Касательная: предельное положение, к которому стремится секущая при приближении точки к точке М.
Косинус угла: одна из тригонометрических функций.
Котангенс: одна из тригонометрических функций.
Логарифм данного числа N при основании а: показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить N.
Множество значений функции: все возможные значения независимой переменной функции .
Модуль числа а: расстояние от числа а до 0 на координатной прямой
Неравенство: соотношение между числами или выражениями, указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Обратная функция: функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Параметр: фиксированное, но неизвестное число.
Парабола: плоская кривая 2-го порядка.
Перпендикуляр: прямая, пересекающая данную прямую (плоскость) под прямым углом. Симметрия: свойство геометрических фигур.
Синус: одна из тригонометрических функций.
Система координат: прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями).
Тангенс: одна из тригонометрических функции
·Уравнение: равенство, содержащее переменную.
Функция: соответствие y = f ( x) между переменными величинами, в силу которого каждому значению переменной x соответствует не более одного значения переменной у.
Список литературы для обучающихся: Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. [Текст]: Учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 2006.- 400 с.
Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре (Текст(: Учебн. пособие/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич. - М.: Просвещение, 1999.- 189 с.
Макарычев, Ю.Н . Алгебра 9. Дополнительные главы к школьному учебнику(Текст(: Учебн. пособие/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. –М.: Просвещение, 2001. -220с.
Никольский, М.К. Алгебра и начала анализа. [Текст] Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений базовый и профильный уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- М. Просвещение 2007.- 432 с.
Семенов, В. И. По страницам учебника М.Л. Галицкого (Текст(: Учебн. пособие/ В.И. Семенов. – Кемерово, 1999. – с 18-32.
Ястрибинецкий, Г.А. Задачи с параметрами: [Текст]: учебн. пособие/ Г.А Ястрибинецкий.- Дрофа , 2000.- 130 с.
Список литературы для учителя:
Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: [Текст], учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 1999.- 400 с.
Виленкин, Н.Я. Алгебра для 9 класса: [Текст], учебн. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев.- М.: Просвещение, 1996.-384 с.
Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебн. пособие/ П.И.Горнштейн, В.Б Полонский, М.С. Якир. -Дрофа , 1998.- 87с.
Дорофеев, Г.В. Решение задач, содержащих модули и параметры:/ [Текст], пособие для поступающих в вузы/ Г.В. Дорофеев, В.В. Затахавай.- Просвещение: АО «Учеб. лит.» 1996.- 320 с.
Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: [Текст]: учебн. пособие/ В.Н.Литвиненко, А. Г Мордкович.- М.: Просвещение, 1998.- с 134-168.
Родионов, Е.М. Решение задач с модулями и параметрами [Текст]: пособие для поступающих в вузы/ Е.М. Родионов, М.: Просвещение, 1997.- 120 с.
Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. [Текст], учебн. пособие / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. .- М.: Просвещение, 1997.-325 с.
Ястрибинецкий, Г.А. Задачи с параметрами: [Текст]: учебн. пособие/ Г.А Ястрибинецкий.- Дрофа , 2000.- 130 с.
Контрольные работы по курсу.
Контрольная работа № 1 по теме: «Функции, содержащие модуль»
1 вариант
Построить график функции у=(х-2(;
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415
Построить график функции, используя метод промежутков
у=(2х-4(+(х+3(-5
вариант
Построить график функции у=(3-х(;
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415
Построить график функции, используя метод промежутков
у=(2х-4(+2х
Контрольная работа № 2 по теме: «Задачи с модулем»
Вариант 1
Решите уравнения:
а) (5-3х((2х+1
б) (3х-8(((3х-2((6
в) ((х+3(((х-1(((2(х2
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д)13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство:
а) 2(х+1(>х+4
б) (5х-1(((4х+2(((х(3(
3. Построить график функции:
а) у=(cosx-2(
б)( y(=(log(x+1)(
Вариант 1
Решите уравнения:
а) (2х-3((3-2х
б) (х-1(((х-3((2х-4
в) ((х2-3х((5((х+1
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д)13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство:
а) 3(х-1((х+3
б) (2х+5(((3х-7(>(4х+1(
3. Построить график функции:
а) у=(logx-2(
б)( y(=(sin(x+1)(
Контрольная работа №3 по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»
1 вариант
Решить уравнение:
(а-1)х2+2(2а+1)х+4а+3=0
При каких значениях параметра а уравнение х2+2(а+1)х+9а-2=0 имеет 2 различных корня
Найдите значение а, при котором данное неравенство
х2-2(а-1)х+2а+1(0 имеет решение.
