Разработка системы уроков повторения по алгебре для 10-11 классов по теме: «Решение неравенств алгебраическим методом»
Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ
по математике по теме
«Решение неравенств алгебраическим методом».
Содержание.
1. Примерное планирование учебного времени.
2. План-конспект урока по теме «Рациональные и дробные рациональные неравенства».
3. Проверочная работа (в одном варианте).
1. Примерное планирование учебного времени. Всего 15ч.
№ Тема Всего часов Содержание Форма контроля
1 Равносильные неравенства 1 Равносильные преобразования неравенств, тождественные преобразования выражений, входящих в неравенство, посторонние решения, потеря решений. 2 Обобщённый метод интервалов 1 Классический метод интервалов. Обобщённый метод интервалов. Точки чётной и нечётной кратности. Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов. 3 Рациональные и дробные рациональные неравенства 2 Целые рациональные неравенства. Дробные рациональные неравенства. Алгоритм решения целых рациональных неравенств и дробных рациональных неравенств методом интервалов. Решение рациональных и дробных рациональных неравенств обобщённым методом интервалов. Тест для проверки теоретических знаний
Контрольный тест.
4 Неравенства, содержащие иррациональные выражения. 2 Решение иррациональных неравенств, основанное на свойствах числовых неравенств. Схема решения неравенств обобщённым методом интервалов. Некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи. Тест для проверки теоретических знаний.
5 Неравенства, содержащие выражения под знаком модуля. 2 Геометрический смысл модуля. Решение неравенств разбиением ОДЗ на подмножества. Решение неравенств, содержащих модули обобщенным методом интервалов и особенности упрощённой записи. Проверочная работа.
6 Показательные неравенства 2 Решение показательных неравенств. Метод замены. Показательно–степенные неравенства и логарифмирование обеих частей неравенства. Метод интервалов для решения показательно-степенных неравенств. Самостоятельная работа
Взаимоконтроль.
7 Логарифмические неравенства 2 Схемы решения логарифмических неравенств и потенцирование обеих частей неравенства. Метод замены и использование метода интервалов для упрощения решений. Самостоятельная работа.
Самоконтроль.
8 Смешанные неравенства 2 Решение смешанных неравенств обобщённым методом интервалов. Решение сложных комбинированных неравенств. Решение неравенств с параметрами методом интервалов. Контрольный тест
9 Контрольная работа 1 Контрольная работа
2. План-конспект одного из уроков.
Рациональные и дробные рациональные неравенства
( 2 часа)
Цель. Формирование умения применять алгоритм обобщённого метода интервалов для решения рациональных и дробных рациональных неравенств.
Целым рациональным неравенством называют неравенство вида
f(x)<0>,≤,≥, гдеf(x) - алгебраический многочлен.
Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида f(x)g(x)<0
>,≤,≥,гдеfxи gx – алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена g(x)Решая целые рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:
1) запишем неравенство в виде f(x)<0>,≤,≥ и рассмотрим функцию f(x);
2) найдём нули функции, решая уравнение f(x)=0;
3) нанесём нули функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности ; 4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
Решая дробные рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:
1) запишем неравенство в виде f(x)g(x)<0 >,≤,≥ и рассмотрим функцию F(x)= f(x)g(x); 2) найдём нули и точки разрыва функции, решая уравнения f(x)=0 и g(x)=0;
3) нанесём нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности;
4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
При решении неравенств вида f(x)g(x)≤0 и f(x)g(x)≥0 корни числителя будем отмечать на координатной прямой «заштрихованными» точками, а корни знаменателя – «пустыми».
Пример 1. Решить неравенство 2-х23+х3(х-7)<0
1) Рассмотрим функцию f(x)= 2-х23+х3(х-7).
2) Найдём нули функции, решая уравнение2-х23+х3х-7=0 Получим х1,2 = 2, х3,4,5 = - 3, х6 = 7.
3) Корни нечётной кратности: – 3 и 7, а 2 – корень нечётной кратности.
+ - - +
-3 2 7
4) Объединив промежутки, в которых функция отрицательна, запишем ответ
Ответ: (-3;2) U(2;7).
Пример 2. Решить неравенство х2х+1х2-4≥0 1) Рассмотрим функцию f(x)= х2х+1х2-4
2) Найдём нули функции, решая уравнение х2х+1=0. Получим х1,2 = 0, х3 = - 1.
Найдём точки разрыва, решая уравнение х2-4=0. Получим х4 = - 2, х5 = 2.
3)
- + - - +
-2 -1 0 2 х 4) Так как функция f(x)= х2х+1х2-4 может быть как положительной, так и равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства ≥), то решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция неотрицательна и изолированная точка 0.
Ответ: (-2; 1] U (2; +∞) U {0}.Тест для проверки теоретических знаний по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
Укажите все необходимые действия(1,2)
1. Чтобы решить целое рациональное неравенство вида необходимо:
1) найти нули функции ;
2) найти точки разрыва функции ;
3) нанести нули функции на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;
4) нанести точки разрыва функции на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;
5) записать промежутки, на которых функция не положительна;
6) записать промежутки, на которых функция отрицательна;
7) записать промежутки, на которых функция положительна.
