Конспект урока по геометрии по теме Второй признак равенства треугольников (7 класс)

РАЗРАБОТКА УРОКА.
Тема урока. Второй признак равенства треугольников. (Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.−19-е изд. − М: Просвещение, 2014)
Тип урока. Урок изучения нового учебного материала.
Цели урока.
1. сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников, используя аналогию с формулировкой и доказательством первого признака равенства треугольников; сформулировать ряд утверждений-гипотез о равенстве треугольников, показать способ их опровержения в случае ложных неравенств (привести контрпример);
2. развивать математическую речь учащихся, логическое мышление;
3. воспитывать интерес к предмету, самостоятельность, толерантность.
В результате ученик
знает формулировку второго признак равенства треугольников, осознает генезис ее происхождения;
выделяет метод доказательства , теоретические положения, лежащие в его основе;
понимает, что доказательства первого и второго признаков равенства треугольников аналогичны;
осознает, почему способ доказательства известных признаков равенства треугольников одинаков;
сформулирует ряд утверждений-гипотез о равенстве треугольников;
умеет привести контрпримеры, опровергающие некоторые утверждений-гипотез о равенстве треугольников.
Методы обучения: репродуктивный, частично поисковый (по деятельности учеников), словесно-наглядный, практический (по форме подачи информации), эвристическая беседа,
Форма организации занятия: урок-практикум, компьютерная презентация, фронтальная беседа, самостоятельная, групповая и индивидуальные работы.
Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор.
Форма организации работы в классе: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Ход урока.
Мотивационно-ориентировочный этап.
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
1689104445
№119
Дано: ∆АЕК- равнобедренный, АК- основание, ЕР- биссектриса
АК=16см, АЕР= 43⁰.
Найти: КР, АЕК, ЕРА.
Решение: ∆АЕК- равнобедренный ,тогда ЕР- биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно : 1)АР= РК = АК =8 см;
2)ЕРАК, тогда ЕРА=90⁰;
3) АЕК=2 АЕР= 86⁰
-145415177165№120
Дано: ∆АВС, АС- основание, ВР- медиана, ЕАВ ; ДВС, АЕ=ДС;
Доказать: а)∆ВРЕ=∆ВРД б)∆АЕР=∆ДРС;
Решение: а) 1) ∆АВС- равнобедренный с основанием АС, тогда ВА = ВС. По условию АЕ = СД, тогда ВЕ= ВД, т.к.
ВЕ=ВА-АЕ и ВД=ВС-ДС;
2)ВР- медиана, проведенная к основанию, значит ВР- биссектриса , тогда ЕВР= РВД;
3)ВР- общая сторона треугольников ВРД и РВЕ
Отсюда ∆ДВР = ∆ВРЕ по первому признаку равенства треугольников.
б) 1) ∆АВС- равнобедренный с основанием АС, тогда ВАС = ВСА ( углы при основании)
2) ВР- медиана , тогда АР= РС;
3) АЕ= СД по условию;
Значит, ∆ АРЕ= ∆ СРД по первому признаку равенства треугольников.
3. Предлагаем учащимся решить ряд задач.
Задача 1. Перечислите по рисунку равные элементы треугольников АВМ и МВС (рис.1)
А
М
В
С


- Сколько пар равных элементов треугольников удалось найти? Равны ли треугольники?
(∆АВМ ∆МВС, т.к. на глаз видно, что при наложении треугольники не равны)
Задача 2. По рисунку найдите градусную меру Р, если К= 47º, ОР=ОК, ОС=ОТ.
К
Т
О
Р
С

