Статья по математике на тему Пути и способы развития пространственного воображения на уроках математики

Пути и способы развития пространственного воображения на уроках математики
Один из школьников спросил известного писателя Джанни Родари: «Что нужно сделать и как работать, чтобы стать сказочником?»
«Учи, как следует математику», - услышал он в ответ.
Успешное преподавание основ геометрии осуществляется при систематической работе учителя по развитию пространственного воображения учащихся. Через преподавание геометрии, есть возможность активно воздействовать на формирование диалектико - материалистического мировоззрения учащихся.
Действительно, геометрия – это раздел математики, моделирующий пространственные формы реального мира. Умение видеть за геометрическими образами реальные объекты часто обуславливает понимание и сознательное усвоение свойств геометрических фигур. Это, в свою очередь, способствует формированию у школьников определенных практических навыков, которые необходимы при овладении многими профессиями.
Важность этой методической проблемы подчеркивается и тем, что попытки решить эту проблему пока еще не затронули массовую школу. Развитие пространственных представлений и воображения учащихся может быть эффективными при обучении геометрии, если оно осуществляется целенаправленно и систематически на протяжении всех лет обучения в школе. Поэтому вопросы преемственности в формировании пространственного воображения учащихся постоянно находятся в центре внимания учителей.
Интересно, какие пути и способы развития пространственного воображения учащихся могут быть предложены для учителей и методистов в их профессиональной деятельности? Действительно, любой учитель в своей педагогической работе может выбрать два эффективных пути: учебная и вне учебная (внеклассная, внеурочная) деятельность. Для реализации того или иного пути можно предложить ряд способов, о которых упоминают в своих работах А. Парадала и Д. Глейзер:
Учитывая практическое знакомство учащихся с формами геометрически фигур, изучаемых в средней школе, целесообразно, по возможности, плоские фигуры изучать расположенными различным образом в пространстве. Приведем примеры реализации этого способа. При разъяснении понятия «геометрическая фигура» учащимся демонстрируются модели всех геометрических фигур, изучаемых в средней школе, и их чертежи, выполненные в кабинетной проекции. Формы этих геометрических фигур известны учащимся. На уроке уточняются их названия.
При разъяснении понятия отрезок, учащимся предлагается назвать отрезки, имеющиеся на чертежах деталей (демонстрируются проекционные чертежи плоских и не плоских деталей). Одновременно выясняется форма деталей.
Определяется понятие окружности, подчеркивают, что окружность – плоское множество точек. Демонстрируется модель шара с нанесением на его поверхность произвольной замкнутой линии. Учащиеся наглядно убеждаются в том, что хотя все точки этой кривой находятся на равных расстояниях от одной точки – центра шара, это кривая не окружность. Моделируется модель развернутого шара. Подчеркивается, что всякое сечение шара плоскостью - круг. С учащимися рассматриваются такие, например, вопросы:
Поверхности, каких геометрических фигур содержат круг?
Как следует пересечь цилиндр плоскостью, чтобы в сечении получился круг? И т.п.
Здесь же учащиеся знакомятся с формулами длины окружности и площади круга.
Следует систематически привлекать неплоские пространственные образы при решении задач планиметрического характера. Этот способ требует разработки соответствующей системы упражнений. Например, система упражнений на модели, развертки, чертежи, наливные тела, разрезанные модели.
При изучении различных геометрических множеств точек плоскости необходимо выяснить с учащимися аналогичные множества точек трехмерного пространства, используя их опыт и интуицию. Приведем примеры рассмотрения множеств точек трехмерного пространства параллельно с изучением соответствующих множеств точек плоскости. Это такие задачи:
Указать множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки этой плоскости.
Указать множество точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки.
Указать множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, принадлежащей этой плоскости. И так далее.
