Золотое сечение и математика

Работу выполнили:
Хадонов Сослан Батразович.
Оказов Сослан Аланович.
Руководитель: Золоева Лариса Кайсановна.
Учитель математики.
Ирафский район. МКОУ СОШ с. Совесткое.
10 класс.
Исследовательская работа на тему:
«Золотое сечение» и
архитектура.

Чикола 2015.
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………..3 стр.
Теоретические основы архитектуры «золотого сечения»……........5 стр.
«Историческая справка мечети……………............................................7 стр.
«Геометрия купола»………………………………………………………………………10 стр.
Приложение………………………………………………………………………………….12 стр.
Выводы……………………………………………………………...............................14 стр.
Справочная литература…………………………………................................13 стр.

Введение
Гармония – вот что лежит в основе всех видов искусства на всем протяжении человеческой истории. Интерес к форме какого - либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке и технике.
Тема реферата выбрана не случайно. К выбору данной темы подтолкнуло изучение «Золотого сечения» и мы узнали о широком применении его в архитектуре. Нами были рассмотрены различные энциклопедические сведения, разработки ученых, занимавшихся темой «Золотое сечение». Для нахождения материала для нашего проекта использовали энциклопедические справочники по математике, учебники по архитектуре, учебные пособия (интернет).
Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению «золотого сечения». Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
Леонардо да Винчи был титанической личностью. Он был и математиком, и физиком, и архитектором, и врачом, и художником. Его исследованиями до сих пор пользуются все ученые мира.
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе.
«Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок».
Одно из объяснений огромной роли «золотого сечения» в искусстве и архитектуре состоит в том, что линия глаз, на которой человек привык концентрировать внимание, слушая собеседника, делит длину лица в «золотом» отношении. Поэтому при взгляде на любой предмет мы невольно направляем глаза в точку «золотого» деления, которая кажется нам привычной, естественной, поэтому красивой. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н. э.) – храм Афины. Размеры Парфенона хорошо изучены. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2.
Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей "золотую" пропорцию. Тщательные измерения Парфенона показали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются прогнувшимися в середине. Другим примером использования "золотой" пропорции в архитектуры древности является Пантеон.
По принципам "золотой" пропорции построены храм Василия Блаженного в Москве, собор Парижской Богоматери в Париже, Исаакиевский собор в Санкт-Петербурге, церковь Вознесения в Коломенском, Колизей (Амфитеатр Флавия) в Риме. Скульптурные сооружения, памятники, воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.
Цель: установить, действительно ли применялся закон «золотого сечения» при постройке мечети в с. Чикола.
Объект исследования: здание мечети с. Чикола.
Предмет исследования: исследование «золотого сечения» в архитектуре.

Задачи:
Отследить в различных энциклопедических, научных источниках использование золотой пропорции в архитектуре.
Провести исследования принципа золотого сечения в архитектуре мечети с. Чикола.




Архитектура
Выражение "архитектура - это застывшая музыка" стало крылатым. Оно не является результатом строгого научного анализа, это скорее всего итог образного, интуитивного ощущения некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией. Музыкальная мелодия основана на чередовании звуков различной высоты и продолжительности, в ее основе - временная упорядоченность звуков. В основе архитектурной композиции - пространственная упорядоченность форм. Казалось бы между ними ничего общего. Но чтобы оценить размеры пространственной конструкции геометрической фигуры, мы должны проследить взглядом от начала до конца эту фигуру, и чем больше, например, длина ее, тем длительнее будет восприятие. Очевидно, здесь и заключена органическая связь пространственного и временного восприятия объектов человеком.