(К= Р как соответственные углы равных треугольников КТО и РСО)
- Почему равны треугольники КТО и РСО?
(∆КТО= ∆РСО по первому признаку равенства треугольников, т.к. ТО=ОС, КО=ОР, ТОК= РОС как вертикальные).
- При доказательстве равенства треугольников был использован признак равенства треугольников. Объясните, пожалуйста, почему данную теорему называют «признаком»?
(С помощью этой теоремы мы устанавливаем по ряду признаков, то есть «признаем», равные треугольники.)
- Какие элементы треугольников участвуют в условии известного вам первого признака равенства треугольников?
(Две пары сторон и пара углов, причем углы лежат между выбранными сторонами)
- Возможен ли иной выбор «тройки» элементов в треугольнике? Если да, то определите возможные их наборы.
(Можно определить следующие «тройки» элементов треугольника: две стороны и угол; два угла и сторона; три стороны; три угла).
- Сколько различных комбинаций по взаимному расположению задают указанные элементы треугольника «по три»?
(Шесть комбинаций: две стороны и угол между ними; две стороны и угол, прилежащий к одной из них; сторона и два прилежащих к ней угла; сторона и два угла, лишь один из которых прилежит к этой стороне; три стороны; три угла).
- Обратите внимание, что одна из «троек» элементов определяет признак равенства треугольников. Какое предположение возможно в связи с этим наблюдением?
(Существуют и другие признаки равенства треугольников, которые определяются перечисленными наборами элементов треугольника)
- Какую задачу определяет данное предположение? Сформулируйте и запишите ее в тетради.
В ходе обсуждения различных вариантов ответов учащихся определяем учебную цель урока: выяснить, какие «тройки» элементов треугольника порождают новые признаки равенства треугольников, сформулировать и доказать их. (На самом деле поставленная цель конкретной учебной ситуации имеет длительный характер, ее достижение будет идти на протяжении нескольких уроков геометрии).
Итогом первого этапа урока становится схема, частичное наполнение содержанием которой шло в соответствии с анализом проблемной ситуации и постановкой учебной цели. В дальнейшем при поиске возможных признаков равенства треугольников схема пополняется. Представим окончательный вариант.
СХЕМА
признак

∆1∆2

?