Целесообразно систематически привлекать учащихся к выполнению чертежей, изготовлению разверток и моделей географических фигур. Здесь имеется в виду систематическая работа по изготовлению моделей геометрических фигур по заданным размерам их разверток и чертежам, которые выполняет каждый учащийся. Процесс изготовления модели (а не просто созерцание ее) сам по себе оказывает положительное влияние на развитие пространственного воображения учащихся. Кроме этого, совершенствуются вычислительные, графические, конструктивные умения и навыки учащихся. Главное здесь в том, чтобы учащийся правильно воссоздал образ предмета по его изображениям. Следует подчеркнуть, что такие работы способствуют также более глубокому усвоению учащимися планиметрических фактов (теоремы Пифагора, тригонометрических функций острого угла, свойств четырехугольников и др.), совершенствованию их навыков в построении фигур. Наконец, эти работы представляют большой практический интерес для многих учащихся. Однако наибольшая значимость подобных работ состоит в их эффективности для обогащения пространственных представлений учащихся и развития их пространственного воображения.
Следует систематизировать разрозненные стереометрические сведения учащихся, приобретенные ими в процессе жизненной практики. При изучении планиметрии полезно знакомить учащихся с основными фактами расположения прямых и плоскостей в пространстве, определениями правильных многогранников и фигур.
Важную роль в развитии пространственных представлений играет теоретико-множественный подход в геометрии. Теоретико-множественная концепция позволяет не только повысить научный уровень школьного курса геометрии, ввести в школе единую научную терминологию и символику, но и открывает богатые методические возможности для формирования и развития геометрических представлений. При этом можно использовать следующие задачи:
на определение фигур;
решение задач на нахождение точечных множеств, обладающих определенными свойствами;
решение задач на нахождение объединений фигур;
решение задач на нахождений пересечений фигур.
Например, прежде чем ввести определение угла (как фигуры), рассматриваются возможные пересечения и объединения двух плоскостей с пересекающими границами; прежде чем ввести определение полосы, - рассматриваются пересечения двух полуплоскостей с параллельными границами; при изучении параллелограммов рассматриваются возможные пересечения двух полос и т.п.
Одним из важнейших способов развития пространственных представлений учащихся состоит в изучении геометрических преобразований в школьном курсе геометрии. Построение курса геометрии на основе геометрических преобразований привело к изучению движения и изменения, а не только «состояния» фигур.
Изучение векторов и их широкое применение к доказательству теорем и решению задач позволяет сформировать у учащихся векторные представления, столь важные для понимания современных взглядов на физическое пространство.
Построение школьного курса планиметрии на четкой логической основе, ставшее возможным, благодаря, разработанной академиком А.Н. Колмагоровым специальной системы аксиом, открывает широкие возможности для формирования у учащихся неевклидовой геометрии, пространственных представлений и пространственного воображения.
Реализация вне учебной деятельности возможна через игры, исследования геометрических объектов:
конструктивные задачи;
прикладные задачи;
проекционные задачи;
построение сечений;
исследование геометрических объектов.
Каждый из предлагаемых способов реализуется через систему целенаправленных упражнений и задач. Педагог для повышения уровня развития пространственного воображения учащихся должен разработать такую систему или использовать тот комплекс упражнений, который уже имеется и апробирован в опыте других учителей математики.
Успех в формировании пространственного воображения учащихся достигается также системой комплексных методов. Чтобы такая система была эффективна, она должна удовлетворять ряду требований, а именно должна быть:
1) полной или достаточной, т.е. ею должны обеспечиваться формирование всех компонентов, составляющих данное понятие;
2) совместной или непротиворечивой, т.е. комплекс принимаемых методов должен формировать у учащихся единое и целостное представление об изучаемых геометрических объектах;
3)перспективной, в том смысле слова, что она должна обеспечивать потенциальную возможность постепенного достижения учащимися все более высокого уровня;
4)правильно построенной психологически, т.е. обеспечивать рациональное распределение информации между всеми анализаторами обучаемого и соответствовать психологическим закономерностям формирования и развития пространственных представлений и воображения;
5)способствующей эффективному формированию других компонентов геометрической деятельности, в частности формированию логического компонента;
6) специфичной в том смысле, что система методов должна учитывать индивидуальные особенности учащихся и особенности конкретных условий обучения.
Для более полного исследования вопроса о способах развития пространственного воображения учащихся, рассмотрим возрастную особенность пространственного воображения на уроках математики из раздела - геометрия.
