Программа элективного курса Алгебра плюс или элементарная алгебра с точки зрения высшей математики
Элективный курс
«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
Пояснительная записка.
Предлагаемый элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», автор А.Н.Земляков, ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку. Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе большое число сложных задач, многие из которых понадобятся, как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменов. Структура курса представляет собой шесть логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников.
Курс рассчитан на 70 часов.
Цель курса:
повторить и обобщить курса алгебры и основ анализа;
создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к ЕГЭ учебе, в высшей школе.
Задачи курса:
реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;
выявление и развитие их математических способностей;
обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач и уравнений. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
формирование и развитие аналитического и логического мышления.
расширение математического представления учащихся по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.
развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация.
Структура курса.
Тема 1 Логика алгебраических задач (7 часов).
Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.
Тема 2 Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов).
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:
теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.
Тема 3 Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов).
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости, Стандартные неравенства. Метод областей.
Тема 4 Рациональные алгебраические системы (17 часов)
Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,
Метод разложения при решении систем уравнений.
Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.
Оценка значений переменных.
Сведение уравнений к системам.
Системы с тремя переменными. Основные методы.
Системы Виета с тремя переменными.
Тема 5 Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.
Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными.
Тема 6 Алгебраические задачи с параметрами (8 часов).
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Требования к подготовке учащихся.
Настоящая программа предполагает следующие требования:
иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;
получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым содержанием;
иметь представление о структуре решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;
уметь решать прикладные задачи;
. иметь представление о методе интервалов при решении иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;
. иметь представление о методе подстановки, методе исключения переменной, о равносильных линейных преобразованиях систем.
ЛИТЕРАТУРА И СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ
Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.
Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.
Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.
Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ:
1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение. - 252с.
2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение. - 252с.
3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 - 11 кл. сред. шк. - 3-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1990-160с: ил.
4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 - 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.
5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд. стереотип. - М.: Дрофа, 2000 - 416с: ил.
6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г. Розов. - 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2001. - 672с: ил.
7. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.-319 с.ил.
Адреса образовательных Интернет ресурсов:
1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .
2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика. Функции и их графики.
3. WWW.allmath – Вся математика.
4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.
5. WWW.matematik.ru Математика для абитуриентов.
6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.
7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.
8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика
Ожидаемый результат изучения курса
В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и модулями, с графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением производной.
В результате изучения курса учащиеся должны: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при анализе и решении задач.Календарно-тематическое планирование.
Тема Коли
чествочасов Цели к уроку Дата
10 класс
Логика алгебраических задач. 7 часов
1 Элементарные задачи как предложение с переменными. Следование и равносильность задач. 1 Формировать понятие следование и равносильность задач.
2 Уравнение с переменными 1 Формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.
3 Уравнение с переменными. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.
4 Алгебраические задачи с параметрами. 1 Формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.
5 Алгебраические задачи с параметрами. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.
6 Логические задачи с параметрами. 1 Формировать умения и навыки решения логических задач с параметрами.
7 Логические задачи с параметрами. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения логических задач с параметрами. с/рМногочлены и полиномиальные алгебраические уравнения. 14 часов
8 Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу. 1 Формировать понятие теорема Безу и следствия из нее.
9 Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая т.Виета. 1 Формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.
10 Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая т.Виета. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов. с/р11 Элементы перечислительной комбинаторики. 1 Формировать понятие элементы перечислительной комбинаторики.
12 Квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение. 1 Формировать понятие квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение.
13 Квадратные неравенства. Кубические многочлены. 1 Формировать умения и навыки решения квадратных неравенств.
14 Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. 1 Продолжать формировать решения квадратных неравенств.
15 Угадывание корней и разложение. 1 Продолжать формировать решения квадратных неравенств. с/р16 Куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано. 1 Формировать понятие куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.
17 Графический анализ кубического уравнения. 1 Формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.
18 Неприводимый случай (три корня и необходимость комплексных чисел. 1 Продолжать формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.