2. Чтобы решить дробное рациональное неравенство вида необходимо:
1) найти нули функции ;
2) найти нули функции ;
3) отметить на координатной прямой нули функции «заштрихованными» кружочками, а нули функции - «пустыми»;
4) отметить на координатной прямой нули функции «пустыми» кружочками, а нули функции - «заштрихованными»;
5) отметить на координатной прямой нули функции и нули функции «заштрихованными» кружочками;
6) записать промежутки, на которых функция положительна;
7) записать промежутки, на которых функция не отрицательна.
3 Установите соответствие:
Неравенство
1) х(х-1)(х+2)>0;
3) x2(1-x)(x+2)5<0;
2) х3(х-1)2(х+2)4≥0
4) (x+2)4 x2(1-x)≤0рисунок
решение (ответ)
Ответы
Номер задания 1 2 3
Вариант правильного отвена1; 3; 5. 1; 2; 3; 7. 1 – б – и, 2 – г – к,
3 – а – л, 4 – в – ж.
Самостоятельная работа по карточкам с последующей проверкой по листам самопроверки по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
Карточка 1.
№1 Найти целые решения неравенства
№2 Решить неравенство
Карточка 2.
№1 Решить неравенство
№2 Решить неравенство
Карточка 3.
№1 Решить неравенство
№2 Решить неравенство
Карточка 4.
№1 Решить неравенство
№2 Решить неравенство
Лист самопроверки к карточке 1.
№1 Найти целые решения неравенства
Решение:
Рассмотрим функцию:
Найдём нули:
Точки разрыва:
Так как функция не положительна, то решением данного неравенства является промежуток: .
Запишем целые решения неравенства: - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ:- 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.№2 Решить неравенство
Решение. Преобразуем неравенство следующим образом: . Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения 2 и 3. Второе уравнение корней не имеет. Значит, числитель раскладывается на множители следующим образом: , а знаменатель на линейные множители не раскладывается. Запишем неравенство в таком виде: . Отмечаем на числовой прямой точки и и выбираем нужные промежутки.
Ответ: (2;3).
Лист самопроверки к карточке 2.
№1 Решить неравенство
Решение. Пункты 1), 2), 3) уже выполнены. Отмечаем на числовой прямой точки. При выражение отрицательно, положительны все сомножители, кроме одного: При переходе через точки знак выражения меняется (линейные сомножители в нечетной степени), а при переходе через точкузнак не меняется (особая точка).
Включаем в ответ все промежутки, на которых левая часть неравенства отрицательна.
Ответ:
№2 Решить неравенство
Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения -1 и -6, второе уравнение имеет один корень -2. Но правильнее в данном случае говорить, что оно имеет два одинаковых корня, поэтому, данный квадратный трехчлен разлагается на два одинаковых сомножителя. В этом случае, что уравнение имеет корень чётной кратности. Получаем: - . Отмечаем на числовой прямой точки: -6, -2, -1.
Расставим знаки, учитывая, что при выражение отрицательно, а при переходе через точку -2 знак не меняется. Остается выбрать нужные промежутки.
Ответ: (-6;-2)∪(-2;-1).
Лист самопроверки к карточке 3.
№1 Решить неравенство
Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Первое уравнение имеет два одинаковых корня, -1, корни второго уравнения -2 и 3.Разкладываем числитель и знаменатель на множители: ,
.
Получаем неравенство: . Отмечаем на числовой прямой "выколотые" точки -2 и 3 и особую точку -1.
Расставим знаки, учитывая, что при выражение положительно, а при переходе через точку -1 знак не меняется. Не забудем включить в ответ особую точку -1. Ответ:
№2 Решить неравенство
Решение. Переносим все члены неравенства в левую часть и приводим к общему знаменателю. После приведения подобных членов получаем следующее дробно-рациональное выражение:
Раскладывая числитель на множители, получим: .
Теперь отмечаем на числовой прямой точки: -2, , , , нули знаменателя, "выколотые" точки, нули числителя, так как неравенство нестрогое.
При>5 выражение положительно. Так как все сомножители первой степени, то знак меняется во всех точках.
Осталось выбрать нужные промежутки.
Ответ:
Лист самопроверки к карточке 4.
№1 Решить неравенство
Запишем неравенство в виде ,
Рассмотрим функцию:
Найдём нули функции, решив уравнение
Ответ:
№2 Решить неравенство
Решение. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю, разложив предварительно квадратные трехчлены на сомножители: и после преобразований получим . Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой: точки 0 и 4 – «заштрихованные», точки -1,-3, и 2 - "выколотые". Расставим знаки, учитывая, что на самом правом промежутке левая часть положительна, и знак меняется во всех отмеченных точках, кроме -1.
Ответ: UU
Разноуровневая домашняя работа по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
(вариант А).