Уже в I – III классах у учащихся формируются первоначальные пространственные представления, связанные с их жизненным опытом и предметами окружающей действительности. Так, например, рассмотрению понятия «прямоугольники» в начальных классах предшествует выявление реальных предметов прямоугольной формы (крышка стола, обложка книги, классной доски, стекла в оконной раме и т.д.). При рассмотрении реальных предметов школьники подмечают существенные признаки прямоугольника, отличающие его от других фигур. При распознавании прямоугольника (среди других геометрических фигур или реальных объектов), учащиеся полагаются на свой глазомер (одно из умений входящих в состав пространственных представлений) и проверяют правильность своих оценок длины отрезка, величины угла и взаимного расположения элементов с непосредственными измерениями.
В IY-Y классах также имеются возможности для формирования начальных пространственных явлений. Большое значение на этом этапе обучения придается наглядности, причем хорошо применять изготовление моделей самими учащимися (из картона, цветной бумаги, фанеры и других материалах).
Также опыт показывает, что развитию пространственных представлений и воображения способствует создание наглядно-игровой ситуации.
Методике развития пространственного воображения учащихся IY-Y классов посвящены специальные исследования. Так в работе Л.Н. Фетисовой выделяются три основных направления этой работы:
более широкое обращение к пространственным образам;
активное использование идеи движения;
ознакомление учащихся с понятием проекции.
В качестве основного средства, при помощи которого осуществляется реализация на практике указанных направлений, предлагается система упражнений со следующими видами заданий:
работа с моделями геометрических фигур;
построение развертки:
изображение развертки;
изображение некоторых пространственных фигур на плоском чертеже и т.д.
Полезность предлагаемых заданий для развития пространственного представления учащихся несомненна, однако, реализация их в полном объеме с должной отдачей в IY-Y практически невозможна. Опыт показывает, что в полной мере эти предложения могут быть реализованы только при систематическом изучении геометрии, а система упражнений с указанными видами заданий является убедительным средством развития пространственного воображения учащихся IY-YIII-IX классов, обеспечивающей должную подготовку к изучению курса стереометрии X-XI классов.
Вместе с тем в развитии пространственных представлений и воображения учащихся IY-YIII-IX классов должно быть акцентировано внимание на рассмотрении планиметрического материала. Этой цели способствуют, например, так называемые задачи на недоступные расстояния, задачи на распознавание заданных фигур, задачи на пересечение фигур, изображенных на рисунке. Большое внимание уделено задачам на отыскание множеств точек, обладающих заданным свойством.
Приведем примеры заданий, которые оправдали себя в практической работе с учащимися:
1.Как измерить расстояние между двумя недоступными пунктами А и В?
2.Какая фигура может получиться при пересечении данного угла и данного треугольника. (При затруднении учащиеся могут воспользоваться моделью треугольника, вырезанного из цветной бумаги, и угла, изображенного на листе прозрачной бумаги, пленки).
3.Найти множество точек на плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой АВ.
Полезны также различные упражнения по развитию глазомера. Например:
построить на глаз вершину угла;
определить с заданной точностью расстояние между двумя параллельными прямыми и т.п.
Многие их этих задач допускают пространственную трактовку (к ним можно обратиться при изучении стереометрии). Например, как измерить расстояние между серединами двух противоположных ребер куба?
Особенно важную роль воображение играет при изучении раздела геометрии. Учителя, начинающие изучение систематического курса геометрии в 7 классе, сталкиваются с трудностями, связанными с неумением учащихся видеть ход рассуждений учителя, как при объяснениях теоретического материала, так и при решении задач. В таком смысле предлагается метод решения задач схематических рисунков, т.е. метод граф-схем. Этот метод можно использовать и для решения задачи последовательно синтетическим и аналитическим способами.
Рассмотрим решение одной задачи из 7 класса с использованием метода граф-схемы.
Задача. Равнобедренные треугольники ADC и CBD имеют общие основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что DO = OC.
Построив два равнобедренных треугольника с общим основанием DC. Проведем прямую АВ, пересекающую CD в точке O. Обозначим ∟DAO=∟1, ∟САО=∟2. Доказать, что DO=OC (Доказательство изложено в граф-схеме).