признак
?
?
.
Операционно-познавательный этап.
- Сформулируем утверждения, которые определили указанные «тройки» элементов.
(Учащиеся формулируют утверждения, пользуясь схемой. Например, утверждение: «Если две стороны и угол, прилежащий лишь к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, прилежащему лишь к одной из них, другого треугольника, то такие треугольника равны».)
- Какова цель нашей дальнейшей деятельности?
(Выяснить, какие из сформулированных утверждений являются признаками, а какие – ложны.)
- Как вы считаете, с какого действия в похожей ситуации – при работе с утверждением-гипотезой – начинает исследование ученый-математик? Пытается доказать полученное утверждение или ищет способ его опровергнуть?
(Ученый поступает по-разному, В зависимости от ситуации. Скорее всего, он сначала начнет поиск контрпримера к сформулированному положению)
- Сначала мы предпримем попытку опровергнуть данные утверждения. Предлагаю вам в группах выяснить, какие из утверждений являются ложными: используйте задачный материал начала урока (рисунки к задачам сохранены на доске), а также угольника, которые являются моделями треугольников.
Как показывает опыт преподавания геометрии в 7 классе, учащиеся довольно быстро обосновывают «отсутствие» признака равенства треугольников «по трем углам»: приводят пример треугольников с соответственно равными углами и неравными сторонами – равносторонние угольники различных размеров, лежащие у них на партах. Контрпример к утверждению о равенстве треугольников при соответственно равных в них двух парах сторон и пары углов, причем в каждом треугольнике угол прилежит только к одной из указанных сторон, помогает найти задача 1 и выводы, сделанные при ее решении в начале урока. Опровергнуть остальные утверждения не удается, далее пытаемся их доказать.
- Итак, пытаемся доказать равенство треугольников в оставшихся случаях. Какие утверждения, связанные с равными треугольниками, нам известны?
(Определение и первый признак равенства треугольников)
- К какому из них необходимо обратиться, если перед нами стоит задача доказательства утверждения – «предлагаемого» признака равенства треугольников?
(Обратимся к известному признаку, к методу его доказательства)
На предыдущем уроке одному из учащихся мы предложили дома вспомнить доказательство первого признака равенства треугольников. По готовому рисунку, краткой записи доказательства, он воспроизводит рассуждения.
- Какое положение лежит в основе доказательства этой теоремы?
(Определение равных треугольников).
- Какой метод доказательства признака равенства треугольников мы использовали?
(Метод наложения фигур)
- Почему использовали этот метод?
(Так как по определению фигуры равны, если совпадают при наложении)
- Для чего нам потребовалось обратиться к доказательству первого признака равенства треугольников?
(Для доказательства аналогичных фактов)
- Сегодня остановимся на рассмотрении одного из них. Попытаемся доказать, что если в треугольниках сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Проведем рассуждение устно. Итак, имеем два треугольника АВС А1В1С1, АВ= А1 В1, ВАС=В1А1С1, АВС=А1В1С1. Что нужно доказать?
(Докажем, что АВС=А1В1С1)
- С чего начнем доказательство?
(Наложим АВС на А1В1 С1 так, чтобы совместились вершины соответственно равных углов (по аналогии с доказательством первого признака равенства треугольников))
- Какие вершины будем совмещать?
(Можно совместить А и А1 или В и В1)
- Хорошо, выбор углов неоднозначен, в отличии от доказательства известного признака. Почему при доказательстве первого признака мы начали совмещение треугольников с совмещения равных углов, а не равных сторон?
(Потому что равные углы по условию теоремы определялись однозначно, а равных сторон в треугольниках две стороны)
- Какие равные элементы треугольников в утверждении, которое мы доказываем сегодня, определяются однозначно?
(Равенство сторон АВ= А1 В1)
- Наложим АВС на А1В1С1 так, чтобы совместились равные стороны АВ и А1 В1, при этом вершина А совпала бы с вершиной А1, вершина В с В1, а вершины С и С1 оказались бы по одну сторону от прямой А1 В1. Почему возможно такое наложение?
(Отрезки равны, следовательно, совпадают при наложении. Если совпадают при наложении отрезки, то совпадают и прямые, которые эти отрезки определяют. При этом любая прямая, в том числе и А1 В1, разбивает плоскость на две полуплоскости, а точки С и С1 могут оказаться либо в разных либо в одной полуплоскости. Мы наложим так, чтобы вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1 В1)
- Какие условия утверждения мы пока не учли?
(Равенство углов)
- Что следует из равенства углов?
(Они совпадут при наложении)
- Верно. Опишите дальнейший процесс наложения АВС на А1В1С1 .
(Так как ВАС=В1А1С1, АВС=А1В1С1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС – на луч В1С1. Поэтому вершина С окажется одновременно лежащей на лучах А1С1 и В1С1. Следовательно, она совместится с общей точкой этих лучей, то есть совпадет с точкой С1 – вершиной А1В1С1 )
- Итак, при выбранном пути совмещения треугольников имеем: вершины А и А1, В и В1, С и С1 совпали, стороны АВ и А1В1, АС и А1С1, ВС и В1С1 совместились. Какой вывод можно сделать о треугольниках?
(АВС = А1В1С1,так как они совпали при наложении)
- Какое теоретическое положение лежит в основе вашего вывода?
( Определение равных фигур, в частности равных треугольников)
- Сформулируйте словесно доказанную теорему.
(Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)
- Покажите, что по своему построению эта теорема является признаком.
(С помощью данного факта мы устанавливаем («признаем») равенство треугольников)
- Какие условия связанные с элементами треугольников, необходимо проверить для того, чтобы с помощью нового признака доказать равенство треугольников?
(Надо доказать, что два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, а также равны стороны, к которым в каждом из них прилежат рассмотренные углы)
- Вернемся к задаче 2. В ходе ее решения мы доказывали, что КТО=РСО, опираясь на первый признак равенства треугольников пришлось использовать новый второй признак равенства треугольников.
(Заменим условие равенства отрезков КО и ОР равенством углов КТО и РСО. Новая задача предъявляется в форме рис. 3)
К
Т
О
Р
С

