Реферат» Проблемы Гильберта»

Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u 1.Введение PAGEREF _Toc373709325 \h 22. Проблемы Гильберта PAGEREF _Toc373709326 \h 3Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза PAGEREF _Toc373709327 \h 3Вторая проблема: непротиворечивость аксиом арифметики. PAGEREF _Toc373709328 \h 4Третья проблема: равносоставленность равновеликих многогранников PAGEREF _Toc373709329 \h 4Четвёртая проблема: системы аксиом геометрии PAGEREF _Toc373709330 \h 5Пятая проблема: все ли непрерывные группы являются группами Ли PAGEREF _Toc373709331 \h 6Шестая проблема: математическое изложение аксиом физики PAGEREF _Toc373709332 \h 6Седьмая проблема: является ли число 22 трансцендентным (или хотя бы иррациональным). PAGEREF _Toc373709333 \h 6Восьмая проблема: проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха) PAGEREF _Toc373709334 \h 7Девятая проблема: доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле PAGEREF _Toc373709335 \h 8Десятая проблема: есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений? PAGEREF _Toc373709336 \h 8Тринадцатая проблема: можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных? PAGEREF _Toc373709337 \h 9Заключение PAGEREF _Toc373709338 \h 10Использованная литература PAGEREF _Toc373709339 \h 12
ВведениеАвгуст 1900 года. Париж. II Международный конгресс математиков. На секции преподавания и методологии математики выступает 38-летний немецкий профессор Давид Гильберт. То было время романтической математики. Вот несколько фраз из доклада Гильберта: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?». Пытаясь ответить на эти вопросы, Д. Гильберт формулирует свои знаменитые 23 проблемы.
Ни до, ни после него никто не ставил перед собой такую титаническую задачу. Даже в то время математика уже была достаточно специализированной: было много различных направлений, и одному человеку было очень трудно охватить все ее разделы. Но Гильберт отличался широким кругозором: он работал практически во всех существовавших тогда областях математики и во многих из них добился выдающихся результатов.
Проблемы Гильберта относятся к самым разным областям математики, а некоторые - сразу к нескольким областям. Это вполне естественно: математика едина, и одна и та же проблема может быть сформулирована и исследована в терминах различных математических дисциплин.
Когда эти проблемы были сформулированы, выяснилось, что некоторые из них либо решены, либо близки к решению. Однако другие потребовали для своего решения несколько десятков лет и усилий многих выдающихся математиков, а две из них до сих пор не решены. Почему же Гильберт включил в свой доклад именно эти 23 проблемы? Чем он руководствовался, формулируя их?
Цель работы:
-изучить литература, в которой говорится о проблемах Гильберта;
- опираясь на эти источники, осветить данный вопрос в моей работе.
При написании работы, использованы два основных источника :
А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) и Демидов С. Проблемы Гильберта и советская математика, наиболее полно освящающие проблемы математики, выдвинутые Гильбертом.
2. Проблемы ГильбертаВыбирая проблемы для своего доклада, Гильберт придерживался следующих принципов. Он говорил, что задача должна быть а) понятной (должно быть ясно, откуда она возникла); б) достаточно трудной, чтобы вызывать интерес; в) не настолько трудной, чтобы ее невозможно было решить.
Первая проблема Гильберта: континуум-гипотезаКонтинуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с такими простыми и естественными вопросами, как "Сколько?", "Больше или меньше?"
Континуум-гипотеза.
С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум.
Этой проблемой занимались очень многие математики. Сам Георг Кантор неоднократно заявлял, что доказал эту гипотезу, но всякий раз находил у себя ошибку.
Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.
В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело---Френкеля (ZF) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.
Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом.
Вторая проблема: непротиворечивость аксиом арифметики.Проблема звучит так: аксиомы арифметики противоречивы или нет? Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики (если только арифметика не является на самом деле противоречивой).
До сего момента предполагалось, что К. Гедель с помощью своей второй теоремы якобы доказал невозможность решения данной проблемы. Но на самом деле, как выяснилось, он лишь доказал противоречивость некоторых генераторов ахиней, причисляющих себя к числу "математиков". Вторая проблема Гильберта разрешена положительно, т.к. для ее реализации необходимо и достаточно всего лишь двух аксиом, тождественно связывающих логические и арифметические выражения.
