Алгебра высказываний, логические выражения и таблицы истинности
"Алгебра высказываний, логические выражения и таблицы истинности"
Цели урока:
закрепление знаний учащихся по теме “Основы логики”,
познакомить учащихся с основными понятиями алгебры высказываний.
Задачи урока:
обучающие – дать учащимся представление о подходах к пониманию алгебры высказываний; познакомить с основными логическими операциями; научить строить по логическим выражениям таблицы истинности;
развивающие – развитие познавательного интереса учащихся; памяти; внимания; обучение рациональным способам построения таблиц истинности; развитие логического мышления; выработка рефлексивных навыков оценки собственной мыслительной деятельности через экспериментальное получение результатов; формирование навыков эвристического мышления.
воспитательные – воспитание чувства ответственности, аккуратности, трудолюбия; сочетание индивидуальной и коллективной работы; ответственность за выполнение домашнего задания.
Тип урока: урок формирования знаний, умений с элементами практики, систематизация изученного материала.
Вид урока: сдвоенный, продолжительность 80 минут.
Возраст учащихся: 11 класс.
Оборудование:
программы Microsoft Excel и NumLock Calculator 3.2
раздаточный материал (теория по теме, практическая работа, карточки с самостоятельной работой)
слайды с ответами к самостоятельной работе
Оформление доски: доска разделена на две части – в правой части кроссворд, слева – домашнее задание и приоритет логических операций (на плакате).
План урока:
Организационный момент – 5 минут.
Повторение и актуализация знаний по теме “Логика”.
Лекция-беседа (тема ”Логика высказываний).
Повторение и актуализация знаний по теме “Microsoft Excel”.
Практическая работа по теме урока.
Решение задачи с использованием программы NumLock Calculator 3.2.
Лекция – беседа (тема “Логические выражения и таблицы истинности”).
Решение задачи на построение таблиц истинности.
Самостоятельная работа по теме урока.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.
Список используемой литературы
Ход урока
1. Подготовка учащихся к уроку, сообщение темы и целей проведения урока.
2. Повторение пройденного материала по предыдущей теме проводится в виде кроссворда:
Кроссворд по теме “Логика”
По горизонтали:
Форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определённым правилам логического вывода получается новое знание о предметах реального мира.
Высказывание, состоящее из простых высказываний.
Наука об общих операциях, которые могут выполняться над различными математическими объектами.
Форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов.
Форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и соотношениях между ними.
Мыслительный процесс, направленный на подтверждение или опровержение какого-либо положения посредством других, ранее обоснованных выводов.
По вертикали :
Наука о способах и формах мышления.
3. Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее). Объектами алгебры логики являются высказывания.
Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.
Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:
А = {Аристотель – основоположник логики};
B = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0. Таким образом, А = 1, В = 0.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):
в естественном языке соответствует союзу и;
в алгебре высказываний обозначение &;
в языках программирования обозначение And.
Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, то есть множеству, получившемуся в результате умножения множеств А и В, соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
А
В
А&B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):
в естественном языке соответствует союзу или;
обозначение ;
в языках программирования обозначение Or.
Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, то есть множеству, получившемуся в результате сложения множеств А и В, соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
А
В
АB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):
в естественном языке соответствует словам неверно, что и частице не;
обозначение ;
в языках программирования обозначение Not.
Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, то есть множеству, получившемуся в результате отрицания множества А, соответствует множество , дополняющее его до универсального множества.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
А
не А
0
1
1
0
4. Для закрепления теоретического материала данной части урока проводится практическая работа с использованием программы Microsoft Excel, которая изучалась ранее. Именно поэтому необходимо повторить знания по теме Microsoft Excel в виде опроса по основным понятиям:
а) для чего предназначены электронные таблицы; б) из каких элементов состоит электронная таблица; в) как можно определить адрес ячейки; г) как ввести нужную информацию в любую ячейку; д) как исправить или отредактировать данные в ячейке; е) что значит выделить ячейку ли сделать её активной; ж) как можно скопировать формулу в другие ячейки; з) как осуществить ввод функции с помощью мастера функций.
5. Практическое задание по теме “Логические функции в Excel”
1. Откройте программу Microsoft Excel.
2. Выделите ячейки A1, B1, C1 (для этого нажав на кнопку мыши внутри ячейки А1, протяните мышь до ячейки С1).
3. Нажмите на панели инструментов кнопку “Объединить и поместить в центре”: (если этой кнопки не видно, нажмите )
4. Напишите в объединенной ячейке слово “Конъюнкция”.
5. В столбцах А и В введите значения логических аргументов (см. рис. ниже).
6. Аналогично объедините ячейки E1, F1, G1 и напишите слово “Дизъюнкция”. Введите также значения логических аргументов.
7. Аналогично сделайте для Инверсии (см. рис.).
8. Сделайте активной ячейку С2 и выполните команду Вставка – Функция. В разделе “Категория” выберите “Логические”, а в разделе “Функция” – “И”, нажмите ОК. Сдвиньте вниз серую панель (взявшись за нее в любом месте и потянув вниз), так, чтобы были видны заполненные ячейки.
9. Щелкните по ячейке А2 – в окне “Логическое1” появится адрес А2, затем поставьте курсор в окошко “Логическое2” и щелкните по ячейке В2 – в окошке появится адрес В2, нажмите ОК.
10. В ячейке С2 появилось значение ЛОЖЬ, а в строке формул (наверху) мы видим формулу =И(А2;В2). Теперь эту формулу надо скопировать в нижние три ячейки. Для этого ухватите за маркер в правом нижнем углу ячейки (при этом курсор приобретет форму маленького черного крестика) и потяните вниз на три ячейки (там тоже появятся значения логической функции).Аналогично проделайте для Дизъюнкции (в столбце G) и для Инверсии (в столбце J).