19 Уравнение степени 4. 1 Формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
20 Биквадратные уравнения. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
21 Представление о методе замены. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4. с/рРациональные алгебраические уравнения и неравенства. 7 часов
22 Представление о рациональных алгебраических выражениях. 1 Формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
23 Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены. 1 Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
24 Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены. 1 Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены. с/р25 Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства. 1 Формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
26 Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
27 Неравенства с двумя переменными. 1 Формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
28 Множество решений неравенства на координатной плоскости. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
Резерв. 7 часов
29 Повторение. Решение задач по теме «Алгебраические задачи с параметрами» 1 Разбор заданий ЕГЭ 30 Повторение. Решение задач по теме «Уравнение степени 4» 1 Разбор заданий ЕГЭ 31 Повторение. Решение задач по теме «Биквадратные уравнения» 1 Разбор заданий ЕГЭ 32 Повторение. Решение задач по теме «Дробно-рациональные алгебраические уравнения» 1 Разбор заданий ЕГЭ 33 Повторение. Решение задач по теме «Дробно-рациональные алгебраические неравенства» 1 Разбор заданий ЕГЭ 34 Повторение. Решение задач по теме «Неравенства с двумя переменными» 1 Разбор заданий ЕГЭ 35 Повторение. Решение задач. 1 Разбор заданий ЕГЭ 11 класс
Рациональные алгебраические системы. 13 часов
36 Уравнение с несколькими переменными. 1 Формировать умения и навыки решения уравнение с несколькими переменными.
37 Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. 1 Формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.
38 Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.
39 Однородные системы уравнений с двумя переменными. 1 Формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.
40 Замена переменных в системах уравнений. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.
41 Симметрические выражения от двух переменных. 1 Формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
42 Теорема Варенга - Гаусса. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
43 Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
44 Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. 1 Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
45 Метод разложения при решении систем уравнений .1 Формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .
46 Метод разложения при решении систем уравнений . 1 Продолжать формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .
47 Системы с тремя переменными. 1 Формировать умения и навыки решения системы с тремя переменными.
48 Системы с тремя переменными. 1 Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.
49 Системы Виета с тремя переменными. 1 Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными. с/р Иррациональные алгебраические задачи. 10 часов
50 Представление об иррациональных алгебраических функциях. 1 Формировать умения и навыки решения иррациональных алгебраических уравнений.
51 Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. 1 Продолжать формировать умения решения иррациональных алгебраических уравнений.
52 Уравнения с квадратными радикалами. 1 Формировать умения и навыки решения уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
53 Замена переменной. 1 Продолжать формировать умения решения уравнения с квадратными радикалами.
54 Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы 1 Формировать умения и навыки решения уравнения с модулями
55 Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы 1 Формировать умения и навыки решения уравнения с модулями
56 Метод интервалов при раскрытии модулей. 1 Формировать умения и навыки использования метода интервалов при раскрытии модулей
57 Метод интервалов при раскрытии модулей. 1 Формировать умения и навыки использования метода интервалов при раскрытии модулей с/р58 Иррациональные алгебраические неравенства. 1 Формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
59 Дробно-иррациональные неравенства. 1 Продолжать формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
Алгебраические задачи с параметрами. 8 часов
60 Рациональные задачи с параметрами. 1 Формировать умения и навыки решать рациональные задачи с параметрами.
61 Иррациональные задачи с параметрами. 1 Формировать умения и навыки решать иррациональные задачи с параметрами.
62 Задачи с модулями и параметром. 1 Формировать умения и навыки решать задачи с модулями и параметром.
63 Метод интервалов в неравенствах с параметрами. 1 Формировать умения и навыки решать неравенства с параметрами.
64 Системы с параметрами. 1 Формировать умения и навыки решать системы с параметрами.
65 Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. 1 Формировать понятие метода координат.
66 Применение производной при анализе и решении задач с параметрами. 1 Формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.
67 Применение производной при анализе и решении задач с параметрами. 1 Продолжать формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами. с/рРезерв. 3 часов
68 Повторение. Решение задач. 1 Разбор заданий ЕГЭ 69 Повторение. Решение задач. 1 Разбор заданий ЕГЭ 70 Повторение. Решение задач. 1 Разбор заданий ЕГЭ