Таблица1.
Логическое выражение Арифметический аналог
A и В А * В
не А 1 - А
Все остальное можно вывести из этих двух. Арифметика и логика оказываются связанными и взаимотождественными, не говоря уже об отсутствии каких бы то ни было противоречий.
Третья проблема: равносоставленность равновеликих многогранниковВ ней Гильберт ставит вопрос, можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности. Проблема эта породила большое число работ (М.Ден, давший отрицательное решение проблемы Гильберта, В.Ф.Каган, математики швейцарской школы и др.).
Постановка такого вопроса была связана с тем, что, с одной стороны, на плоскости любые два многоугольника равной площади равносоставлены — как утверждает теорема Бойяи — Гервина. С другой стороны, имевшиеся способы доказательства формулы для объёма тетраэдра (1/3 произведения высоты на площадь основания) так или иначе были связаны с предельными переходами, и тем самым с аксиомой Архимеда.
-51435427355 Хотя буквально в предложенной Гильбертом формулировке речь шла о равносоставленности тетраэдров (а, точнее, о доказательстве невозможности такого разбиения в общем случае), она немедленно и естественно расширяется до вопроса о равносоставленности произвольных многогранников заданного объёма (а, точнее, о необходимых и достаточных для этого условиях).
Третья проблема оказалась самой простой из проблем Гильберта: пример неравносоставленных тетраэдров равного объёма был предъявлен уже через год, в 1901 году, в работе ученика Гильберта М. Дена (англ.). А именно, им была построена (принимающая значения в некоторой абстрактной группе) величина — инвариант Дена — значения которой на равносоставленных многогранниках равны, и предъявлен пример тетраэдров равного объёма, для которых значения инварианта Дена различаются (В.Г. Болтянский.Третья проблема Гильберта).
В дальнейшем, Слайдер в своей работе 1965 года показал, что совпадение объёма и инварианта Дена являются не только необходимыми, но и достаточными условиями равносоставленности многогранников.
Четвёртая проблема: системы аксиом геометрииПроблема связана с определением всех реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского, Римана) с точностью до изоморфизма, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и пополнить эти системы аксиомой «неравенство треугольника». Проблему решил Георг Хамель.
Сам Гильберт считал проблему расплывчатой и нечётко поставленной. Гильберт называл эту проблему «Проблемой о прямой как кратчайшем соединении двух точек» и характеризовал её так: «Так проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых на поверхностях, в механике и в вариационном исчислении…
Более общий вопрос, возникающий при этом заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии…»
А.В. Погорелов получил полное решение четвертой проблемы Гильберта
Пятая проблема: все ли непрерывные группы являются группами ЛиОдной из проблем, долгое время не поддававшейся решению, была пятая, относящаяся к так называемой Теории непрерывных групп. Её окончательное решение было достигнуто лишь в 1952 году американцами Д. Монтгомери и Л. Циппином, но оно потребовало усилий многих выдающихся ученых и среди них известных советских математиков академиков Л. С. Понтрягина и А. И. Мальцева, доказавших проблему соответственно в 1934 и1946 года для очень важных случаев.
Шестая проблема: математическое изложение аксиом физикиШестая проблема Гильберта озаглавлена так:
“Математическое изложение аксиом физики” (при этом имелась в виду также теория вероятностей). Любопытно отметить, что для Гильберта, как и для многих математиков его времени, теория вероятностей представлялась разделом физики (подобным механике), в котором математические методы играют выдающуюся роль.
На вопрос, решены ли проблемы Гильберта, современные математики обычно отвечают, что к настоящему времени не решены лишь две проблемы Гильберта – о нулях дзета-функции Римана (8-я проблема) и о предельных циклах (16-я проблема). Почему-то они стесняются упоминать о шестой проблеме Гильберта: аксиоматизации теоретической физики, которая всё ещё, мягко говоря, в значительной мере остаётся открытой.
