Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича (издательство «Мнемозина») является функционально-графическая линия. Иррациональные уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.
При этом иррациональные уравнения изучаются до введения иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.
В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава, посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только иррациональные уравнения нет.
А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.
У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным.
При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня.
Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики.
Урок в 11 классе по теме:
«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»
Цитата урока: (выписана на доске)
«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

Цель:
обобщение знаний учеников по данной теме;
демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;
формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;
повышение интереса к предмету.
Форма проведения: семинарское занятие.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Ход занятия:
Учитель:
Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.
На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.
1)


Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.
Дайте определения иррационального уравнения.
Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.) I. Учитель:
На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.
Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.
При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.
II.Выступление учеников
1 ученик.
Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.
х + х+4 = 3х – 7
Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.
х+4 = 2х – 7
Возведём обе части уравнения в квадрат:
х+42 = 2х-72Получаем:
х + 4 = 4х2 – 28х + 49
Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение
4х2 – 29х + 45 = 0
Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25
Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.
Если х = 5, то 5+4 = 10 - 7
3 = 3 – верно
х = 5 – корень уравнения
Если х = 2,25, то 2,25+4 = 4,5 - 7
2,5 = - 2,5 – неверно
х = 2,25 посторонний корень
Ответ: х = 5
Предлагаю решить в классе уравнение:
2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.
Пусть дано уравнение: 11х+3 - 2-х = 9х+7 – х-2Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.
Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.
Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств: 11х+3 ≥02-х ≥09х+7 ≥0х-2 ≥0 <=> х≥-311х≤2х≥-79х≥2 <=> х=2

-79-3112
х
Данное уравнение определено только при х = 2.
Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:
22+3 - 2-2 = 18+7 – 2-25 = 5 – верно.
Ответ: х = 2.
Попробуйте решить уравнение: 21-х2 = х - 2
3 ученик. Использование свойства монотонности функции.
Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:
Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.
Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.
Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.
Пример для изучения
Пусть дано уравнение: 2(х+6) +3х+6 = 6
ОДЗ уравнения: х+6≥0; х ≥-6Функции у1 = 2(х+6) и у2 = 3х+6 являются возрастающими на промежутке [- 6; ∞), поэтому функция у = 2(х+6) +3х+6 так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.
Найдём этот корень подбором.
х = 2.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 2.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:
7х+9 +15х+1 = 9 – 2х-1
Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.
Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.
Ответ: х = 1
4 ученик Метод введения новой перменной.
Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
Пример для изучения:
Дано уравнение: 516хх-1 + 5х-116х = 52ОДЗ уравнения: х ≠1 х ≠0Пусть 516хх-1=t >0, тогда 5х-116х= 1tПолучаем уравнение t + 1t = 52
2t2-5t+22t=02t2-5t+2=0t1 = 12 t2 = 2
Тогда
516хх-1= 12 или 516хх-1= 2
Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем
16хх-1= 132; х = -1512 16хх-1= 32; х = 2
Ответ: х = -1512 ; х = 2
В классе я предлагаю решить уравнение:
5 ученик Метод оценки частей уравнения.
Рассмотрим уравнение:49+х2-3х-28 +4х2-7,5х+3,5 = 14х - х2

Запишем уравнение в виде х2-3х-28 + 4х2-7,5х+3,5 = -(х2- 14х +49)

х2-3х-28 + 4х2-7,5х+3,5 = - х-72Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а
правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,
то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения
равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.
Для решения в классе предлагаю уравнение:
х2-х + х2+х-2 = 0
III. Работа учеников в группах.После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.
Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.
IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника
V/ Итог урока:
рефлексия
Вопросы рефлексии:
Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?
Получены ли новые знания и умения?
Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.
Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?
Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?
Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?