11. Теперь займемся оформлением таблиц. Выделите диапазон ячеек А1:С5 и нажмите кнопку “Границы”: . Аналогично сделайте границы для остальных таблиц.
12. Выделите строки со 2-й по 5-ю (протянув мышкой по номерам строк - с левой стороны) и нажмите кнопку “По центру”: .
13. Раскрасим таблицы. Выделите диапазон А2:С5 и нажмите кнопку “Цвет заливки”: , выберите бледно-зеленый цвет. Заголовок таблицы раскрасьте в изумрудный цвет, а цвет текста в заголовке сделайте белым (с помощью кнопки “Цвет шрифта”: ). Увеличьте размер шрифта в заголовке до 12 и сделайте его полужирным.
14. Аналогичные операции проделайте с остальными таблицами.
15. Выделите первую таблицу и, взявшись за рамку этой таблицы, перетащите ее вниз-вправо так, чтобы ее верхний левый угол был в ячейке В4. Вторую таблицу перетяните в ячейку F4, а третью – в J4.
16. Уменьшите ширину столбца А (для этого возьмитесь за границу между названиями столбцов А и В и потяните ее влево). Аналогично уменьшите ширину столбцов Е и I.
17. Объедините ячейки В2:К2 и напишите (заглавными буквами) общий заголовок “ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ”. Сделайте его красного цвета, размером 12, полужирным.
18. У вас должно получиться следующее:
6. Решение задачи с использованием программы NumLock Calculator 3.2.
Примеры представлены в приложении[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
9. Самостоятельная работа по всей теме урока проводится на компьютере и состоит из двух заданий. Всего – три варианта карточек.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
10. Домашнее задание.
11. Подведение итогов урока.
Оценка знаний учащихся по новой теме с учётом знаний по предыдущим темам (повторение), а также краткое сообщение о теме следующего урока.
12. Список используемой литературы:
Информатика и информационные технологии.10-11:Учебник для 10-11 классов. Угринович Н.Д. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007;
Практикум по информатике и информационным технологиям: Учебное пособие. Угринович Н.Д. и др. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007;
Прил 1
Приложение 1
Самостоятельная работа
Вариант № 1
Задание 1
.Даны простые высказывания:
А = {Принтер – устройство ввода информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
Определите истинность составного высказывания А & [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
· (C
· D), используя таблицы истинности логических операций, а правильность полученного результата проверить с использованием программы NumLock Calculator.
Задание 2
Для формулы (А
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])
· C & [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.
Вариант №2
Задание 1
.Даны простые высказывания:
А = {Принтер – устройство ввода информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
Определите истинность составного высказывания (А
·В)
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]&D, используя таблицы истинности логических операций, а правильность полученного результата проверить с использованием программы NumLock Calculator.
Задание 2
Для формулы B & (A
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] & [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.
Вариант № 3
Задание 1
.Даны простые высказывания:
А = {Принтер – устройство ввода информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
Определите истинность составного высказывания ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])
· (C
· D), используя таблицы истинности логических операций, а правильность полученного результата проверить с использованием программы NumLock Calculator.
Задание 2
Для формулы B & ( [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
· C )
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.
Прил 2
Пример1. Определите истинность составного высказывания: (&)
· (C
·D), состоящего из простых высказываний с использованием программы NumLock Calculator 3.2.
А = {Принтер – устройство вывода информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.
Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.
Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:
(& )
·(1
· 0) = (0&1)
· (1
· 0) = 0
Составное высказывание ложно.
Проверим правильность полученного результата с использованием NumLock Calculator - это специальная программа, позволяющая проверить совпадение правильности значения составного логического выражения с вычисленным алгебраически.
Определение истинности составного логического высказывания с использованием NumLock Calculator.
Запустить программу NumLock Calculator.
2
Установить удобный вид калькулятора командой [Вид калькулятора-Универсальный].
3
Ввести составное логическое выражение, подставив в него значения простых логических выражений.
4
Нажать кнопку “=”, получим значение (0) составного логического выражения, которое совпадает с вычисленным алгебраически.
Составное высказывание ложно.
7.Лекция – беседа.
Логические выражения и таблицы истинности.
Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.
Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2) определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5) заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.
Наборы входных переменных рекомендую перечислять следующим образом:
а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;
б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц , начиная с группы нулей;
в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.
8. Решение задач на построение таблиц истинности.
Пример2. Для формулы A & (B
· & ) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц. (алгебраическое решение выполняет учащийся на доске, с использованием электронных таблиц – все вместе на компьютерах).
Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23 = 8. Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.
A
B
C
&
B
· (& )
A&(B
· & )
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
Построение таблицы истинности логического выражения с использованием электронных таблиц программы Microsoft Excel.
1
Запустить программу Microsoft Excel.
2
Создать заголовки и ввести в столбцы A, B, и С значения логических аргументов, а в столбцы D, E, F, G, H соответствующие логические функции. Для ввода логических функций воспользоваться командой [Вставка-Функция или использовать Мастер функций].
4
После ввода аргументов и формул на листе появится таблица истинности логического выражения.
5
Переименовать лист Лист1 в Таблицу истинности и сохранить в файле [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]xlc .
Рисунок 16Описание: http://festival.1september.ru/articles/510936/img1.gifРисунок 15Описание: http://festival.1september.ru/articles/510936/Image1035.gifРисунок 11Описание: http://festival.1september.ru/articles/510936/Image1037.gifРисунок 10Описание: http://festival.1september.ru/articles/510936/Image1038.gif