Исследовательская работа кадета 9б класса Крылова К., научный руководитель Зевина Е.П. по теме Золотое сечение — пропорция жизни

Содержание

Введение………………………………………………………2
История возникновения золотого сечения………………….3
Определение золотого сечения………………………………4
Деление отрезка в пропорции золотого сечения с помощью циркуля и линейки……………………………………………7
Золотое сечение – пропорция жизни………………………..8
4. Золотое сечение в искусстве………………………………..11
5. Платоновы тела………………………………………………13
6. Золотое сечение в фотографии……………………………....15
7. Заключение……………………………………………………18
8. Литература ……………………………………………………19

Введение
Первое мое знакомство с золотым сечением случилось в президентском кадетском училище. Два года назад я увлекся фотографией. Первые мои снимки были удачными и неудачными. Изучив необходимую литературу, мне стало понятно, что для создания фотографии недостаточно только снять изображение. Необходимо гармонично разместить объекты на снимке, наполнив его смыслом. Как сделать фотографию интересной, выразительной, притягивающей взгляды зрителей? Существуют разные способы и правила для создания гармоничной композиции. Иногда достаточно разместить объекты съемки в определенных местах или правильно выбрать точку съемки. Небольшое смещение положения фотоаппарата может внести существенные изменения в композицию. Но самое главное - это геометрические пропорции, которые позволяют создавать удивительные работы.
Объект исследования: применение пропорциональности в различных областях знаний.
Предмет исследования: «золотое сечение» как один из видов пропорциональности.
Цель исследования: выявить принципы применения «золотого сечения» в различных областях знаний.
Задачи исследования:
- проследить этапы исторического возникновения «золотого сечения»;
- исследовать возможности практического применения «золотого сечения» в искусстве;
- рассмотреть геометрический смысл «золотого сечения».
Гипотеза исследования заключается в том, что «золотое сечение» возможно применять на практике в фотографии.
История возникновения «золотого сечения».
Принято считать, что Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.) ввел в научный обиход понятие о золотом делении. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараонa Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Золотые пропорции присутствуют в фасаде древнегреческого храма Парфенона. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. Золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида и дается геометрическое построение золотого деления.
После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. В Древней Греции «золотое сечение» становится « каноном» древнегреческой культуры. Многие учёные приписывают открытие этой пропорции Пифагору. Но не следует забывать, что большинство своих открытий, в частности, знаменитую «теорему Пифагора», учёный позаимствовал в египетской и вавилонской культурах. Если верить сохранившимся источникам, Пифагор провёл в Египте 22 года, а в Вавилоне – 12 лет. Считается, что знание о «золотом сечении» он позаимствовал у древних вавилонян. Неизвестно, употреблял ли Пифагор сам термин «золотое сечение». Часто введение термина «золотое сечение» приписывается Леонардо да Винчи. Но это не так. По мнению белорусского философа Эдуарда Сороки, автора книги «Структурная гармония систем» (1984) и признанного авторитета в области «золотого сечения», термин «золотое сечение» идёт от Клавдии Птолемея – александрийского астронома, математика и географа. Он дал это названия числу 1,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком соотношении.
«С точки зрения Платона, мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления – Золотого Сечения…
Следует отметить, что строгая геометрическая формулировка знаменитой «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в древности называлась задача о « золотом сечение») впервые дана в «Началах» Евклида. Там же, а именно в 13-й, то есть заключительной, книге своих «Начал», Евклид изложил теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории «золотого сечения», так как два главных Платоновых тел, додекаэдр и икосаэдр, основаны на «золотом сечении».
Определение золотого сечения

В окружающем в мире предметы различаются по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, содержащая симметрию и золотое сечение, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок АВ можно разделить точкой С на две части (равные и неравные) следующими способами: а) на две равные части АВ : АC = АВ : ВC; б) на две неравные части в любом отношении АВ : АC = АC : ВC (такие части пропорции не образуют). Последнее и есть золотое деление.
Золотое сечение - это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Такое деление отрезка со времен древних греков называется делением отрезка в крайнем и среднем отношении Пусть АВ = a, АС = x, тогда ВС = . Пропорция АС : АВ=ВС : АС примет вид
Отсюда ,




