Научная работа на тему: Золотое сечение в математике

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………….2
РАЗДЕЛ 1. ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ…………………………………….4
РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ…….8
2.1 .Понятие золотого сечения………………………………………………………8
2.2 .Золотое сечение в геометрии……………………………………………………11
2.3. Нахождение пропорции тела человека на примере обучающихся 9 класса МОУ «Уваровской ОШ – детского сада» Нижнегорского района Республики Крым…………………………………………………………………………………..16
РАЗДЕЛ 3. МЕСТО ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ…….18
ВЫВОДЫ……………………………………………………………………..………20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………………21
ВВЕДЕНИЕ

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.
Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и других науках. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.
«В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, они являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвященным «золотому сечению». Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.
Однако «золотому сечению» повезло меньше, чем теореме Пифагора - «классическая» наука и педагогика его игнорируют, а «официальная» математика не признаёт.
Цель данной работы провести краткий обзор истории и математической сущности золотого сечения, и осмыслить его роль в современной математике.
Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:
- изучить понятие «золотое сечение»;
- исследовать присутствие золотого сечения в математике;
- изучить  практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения;
-выполнить анализ, проведенных исследований и сделать выводы.
Методы исследования:
- работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
- социологический опрос, эксперименты;
- наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Объект исследования: «золотое сечение».
Предмет  исследования: математика.
Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.
Поэтому актуальность данной темы очевидна и состоит в том, что человек различает окружающие его предметы по форме, а форма в основе которой лежат сочетание симметрии и пропорции золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.
Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые  прекрасного. Я познакомился с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.
РАЗДЕЛ 1
ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.[12]
Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и других науках. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.
В математике принцип «золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. [4,с.78]После Эвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.
В целом все первые геометрические системы - эвклидова геометрия, теорема Пифагора - свидетельствуют о том, насколько волновали древних греков проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Однако есть предположение, что первыми к принципу золотого сечения пришли все же египтяне. Наиболее известная пирамида Хеопса построена с использованием т.н. золотого треугольника, в котором соотношение гипотенузы к меньшему катету равно золотому сечению. Храмы, барельефы, предметы быта и украшения из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. [1,с.3]
Эстетическим каноном древнегреческой культуры этот принцип стал благодаря Пифагору, который изучал в стране пирамид тайные науки египетских жрецов. Их результат воплощен в фасаде древнегреческого храма Парфенона, где присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Также с использованием золотого сечения созданы Афродита Праксителя и театр Диониса в Афинах.
Платон (427-347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
Во времена средневекового Ренессанса гениальный итальянский математик Лука Пачоли написал первую книгу о золотом сечении, назвав ее «Божественной пропорцией». По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной. Эта идея была позже использована Кеплером, последняя книга которого так и называлась - «Гармония Вселенной». Пачоли считают творцом начертательной геометрии.
В то же самое время Леонардо да Винчи, другом которого был Пачоли, использовал для композиционного построения своей знаменитой Джоконды т.н. «золотой равнобедренный треугольник», в котором отношение бедра к основе равно золотому сечению.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное. [5,с.12]
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил «золотому сечению». Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Систематизировать знания по золотому сечению и придать им четкую арифметическую форму фундаментальной пропорции мироздания удалось уже только в наше время. Большая роль в исследовании золотого сечения принадлежит учёному Алексею Стахову, в 80-х годах прошлого века обосновавшему базис нового учения о гармонии систем, должного стать, по его мнению, основной интегрирующей наукой XXI века. Книги винницкого ученого «Введение к алгоритмической теории измерения», «Коды золотой пропорции», «Компьютерная арифметика на числах Фибоначчи и золотом сечении», «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки на основе золотого сечения» изданы за рубежом и не остались без внимания западных производителей информационных и компьютерных технологий. Канадский университет Торонто признал автора «мыслителем XXI века». Весной 2003 г. российский физик-теоретик Юрий Владимиров открыл принцип золотого сечения в структуре атома. Ощутимый прорыв в современных представлениях о природе формообразования биологических объектов сделал в начале 90-х годов ученый Олег Боднар, создавший новую геометрическую теорию филлотаксиса.
Математика гармонии применима и к современной экономике. Довольно известны, например, работы российского ученого Харитонова об экономическом развитии российских регионов и страны, в целом исходя из принципов золотого сечения.
Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи вошли в сферу бизнеса как основа оптимальных стратегий. С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно приходили к ряду Фибоначчи как арифметическому выражению закона золотого деления. [6,с.220]
Таким образом, еще с давних времен людей волновали проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Как видно из истории принципы золотого сечения использовались еще древними египтянами при построении знаменитой пирамиды Хеопса.

РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
2.1 .Понятие золотого сечения
Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине (рис.2.1). [12]Рис. 2.1

a : b = b : c или с : b = b : а
Эта пропорция равна: (формула 2.1)
φ=1+52≈1.61803398874989484…
Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.
Рассмотрим взаимосвязь «золотого сечения с числами Фибоначчи.
Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.
Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. [10]Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготении и инерции. Золотая пропорция - это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.
Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте «золотого сечения».
Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 - 1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.
В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°. Величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении. [10]
На данный момент вопросы золотого сечения очень актуальны, однако большинство учеников моей школы даже не знают о существовании такого понятия. Опросив учеников и учителей (50 человек), 92% учеников даже не догадываются о золотом сечении, 8% - что-то слышали. Что касается учителей, то 60% из них не знают что это, и всего 40% слышали о нём (рис.2.2.).
Рис. 2.2

Для того, чтобы мои одноклассники познакомились с золотым сечением я провел исследование, в котором измерил их рост, длину тела от талии до пола и нашел «золотое отношение». Результаты данного исследования будут представлены в моей работе далее.
2.2 .Золотое сечение в геометрии
При рассмотрении роли и места золотого сечения в геометрии целесообразно выполнить построение деления отрезка в золотом отношении рис. 2.3.)Рис. 2.3.

Дано: отрезок АВ.
Построить: золотое сечение отрезка АВ, т.е. точку Е так, чтобы ВЕАЕ =АЕАВ .
Построение.
Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС= 12АВ. Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB, и наконец AE=AD.
Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ. [14]
Широкое распространение получили так называемые «золотые фигуры», имеющие в своей основе «золотое сечение».
Прямоугольник с «золотым» отношением сторон стали называть «золотым прямоугольником» (рис.2.4.). Он обладает интересными свойствами: если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.
Рис 2.4.

Формула 2.2.
φ=АВВС«Золотой треугольник» - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618 (рис.2.5.).
Рис. 2.5

Возможны два типа золотых треугольников (рис. 2.5.а, б):
в первом случае φ=АВАС, а во втором φ=АСАВ.
Есть и «золотой кубоид» - это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618. [14]
В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются «золотыми треугольниками» (рис.2.6.). Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.
Рис. 2.6

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма - первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов - пентаграмма - стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник (рис.2.7.).
Рис.2.7

«Лотарингский крест», служивший эмблемой «Свободной Франции» (организация, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль), составлен из тринадцати единичных квадратов. Установлено, что прямая, делящая площадь «лотарингского креста» на две равные части, делит его в золотом отношении. [11]
Последовательно отсекая от «золотых прямоугольников» квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, можно получить довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали (рис.2.8.)
Рис. 2.8

В настоящее время «спираль Архимеда» широко используется в технике. В гидротехнике по «золотой спирали» изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.
«Золотую спираль» также можно заметить в созданиях природы.
Например, расположение семечек в корзине подсолнечника. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнечника закручено 13 спиралей, в другую - 21. Отношение 13: 21 - отношение Фибоначчи. У более крупных соцветий подсолнечника число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу j.
Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям. [11]
Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.
Таким образом, многие геометрические фигуры имеют пропорции золотого сечения и используются при построении архитектурных зданий, как, например, здание военного ведомства США «Пентагон».
2.3. Нахождение пропорции тела человека на примере обучающихся 9 класса МОУ «Уваровской ОШ – детского сада» Нижнегорского района республики Крым
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что пропорции золотого сечения проявляются в отношении частей тела человека – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. (рис.2.9.)
Рис.2.9

