Урок Наибольшее и наименьшее значение функции

Тема урока: Наибольшее и наименьшее значения функции.
Цели урока: 1) Ввести правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
2) Рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших значений
функции к решению разнообразных прикладных задач.
Задачи урока:
Учебная: Повторить:
1) Определение критических точек; точек экстремума.
2) Теорему Вейерштрасса.

Развивающая: Развить творческую сторону мышления.

Воспитательная: Формировать навыки умственного труда.
Тип урока: Урок первичного усвоения знаний.
Методы обучения: Работа по обобщающей схеме; самопроверка.
Формы организации урока: Фронтальная.
План урока.
1. Организационный момент (1 мин.).
2. Актуализация опорных знаний и умений (6 мин.).
3. Объяснение нового материала (10 мин.).
4. Закрепление изученного материала (20 мин.).
5. Итоги урока (2 мин.).
6. Домашнее задание (1 мин.).
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока и цели.
2. Актуализация опорных знаний и умений.
Повторение.
1) Определение критических точек и точек экстремума.
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не
существует, называются критическими точками этой функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих
точках – экстремумами.
Вопросы: 1) На промежутке (0;2) , на промежутке . Является ли точка
х=2 точкой максимума ? ( Нет).
2) Функция y(x) непрерывна в точке х=3, причем на (2;3) и на. Является ли точка х=3 точкой минимума ? ( Да).
3) Является ли точка х=2 критической для функции y(x), если . (Нет).
4) Для функции производная равна . В точке х=0 производная не существует, значит, х=0 – критическая точка. Верно ли ? (Нет).
5) На отрезке функция имеет максимумы, равные 2 и 5, причем y(a)=-3;
y(b)=6. Верно ли, что наибольшее значение функции равно 6, а наименьшее
значение -3 ? (Да).
2) Теорема Вейерштрасса:
Непрерывная на отрезке функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее
значения.
3. Объяснение нового материала.
Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего
значений непрерывной на отрезке функции.
Учащиеся записывают в тетрадь алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на отрезке .
а) найти ;
б) найти точки, в которых или не существует, и отобразить из них те, что лежат внутри отрезка ;
в) вычислить значения функции в точках, полученных в пункте (б), и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее. Они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые обозначают так: .
Пример 1. (учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией А. Н. Колмогорова).
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Найдем критические точки.
Так как производная функции определена для любого х, решим уравнение


Ответ.
Изложенный метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению
разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:
1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через которую интересующую нас величину выражают как функцию f(x);
2) средствами анализа ищется наибольшее и наименьшее значения этой функции на
некотором промежутке ; 3) выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет
полученный (на языке функций) результат.
Записать в тетрадях важный практический вывод для решения геометрических задач на
нахождение наибольшего и наименьшего значения:
Если непрерывная на промежутке функция имеет единственную точку экстремума х0, то в
случае максимума значение f(x0) наибольшее на этом промежутке, а в случае минимума значение
f(x0) наименьшее на этом промежутке.
4. Закрепление нового материала.
Решить №305 (а;б) на доске и в тетрадях.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f.
а) на отрезке .
Решение.

б)
Решение.

Самостоятельно.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
Ответ.
Задача 1.
Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его
периметр равен 200 м.

18288003810000Решение. А B
х
D C
b ,

Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 2500 м2, а стороны участка равны 50 м и 50 м.
Ответ. 50 м и 50 м.
Задача 2. (№311.)

Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
Решение.
Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое.
Сумма квадратов этих чисел
По условию задачи
Рассмотрим функцию Она на интервале (0;24) непрерывна и дифференцируема.
Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12.
Ответ. 24=12+12.
5. Итоги урока.
Учитель подводит итоги и выставляет оценки за урок.
6. Домашнее задание.
№№306(а); 312; 313.
№306. Сравните наибольшее значение функции на промежутке Р1 и наименьшее ее значение на промежутке Р2.
а)
Решение.



Ответ.
№312. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Решение.
Пусть первое число – х, тогда второе – (4-х).
Введем функцию По условию задачи

х=2 – точка максимума.
Ответ. 4=2+2.
№313. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Решение.
Пусть одна сторона – х, тогда другая сторона (24-х).
Введем функцию Или По условию задачи

+331533513271500262890013271500194310013271500-
14859002095500 0 12 24 х
х=12 - точка максимума, значит, наибольшую площадь будет иметь квадрат со стороной 12 м.
Ответ. 12 м, 12 м, 12 м, 12 м.