называется числом Фидия, древнегреческого скульптора, в творениях которого часто встречается это число.
Таким образом, , и части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38 % всего отрезка.
На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры. Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам. Древние математики могли прийти к «золотому сечению», исследуя прямоугольник с соотношением сторон 2 : 1, называемый так же «двухсмежным квадратом», так как он состоит из двух квадратов.
67246569850002533656985000 А В
D C
Если вычислить диагональ DB двухсмежного квадрата, то в соответствии с теоремой Пифагора она равна DB=.Теперь, если взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне AB, двухсмежного квадрата, мы придём к «золотой пропорции». Согласно теореме Пифагора, так как . Есть золотой треугольник - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618. Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1,618, 1 и 0,618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре.
Деление отрезка в пропорции золотого сечения
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Деление отрезка в пропорции золотого сечения осуществляется следующим образом. Из точки С восставляется перпендикуляр СD, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится прямая до пересечения с прямой AD. BC = 1/2 AB; CD = BC. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44. (Рис.1.)

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Золотое сечение – пропорция жизни.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению в геометрии, в искусстве, особенно в архитектуре. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, и полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. В Германии, Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д.

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения, профессор Цейзинг, объявил пропорцию золотого сечения универсальной для всех явлений природы и искусства. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. С историей золотого сечения связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). В его математическом труде «Книга об абаке» (счетной доске) собраны все известные на то время задачи. Вот одна: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Решая ее, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д. Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. В этой последовательности чисел каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление возможно в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется
спиралью Архимеда. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Гете подчеркивал стремление природы к спиральности. Подметили давно винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Ботаники и математики выяснили, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, т.е действует закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Рассмотрим рост растения. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается,выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс

в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. Импульсы роста растения постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. В науке о симметрии есть понятия статическая и динамическая симметрия. Первая характеризует покой, равновесие, а вторая – движение, рост. В природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда. Благодаря «золотому сечению» были открыты научные факты: пояс астероидов между Марсом и Юпитером, по пропорции там должна находиться еще одна планета; возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении «золотого деления», не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации; на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией «золотого сечения».Иоганну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: « Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением. Если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем».
Золотое сечение в искусстве
Рассмотрим пример «золотого сечения» в живописи. Леонардо да Винчи - личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды».
Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всём на свете». Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих, образец зеркального письма.
Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых» треугольниках, являющихся частями правильного звёздчатого пятиугольника… Что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строение человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал ещё небывалое: на картине изображён воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.
В картине Рафаэля «Избиение младенцев» просматривается другой элемент «золотой» пропорции - «золотая» спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль «золотую» спираль или чувствовал ее.

Платоновы тела
Человек интересуется многогранниками на протяжении всей своей жизни - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.
Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником считается равносторонний треугольник. Правильные многоугольники: квадрат (четыре стороны), Пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д. Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны, и являются правильными многоугольниками. В «Началах» Евклида есть строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.
Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число граней, число вершин и число плоских углов на поверхности тела. Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел. Первое из них - это тетраэдр (1). Его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Следующее тело - это гексаэдр, называемый также кубом (2). Гексаэдр имеет шесть граней, представляющих собой квадраты. Гранями октаэдра (3) являются правильные треугольники, и их число в октаэдре равно восьми.
Следующим по количеству граней является додекаэдр (4). Его гранями являются пентагоны, и их число в додекаэдре равно двенадцати. Замыкает пятерку Платоновых тел икосаэдр (5). Его гранями являются правильные треугольники, и их число равно 20.
Геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с «золотой» пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, то есть правильные пятиугольники, основанные на «золотой» пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют Пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что «золотая» пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.
В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с «золотой» пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через «золотую» пропорцию. В пентаграмме, каждый луч образует так называемый «золотой» треугольник, в котором основание треугольника и его сторона находятся в золотой пропорции.
Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра. Среди пяти Платоновых тел особую роль играют додекаэдр и икосаэдр. Роль этих совершенных геометрических фигур, основанных на «золотом сечении», в развитии науки настолько велика. Еще Сократ высказал предположение, что Земля имеет форму додекаэдра. Затем эта идея была развита в работах Бимона, Пуанкаре и Кислицина и привела к возникновению теорий формы Земли, имеющих важные практические приложения в геологии. В XVII в. Иоганн Кеплер, используя «Тела Платона», построил оригинальную геометрическую модель Солнечной Системы («Космический Кубок» Кеплера).
Золотое сечение в фотографии
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
425577022669500218122524066500
42557701216025002181225120205500
-444505905500

Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров. Правило золотого сечения в фотографии подразумевает, что все важные объекты стоят вдоль воображаемых линий, которые делят изображение на три части, по вертикали и горизонтали.Удивительно, что, казалось бы, математические правила могут быть применены к таким субъективным и творческим предметам, как фотографии. Но это замечательно работает. Если соблюдать это правило, фотографии будут более уравновешенными и гармоничными. Необходимо стараться, чтобы при съемке, например, пейзажа ваш горизонт был выровнен с верхней или нижней третью. Если вы фотографируете человека и хотите придать вашей фотографии динамику, нужно поместить его в левую часть снимка. При этом появится чувство направления. Смещение центра в снимке является мощным средством, чтобы передать движение. Даже в абстрактных фотографиях есть возможность использовать правило золотого сечения. В этом случае можно правильно сгруппировать свет, уравновесить темные и светлые места и фотография заиграет новыми красками.
Советы для начинающих фотографов:
       Держите камеру на уровне объекта съемки. Не фотографируйте прямо снизу вверх или с высоты вашего роста вниз, кроме случаев, когда вы хотите добиться особого эффекта. Например, если Вы снимаете детей, опуститесь до уровня их глаз, иначе у вас получатся искаженные пропорции.
       Следите, чтобы главный объект снимка не сливался с фоном. Если вы снимаете какой-то один объект, то старайтесь выбирать простой фон, детали которого не будут отвлекать зрителя. В некоторых случаях имеет смысл сделать так, чтобы объект занимал подавляющее большинство площади самого кадра.
       Используйте ветки, деревья и т.п. для создания эффекта рамки. Таким образом вы подчеркнете главный объект. Рамка также может помочь в создании более объемного кадра (не надо делать рамку главным смысловым элементом).
       Если вы снимаете движущийся объект, то оставляйте на фотографии пространство перед объектом, то есть по ходу его движения. Другими словами, располагайте объект, как будто он только зашёл на фотографию, а не покидает её.
       Старайтесь добиться того, чтобы источник света был сзади вас. А также избегайте ярких огней или пестрых цветных пятен в стороне от главного сюжета. Это отвлекает зрителя.
       Попробуйте сделать сбалансированную композицию, так чтобы верхняя часть фотографии не выглядела "тяжелее", чем нижняя. Данное правило относится и к сторонам изображения.
       Включайте в кадр нечетное число одинаковых предметов. Один или три цветка выглядят лучше, чем два или четыре.
       Если вы снимаете здание, то выберите ракурс, при котором видны и его фасад и боковая сторона. Это будет смотреться намного объемнее , чем просто фасад.
       Композиция не должна играть самостоятельной роли. Подобно тому, как речь имеет значение передатчика мысли, композиция служит лишь средством для выражения авторской мысли.
Заключение
Золотое сечение присутствует и применяется в различных областях знаний. Наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд “формул красоты” известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм, объясняется “божественным отношением” или “золотым сечением”. Соблюдение определенных отношений в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных отношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания “Золотое сечение” является критерием гармонии и красоты во времена Пифагора, в эпоху возрождения и в наше время.
Литература
1. www.goldenmuseum.com [ HYPERLINK "http://www.goldenmuseum.com/0206Rabbit_rus.html" \t "_blank" 1] [ HYPERLINK "http://www.goldenmuseum.com/0804Poetry_rus.html" \t "_blank" 2]2. The Golden Section - the Number and Its Geometry3. В.Д. Цветков. Золотое сечение и организация живых систем. Пропорция золотого сечения и структура сердечных циклов млекопитающих (также в этой статье много ссылок на научные исследования: золотое сечение в астрономии, биологии, физике, музыке, геологии)/ М. Просвещение. 20104. В.Д. Цветков. Золотое сечение и деятельность сердцаЗолотое сечение, ряд Фибоначчи - описание, понятие, история. Гармония пропорций в человеке, природе, математике и искусстве. / М. Просвещение. 20085. Золотая пропорция в искусстве, картинах художников: Леонардо да Винчи, Боттичелли, Рафаэль, Дюрер/ М. Просвещение. 20056. Виктор Лаврус. Золотое сечение/ М. Просвещение. 20117. В.Дроздов. Золотое сечение в физике. Журнал "Квант", 1990 г., №28. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 1998.