2 вариант
Решить уравнение:
(а+1)х2+2(2а+1)х+3а+4=0
При каких значениях параметра а уравнение ах2+2ах+9а-2=0 имеет 2 различных корня
Найдите значение а, при котором данное неравенство
х2-2(а-1)х+2а(0 имеет решение.
Контрольная работа №4 по курсу: «Задачи с параметрами»
1 вариант
Решить уравнение: (а2-4)х=а+2
Решить неравенство: 3(2а-х)<ах+1
Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
При каком значении параметра к уравнение х2+х-к=0 не имеет действительных корней?
Для каждого значения параметра а решите уравнение
log2(х2-х+а)=log2(а-3х)
Найдите все допустимые значения параметра а, при каждом из которых неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решения
2 вариант
Решить уравнение: (а2-9)х=а+3
Решить неравенство: 3(3а-х)<ах+2
Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
При каком значении параметра к уравнение кх2+(к+1)х+2к-1=0 имеет один корень?
Для каждого значения параметра а решите уравнение log2(х2-3х-а)=log2(5х-а)
Найдите все допустимые значения параметра а, при каждом из которых неравенство13 EMBED Equation.3 1415 имеет хотя бы одно решение
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ «А»
Самостоятельная работа по теме: «Уравнения с модулем»
Вариант 1
Решить уравнения двумя способами
(х-5(=2
(х-2(=(4-2х(
Решить методом промежутков
(5-х(+(2х-3(=12
Вариант 2
13 EMBED Equation.3 1415Решить уравнения двумя способами
(2х-4(=2
(х+2(=(6-2х(
Решить методом промежутков
(3-х(+(4х-5(=18
ПРИЛОЖЕНИЕ «Б»
Самостоятельная работа по теме: «Неравенства с модулем»
Вариант 1
Решить неравенство
(3-2х((3
Решить неравенство методом промежутков
(х-2(+(4-2х(+х-2(3
(2+3х(((х-2(
Вариант 2
Решить неравенство
(3х-2((5
Решить неравенство методом промежутков
(3х-2(+(4-х(+х-2(4
(2+4х(((5х-2(
ПРИЛОЖЕНИЕ «В»
Самостоятельная работа по теме: «Линейные уравнения и неравенства с параметрами».
вариант
1. Решите уравнение :
а) ах=х-2; б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Решите неравенство
ах-2<3х-5
2 вариант
3. Решите уравнение :
а) ах=х-5; б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Решите неравенство
3х+2<ах+5
ПРИЛОЖЕНИЕ «Г»
Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
у=|f(х)|
Чтобы построить график данной функции, надо сначала построить график функции у=f(х), затем участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить
без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс стереть, предварительно отразив симметрично относительно оси абсцисс.
Задание 1.
Построить график функции у=|х13 EMBED Equation.3 1415-6х+5|
а) построим параболу у=х13 EMBED Equation.3 1415-6х+5
б) участки, лежащие ниже оси абсцисс сотрем, предварительно отразив симметрично относительно оси абсцисс.
у=f(|х|)
Чтобы построить график этой функции надо сначала построить график функции у=f(х), затем часть графика, расположенную левее оси у удалить, а часть графика, расположенную правее оси у, отобразить симметрично относительно этой оси.
Задание 2.
