Отчёт студента по исследовательской работе Золотое сечение

СМОЛЕНСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ВЕРХНЕДНЕПРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
«Золотое сечение»
Работу выполнил: студент гр. №23 «Автомеханик»
Черногузов Р.А.
Руководитель: преподаватель Журавлёва Л.В.
2016 .
Содержание
1.Введение
2. Наши знания о «Золотом сечении»
3. Что такое «Золотое сечение» или «Золотая пропорция»
4. Исследования в области живописи.
5. Исследования в области архитектуры.
6. Золотая пропорция и тело человека
7.Заключение и выводы
8. Список литературы
1.Введение
«Геометрия обладает двумя великими сокровищами.
Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении.
Первое можно сравнить с мерой золота,
второе же больше напоминает драгоценный камень».
Иоганн Кеплер
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Цели исследовательской работы:
-Узнать что такое «Золотое сечение»
-Узнать историю золотого сечения
-Рассмотреть « золотое сечение» в математике, архитектуре, искусстве, биологии
-Научиться находить предметы золотого сечения в окружающем нас мире
Задачи исследовательской работы:
1. Изучить научно-популярную литературу по данной теме;
2. Исследовать известные картины, скульптуры и архитектурные сооружения;
3. Выявить и изучить проявления «золотого сечения» и ее производных в моем окружении и привести свои примеры исследований.
Актуальность исследования
«золотого сечения» или «золотой пропорции» как универсальной мировой константы я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше, за пределы геометрии. Если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в окружающем нас мире.
Новизна исследования:
раскрытие «золотого сечения» в окружающей нас действительности. Красота скульптуры, красота храма, красота человеческого тела, окружающей природы…Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой человеческого тела? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов.
Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение «золотого сечения», и доказывается его универсальность.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно-популярная литература по данной теме, выяснено, что во многих гениальных творениях можно найти элементы золотого сечения.
Практическая значимость работы заключается в применении «золотой пропорции» на уроках математики, биологии, физики. Инновационность своей работы я вижу в том, чтобы заинтересовать студентов занятием научно-исследовательской деятельностью, потому что она повышает интеллектуальный уровень, расширяет кругозор, формирует потребности к целенаправленному самообразованию
2.Наши знания о «Золотом сечении».
Перед тем как начать работу по теме « Золотое сечение», я провел опрос среди студентов и преподавателей нашеготехникума. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме.
3834765175260
Студенты преподаватели
40% преподавателей знают что такое « Золотая пропорция» или
« Золотое сечение», а студенты не имеют представления, что это такое.
Как вы думаете, что общего между египетскими пирамидами, полотнами Леонардо да Винчи, подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой?
Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». А ЧТО ЖЕ ЭТО ТАКОЕ? Давайте разберемся!....3.Золотое сечение в математике
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось ещё одно название – «золотая пропорция».
Пусть С∈ АВ и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка АВ, так что АС: АВ =СВ: АС
Золотым сечением - называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей
Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Коэффициент «золотого сечения» обозначается буквой Ф=1,618034…
Ф - прописная форма греческой буквы "фи". Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.), в творениях которого «золотая пропорция» встречается многократно.
Ряд Фибоначчи
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд "Книга об абаке" (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила "Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится". Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.
Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618
Работая по теме «Золотое сечение», я познакомился с «золотыми фигурами» и научился их строить с помощью циркуля и линейки:
Могу разделить любой отрезок в золотом соотношении

Построение.
Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС= ½ АВ .Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB,
и наконец AE=AD.
Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.
Могу построить правильный пятиугольник – пентаграмму.
Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате получим пятиугольную звезду.
Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму и пять правильных треугольников.
Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.
Пятиконечная звезда – пентаграмма – очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны.
Могу построить Золотой треугольник
Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:
, ϕ=1,62
Могу построить Золотой прямоугольник
Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение длины к ширине даёт число φ, называется золотым прямоугольником.
Могу построить Золотую спираль
Последовательно отрезая от золотого прямоугольника квадраты и вписывая в каждый по четверти окружности, получаем золотую логарифмическую спираль.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спираль Архимеда.
Очень многие явления в природе описываются именно золотой спиралью.
Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.
Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Не так давно спиральные структуры обнаружены и в неживой природе.
Из истории золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
4. Исследования в области живописи.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу картины, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров, как это видим в знаменитой«Тайной вечери» и «Джаконде» Леонардо да Винчи. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
Мною была проведена исследовательская работа с репродукциями картин: Васильева «У окна», Иванова «Явление Христа народу», «Поющий один» (8 век), Айвазовского «Солнечный день», Карамзина Н. «Незнакомая». Измерения показали, что создатели этих картин все объекты, несущие смысловую нагрузку в соответствии с художественным замыслом разместили по правилу золотого сечения.
5. Исследования в области архитектуры.
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.
Как была построена Большая Пирамида Хеопса - это вопрос, на который нельзя ответить, но в основе постройки этой пирамиды лежит все то же золотое сечение, и этот факт лишний раз доказывает, что эта пропорция была известна еще в Древнем Египте.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.Принцип золотого сечения положен в основу и знаменитого Собора Парижской Богоматери.
Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов.Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения.В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.
В качестве примера «золотого сечения» в России можно полюбоваться фасадом знаменитого Большого театра в Москве и архитектурным шедевром Москвы – домом Пашкова (1786 г.), который является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры Василия Ивановича Баженова.
Свое исследование в архитектуре я провел на примере фотографий памятников архитектуры Дорогобужского района: храма в д.Болдино и усадьбы Барышникова д.Алексино и оказалось, что при делении основных масс конструкций использовалось золотое сечение.
6. Золотая пропорция и тело человека
Леонардо да Винчи говорил о пропорции человеческого тела: “Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.Я решил проверить, как проявляются закономерности «золотого сечения» в пропорциях тела современного человека на студентах 2 курса. Для этого я провел измерения пяти юношей и пяти девушек. Мы выполнили измерения длины тела до талии и ниже талии, вычислили отношения этих длин. Результаты отношений я отразил в виде таблиц.
студенты 1 2 3 4 5 Среднее
значение
девушки 1,596 1,583 1,627 1,606 1,624 1,607
юноши 1,604 1,628 1,608 1,626 1,632 1,619
Вывод:к золотой пропорции ближе мужская фигура. У женщин наблюдается отклонение от норм золотого сечения, а обувь на высоком каблуке «восстанавливает» пропорцию.
Рука человека
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи
Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты
В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.
К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.
На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:
-Высота лица / ширина лица,
-Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.
-Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ
-Ширина рта / ширина носа,
-Ширина носа / расстояние между ноздрями,
-Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.
Золотое сечение и счастье
Исследования социологов подтверждают, что численность удовлетворённых и неудовлетворённых своими обстоятельствами людей подчиняется пропорциям знаменитого «золотого сечения».
По результатам опроса отечественных и зарубежных психологов оказалось, что счастливыми считают себя 63% опрошенных. Поразительная цифра, ибо золотое сечение приходится на 62%.
7.Заключение
В результате исследовательской работы я познакомился с историей золотого сечения, применением золотого сечения в архитектуре, живописи, искусстве. Приобрел навыки исследовательской работы, опыт работы в поисковой системе Интернет.
Выводы:
1. Закономерности золотого сечения были известны с древних времён и использовались в науке и искусстве.
2. Проведенные опыты показывают, что окружающие нас предметы и явления, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотой пропорцией, большинству людей кажутся красивыми, такая пропорция создает зрительное ощущение гармонии, красоты и равновесия.
3. Принцип «золотого сечения» – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, природе.
8. Список литературы
1. Н. Васютинский “Золотая пропорция” –М.,”Молодая гвардия”, 1990 2. А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” –М., “Школа-Пресс”, 1998 3. М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” –М., “Мир”, 1971 4. Д. Пидоу “Геометрия и искусство” – М., “Мир”, 1989 5. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989 6. Журнал “Квант”, 1973, № 8 7. Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3 8. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/
9. http://www.km.ru/referats/93E692B0594D4BB68486A53C943DC155#
10. http://yandex.by/yandsearch?text=%D1%82.%D0%BA%D1%83
11.http://ogog2.goroo-оrsha.by/index.php?option=com_content&view=