Решите следующие неравенства:
1. (6х2-12х)(х+4)<0 Ответ: -∞;0∪(2;4)
2. (х2-3х-4)(х2+х-12)<0 Ответ: (-4;-1) ∪(3;4)
3. (х2+4х+5)( х2-4х+3)(х – 1) <0 Ответ: -∞;1∪(1;3)
4. (13х-2х2) (4х-х2) <0 Ответ: (4; 6,5)
5. х+1(х-2)3х+3<0 Ответ: -∞;-3∪(-1;2)
(вариант В).
Решите следующие неравенства:
1. х-12(х+3)3х2≤0 Ответ: [-∞;-3] ∪1
2. 10-5х2-1-х42х-122≤0 Ответ: {2}.
3.х2+6х-7х2+1≤0 Ответ: .
4. х2х+2х2+1х+4х-13х-3х+4<0 Ответ: -∞;-4∪-4;-2∪(1;3)
5. х-43(х+2)х+12(х-1)(х-4)(х-3)х≤0
Ответ: (-∞;-2]∪-1∪0;1∪3;4∪(4;+∞) 6. х2-5х+7-2х2+3х+2>0 Ответ:
7. х4+х2+1х2-4х-5<0 Ответ:
8. 4-x4(3х+24)х-13х-65(х-5)(-12-х)х2≤0 Ответ:
Упражнения для самостоятельного решения.
(х2-3х+2)х3-2х24-х2≤0. Ответ: [-2;1] U [-2; +∞).х-3(х2-1)х2+3х+2>0 Ответ: (-2;-1) U (-1;1) U(3; +∞)
х-3≤2х-2. Ответ: (-∞;1] U(2;4] 21-2х≤3х+5 Ответ: -5;-78U(12;+∞)
х-3(х+2)х2-1<1 Ответ: (-5;-1) U(1; +∞)
х2-2х-3х-4≤3-х Ответ:
1х-2 + 1х-1≥1х Ответ: [- 2;0) U(1; 2]U(2+∞)
2+1x-3- х+3х+2≤1х-3х+2 Ответ: (-2;-1] U[2;3)
х2-4х+6х-2х-3х-14х-22<0 Ответ: х∈(- 2;3)
х2-5x-7(2x-3)-х2-5х+6≤0 Ответ: х∈(-∞; - 6) U [-5;1) U [1,5; 5] U [7;+ ∞).(х2-5x-6)(5х2-2х+2)(9х2-6х+1)(-3х2+x+2)<0 Ответ: х∈-∞;-1U-23;13U13;1U6;+∞
х2-3х+2х-12(3-х)х+42≤0 Ответ: х∈-4U1;2U(3;+∞)
1-х33х2+5х+6х+424-х22>0 Ответ: x∈-∞;-3U-2;1;x≠-4
х3-2х2-5x+6x-2>0 Ответ: x∈-∞;-2U1;2U(3;+∞)
2xx≤12 Ответ: x∈(0;103] 41+х+21-х>1 Ответ: x∈(-1;1)
x≤3-1x-1 Ответ: x∈-∞;1U{2}
x4-2х3+2x-1(х2-4х+4)7-6x-х2≥0 Ответ:( - 7; - 1];{2}
Контрольный тест по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».
№ Задания Варианты ответов
Наименьшее целое решение неравенства равно 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) -2; 5) -3
Количество целых отрицательных чисел, не являющихся решениями неравенстваравно 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 5; 5) 6
Среднее арифметическое целых чисел, не удовлетворяющих условиюравно 1)-1,5; 2)-3; 3)3; 4)4,5; 5)18
Длина отрезка, являющегося решением неравенства равна 1) 3; 2) 6; 3) 6 - 25; 4) 25; 5) 5Среднее арифметическое неположительных решений неравенства равно 1)-3; 2)-1,5; 3)-1; 4)-2; 5)-0,5
Количество отрицательных решений неравенства равно 1) 14; 2) 11; 3) 3; 4) 1; 5) 2
Количество целых решений неравенства равно 1) 6; 2) 7; 3) 4; 4) 2; 5) 14
Количество целых неотрицательных решений неравенства равно 1) 2; 2) 1; 3) 13; 4) 4; 5) 11
Количество целых неотрицательных чисел, не принадлежащих области определения функции равно 1) 8; 2) 4; 3) 1; 4) 3; 5) 2
Количество целых чисел, не принадлежащих области определения функции
равно 1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 10
Ответы
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер правильного ответа 2 3 1 5 3 5 1 2 4 3
3. Проверочная работа (в одном варианте).
20х-3(х-4)+10х-4+1>0. Ответ: х<-2, -1<х<3, 4<х.
х23х-3х+1≤0. Ответ: -3≤х≤3.
х2-1х-1>0. Ответ: х<-1, -1<х<1, х>1.
log2(х2-4)-3log2х+2х-2>2.Ответ:х<-2;х>61-х2-1х+1≤х.Ответ:-2;-1∪[0;1]log2x-51-2log2x≥2log2x.Ответ:х≤12; 2<х≤425
log132х-7+log3(х-3)9-х≥logх-31 Ответ: (3,5; 4)