Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

МБОУ «Ташлинская средняя общеобразовательная школа»
Тюльганский район
Оренбургская область

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Урок по алгебре и началам анализа
10 класс

Учитель первой категории
Самсонова Ирина Анатольевна

2012 год

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Название УМК «А. Г. Мордкович» Предмет алгебра и начала анализа Класс 10
Тема урока Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Место и роль урока в изучаемой теме: раздел «Методы решения тригонометрических уравнений», подготовка к единому государственному экзамену
Тип урока Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности
ЦЕЛЬ: рассмотреть применение арифметического, геометрического, алгебраического способов отбора корней в тригонометрических уравнениях (задания С1 ЕГЭ)
Задачи:
обобщить, систематизировать и углубить знания о разнообразии способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;
развивать логическое мышление учащихся, потребность к самообразованию; воспитание познавательной активности, уверенности в себе
Литература: «Первое сентября», журнал «Математика»

Ход урока

Организационный момент

Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.

2. Актуализация опорных знаний
1. Расставьте в порядке убывания числа:
13 QUOTE 1415 313 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 2,5; 13 QUOTE 1415.
2. Расставьте в порядке возрастания числа:
- 13 QUOTE 1415; -13 QUOTE 1415; - 13 QUOTE 1415; -13 QUOTE 1415; - 2.
3. Какие частные случаи существуют при решении простейших тригонометрических уравнений?
4.Когда уравнение sin x = a не имеет решений?

Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.
Тема нашего урока « Отбор корней в тригонометрических уравнениях в заданиях типа С1 . Сформулируйте цель урока. Какие задачи для себя на уроке поставим?

Изучения новых знаний и способов деятельности, закрепления изученного.
(Решение задач С1)

Постановка проблемы

Учитель. Какие способы вы примените к отбору корней в следующих задачах?
Решить уравнение
13 QUOTE 1415 +2 sin x = 0.
Найти все решения уравнения sin 2x = cosx, принадлежащие отрезку [- 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415].
3. Определить количество корней уравнения
ctg 3x sin 6x – cos6x – cos12x = 0 на промежутке [0; 213 QUOTE 1415

Способы разрешения проблемы

Ученики предлагают свои версии.
Пример 1. 1 СПОСОБ (арифметический)
Решение. Перепишем уравнение в виде
13 QUOTE 1415 = - 2 sin x.
Это уравнение равносильно системе

Решим уравнение системы:
5cos x – (2cos2x – 1) = 4(1 – cos2x),

2cos2x + 5cosx – 3 = 0.
Отсюда cosx = 0,5 или cos x = - 3 (нет корней).
Из уравнения cosx = 0,5получим:
x =13 QUOTE 1415 + 213 QUOTE 1415n, n13 QUOTE 1415Z, или x = - 13 QUOTE 1415 + 213 QUOTE 1415n, n13 QUOTE 1415Z.
Проверим для полученных значений x выполнение условия 13 QUOTE 1415
Для первой серии получаем:
sin (13 QUOTE 1415 + 213 QUOTE 1415n) = sin 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 14150.
Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем
sin (13 QUOTE 1415 + 213 QUOTE 1415n) = - sin 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 14150.
Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.
Ответ: -
·13 QUOTE 1415 + 213 QUOTE 1415n, n13 QUOTE 1415Z.
Учитель. Нахождение значений тригонометрического выражения непосредственно подстановкой при проверке корней (Пример 1.) и перебор значений целочисленного параметра относятся к арифметическому способу
отбора корней в тригонометрических уравнениях.
А если последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических, входящих в серии решений не являются табличными?
Ученики предлагают
Пример 2. 1 СПОСОБ (алгебраический)
Решение. Приведем уравнение к виду
cos x (2sin x – 1) = 0.
Отсюда получаем:
cos x = 0 и sin x = 0, 5.
cos x = 0, x = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415n, n13 QUOTE 1415Z. Так как решения должны удовлетворять неравенству - 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415n
·13 QUOTE 1415, то, сократив на 13 QUOTE 1415, получим:
-1
·13 QUOTE 1415 + n
· 13 QUOTE 1415 или - 13 QUOTE 1415
· n
· 13 QUOTE 1415.
С учетом того, что n13 QUOTE 1415Z, получаем два значения: n = -1 и n = 0. Если n = 0, то x = 13 QUOTE 1415 , если n = -1, то x = 13 QUOTE 1415.
sin x = 0, 5
x = 13 QUOTE 1415 или x = 13 QUOTE 1415, n13 QUOTE 1415Z
Так как должно выполняться условие - 13 QUOTE 1415 x
·13 QUOTE 1415, то для первой серии имеем:
- 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415,

- 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415

- 13 QUOTE 1415n 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415,

следовательно, n = 0.
Отсюда получаем: x = 13 QUOTE 1415.

Для второй серии имеем:
- 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415,

- 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415

- 13 QUOTE 1415n 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.

Ответ: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
В этом примере мы применили решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра n и вычислении корней – это алгебраический способ отбора корней.

Динамическая пауза
Снятие напряжения – «Тряпочная кукла»

Задание ТРИЗ
«Кто быстрее?» с разрезанием листа Мёбиуса.

4. Применения изученного, обобщение и систематизация
(Самостоятельная работа учащихся)

Постановка проблемы

Учитель. Какие идеи у вас имеются для решения Примера 3?
(Геометрический способ)
Ученики выполняют самостоятельно, затем делают вывод, что в данном задании удобно использовать при отборе корней числовую окружность.
Учитель. Так как длина промежутка не превосходит 213 QUOTE 1415этот способ эффективнее, он относится к геометрическим способам отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Решение. Умножая обе части уравнения на sin3x
· 0, получаем:
sin3x – sin3x cos12x = 0,

sin3x (1 – cos12x) = 0.
Отсюда имеем:
13 QUOTE 1415 n, k13 QUOTE 1415Z.

Функции cos 12x и sin3x, входящие в уравнение, имеют основной период, не превосходящий 213 QUOTE 1415, поэтому проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности (на Макете) и в ответ запишем количество точек серии решений, не совпавших с точками серии ограничений.
Ответ: 6.

5. Информация о домашнем задании
1. Дифференцированные задания для каждого ученика
на карточках.
2. Из различных сборников заданий для подготовки к ЕГЭ 2012 выбрать три задачи, в которых можно применить: С1
а) арифметический;
б) алгебраический;
в) геометрический
способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решить одну из них.
6. Подведение итогов
С какими способами отбора корней в тригонометрических уравнениях мы познакомились на уроке?
Ученики высказывают свои мнения об оптимальности применения различных способов отбора корней при выполнении заданий.
Оценки учителя и самооценка каждого ученика работы на уроке.

7. Рефлексия
Свою деятельность на уроке прошу вас оценить
На лесенку успеха себя установить!

15