Седьмая проблема: является ли число 22 трансцендентным (или хотя бы иррациональным).В 1929 году молодой московский математик, впоследствии член-корреспондент АН СССРА. О. Гельфонд дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта: доказать, что числа вида при алгебраическом = 0; 1 и алгебраическом иррациональном всегда трансцендентны (или по крайней мере иррациональны).
Число называется алгебраическим, если оно является корнем уравнения


Седьмая проблема Гильберта предлагала математикам путь введения большого класса трансцендентных чисел. Технически эта проблема оказалась чрезвычайно трудной.
Наконец, в 1934 году А. О. Гельфонд дал окончательное решение проблемы, подтвердив гипотезу Гильберта.
Результат А. О. Гельфонда стал классическим результатом теории трансцендентных чисел.
Восьмая проблема: проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха)Восьмая проблема Гильберта состоит из нескольких задач, относящихся к теории простых чисел,—раздела математики, не балующего нас результатами. Каждый полученный здесь новый факт— событие чрезвычайной значимости. Одна из этих задач— так называемая проблема Гольдбаха (названная по имени Х. Гольдбаха, сформулировавшего её в письме к Эйлеру от 7 июня 1742 года): доказать, что всякое целое число, большее или равное шести является суммой трех простых.
Легко найти требуемые разложения для небольших чисел:
6 = 2 + 2 + 2; 7 = 3 + 2 + 2; 8 = 3 + 3 + 2;
9 = 3 + 3 + 3; 15 = 3 + 5 + 7:
Советского математик академикИ. М. Виноградов сумел в 1937 году решить проблему для нечетных чисел. Этот результат, а также метод его получения относят к числу наиболее выдающихся математических достижений XXвека. Метод этот успешно применялся в дальнейшем для решения многих задач теории чисел. В1946 году академик Ю. В. Линник дал другое доказательство теорему И. М. Виноградова с привлечением методов теории функций комплексного переменного.
Важным достижением советских ученых в решении теоретико-числовых проблем Гильберта стало также доказательство в 1948 году общего закона взаимности молодым московским математиком, впоследствии членом-корреспондентом АН СССР И. Р. Шафаревичем. Этой работой завершилась длинная цепь исследований, отмеченная именами К. Гаусса, Г. Эйзенштейна, Э. Куммера, самого Д. Гильберта, Э. Артина, Г. Хассе.
Девятая проблема: доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом полеПроблема была частично решена Эмилем Артином доказательством закона взаимности Артина для абелевых расширений алгебраических числовых полей. Позже в 1948 году И. Р. Шафаревичем был найден самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел.
В неабелевом случае, проблема по-прежнему не решена.
Десятая проблема: есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений?Суть десятой проблемы, окончательно решенной Ю. В. Матиясевичем, состоит в следующем: дано произвольное диофантово уравнение с целыми рациональными коэффициентами; указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли данное уравнение в целых рациональных числах.
«Мое оригинальное доказательство ... основывалось на теореме, доказанной в 1942 г. советским математиком Николаем Воробьевым, но опубликованной только в третьем расширенном издании его популярной книги.... После того, как я прочитал статью Джулии Робинзон, я сразу же увидел, что теорема Воробьева может быть очень полезной. Джулия Робинзон не видела 3-го издания книги Воробьева до тех пор, пока она не получила копию от меня в 1970 г. Кто мог сказать, что бы случилось, если бы Воробьев включил свою теорему в первое издание своей книги? Возможно, что 10-я проблема Гильберта была решена на десять лет раньше!»
В развитие вопроса Юрия Матиясевича, мы вправе поставить следующий вопрос: а что бы случилось, если бы итальянский математик Фибоначчи не открыл числа Фибоначчи в 13 в.? Возможно, 10-я проблема Гильберта не была бы решена до сих пор. Конечно, теорема Воробьева, использованная Юрием Матиясевичем, является важным математическим результатом, но все же главным «виновником» решения 10-й проблемы Гильберта следует признать итальянского математика Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Еще в 1202 г. он опубликовал книгу “Liberabaci”, в которой ввел новую числовую последовательность - числа Фибоначчи.