Проанализируем ход решения задачи, рассуждая по схеме снизу вверх (метод аналитический). Чтобы доказать равенство треугольников, отрезков DO и ОС, докажем равенство ∆ ADO и ∆ ACO. Чтобы доказать равенство этих треугольников, доказываем равенство соответствующих сторон и углов. Равенство сторон AD и АС и углов ∟1 и ∟2, а так же то, что сторона АО – общая, что следует из условия задачи.
Так доказали необходимое условие, т.е. решили задачу применяя граф-схему.
A
298831000029883100001379220000
1 2

298831022860000137922022860000137922022860000DОС
B
238442528511500464947028511500238442528511500-5842028511500220599028511500-5842028511500
29273502425700092011524257000238442524257000-5842024257000∆ ADC – равнобедренный ∆ CВD – равнобедренный
1379220264795004273552641600042735526416000437769026479500437769026479500552069026416000251333026479500337058026416000251333026479500
2020570114935002927350279400002927350279400009201152794000043776902794000025133302794000042735527940000 AD = AC BC = BD AB –общая
370649526543000214884026543000214884026543000
84137510922000214884025908000 ∆ ABD = ∆ ACB
4335145231140005599430231140004327525231140002548890231140003320415231140002548890231140004273552311400013792202311400042799023114000
2927350252730008413752527300029273502527300043275252527300025488902527300042799025273000 ∟1 = ∟2 AD=ACAO - общая
210629525400000370649525400000210629525400000
292735027559000210629527559000 ∆ ADO = ∆ACO
238442527622500347027527622500238442527622500
238442525527000 DO = OC
Рисунок или запись условия учащиеся оформляют самостоятельно.
Примером развития пространственного воображения в восьмом классе сможет послужить тема «Решение задач векторным способом».
Например, в учебнике Л.С. Атонасяна геометрия 7 – 9 класса сформулирована теорема о средней линии трапеции. Учащиеся данную теорему доказывают двумя способами:
обычным, с использованием известного геометрического материала;
с применением векторного метода.
Затем делают вывод, что использование векторного метода, куда рациональней, проще и понятней в применении доказательства теоремы. Аналогично и при решении задач.
В девятом классе рассмотрим тему «Обучение решению задач координатным методом».
Координатный метод является одним из эффективных инструментов решения задач. Он позволяет решить геометрические задачи средствами алгебры, сводить построения к вычислениям. За частую преобразования формул ведут к целям более простым и коротким путем. Это и послужило обоснованием заявлению метода координат французского математика Рене Декарта: «Я решил все задачи». Координатное решение позволяет охватить всевозможные частные случаи.
Важно и то, что для него не является характерным выполнение вспомогательных построений. Использование координатного метода способствует развитию вычислительных и графических навыков, пространственных представлений, геометрической интуиции учащихся, т.к. его применение связано с выбором системы координат, вычислением координат точек, с переводом языка уравнений и неравенств на язык геометрии и наоборот. Примером может служить задача: доказать, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма, равна сумме квадратов его диагоналей.
1149350114935004597401149350045974011493500BC
AD
Дано: ABCD – параллелограмм. BD и AC - диагонали.
Доказать: AB2 + BC2 + CD2 + DA 2 = BD2 + AC2
Доказательство:
1 способ: Рассматривается параллелограмм, используются при решении задачи свойства параллелограмма, применяется теорема косинусов и логическая цепочка рассуждений помогает доказать данную задачу.
способ: решается задача с использованием координатного метода:
45974014986000yВ (b.c)C (a+b; c)
459740-381000

45974014859000Ax
(О;О)D(a;о)
Поместим параллелограмм в систему координат так, что т. А (о; о), следовательно, т.D (a; o), т.B (b; c) и т. C (a+b; c). Пользуемся формулой расстояния между двумя точками. Используем определение параллелограмма. Составляем равенство и доказываем его.
Тем самым, убеждаемся, что применение координатного метода, куда более, рациональней и удобней, чем доказательство, проведенное не основе изученных теорем, свойств, ряда математических утверждений и записей.
