Материал переводного экзамена в 9 класс в форме ОГЕ

Вариант 1.
Часть 2
Решение
20. Решите систему уравнений   
Решение.
Из первого уравнения системы находим  . Подставив полученное выражение во второе уравнение системы, получаем
,
 
откуда находим  . Таким образом, решение исходной системы  .
Ответ:  .
  
21. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°
Решение.

Проведём радиус  в точку касания. Так как  — радиус, а  — касательная, то  Угол  — центральный, следовательно он равен величине дуги, на которую опирается,  Угол  — развёрнутый, следовательно 
Из треугольника  
 
Ответ: 10°.
22. Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 16 км, сделала стоянку на 40 мин и вернулась обратно через  после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.Решение.
Пусть скорость течения реки равна  км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна , а против течения . Время движения лодки от одной пристани до другой по течению реки равно , а против течения Весь путь занял  Составим уравнение:
 

 
Корень −4 не подходит нам по условию задачи. Скорость течения реки равна 4 км/ч.
 
Ответ: 4 км/ч.
23. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
Решение.

Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем
 


 
Ответы:
№ ответ
1. -720
2. 2
3. 1
4. -1,25
5. 2
6. 15
7. 1
8. 110
9. 5
10. 75
11. 1,5
12. 123
13. 1
14. 751
15. 50
16. 2,4
17. 4
18. 0,4
19. 117,8
Вариант 2
 20. Решите систему уравнений
 
Решение.
Решение:
 

 
Откуда
 или 
 
Ответ: 
21. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.
Решение.

Опустим радиусы на каждую касательную. Соединим точки A и O. Получившиеся треугольники - прямоугольные, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. По гипотенузе и катету эти треугольники равны, таким образом, мы получили, что угол, лежащий напротив катета равен  Катет, лежащий напротив угла в равен половине гипотенузы, тогда радиус равен 4.
Ответ: 4.
22. Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через  после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.
Решение.
Пусть скорость течения реки равна  км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна  км/ч, а против течения —  км/ч. Время движения катера по течению реки равно , а против течения —  по смыслу задачи  Весь путь занял . Составим и решим уравнение:
 

 
Тем самым, скорость течения реки равна 4 км/ч.
Ответ: 4 км/ч.
 23. Точка F — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ABF равна половине площади трапеции.
Решение.
Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка E лежит на стороне AB. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFA и BEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h . Имеем
 


 
Ответы:
№ ответ
1. 3328
2. 4
3. 1
4. 14
5. 3
6. 0,5
7. 4
8. 70
9. 610. 50
11. 2
12. 124
13. 3
14. 0,6
15. 75
16. 17
17. 2
18. 0,94
19. 231,8