В архитектуре также можно наблюдать принцип золотого сечения. Например церковь Покрова на Нерли (1165 г.) (13) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих.
Знакомство с храмом Нерли создает образ гармонии, архитектурной красоты. И невольно возникает вопрос: какими "секретами" владели русские зодчие, творившие восемь веков назад?
Изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, русский архитектор И. Шевелев пришел к выводу, что в этом шедевре архитектуры проявляется пропорция , которая представляет собой отношение большей стороны к диагонали "двухсмежного квадрата", то есть прямоугольника с отношением сторон 1:2. Таким образом, в основе взаимосвязанных пропорций этого архитектурного сооружения положены пропорции "двухсмежного" квадрата и его производная - золотая пропорция. Наличие этих пропорций и определило красоту храма. "Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли, - пишет теоретик архитектуры К.Н. Афанасьев, - оформляется цепью взаимосвязанных отношений "золотого сечения".[11]
Другой пример-это собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. (14) История создания этого храма такова. 2 октября 1552 года пала Казань, навсегда избавив Россию от татарского нашествия. Для прославления "казанского взятия", вошедшего в историю России наравне с Куликовской битвой, царь Иван Грозный принял решение заложить на Красной площади Москвы собор Покрова; позже этот храм был прозван в народе "Василием Блаженным" в честь юродивого, который был погребен у стен храма в 16-м веке.
Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических "неправильностей". Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, "живой" и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.
В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:
где j = 0,618. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех куполов, объединяющая их в одну соразмерную композицию.
При рассмотрении храма Василия Блаженного невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно 8 (вокруг центрального собора)? Существовали ли какие-либо каноны, определяющие число куполов в храме? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые. После реформы патриарха Никона в середине 17-го века было запрещено строить одноглавые церкви как не соответствующие пятиглавому чину православной церкви.[11]
Помимо одно - и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и 8 куполов. Однако новгородский Софийский собор (10-й век) был 13-главым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава. Случаен ли такой рост числа куполов "по Фибоначчи" (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21), отражающий естественный закон роста - от простого к сложному?
В книгах о «Золотом сечении» можно найти много замечаний о том, что в архитектуре, в живописи все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек они будут выглядеть иначе.
Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Он раскрылся как многогранный и самобытный мастер в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. По проекту М. Казакова в Москве была построена «Голицынская больница», которая сейчас называется Первой клинической больницей им. Н.И. Пирогова. А дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова. Он говорил: «Архитектура – имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… К достижению сего служит руководством знания пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок.
Изучая архитектуру многих стран, мы обратили внимание на древние архитектурные шедевры, одним из которых являются пирамиды Древнего Египта. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили мы в ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до солнца, диаметр земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.
Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.
Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.
Изучая мировые, архитектурные шедевры мы заинтересовались и решили проверить принцип «золотого сечения» на самом архаичном архитектурном строении с. Чиколы, нашей мечети. Все это не может не волновать.
В период основания Чиколы в 1852 году изначально постройка была деревянной и небольшой. Далее в 1898 году ее построили уже в камне, из знаменитого кирпича барона Штейнбеля.
Здание мечети двухэтажное с двумя минаретами с луковичными куполами. Площадь здания равна 440 м2. Высота минаретов 18 метров, а высота купола 15 метров. Минареты состоят из 4 сегментов по 2 балкона на 2-ом и 4-ом этаже. Вверх ведут винтовые лестницы. Далее на середине крыши луковичный купол d = 8 метров, окна арочные удлиненные по 2,2м в высоту.
Суть нашего исследования в том, чтобы выяснить, применялся ли закон «золотого сечения» при строительстве нашей мечети.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всемуa : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2.Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения обозначим Ф и оно равно:

Итак, наше внимание привлекли купола мечети.
Эскиз луковичного купола строится таким образом: В квадрате ABCD отмечаются середины Е, F, К его сторон AD, DC и СВ соответственно.
F

(рис. 1).
Из точек А, В, С, D как из центров проводят дуги радиусом, который составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают двое из дуг в точках М и N(рис. 1).
Теперь допустим: АВ: 01С ≈ 1,6. Как построить отрезки АВ и 01С?
Прежде всего выберем единицу измерения — отрезок е на рис.2.
(рис. 2).
Затем выполним преобразования АВ: О1С = 1,6 = 16 : 10 = 8 : 5. Это значит, что АВ = 8 е, а О1С = 5е. Представим себе, что нам следует построить равнобедренный треугольник ABC, у которого основание АВ и высота О1С составляют золотую пропорцию. Тогда мы строим отрезок АВ = 8е, делим его пополам точкой О1, и проводим перпендикуляр к АВ через точку О1, на которой откладываем отрезок О1С = 5е. Треугольник АСВ (рис. 2) послужит основой для нового эскиза купола мечети.
План построения.
1. Проведем перпендикуляр О1К к стороне ВС (рис. 2).
2. На высоте СО1, отметим точку М так, чтобы СМ = О1В, и через точку М проведем прямую, перпендикулярную прямой СО1, которая пересекает отрезок О1К в точке О2.
3. Проведем окружность с центром в точке О2 и радиусом О2К.
4. Разделим отрезок О1В точкой S и через нее проведем прямую SP, перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересечении с осью СО получится точка Е.
5. На прямой СЕ от точки С отложим отрезок CG = 2е. Из точки О, как из центра проведем окружность, радиусом O1G которая пересечет предыдущую окружность в точке N, и окружность радиусом О1К, пересекающую высоту СО1 в точке F
(рис. 3)

Рис. 3
6. Через точки E и N проведем прямую. Из точки С как из центра проведем окружность радиусом EF, которая пересечет прямую EN в точке О3.
7. Затем из О3 проведем дугу радиусом О3N до ее пересечения с точкой С.
Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО1 (рис. 4).

У нас AB = 8.5м, О1С = 5.50м. AB/О1C = 1.54. Такое отношение очень близко к «золотому сечению».
Далее мы искали «золотое сечение» в фасаде здания. Мы сделали необходимые измерения. Вычисления показали, что при строительстве этой мечети, зодчие придерживались правила «Золотого сечения».

Выводы:
Мы думаем, что данный реферат является мини-пособием для изучения «золотого сечения» в архитектуре. Возможно, не все подробно, но в реферате затронуты все основополагающие аспекты. Также в реферате рассмотрено применение «золотого сечения» в архитектуре с древнейших времен до наших дней. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которое эти здания оказывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в соотношениях «золотой пропорции». В реферате описано применение «золотого сечения» только на одном здании, но здание, при построении которого применяли «золотое сечение», встречается во многих городах.
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечания о том, что в архитектуре все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Вычисления показали, что при строительстве этой мечети, зодчие придерживались правила «Золотого сечения». Цель исследования достигнута!



Список литературы:
. http://old.amaks-hotels.ru/images/turist_perm/city/city.html. http://hudozhnikam.ru/zolotoe_sechenie/5.html. http://www.diary.ru/~Organon/p19280903.htmКеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
Цеков - Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
Стахов А. Коды золотой пропорции.