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. [5,с.14]
Просмотрев труды Цейзинга, нас заинтересовало исследование профессора о пропорциях золотого сечения в отношении частей тела человека. Мы проверили его измерения на практике на примере своих одноклассников (табл. 2.1).
Таблица 2.1.
«Результаты измерения обучающихся 9 класса МОУ «Уваровской ОШ – детского сада»
№ п/пФамилия, имя обучающегосяРост, смДлина от талии до пола, смОтношение
1. Аблитаров Асан158 96 1.64
2. Агаларова Диана 158 96 1.63
3. Апсен Владислав 151 92 1.64
4. Мамбетова Гузель 150 94 1.63
5. Неменущий Владислав 154 94 1.63
6. Нуманова Гулиза156 100 1.56
7. Перепелица Тимофей 180 111 1.62
8. Синюк Иван 176 109 1.61
9. Слепнёв Тимофей 179 110 1.62
10. Турило Анна 155 94 1.64
11. Темиргазиев Мустафа 180 99 1.64
12. Умерова Нияра172 112 1.53
Проведя данное исследование, я пришел к выводу, что пропорции тела мальчиков ближе к показателю золотого сечения, чем у девочек, что подтверждает теорию Цейзинга.
РАЗДЕЛ 3
МЕСТО ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ
В каждой науке есть так называемые «метафизические» знания, без которых невозможно существование самой науки. Например, если исключить из математики понятия натурального и иррационального чисел или аксиомы геометрии, математика сразу же перестанет существовать.
С таким же правом к разряду «метафизических» знаний может быть отнесено и «золотое сечение», которое считалось «каноном» античной культуры, а затем и эпохи Возрождения. Однако, как это ни парадоксально, в современной теоретической физике и математике «золотая пропорция» никак не отражена. Ныне делаются попытки показать, что «золотое сечение» является одной из важнейших «метафизических» идей, без которой трудно представить дальнейшее развитие науки, в частности, теоретической физики и математики. [7,с.40]
Анализ современных программ образования в таких странах, как США, Канада, Россия и Украина, показывает, что в большинстве из них нет даже упоминания о «золотом сечении». То есть, имеет место сознательное игнорирование одного из важнейших открытий античной математики.
В настоящее время исследуются математические теории связанные с принципами «золотого сечения»: новая теория гиперболических функций, новая теория чисел, новая теория измерения, теория матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении - «золотую» компьютеризацию. А поскольку «математика гармонии» существенно дополнит классическую математику, вполне возможно придется пересмотреть и всю систему современного математического образования. [3,с.45]
Необходимо отметить, что теория золотого сечения ровесница науки. Перерывы в истории развития не помешали ей войти в число наиболее устойчивых теорий, не потерявших идейных целей в самых неблагоприятных условиях. Теорию золотого сечения, благодаря неизменной ориентированности на идеалы красоты и совершенства, на связь с искусством, вполне можно отнести к идеологиям социального значения. Тем самым мы указываем на ещё одну важную грань этой теории, делающую её актуальной в условиях преобладания технократических ценностей. [7,с.54]
Несмотря на неприятие «золотого сечения» современными «официальными науками, оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе в России и Украине, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из «золотых» математических принципов.
ВЫВОДЫ
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.В данной работе был проведен исторический экскурс и разобрана математическая сущность «золотого сечения», рассмотрено строение «золотых фигур».
Проведено исследование обучающихся 9 класса МОУ Уваровской ОШ, в результате которого я пришел к выводу, что пропорции тела мальчиков ближе к показателю золотого сечения, чем у девочек, что подтверждает теорию Цейзинга.
Таким образом, познакомившись с принципами «золотого сечения», увидев гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека,
мы делаем выводы:
- во-первых, золотое сечение - это один из основных основополагающих принципов природы;
- во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.
Несмотря на не восприятие «золотого сечения» современными «официальными науками, оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе в России и Украине, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из «золотых» математических принципов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:
1.Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973, с.2-5
2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Молодая Гвардия», 1990,с.18-25
3. Мелешко С.В., Попова С.В. Дистанционные технологии как необходимый компонент внеаудиторной самостоятельной работы учащихся при изучении математики // Международный журнал социальных наук. – 2012. – № 9 , с.43-50
4.Мелешко С.В., Беляева Е.Д., Куксова Е.В. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В МАТЕМАТИКЕ И ДРУГИХ ОБЛАСТЯХ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6 . – С. 78-79, Т. 1.
5. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М.: Радио и связь, 1984.,с.12-14
6. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии // Метафизика. Век XXI: сборник. – М.: БИНОМ, 2006, с.213-300
7.Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.
8.Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
9. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. Три взгляда на гармонию природы. – М.: Стойиздат, 1990., с.13-48.
10. Интернет-ресурс: Cайт электронной библиотеки «Наука и техника»: http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm.
11. Интернет-ресурс: http://goldsech.narod.ru/matem.html
12. Интернет-ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki
14.Интернет-ресурс: http://math-prosto.ru/?page=pages/pogovorim/gold_section.php