Построить график функции у=(|х|-2)13 EMBED Equation.3 1415
а) построим график функции у=(х-2)13 EMBED Equation.3 1415
б) часть графика, расположенную левее оси у удалим, а часть графика, расположенную правее оси у, отобразим симметрично относительно этой оси.
3. у=|f |(х)| |
Построить у=f(х), для неотрицательных значений х.
Отобразить полученную часть графика симметрично оси у.
Участки, расположенные ниже оси х, отобразить симметрично относительно оси х и стереть.
Задание 3.
Построить у=|2-|х||
а) построим у=2-х, для неотрицательных значений х.
б) отобразим полученную часть графика симметрично оси у.
в) участки, расположенные ниже оси х, отобразим симметрично относительно оси х и сотрем.
4. у|=f(х)
Построить график функции у=f(х)
Убрать ту часть графика, которая ниже оси х
Оставшуюся часть графика отобразить симметрично относительно оси х, но не стирать.
Задание 4.
Построить график функции |у|= х13 EMBED Equation.3 1415-4х+3
а) построим график функции у= х13 EMBED Equation.3 1415-4х+3
б) уберем ту часть графика, которая ниже оси х
в) оставшуюся часть графика отобразим симметрично относительно оси х, но стирать не будем.
5. |у|=|f(х)|
Построить у=|f(х)|
Отобразить симметрично относительно оси х
Задание 5.
Построить график функции |у|=|х+2||
а) построим у=|х+2|
б) отобразим симметрично относительно оси х
Метод промежутков.
Пример.
Построить график функции у=|х-1|+|х-2|
Найти абсциссы точек перелома графика
х-1=0 х-2=0
х=1 х=2
Раскрыть знаки модулей на полученных промежутках и построить графики полученных функций на каждом промежутке
а) (-13 EMBED Equation.3 1415 ;1] у= -х+1-х+2
у= -2х+3 -прямая
б) [1;2] у=х-1-х+2
у=1 -прямая, параллельная оси абсцисс
в) [2; 13 EMBED Equation.3 1415) у=х-1 +х-2
у=2х-3 -прямая
Построить графики функций самостоятельно:
у=(|х|-3)13 EMBED Equation.3 1415
у=|х13 EMBED Equation.3 1415+2х|+1
у=|х|+|х-3|
у=||х-2|-1|
|у|=
·х-2
|у|=|(х-3)13 EMBED Equation.3 1415-4|
ПРИЛОЖЕНИЕ «Д»
Решение уравнений с модулем
Пример 1. Решить уравнение |х+2|=6-2х
а) Найти точку, в которой выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак х+2=0; х=-2
б) Разобьем значения х на промежутки точкой -2
в) Раскроем знак модуля на каждом промежутке и решим полученное уравнение
1. (-13 EMBED Equation.3 1415 ;-2]: -х-2=6-2х; х=8
Проверим: принадлежит ли 8 промежутку (- ;-2]; 8 не принадлежит этому промежутку, значит корнем не является
2. (-2; 13 EMBED Equation.3 1415 ): х+2=6-2х; х=4/3
4/3 принадлежит этому промежутку, значит, является корнем
Ответ: 4/3
Пример 2. Решить уравнение: |х-|4-х||-2х=4
Решение: |х-|4-х||=4+2х
х-|4-х|=4+2х
Полученное равносильно х-|4-х|=-4-2х
Каждое уравнение решить отдельно (см. пример 1)
|4-х|=4+х |4-х|=3х+4-не имеет решения
х=0
В ответе записать решения обоих уравнений
Ответ: 0
Пример 3. Решить уравнение: |х|+|5-х|+2|х-2|=4
Решение: х=0; 5-х=0; х-2=0;
х=5 х=2
0 2 5
1. (-13 EMBED Equation.3 1415 ;0]; -х+5-х+2(2-х)=4
х=5/4 - не принадлежит промежутку
2. (0;2]; х+5-х+2(2-х)=4
х=2,5 - не принадлежит промежутку
3. (2;5]; х+5-х+2(х-2)=4
х=1,5 –не принадлежит промежутку
4. (5; 13 EMBED Equation.3 1415); х-5+х+2(х-2)=4
х=13/4 -не принадлежит промежутку
Ответ: корней нет
Решить уравнения самостоятельно:
х13 EMBED Equation.3 1415-2|х-1|=2 Ответ: -1-
·5; 2
|х|-|х-2|=2 Ответ: [2; 13 EMBED Equation.3 1415)
|х-3|+|х+2|-|х-4|=3 Ответ: -6;2
|х-|х-|х-1|||=1/2 Ответ: 1/6;1/2;3/2.