Далее учащиеся проводят устно решение измененной задачи.
- Спрогнозируйте, какие задачи можно решать с помощью второго признак равенства треугольников?
(На доказательство равенства треугольников; на доказательство равенства отрезков и углов; на нахождение отрезков и углов)
Решение задач по готовым чертежам.
- Найдите на рисунках пары треугольников, которые равны по II признаку (по стороне и двум прилежащим углам)

(Равны треугольники на рисунках: Рис. 3: MPN= RPQ (вертикальные);
Рис. 6: ABC= DBK (вертикальные); Рис 9: DB-общая сторона)
Рефлексивно-оценочный этап.
- Какова была общая цель работы на уроке?
(Выяснить, какие «тройки» элементов треугольника порождают признаки равенства треугольников, сформулировать и доказать их)
- Можно ли считать, что мы реализовали эту цель на уроке?
(Нет, поскольку мы успели доказать только один новый признак равенства треугольников, нашли опровержение к двум сформулированным предложениям, а всего их – получилось, не считая известный признак, пять)
- Для чего мы достаточно много времени отвели на воспроизведение и анализ доказательства первого признака равенства треугольников, несмотря на то что эта теорема нам знакома?
(Потому что идея доказательства признаков одинакова, рассуждения строятся по одной схеме)
- Определите цель следующих уроков геометрии.
(Будем «искать» новые признаки равенства треугольников и решать задачи на применение новых теорем)
- В чем, по-вашему, состоит результат урока?
(Доказали новый признак равенства треугольников; спрогнозировали задачи, для решения которых он может использоваться; сформулировали различные гипотезы возможно будущих признаков; определили, что будем изучать дальше; увидели, что различные признаки равенства треугольников доказываются одинаково и т.д.)
- Определим домашнее задание. Спланируйте вашу работу дома.
((Надо выучить формулировку и доказательство новой теоремы)
- Верно, выучить формулировку и доказательство новой теоремы Решить задачи № 121, № 124.
Литература.
1. Атанасян А.С. И др. Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов. М.: «Просвещение» 2009г.
2. Бурмистрова Т.А. Геометрия. Программы общеобразовательных учреждений. М.: « Просвещение» 2009г.
3. Полонский В.Б. и др. Геометрия: Задачник к школьному курсу . М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998г.
4. Алтынов П.И. Геометрия. Тесты 7-9 класс . М.: Дрофа 1997г.
5. Саврасова С.М. и др. « Упражнения по планиметрии на готовых чертежах». М.: Просвещение 1987г.
6 . Цукарь А.Я. Дидактические материалы с элементами исследования для 7 класса. М.: Просвещение , 1998г
7. Зив Б.Г. Мейлер В. М. Дидактические материалы по геометрии 7 класс. М.: Просвещение 2002г.
Зив Б.Г. Мейлер В. М. Баханский А.Г. Задачи по геометрии для 7-11 классов. М.: Просвещение 2002г.
9. Теоретические основы обучения математике в средней школе. Под ред. Т.А.Ивановой. Н.Новгород, 2003
10. Горохова Л.И. Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое пособие с электронным приложением / М.: Издательство «Глобус»,2009. (Современная школа).
11. Звавич Л.И. и др. Новые контрольные и проверочные работы по геометрии 7-9 класс. М.: Дрофа 2002г.
12. Кукарцева Г.И. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах 7-9класс. К.: ГИППВ, 1998г.
13. Ершова А.И. и др. Алгебра. Геометрия. 7 класс. Самостоятельные и контрольные работы. М.: Илекса 2009г.
14. Ковалева Г.И. и др . Геометрия 7-9 Тесты для текущего и обобщающего контроля) Волгоград: Учитель
2008г.
15. Гайштут А.Г. Литвиненко Г.Н. Планиметрия. Задачник к школьному курсу . М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр –S 1998г.
!6. Журнал «Математика в школе».
16. Интернет-ресурсы.