Главный вывод из этих рассуждений состоит в том, что решение одной из наиболее сложных математических проблем – 10-й проблемы Гильберта – получено с использованием «теории чисел Фибоначчи»! И этот факт сам по себе поднимает на высокий уровень как «теорию чисел Фибоначчи» , так «математику гармонии» , которая является развитием и обобщением современной “теории чисел Фибоначчи».
Тринадцатая проблема: можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?Немецкий математик Л. Бибербах называл тринадцатую проблему “самой несчастливой”— в данном случае число 13 оправдывало свою дурную славу, решение проблемы ускользало от исследователей, уводя их на зыбкие пути, приводившие к неверным заключениям. Так, некоторое время полагали, что Бибербаху удалось подтвердить гипотезу Гильберта, однако его построение оказалось ошибочным. Был получен целый ряд результатов, самым сильным из которых был результат молодого советского математика А. Г. Витушкина, косвенновроде бы подтверждавших гипотезу Д. Гильберта.
Тем более неожиданным оказался результат, полученный в 1954 году академиком А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом, тогда еще студентом механико-математического факультета Московского университета, впоследствии профессором и лауреатом Ленинской премии. Они опровергли гипотезу Гильберта, показав, что всякая непрерывная функция трех переменных представляет собой сумму девяти функций, каждая из которых является однократной суперпозицией функций двух переменных.
Заключение Итак, в работе были рассмотрены лишь некоторые проблемы Гильберта. Оказали ли проблемы Гильберта влияние на развитие математики XX века? Не все отвечают утвердительно на этот вопрос. Выдающийся математик современности В.И. Арнольд считает это влияние незначительным. Он полагает, что «куда большее влияние на развитие математики XX века оказали работы ученика Гильберта, Германа Вейля, развивавшего скорее идею Анри Пуанкаре, который считал, что основной задачей математики XX века будет создание математического аппарата теории относительности и квантовой физики».
Знакомясь с тем как волновали и волнуют умы учёных задачи, поставленные перед ними Гильбертом, я с этим не соглашусь. Очень приятно, что многие проблемы были решены именно советскими учёными.
В качестве заключения приведу таблицу, в которой собраны все 23 проблемы математики Гильберта:
№ Статус Формулировка Результат
1 решена Проблема Кантора о мощности континуума (Континуум-гипотеза) Неразрешима в ZFC
2 нет консенсуса Непротиворечивость аксиом арифметики. Требует уточнения формулировки
3 решена Равносоставленность равновеликих многогранников Опровергнута
4 слишком расплывчатая Перечислить метрики, в которых прямые являются геодезическими Требует уточнения формулировки
5 решена Все ли непрерывные группы являются группами Ли? Да
6 слишком расплывчатая Математическое изложение аксиом физики 7 решена. Является ли число 22трансцендентным (или хотя бы иррациональным) Да
8 частично решена Проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха) Доказана тернарная гипотеза Гольдбаха
9 частично решена Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле Доказана для абелевого случая
10 решена Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений? Нет
11 частично решена Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами 12 не решена Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности 13 решена Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных? Да
14 решена Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы Опровергнута
15 частично решена Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта 16 решена Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов Да
17 решена

Конечно ли число кристаллографических групп?
Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками?
Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? Да
Да
Да
18 решена Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими? Да
19 решена Все ли вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения? Да
20 решена Все ли вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения? Да
21 решена Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии Требует уточнения формулировки
22 решена Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций 23 не решена Развитие методов вариационного исчисления Использованная литератураБолибрух А. А.. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=3
Демидов С. Проблемы Гильберта и советская математика. Ноябрь 1977. fuxx.h1.ru/kvant/problemyg.pdf‎
Шестая проблема Гильберта. Журнал Потенциал. Образовательный журнал для старшеклассников и учителей. Гладун Анатолий Деомидович. Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей физики (заведующий кафедрой в 1998–2010 гг.) Московского физико-технического института (МФТИ). Главный редактор журнала.
Стахов А.П. Проблемы Гильберта и «математика гармонии» http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321271.htmhttp://ru.wikipedia.org/wiki/Четвёртая_проблема_Гильберта