Анализируя все выше сказанное, приходим к выводу, что пространственное воображение детей можно и нужно развивать с раннего возраста, но особое внимание необходимо заострить на подростковом возрасте. Одним из важных двигателей развития пространственного воображения подростков являются уроки геометрии. Геометрия-наука, которая в большей мере развивает логическое мышление и пространственное воображение школьников, имеет большие возможности для показа силы научных методов в познании окружающего мира, выяснения процесса формирования понятий и путей возникновения, представляет важную составляющую математики и является одним из основных компонентов общечеловеческой культуры. Одним из основных условий формирования пространственного воображения в процессе обучения геометрии является использование упражнений, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. Разработки таких упражнений и задач, должны несомненно пополнить копилку учителей математики.
Приложение
ПУТИ РАЗВИТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ
331470018669000 ПУТИ
17049752032000
434340014478000148590014478000Учебная деятельностьВнеучебная деятельность
297180016891000148590016891000
Способы
468630012700000114300012700000114300012700000
рассмотрение способов расположение фигур в пространстве 1.игра
привлечение неплоских пространственных образов при решении планиметрических задач 2.исследование геометрических объектов
привлечение учащихся к изготовлению разверток, моделей геометрических фигур, чертежей 3. конструктивные задачи
систематизация стереометрических сведений учащихся, приобретенных в жизненной практике 4. прикладные задачи
при изучении множества точек плоскости выявляют аналогичные множества точек трехмерного пространства 5. проекционные задачи
применение геометрических преобразований 6. построение сечений и т.д.
изучение и применение векторов логическое построение школьного курса на основе аксиом ЛИТЕРАТУРА
1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф, Кадомцев С.Б., ПозднякЭ. Г., Юдина И.И. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений – 5-е изд. Москва. Просвещение, 1995.
2.Выгодский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. Москва. Просвещение, 1991-93с.
3.Глейзер, Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников приобучении  геометрии [Текст] – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
4.Гусев В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: сборник статей. Просвещение, 1979.
5.Жилина Е.И. Математические сочинения при обучении школьников. Математика в школе, 1995-№3.
6.Клонский В.М., Ягодовский М.И., Скопец З.А. Применение элементов векторной алгебры к решению планиметрических задач. Математика в школе, 1977-№6.
7.Короленко Ц.П., ФроловаГ.В. Чудо воображения. Москва. Наука, 1975-212с.
8.Коршунова Л.С. Воображение и его роль в познании. Изд. Московского Университета, 1989.
9.Литвинов В. Правда воображения: [о психологии творчества]. Литературное обозрение, 1987-№2
10.Маковей В.Г., Мельник Н.С. Применение векторов к решению задач. Математика в школе, 1978-№2.
11.Минасян Л.А. О формировании пространственных представлений в курсе геометрии. Сост. Соколова Л.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. Из опыта преподавания математики в средней школе. Москва. Просвещение, 1979-192ст.
12.Немов Р.С. Психология: Учебные пособия для учащихся педагогических училищ, студентов педагогических институтов и работников системы подготовки, повышение квалификации и переподготовки педагогических кадров. – М., Просвещение, 2005 – 470 с.
13.Пардала А. О системе задач для формирования пространственных представлений. Математика в школе, 1993- №5.
14.Станкин М.И. Воображение и его роль в учебном процессе. Открытая школа, 1997 - №1, ст.38-45.
15.Субботина Л.Ю. Развитие воображения у детей: популярное пособие для родителей и педагогов. Ярославль. Академия развития, 2001-240с.
16.Фарман И.П. Воображения в структуре познания. Москва, Хранитель, 2007.
17.Фетисова Л.Н. К вопросу о развитии пространственного воображения учащихся IY-Y классов в процессе изучения элементов геометрии – сборник, изд. МРПИ им. В.И.Ленина, 1972-97с.
18.Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии. Москва. Просвещение, 1980 – 272с.
19.Хабибулин К.Я. Нарисованное доказательство. Школьные технологии, Методическое пособие БИРО,- Уфа: 1997.
20.Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Смоленск. Русич, 1995.
21.Щиряков А.Н. Как развивать пространственное воображение учащихся. Математика в школе,1991 - №1.