ПРИЛОЖЕНИЕ «Е».
Линейные уравнения
Справочный материал
Уравнения, приводимое к виду ах=в ,где а и в – действительные числа , называют линейным уравнением .
1) а ( 0 ; х =13 EMBED Equation.3 1415
2) а = 0 , в = 0 ; 0 х = 0
х – любое действительное число
3) а = 0 , в ( 0 ; 0 х = в
корней нет
Пример 1
5х – 3х + 2х = 8 + 2 +12
4х = 22
х = 22 : 4
х = 5,5
Пример 3
5(2х – 4) = 2(5х – 10)
10х – 20 = 10х – 20
10х – 10х = 20 – 20
0х = 0
х – любое действительное число
Пример 4
2х + 5 = 2(х + 1) + 11
2х + 5 = 2х + 2 + 11
х – 2х = 11 – 5
0х = 6
корней нет
Дидактический материал
1. 15(х + 2) – 30 = 12х
2. 6(1 + 5х) = 5(1 + 6х)
3. 3у + (у-2) = 2(2у – 1)
4. 6у – (у-1) = 4 + 5у
Ответы : 1. 0 ;
2. корней нет ;
3. любое действительное число ;
4. корней нет .
ПРИЛОЖЕНИЕ «Ж»
Линейное уравнение с параметром.
Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1 ах =0
1) Если а = 0 ,то 0х = 0
х – любое действительное число
2) Если а ( 0 , то 13 EMBED Equation.3 1415
х = 0
Пример 2: ах = а
1) Если а = 0 , то 0х = 0
х – любое действительное число
2) Если а ( 0 ,то х = 1
Пример 3: х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2
Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то х 0 = -2
корней нет
Если 1 – а ( 0 , т.е. а ( 1 , то 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4: (а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а - 1)(а + 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (2а +3)(а – 1)
Если а = 1 , то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = - 1 , то 0х = -2
корней нет
Если а ( 1 , а ( - 1 , то 13 EMBED Equation.3 1415 (единственное решение)
ПРИЛОЖЕНИЕ «З»
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Пример 1. Решить уравнение
(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
13 EMBED Equation.3 1415
В случае а
· 1 выделим те значения параметра , при которых D обращается в нуль .
D = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2 + 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2 + 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16
20а + 16 = 0
20а = - 16
13 EMBED Equation.3 1415
Если а< - 4/5 , то Д < 0 ,уравнение не имеет действительных корней .
Если а> - 4/5 и а
· 1 ,то Д> 0 , 13 EMBED Equation.3 1415
Если а = 4/5 ,то Д = 0 , 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Найдите значения а ,при которых данное уравнение имеет решение .
х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а
4а2 – 16
· 0
4а(а – 4)
· 0
а(а – 4))
· 0
а(а – 4) = 0
Ответ : а
· 0 и а
· 4
Дидактический материал
1.При каком значении а уравнение ах2 – (а+1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень ?
2.При каком значении а уравнение (а+2) х2 + 2(а+2)х + 2 = 0 имеет один корень ?
3.При каких значениях а уравнение
(а2 – 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10 – 3а – а2) = 0 имеет более двух корней ?
4.При каких значениях а уравнение 2х2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0 ?
5.При каких значениях а уравнения х2 +ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень ?
Ответы: 1. При а= - 13 EMBED Equation.3 1415
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = - 2
13 PAGE \* MERGEFORMAT 142515
13PAGE 15
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native